RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 7 अवकलन Exercise 7.3

प्रश्न 1. निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
(i) \( 2x + 3y = \sin y \)
(ii) \( x^2 + xy + y^2 = 200 \)
Answer:
(i) दिया गया फलन है: \( 2x + 3y = \sin y \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(3y) = \frac{d}{dx}(\sin y) \)
\( 2 \cdot 1 + 3 \frac{dy}{dx} = \cos y \frac{dy}{dx} \)
अब, \( \frac{dy}{dx} \) वाले पदों को एक तरफ लेते हैं:
\( 2 = \cos y \frac{dy}{dx} - 3 \frac{dy}{dx} \)
\( 2 = (\cos y - 3) \frac{dy}{dx} \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = \frac{2}{\cos y - 3} \)
(ii) दिया गया फलन है: \( x^2 + xy + y^2 = 200 \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(200) \)
\( 2x + \left(x \frac{dy}{dx} + y \cdot 1\right) + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( 2x + x \frac{dy}{dx} + y + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = -2x - y \)
\( (x + 2y) \frac{dy}{dx} = -(2x + y) \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = -\frac{(2x + y)}{(x + 2y)} \)
In simple words: हमें दिए गए समीकरणों को x के सापेक्ष अवकलित करना था. हमने प्रत्येक पद का x के सापेक्ष अवकलन किया और फिर dy/dx को एक तरफ करके उसका मान निकाला. अवकलन करते समय y को x का फलन मानकर श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग किया जाता है.

🎯 Exam Tip: जब भी आप निहित फलनों का अवकलन करते हैं, तो dy/dx वाले सभी पदों को एक तरफ इकट्ठा करना और उन्हें गुणनखंडित करना याद रखें.

प्रश्न 2. निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
(i) \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} \)
(ii) \( \tan(x + y) + \tan(x - y) = 4 \)
Answer:
(i) दिया गया फलन है: \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) + \frac{d}{dx}(\sqrt{y}) = \frac{d}{dx}(\sqrt{a}) \)
हम जानते हैं कि \( \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \). यहाँ \( \sqrt{a} \) एक अचर है, इसलिए उसका अवकलन शून्य होगा.
\( \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 2\sqrt{y} \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}} \)
(ii) दिया गया फलन है: \( \tan(x + y) + \tan(x - y) = 4 \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(\tan(x + y)) + \frac{d}{dx}(\tan(x - y)) = \frac{d}{dx}(4) \)
हम जानते हैं कि \( \frac{d}{dx}(\tan u) = \sec^2 u \frac{du}{dx} \).
\( \sec^2(x + y) \frac{d}{dx}(x + y) + \sec^2(x - y) \frac{d}{dx}(x - y) = 0 \)
\( \sec^2(x + y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) + \sec^2(x - y) \left(1 - \frac{dy}{dx}\right) = 0 \)
\( \sec^2(x + y) + \sec^2(x + y) \frac{dy}{dx} + \sec^2(x - y) - \sec^2(x - y) \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \frac{dy}{dx} (\sec^2(x + y) - \sec^2(x - y)) = -\sec^2(x + y) - \sec^2(x - y) \)
\( \frac{dy}{dx} (\sec^2(x + y) - \sec^2(x - y)) = -(\sec^2(x + y) + \sec^2(x - y)) \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = -\frac{(\sec^2(x + y) + \sec^2(x - y))}{(\sec^2(x + y) - \sec^2(x - y))} \)
या, \( \frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2(x + y) + \sec^2(x - y)}{\sec^2(x - y) - \sec^2(x + y)} \)
In simple words: इस प्रश्न में भी हमें x के सापेक्ष अवकलन करना था. पहले भाग में वर्गमूल वाले पदों का अवकलन करते समय श्रृंखला नियम लगाया. दूसरे भाग में tan फलन का अवकलन करते हुए tan(u) के सूत्र और श्रृंखला नियम का उपयोग किया. अचर पदों का अवकलन हमेशा शून्य होता है.

🎯 Exam Tip: श्रृंखला नियम का उपयोग करते समय कोष्ठकों का ध्यान रखें, खासकर जब \( (1 + \frac{dy}{dx}) \) या \( (1 - \frac{dy}{dx}) \) जैसे पद आते हैं.

प्रश्न 3. निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
(i) \( \sin x + 2 \cos^2 y + xy = 0 \)
(ii) \( x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 1 \)
Answer:
(i) दिया गया फलन है: \( \sin x + 2 \cos^2 y + xy = 0 \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(2 \cos^2 y) + \frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(0) \)
\( \cos x + 2 \cdot (2 \cos y (-\sin y)) \frac{dy}{dx} + \left(x \frac{dy}{dx} + y \cdot 1\right) = 0 \)
\( \cos x - 4 \sin y \cos y \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0 \)
हम जानते हैं कि \( 2 \sin y \cos y = \sin(2y) \).
\( \cos x - 2 \sin(2y) \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0 \)
\( (x - 2 \sin(2y)) \frac{dy}{dx} = -(\cos x + y) \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = -\frac{(\cos x + y)}{(x - 2 \sin(2y))} = \frac{\cos x + y}{2 \sin(2y) - x} \)
(ii) दिया गया फलन है: \( x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 1 \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(x\sqrt{y}) + \frac{d}{dx}(y\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(1) \)
यहाँ गुणन नियम (product rule) का उपयोग करेंगे: \( \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \).
\( \left(x \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{y} \cdot 1\right) + \left(y \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \frac{dy}{dx}\right) = 0 \)
\( \frac{x}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{y} + \frac{y}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \frac{dy}{dx} \left(\frac{x}{2\sqrt{y}} + \sqrt{x}\right) = -\left(\sqrt{y} + \frac{y}{2\sqrt{x}}\right) \)
\( \frac{dy}{dx} \left(\frac{x + 2\sqrt{x}\sqrt{y}}{2\sqrt{y}}\right) = -\left(\frac{2\sqrt{x}\sqrt{y} + y}{2\sqrt{x}}\right) \)
\( \frac{dy}{dx} \left(\frac{x + 2\sqrt{xy}}{2\sqrt{y}}\right) = -\left(\frac{2\sqrt{xy} + y}{2\sqrt{x}}\right) \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{(2\sqrt{xy} + y)}{2\sqrt{x}} \cdot \frac{2\sqrt{y}}{(x + 2\sqrt{xy})} \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}(2\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})} \)
In simple words: इन फलनों का अवकलन करते समय हमने निहित अवकलन और गुणन नियम दोनों का उपयोग किया. पहले भाग में \( \cos^2 y \) का अवकलन करते समय श्रृंखला नियम महत्वपूर्ण है, और दूसरे भाग में \( x\sqrt{y} \) जैसे पदों के लिए गुणन नियम का सावधानी से प्रयोग किया गया.

🎯 Exam Tip: \( \sin(2y) \) का उपयोग करके \( 4 \sin y \cos y \) जैसे पदों को सरल बनाना अंतिम उत्तर को अधिक व्यवस्थित बनाता है.

प्रश्न 4. निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
(i) \( (x^2 + y^2)^2 = xy \)
(ii) \( \sin(xy) + \frac{x}{y} = x^2 - y \)
Answer:
(i) दिया गया फलन है: \( (x^2 + y^2)^2 = xy \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}((x^2 + y^2)^2) = \frac{d}{dx}(xy) \)
यहाँ घात नियम (power rule) और श्रृंखला नियम का उपयोग करेंगे:
\( 2(x^2 + y^2) \frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = x \frac{dy}{dx} + y \cdot 1 \)
\( 2(x^2 + y^2) \left(2x + 2y \frac{dy}{dx}\right) = x \frac{dy}{dx} + y \)
\( 4x(x^2 + y^2) + 4y(x^2 + y^2) \frac{dy}{dx} = x \frac{dy}{dx} + y \)
\( 4x^3 + 4xy^2 + 4x^2y \frac{dy}{dx} + 4y^3 \frac{dy}{dx} = x \frac{dy}{dx} + y \)
\( (4x^2y + 4y^3 - x) \frac{dy}{dx} = y - 4x^3 - 4xy^2 \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = \frac{y - 4x^3 - 4xy^2}{4x^2y + 4y^3 - x} \)
(ii) दिया गया फलन है: \( \sin(xy) + \frac{x}{y} = x^2 - y \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(\sin(xy)) + \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(y) \)
यहाँ श्रृंखला नियम और भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करेंगे:
\( \cos(xy) \frac{d}{dx}(xy) + \frac{y \cdot 1 - x \frac{dy}{dx}}{y^2} = 2x - \frac{dy}{dx} \)
\( \cos(xy) \left(x \frac{dy}{dx} + y \cdot 1\right) + \frac{y - x \frac{dy}{dx}}{y^2} = 2x - \frac{dy}{dx} \)
\( x \cos(xy) \frac{dy}{dx} + y \cos(xy) + \frac{y}{y^2} - \frac{x}{y^2} \frac{dy}{dx} = 2x - \frac{dy}{dx} \)
\( \left(x \cos(xy) - \frac{x}{y^2} + 1\right) \frac{dy}{dx} = 2x - y \cos(xy) - \frac{1}{y} \)
\( \left(\frac{xy^2 \cos(xy) - x + y^2}{y^2}\right) \frac{dy}{dx} = \frac{2xy - y^2 \cos(xy) - 1}{y} \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = \frac{y(2xy - y^2 \cos(xy) - 1)}{xy^2 \cos(xy) - x + y^2} \)
In simple words: इन प्रश्नों में, पहले फलन में हमने घात नियम और श्रृंखला नियम का इस्तेमाल किया. दूसरे फलन में, sin(xy) के लिए श्रृंखला नियम, x/y के लिए भागफल नियम, और सभी dy/dx पदों को एक साथ इकट्ठा करके सरल किया.

🎯 Exam Tip: भागफल नियम \( \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} \) का सही ढंग से उपयोग करना और ऋण चिह्नों का ध्यान रखना महत्वपूर्ण है.

प्रश्न 5. निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
(i) \( x^3 + y^3 = 3axy \)
(ii) \( x^y + y^x = a^b \)
Answer:
(i) दिया गया फलन है: \( x^3 + y^3 = 3axy \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(3axy) \)
\( 3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 3a \left(x \frac{dy}{dx} + y \cdot 1\right) \)
\( 3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 3ax \frac{dy}{dx} + 3ay \)
\( 3y^2 \frac{dy}{dx} - 3ax \frac{dy}{dx} = 3ay - 3x^2 \)
\( (3y^2 - 3ax) \frac{dy}{dx} = 3ay - 3x^2 \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = \frac{3ay - 3x^2}{3y^2 - 3ax} = \frac{a y - x^2}{y^2 - ax} \)
(ii) दिया गया फलन है: \( x^y + y^x = a^b \)
यहाँ हम \( u = x^y \) और \( v = y^x \) मानते हैं, ताकि \( u + v = a^b \).
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0 \) (क्योंकि \( a^b \) एक अचर है, उसका अवकलन शून्य होगा).

पहले \( u = x^y \) का अवकलन करते हैं:
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: \( \log u = \log(x^y) = y \log x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = y \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \frac{d}{dx}(y) \)
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \)
\( \frac{du}{dx} = u \left(\frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx}\right) \)
\( \frac{du}{dx} = x^y \left(\frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx}\right) \)

अब \( v = y^x \) का अवकलन करते हैं:
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: \( \log v = \log(y^x) = x \log y \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x \frac{d}{dx}(\log y) + \log y \frac{d}{dx}(x) \)
\( \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1 \)
\( \frac{dv}{dx} = v \left(\frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y\right) \)
\( \frac{dv}{dx} = y^x \left(\frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y\right) \)

अब \( \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0 \) में मान रखते हैं:
\( x^y \left(\frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx}\right) + y^x \left(\frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y\right) = 0 \)
\( x^y \frac{y}{x} + x^y \log x \frac{dy}{dx} + y^x \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + y^x \log y = 0 \)
\( y x^{y-1} + x^y \log x \frac{dy}{dx} + x y^{x-1} \frac{dy}{dx} + y^x \log y = 0 \)
\( \left(x^y \log x + x y^{x-1}\right) \frac{dy}{dx} = -(y x^{y-1} + y^x \log y) \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = -\frac{(y x^{y-1} + y^x \log y)}{(x^y \log x + x y^{x-1})} \)
In simple words: पहले भाग में, हमने सीधा निहित अवकलन किया. दूसरे भाग में, जहाँ चर की घात में भी चर थे, वहाँ हमने लघुगणकीय अवकलन (logarithmic differentiation) का उपयोग किया. इसके लिए, हमने पहले प्रत्येक पद को अलग-अलग माना, उनका लघुगणक लिया, और फिर x के सापेक्ष अवकलन किया.

🎯 Exam Tip: जब फलन में \( f(x)^{g(x)} \) जैसा रूप हो, तो लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करना सबसे अच्छा तरीका है. प्रत्येक पद का अवकलन करने के बाद उन्हें समीकरण में वापस रखें.

प्रश्न 6. निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
(i) \( y = x^y \)
(ii) \( x^a y^b = (x - y)^{a+b} \)
Answer:
(i) दिया गया फलन है: \( y = x^y \)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\( \log y = \log(x^y) \)
\( \log y = y \log x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = y \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \frac{d}{dx}(y) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} - \log x \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \)
\( \frac{dy}{dx} \left(\frac{1}{y} - \log x\right) = \frac{y}{x} \)
\( \frac{dy}{dx} \left(\frac{1 - y \log x}{y}\right) = \frac{y}{x} \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x(1 - y \log x)} \)
(ii) दिया गया फलन है: \( x^a y^b = (x - y)^{a+b} \)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\( \log(x^a y^b) = \log((x - y)^{a+b}) \)
\( \log(x^a) + \log(y^b) = (a + b) \log(x - y) \)
\( a \log x + b \log y = (a + b) \log(x - y) \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( a \frac{d}{dx}(\log x) + b \frac{d}{dx}(\log y) = (a + b) \frac{d}{dx}(\log(x - y)) \)
\( a \cdot \frac{1}{x} + b \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (a + b) \frac{1}{x - y} \frac{d}{dx}(x - y) \)
\( \frac{a}{x} + \frac{b}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{a + b}{x - y} \left(1 - \frac{dy}{dx}\right) \)
\( \frac{a}{x} + \frac{b}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{a + b}{x - y} - \frac{a + b}{x - y} \frac{dy}{dx} \)
\( \frac{b}{y} \frac{dy}{dx} + \frac{a + b}{x - y} \frac{dy}{dx} = \frac{a + b}{x - y} - \frac{a}{x} \)
\( \left(\frac{b}{y} + \frac{a + b}{x - y}\right) \frac{dy}{dx} = \left(\frac{a + b}{x - y} - \frac{a}{x}\right) \)
\( \left(\frac{b(x - y) + y(a + b)}{y(x - y)}\right) \frac{dy}{dx} = \left(\frac{x(a + b) - a(x - y)}{x(x - y)}\right) \)
\( \left(\frac{bx - by + ay + by}{y(x - y)}\right) \frac{dy}{dx} = \left(\frac{ax + bx - ax + ay}{x(x - y)}\right) \)
\( \left(\frac{bx + ay}{y(x - y)}\right) \frac{dy}{dx} = \left(\frac{bx + ay}{x(x - y)}\right) \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = \frac{y(x - y)}{x(x - y)} = \frac{y}{x} \)
In simple words: पहले भाग में, चर की घात में चर होने के कारण लघुगणक लेकर अवकलन किया. दूसरे भाग में भी दोनों पक्षों का लघुगणक लिया, जिससे घातें गुणा में आ गईं और अवकलन करना आसान हो गया. फिर हमने \( \frac{dy}{dx} \) वाले पदों को एक साथ रखकर हल किया.

🎯 Exam Tip: \( \log(x^a y^b) = a \log x + b \log y \) और \( \log((x - y)^{a+b}) = (a + b) \log(x - y) \) जैसे लघुगणकीय गुणों का उपयोग करके जटिल फलनों को सरल बनाएं.

प्रश्न 7. निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
(i) \( e^x + e^{x^2} + ... + e^{x^5} \)
(ii) \( \sqrt{e^{\sqrt{x}}} \), \( x > 0 \)
Answer:
(i) दिया गया फलन है: \( y = e^x + e^{x^2} + e^{x^3} + e^{x^4} + e^{x^5} \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(e^{x^2}) + \frac{d}{dx}(e^{x^3}) + \frac{d}{dx}(e^{x^4}) + \frac{d}{dx}(e^{x^5}) \)
हम जानते हैं कि \( \frac{d}{dx}(e^u) = e^u \frac{du}{dx} \).
\( \frac{dy}{dx} = e^x \cdot 1 + e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + e^{x^3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3) + e^{x^4} \cdot \frac{d}{dx}(x^4) + e^{x^5} \cdot \frac{d}{dx}(x^5) \)
\( \frac{dy}{dx} = e^x + e^{x^2} (2x) + e^{x^3} (3x^2) + e^{x^4} (4x^3) + e^{x^5} (5x^4) \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = e^x + 2xe^{x^2} + 3x^2 e^{x^3} + 4x^3 e^{x^4} + 5x^4 e^{x^5} \)
(ii) दिया गया फलन है: \( y = \sqrt{e^{\sqrt{x}}} \)
हम इसे ऐसे भी लिख सकते हैं: \( y = (e^{\sqrt{x}})^{1/2} = e^{\frac{1}{2}\sqrt{x}} \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{\frac{1}{2}\sqrt{x}}) \)
श्रृंखला नियम का उपयोग करके:
\( \frac{dy}{dx} = e^{\frac{1}{2}\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\sqrt{x}\right) \)
\( \frac{dy}{dx} = e^{\frac{1}{2}\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( \frac{dy}{dx} = e^{\frac{\sqrt{x}}{2}} \cdot \frac{1}{4\sqrt{x}} \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = \frac{e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}}{4\sqrt{x}} \)
In simple words: पहले भाग में, हमने प्रत्येक पद का अलग-अलग अवकलन किया और \( e^u \) के अवकलन के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग किया. दूसरे भाग में, हमने पहले फलन को घातांक रूप में लिखा और फिर \( e^u \) के सूत्र और श्रृंखला नियम का इस्तेमाल करके अवकलन किया.

🎯 Exam Tip: जब \( e \) की घात में कोई जटिल फलन हो, तो हमेशा \( \frac{d}{dx}(e^u) = e^u \cdot \frac{du}{dx} \) सूत्र का उपयोग करें, जहाँ \( u \) वह जटिल फलन है.

प्रश्न 8. निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
(i) \( \frac{\cos x}{\log x} \), \( x > 0 \)
(ii) \( y = \sqrt{x}^{\sqrt{x}^{\sqrt{x}^{...\infty}}} \)
Answer:
(i) दिया गया फलन है: \( y = \frac{\cos x}{\log x} \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करेंगे: \( \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} \).
यहाँ \( u = \cos x \) और \( v = \log x \).
\( \frac{du}{dx} = -\sin x \) और \( \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x} \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{(\log x)(-\sin x) - (\cos x)(\frac{1}{x})}{(\log x)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{- \sin x \log x - \frac{\cos x}{x}}{(\log x)^2} \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = -\frac{(x \sin x \log x + \cos x)}{x(\log x)^2} \)
(ii) दिया गया फलन है: \( y = \sqrt{x}^{\sqrt{x}^{\sqrt{x}^{...\infty}}} \)
यहाँ हम देख सकते हैं कि \( y = \sqrt{x}^{\text{घात}} \) है, और घात फिर से \( y \) के बराबर है.
इसलिए, हम लिख सकते हैं: \( y = \sqrt{x}^y \)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\( \log y = \log(\sqrt{x}^y) \)
\( \log y = y \log(\sqrt{x}) \)
\( \log y = y \cdot \frac{1}{2} \log x \)
\( 2 \log y = y \log x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 2 \frac{d}{dx}(\log y) = \frac{d}{dx}(y \log x) \)
\( 2 \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = y \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \frac{d}{dx}(y) \)
\( \frac{2}{y} \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \)
\( \frac{2}{y} \frac{dy}{dx} - \log x \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \)
\( \frac{dy}{dx} \left(\frac{2}{y} - \log x\right) = \frac{y}{x} \)
\( \frac{dy}{dx} \left(\frac{2 - y \log x}{y}\right) = \frac{y}{x} \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x(2 - y \log x)} \)
In simple words: पहले भाग में, हमने भागफल नियम का उपयोग करके फलन का अवकलन किया. दूसरे भाग में, हमने अनंत श्रृंखला वाले फलन को y के रूप में दोबारा लिखा. फिर दोनों पक्षों का लघुगणक लेकर, इसे सरल किया और x के सापेक्ष अवकलन करके dy/dx का मान ज्ञात किया.

🎯 Exam Tip: अनंत श्रृंखला वाले प्रश्नों में, श्रृंखला के दोहराव वाले हिस्से को मूल फलन (यहाँ \( y \)) के रूप में लिखने से प्रश्न बहुत सरल हो जाता है.

प्रश्न 9. निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
(i) \( y\sqrt{1-x^2} = \sin^{-1} x \)
(ii) \( y\sqrt{1+x} = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \)
Answer:
(i) दिया गया फलन है: \( y\sqrt{1-x^2} = \sin^{-1} x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
हम गुणन नियम का उपयोग करेंगे:
\( y \frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}) + \sqrt{1-x^2} \frac{d}{dx}(y) = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) \)
\( y \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) + \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( -\frac{xy}{\sqrt{1-x^2}} + \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
पूरे समीकरण को \( \sqrt{1-x^2} \) से गुणा करने पर:
\( -xy + (1-x^2) \frac{dy}{dx} = 1 \)
\( (1-x^2) \frac{dy}{dx} = 1 + xy \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = \frac{1 + xy}{1 - x^2} \)
(ii) दिया गया फलन है: \( y\sqrt{1+x} = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \)
हम \( \sqrt{1+x} \) को दाईं ओर ले जाते हैं:
\( y = \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}\sqrt{1+x}} = \frac{\sqrt{1-x}}{1+x} \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
हम भागफल नियम का उपयोग करेंगे:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{(1+x) \frac{d}{dx}(\sqrt{1-x}) - \sqrt{1-x} \frac{d}{dx}(1+x)}{(1+x)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{(1+x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) - \sqrt{1-x} \cdot 1}{(1+x)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{(1+x)}{2\sqrt{1-x}} - \sqrt{1-x}}{(1+x)^2} \)
अंश में \( 2\sqrt{1-x} \) लघुत्तम लेने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-(1+x) - 2(1-x)}{2\sqrt{1-x}(1+x)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-1-x-2+2x}{2\sqrt{1-x}(1+x)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{x-3}{2\sqrt{1-x}(1+x)^2} \)
In simple words: पहले भाग में, हमने गुणन नियम और \( \sin^{-1} x \) के अवकलन का सूत्र इस्तेमाल किया. दूसरे भाग में, पहले फलन को सरल किया और फिर भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन किया.

🎯 Exam Tip: \( \sin^{-1} x \) के अवकलन \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) को याद रखना और गुणन नियम को सही ढंग से लागू करना महत्वपूर्ण है.

प्रश्न 10. निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
(i) \( y = \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + ...\infty}}} \)
(ii) \( y^x + x^y + x^x = a^b \)
Answer:
(i) दिया गया फलन है: \( y = \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + ...\infty}}} \)
चूंकि श्रृंखला अनंत है, हम \( \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + ...\infty}} \) के अंदर वाले हिस्से को फिर से \( y \) मान सकते हैं.
इसलिए, \( y = \sqrt{\sin x + y} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( y^2 = \sin x + y \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(y) \)
\( 2y \frac{dy}{dx} = \cos x + \frac{dy}{dx} \)
\( 2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \cos x \)
\( (2y - 1) \frac{dy}{dx} = \cos x \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2y - 1} \)
(ii) दिया गया फलन है: \( y^x + x^y + x^x = a^b \)
यहाँ हम \( u = y^x \), \( v = x^y \) और \( w = x^x \) मानते हैं, ताकि \( u + v + w = a^b \).
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} + \frac{dw}{dx} = 0 \) (क्योंकि \( a^b \) एक अचर है, उसका अवकलन शून्य होगा).

पहले \( u = y^x \) का अवकलन करते हैं:
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: \( \log u = x \log y \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = x \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1 \)
\( \frac{du}{dx} = y^x \left(\frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y\right) \)

अब \( v = x^y \) का अवकलन करते हैं (जो प्रश्न 5(ii) में पहले ही किया जा चुका है):
\( \frac{dv}{dx} = x^y \left(\frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx}\right) \)

अब \( w = x^x \) का अवकलन करते हैं:
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: \( \log w = x \log x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{w} \frac{dw}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 \)
\( \frac{dw}{dx} = w (1 + \log x) \)
\( \frac{dw}{dx} = x^x (1 + \log x) \)

अब \( \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} + \frac{dw}{dx} = 0 \) में मान रखते हैं:
\( y^x \left(\frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y\right) + x^y \left(\frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx}\right) + x^x (1 + \log x) = 0 \)
\( y^x \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + y^x \log y + x^y \frac{y}{x} + x^y \log x \frac{dy}{dx} + x^x (1 + \log x) = 0 \)
\( \left(x y^{x-1} + x^y \log x\right) \frac{dy}{dx} = -\left(y^x \log y + y x^{y-1} + x^x (1 + \log x)\right) \)
अतः, \( \frac{dy}{dx} = -\frac{(y^x \log y + y x^{y-1} + x^x (1 + \log x))}{(x y^{x-1} + x^y \log x)} \)
In simple words: पहले भाग में, हमने अनंत श्रृंखला के पैटर्न को पहचानकर फलन को सरल किया और फिर अवकलन किया. दूसरे भाग में, प्रत्येक पद (जैसे \( y^x, x^y, x^x \)) का अलग-अलग लघुगणकीय अवकलन किया गया और फिर सभी परिणामों को एक साथ जोड़ा गया.

🎯 Exam Tip: जब चर की घात में चर हो और कई ऐसे पद हों, तो प्रत्येक पद का अलग से अवकलन करना और फिर उन्हें जोड़ना सबसे व्यवस्थित तरीका है. अचर पद का अवकलन हमेशा शून्य होता है.