RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 7 अवकलन Exercise 7.4

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 7 अवकलन Ex 7.4

Question 1. (i) \( x = a \sec t, y = b \tan t \)
(ii) \( x = \log t + \sin t, y = e^t + \cos t \)
Answer:
(i) दिया गया है: \( x = a \sec t \) और \( y = b \tan t \)
पहले, \( x = a \sec t \) को \( t \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a \sec t) \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = a \sec t \tan t \)
अब, \( y = b \tan t \) को \( t \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(b \tan t) \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = b \sec^2 t \)
\( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए, \( \frac{dy}{dt} \) को \( \frac{dx}{dt} \) से भाग देते हैं:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{b \sec^2 t}{a \sec t \tan t} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \frac{\sec t}{\tan t} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \frac{\frac{1}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \frac{1}{\sin t} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \operatorname{cosec} t \)
यह पैरामीट्रिक फलन के अवकलन का एक सीधा उदाहरण है, जहाँ हम प्रत्येक चर को एक तीसरे पैरामीटर के सापेक्ष अवकलित करते हैं।
(ii) दिया गया है: \( x = \log t + \sin t \) और \( y = e^t + \cos t \)
पहले, \( x = \log t + \sin t \) को \( t \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\log t + \sin t) \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = \frac{1}{t} + \cos t \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = \frac{1 + t \cos t}{t} \)
अब, \( y = e^t + \cos t \) को \( t \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^t + \cos t) \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = e^t - \sin t \)
\( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए, \( \frac{dy}{dt} \) को \( \frac{dx}{dt} \) से भाग देते हैं:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{e^t - \sin t}{\frac{1 + t \cos t}{t}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{t(e^t - \sin t)}{1 + t \cos t} \)
In simple words: हमने \(x\) और \(y\) दोनों को \(t\) के सापेक्ष अलग-अलग अवकलित किया. फिर, \( \frac{dy}{dt} \) को \( \frac{dx}{dt} \) से भाग देकर \( \frac{dy}{dx} \) का मान निकाला. यह विधि तब इस्तेमाल होती है जब \(x\) और \(y\) सीधे जुड़े न होकर किसी तीसरे चर (जैसे \(t\)) पर निर्भर करते हैं.

🎯 Exam Tip: पैरामीट्रिक अवकलन में \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \) सूत्र को याद रखें और अंतिम उत्तर को हमेशा सबसे सरल रूप में व्यक्त करें।

Question 2. (ii) \( x = a \cos \theta, y = b \sin \theta \)
Answer:
दिया गया है: \( x = a \cos \theta \) और \( y = b \sin \theta \)
पहले, \( x = a \cos \theta \) को \( \theta \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(a \cos \theta) \)
\( \implies \frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta \)
अब, \( y = b \sin \theta \) को \( \theta \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(b \sin \theta) \)
\( \implies \frac{dy}{d\theta} = b \cos \theta \)
\( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए, \( \frac{dy}{d\theta} \) को \( \frac{dx}{d\theta} \) से भाग देते हैं:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{b \cos \theta}{-a \sin \theta} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} \cot \theta \)
यहां, हमने \(x\) और \(y\) को एक नए चर \( \theta \) के रूप में व्यक्त किया है, जो अवकलन को सरल बनाता है।
In simple words: हमने \(x\) और \(y\) दोनों को \( \theta \) के सापेक्ष अलग-अलग अवकलित किया. फिर, \( \frac{dy}{d\theta} \) को \( \frac{dx}{d\theta} \) से भाग देकर \( \frac{dy}{dx} \) का मान निकाला.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन के मानक सूत्रों को याद रखना महत्वपूर्ण है, जैसे \( \frac{d}{d\theta}(\cos \theta) = -\sin \theta \) और \( \frac{d}{d\theta}(\sin \theta) = \cos \theta \)।

Question 3. (i) \( x = \cos \theta - \cos 2\theta, y = \sin \theta - \sin 2\theta \)
(ii) \( x = a(\theta - \sin \theta), y = a(1 + \cos \theta) \)
Answer:
(i) दिया गया है: \( x = \cos \theta - \cos 2\theta \) और \( y = \sin \theta - \sin 2\theta \)
पहले, \( x = \cos \theta - \cos 2\theta \) को \( \theta \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\cos \theta - \cos 2\theta) \)
\( \implies \frac{dx}{d\theta} = -\sin \theta - (-\sin 2\theta) \cdot 2 \)
\( \implies \frac{dx}{d\theta} = 2 \sin 2\theta - \sin \theta \)
अब, \( y = \sin \theta - \sin 2\theta \) को \( \theta \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\sin \theta - \sin 2\theta) \)
\( \implies \frac{dy}{d\theta} = \cos \theta - (\cos 2\theta) \cdot 2 \)
\( \implies \frac{dy}{d\theta} = \cos \theta - 2 \cos 2\theta \)
\( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए, \( \frac{dy}{d\theta} \) को \( \frac{dx}{d\theta} \) से भाग देते हैं:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\cos \theta - 2 \cos 2\theta}{2 \sin 2\theta - \sin \theta} \)
यह अवकलन श्रृंखला नियम का उपयोग करके किया जाता है, खासकर \( \cos 2\theta \) और \( \sin 2\theta \) के लिए।
(ii) दिया गया है: \( x = a(\theta - \sin \theta) \) और \( y = a(1 + \cos \theta) \)
पहले, \( x = a(\theta - \sin \theta) \) को \( \theta \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}[a(\theta - \sin \theta)] \)
\( \implies \frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos \theta) \)
अब, \( y = a(1 + \cos \theta) \) को \( \theta \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}[a(1 + \cos \theta)] \)
\( \implies \frac{dy}{d\theta} = a(0 - \sin \theta) \)
\( \implies \frac{dy}{d\theta} = -a \sin \theta \)
\( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए, \( \frac{dy}{d\theta} \) को \( \frac{dx}{d\theta} \) से भाग देते हैं:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-a \sin \theta}{a(1 - \cos \theta)} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-\sin \theta}{1 - \cos \theta} \)
अब हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके इसे सरल करते हैं: \( \sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \) और \( 1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = -\cot \frac{\theta}{2} \)
In simple words: हमने हर हिस्से को \( \theta \) के सापेक्ष अवकलित किया और फिर \( \frac{dy}{d\theta} \) को \( \frac{dx}{d\theta} \) से भाग दिया. फिर त्रिकोणमिति के सूत्रों का उपयोग करके उत्तर को और सरल बनाया.

🎯 Exam Tip: जब संभव हो, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके अपने अवकलन के उत्तरों को हमेशा सरलतम रूप में लाएँ। यह अक्सर आधे-कोण के सूत्रों में समाप्त होता है।

Question 4. (i) \( x = \frac{\sin^3 t}{\sqrt{\cos 2t}}, y = \frac{\cos^3 t}{\sqrt{\cos 2t}} \)
(ii) \( x = a\left(\cos t + \log \tan \frac{t}{2}\right), y = a \sin t \)
Answer:
(i) दिया गया है: \( x = \frac{\sin^3 t}{\sqrt{\cos 2t}} \) और \( y = \frac{\cos^3 t}{\sqrt{\cos 2t}} \)
पहले, \( x = \frac{\sin^3 t}{(\cos 2t)^{1/2}} \) को \( t \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं (भागफल नियम का उपयोग करके):
\( \frac{dx}{dt} = \frac{(\cos 2t)^{1/2} \cdot \frac{d}{dt}(\sin^3 t) - \sin^3 t \cdot \frac{d}{dt}((\cos 2t)^{1/2})}{(\cos 2t)} \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = \frac{(\cos 2t)^{1/2} \cdot 3 \sin^2 t \cos t - \sin^3 t \cdot \frac{1}{2}(\cos 2t)^{-1/2} (-2 \sin 2t)}{(\cos 2t)} \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = \frac{(\cos 2t)^{1/2} \cdot 3 \sin^2 t \cos t + \sin^3 t (\cos 2t)^{-1/2} \sin 2t}{(\cos 2t)} \)
अंश में \( (\cos 2t)^{-1/2} \) को बाहर लेने पर:
\( \implies \frac{dx}{dt} = \frac{(\cos 2t)^{-1/2} [3 \sin^2 t \cos t (\cos 2t) + \sin^3 t \sin 2t]}{(\cos 2t)} \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = \frac{3 \sin^2 t \cos t \cos 2t + \sin^3 t (2 \sin t \cos t)}{(\cos 2t)^{3/2}} \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = \frac{3 \sin^2 t \cos t \cos 2t + 2 \sin^4 t \cos t}{(\cos 2t)^{3/2}} \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = \frac{\sin^2 t \cos t (3 \cos 2t + 2 \sin^2 t)}{(\cos 2t)^{3/2}} \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = \frac{\sin^2 t \cos t (3(1-2\sin^2 t) + 2 \sin^2 t)}{(\cos 2t)^{3/2}} \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = \frac{\sin^2 t \cos t (3-6\sin^2 t + 2 \sin^2 t)}{(\cos 2t)^{3/2}} \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = \frac{\sin^2 t \cos t (3 - 4 \sin^2 t)}{(\cos 2t)^{3/2}} \)
और हम जानते हैं कि \( 3 \sin t - 4 \sin^3 t = \sin 3t \) तथा \( 4 \cos^3 t - 3 \cos t = \cos 3t \)
या \( 3 - 4 \sin^2 t = \frac{\sin 3t}{\sin t} \) और \( 3 \cos 2t + 2 \sin^2 t = 3(2 \cos^2 t - 1) + 2 \sin^2 t = 6 \cos^2 t - 3 + 2 \sin^2 t \) (यह लंबा हो जाता है, इसे \( \frac{\sin^2 t \cos t (3 - 4 \sin^2 t)}{(\cos 2t)^{3/2}} \) के रूप में छोड़ देते हैं)
\( \implies \frac{dx}{dt} = \frac{\sin t \cos t (3 \sin t - 4 \sin^3 t)}{(\cos 2t)^{3/2}} = \frac{\sin t \cos t \sin 3t}{(\cos 2t)^{3/2}} \)
अब, \( y = \frac{\cos^3 t}{\sqrt{\cos 2t}} \)
\( \frac{dy}{dt} = \frac{(\cos 2t)^{1/2} \cdot \frac{d}{dt}(\cos^3 t) - \cos^3 t \cdot \frac{d}{dt}((\cos 2t)^{1/2})}{(\cos 2t)} \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = \frac{(\cos 2t)^{1/2} \cdot 3 \cos^2 t (-\sin t) - \cos^3 t \cdot \frac{1}{2}(\cos 2t)^{-1/2} (-2 \sin 2t)}{(\cos 2t)} \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = \frac{-3 \cos^2 t \sin t \cos 2t + \cos^3 t (\cos 2t)^{-1/2} \sin 2t}{(\cos 2t)} \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = \frac{(\cos 2t)^{-1/2} [-3 \cos^2 t \sin t \cos 2t + \cos^3 t \sin 2t]}{(\cos 2t)} \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = \frac{-3 \cos^2 t \sin t \cos 2t + 2 \cos^4 t \sin t}{(\cos 2t)^{3/2}} \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = \frac{\sin t \cos^2 t (-3 \cos 2t + 2 \cos^2 t)}{(\cos 2t)^{3/2}} \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = \frac{\sin t \cos^2 t (-3(2 \cos^2 t - 1) + 2 \cos^2 t)}{(\cos 2t)^{3/2}} \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = \frac{\sin t \cos^2 t (-6 \cos^2 t + 3 + 2 \cos^2 t)}{(\cos 2t)^{3/2}} \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = \frac{\sin t \cos^2 t (3 - 4 \cos^2 t)}{(\cos 2t)^{3/2}} \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = \frac{-\cos t \sin t (4 \cos^3 t - 3 \cos t)}{(\cos 2t)^{3/2}} = \frac{-\sin t \cos t \cos 3t}{(\cos 2t)^{3/2}} \)
\( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए, \( \frac{dy}{dt} \) को \( \frac{dx}{dt} \) से भाग देते हैं:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-\sin t \cos t \cos 3t}{(\cos 2t)^{3/2}}}{\frac{\sin t \cos t \sin 3t}{(\cos 2t)^{3/2}}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-\cos 3t}{\sin 3t} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = -\cot 3t \)
यह भागफल नियम और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का एक अच्छा अभ्यास है।
(ii) दिया गया है: \( x = a\left(\cos t + \log \tan \frac{t}{2}\right) \) और \( y = a \sin t \)
पहले, \( x = a\left(\cos t + \log \tan \frac{t}{2}\right) \) को \( t \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dx}{dt} = a\left(\frac{d}{dt}(\cos t) + \frac{d}{dt}\left(\log \tan \frac{t}{2}\right)\right) \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = a\left(-\sin t + \frac{1}{\tan \frac{t}{2}} \cdot \sec^2 \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = a\left(-\sin t + \frac{\cos \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{2}\right) \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = a\left(-\sin t + \frac{1}{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}\right) \)
हम जानते हैं कि \( 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2} = \sin t \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = a\left(-\sin t + \frac{1}{\sin t}\right) \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = a\left(\frac{-\sin^2 t + 1}{\sin t}\right) \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = a\frac{\cos^2 t}{\sin t} \)
अब, \( y = a \sin t \) को \( t \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(a \sin t) \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = a \cos t \)
\( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए, \( \frac{dy}{dt} \) को \( \frac{dx}{dt} \) से भाग देते हैं:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{a \cos t}{a \frac{\cos^2 t}{\sin t}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sin t}{\cos t} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \tan t \)
In simple words: हमने \(x\) और \(y\) को \(t\) के सापेक्ष अवकलित किया. \(x\) के लिए, हमने \( \log \tan \frac{t}{2} \) को सरल बनाने के लिए श्रृंखला नियम और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग किया. अंत में, हमने \( \frac{dy}{dt} \) को \( \frac{dx}{dt} \) से भाग देकर अंतिम उत्तर प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: \( \log \tan \frac{t}{2} \) जैसे व्यंजकों का अवकलन करते समय, श्रृंखला नियम को ध्यान से लागू करें और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरलीकरण करें। \( \frac{1}{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}} = \frac{1}{\sin t} \) एक महत्वपूर्ण सरलीकरण है।

Question 5. (i) \( x = \sqrt{\sin 2\theta}, y = \sqrt{\cos 2\theta} \)
(ii) \( x = a \cos^3 t, y = a \sin^3 t \)
Answer:
(i) दिया गया है: \( x = \sqrt{\sin 2\theta} \) और \( y = \sqrt{\cos 2\theta} \)
पहले, \( x = (\sin 2\theta)^{1/2} \) को \( \theta \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}((\sin 2\theta)^{1/2}) \)
\( \implies \frac{dx}{d\theta} = \frac{1}{2}(\sin 2\theta)^{-1/2} \cdot \frac{d}{d\theta}(\sin 2\theta) \)
\( \implies \frac{dx}{d\theta} = \frac{1}{2\sqrt{\sin 2\theta}} \cdot (\cos 2\theta) \cdot 2 \)
\( \implies \frac{dx}{d\theta} = \frac{\cos 2\theta}{\sqrt{\sin 2\theta}} \)
अब, \( y = (\cos 2\theta)^{1/2} \) को \( \theta \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}((\cos 2\theta)^{1/2}) \)
\( \implies \frac{dy}{d\theta} = \frac{1}{2}(\cos 2\theta)^{-1/2} \cdot \frac{d}{d\theta}(\cos 2\theta) \)
\( \implies \frac{dy}{d\theta} = \frac{1}{2\sqrt{\cos 2\theta}} \cdot (-\sin 2\theta) \cdot 2 \)
\( \implies \frac{dy}{d\theta} = \frac{-\sin 2\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \)
\( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए, \( \frac{dy}{d\theta} \) को \( \frac{dx}{d\theta} \) से भाग देते हैं:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-\sin 2\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}}}{\frac{\cos 2\theta}{\sqrt{\sin 2\theta}}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{\sin 2\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \cdot \frac{\sqrt{\sin 2\theta}}{\cos 2\theta} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{(\sin 2\theta)^{3/2}}{(\cos 2\theta)^{3/2}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = -(\tan 2\theta)^{3/2} \)
वर्गमूल फलनों का अवकलन करते समय, \( \sqrt{u} \) का अवकलन \( \frac{1}{2\sqrt{u}} \frac{du}{dx} \) के रूप में किया जाता है।
(ii) दिया गया है: \( x = a \cos^3 t \) और \( y = a \sin^3 t \)
पहले, \( x = a \cos^3 t \) को \( t \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a \cos^3 t) \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = a \cdot 3 \cos^2 t \cdot (-\sin t) \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t \)
अब, \( y = a \sin^3 t \) को \( t \) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(a \sin^3 t) \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = a \cdot 3 \sin^2 t \cdot (\cos t) \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t \)
\( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए, \( \frac{dy}{dt} \) को \( \frac{dx}{dt} \) से भाग देते हैं:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{\sin t}{\cos t} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = -\tan t \)
In simple words: हमने \(x\) और \(y\) दोनों को दिए गए पैरामीटर के सापेक्ष अवकलित किया. वर्गमूल और घात वाले फलनों के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग किया. फिर \( \frac{dy}{dx} \) निकालने के लिए दोनों अवकलजों को भाग दिया.

🎯 Exam Tip: \( \sin^n t \) और \( \cos^n t \) जैसे फलनों का अवकलन करते समय, \( n u^{n-1} \frac{du}{dt} \) सूत्र के अनुसार श्रृंखला नियम को लागू करना न भूलें, जहाँ \( u = \sin t \) या \( \cos t \) है।

Question 6. यदि \( x^3 + y^3 = t - \frac{1}{t} \) तथा \( x^6 + y^6 = t^2 + \frac{1}{t^2} \), तब सिद्ध कीजिए कि \( x^4 y^2 \frac{dy}{dx} = 1 \)
Answer:
दिया गया है:
(1) \( x^3 + y^3 = t - \frac{1}{t} \)
(2) \( x^6 + y^6 = t^2 + \frac{1}{t^2} \)
समीकरण (1) का वर्ग करने पर:
\( (x^3 + y^3)^2 = \left(t - \frac{1}{t}\right)^2 \)
\( x^6 + y^6 + 2x^3 y^3 = t^2 + \frac{1}{t^2} - 2 \)
समीकरण (2) का मान इस समीकरण में रखने पर:
\( (t^2 + \frac{1}{t^2}) + 2x^3 y^3 = (t^2 + \frac{1}{t^2}) - 2 \)
\( \implies 2x^3 y^3 = -2 \)
\( \implies x^3 y^3 = -1 \)
\( \implies y^3 = -\frac{1}{x^3} \)
अब, \( y = (-x^{-3})^{1/3} = -x^{-1} \)
या, \( y = -\frac{1}{x} \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x}\right) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = -(-1)x^{-2} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2} \)
हमें सिद्ध करना है: \( x^4 y^2 \frac{dy}{dx} = 1 \)
बायाँ पक्ष (LHS) लेते हैं:
\( LHS = x^4 y^2 \frac{dy}{dx} \)
हमने पाया है कि \( y = -\frac{1}{x} \) तो \( y^2 = \left(-\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2} \)
और \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2} \)
इन मानों को LHS में प्रतिस्थापित करने पर:
\( LHS = x^4 \cdot \left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot \left(\frac{1}{x^2}\right) \)
\( \implies LHS = x^4 \cdot \frac{1}{x^4} \)
\( \implies LHS = 1 \)
यह दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर है।
अतः, \( x^4 y^2 \frac{dy}{dx} = 1 \) सिद्ध हुआ।
यह प्रश्न बीजगणित और अवकलन के संयोजन का उपयोग करके एक पहचान को सिद्ध करता है।
In simple words: हमने दिए गए समीकरणों का उपयोग करके \(x^3 y^3\) का मान निकाला. फिर \(y\) को \(x\) के रूप में व्यक्त किया और \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात किया. अंत में, हमने दिए गए समीकरण में \(y\) और \( \frac{dy}{dx} \) के मान रखकर यह सिद्ध किया कि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रूफ-आधारित प्रश्नों में, दिए गए समीकरणों को बीजगणितीय रूप से सरल बनाने की कोशिश करें ताकि \(y\) को \(x\) के संदर्भ में प्राप्त किया जा सके, फिर अवकलन करें और अंत में दिए गए व्यंजक में मान प्रतिस्थापित करें।