RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Exercise 16.4

Question 1. बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटन में से कौन-से एक यादृच्छिक चर X के लिए संभव है।
(i)

(ii)

Answer:
(i) प्रायिकताओं का योग \( = 0.4 + 0.4 + 0.2 = 1 \).
अतः, दिया गया बंटन एक प्रायिकता बंटन है।
(ii) प्रायिकताओं का योग \( = 0.6 + 0.1 + 0.2 = 0.9 \neq 1 \).
अतः, दिया गया बंटन एक प्रायिकता बंटन नहीं है।
(iii) यदि \( P(3) = -0.1 \) हो जो ऋणात्मक है।
अतः, यह बंटन एक प्रायिकता बंटन नहीं है।
In simple words: एक प्रायिकता बंटन में, सभी प्रायिकताओं का योग हमेशा 1 होना चाहिए, और कोई भी प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती। पहले भाग में ये दोनों शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए वह एक प्रायिकता बंटन है। दूसरे भाग में योग 1 नहीं है और तीसरे भाग में प्रायिकता ऋणात्मक है, इसलिए ये दोनों प्रायिकता बंटन नहीं हैं।

🎯 Exam Tip: प्रायिकता बंटन के लिए दो मुख्य शर्तें होती हैं: सभी प्रायिकताएँ 0 से 1 के बीच होनी चाहिए (कोई ऋणात्मक नहीं) और सभी प्रायिकताओं का योग ठीक 1 होना चाहिए।

Question 2. दो सिक्कों के युगपत उछाल में चित्तों की संख्या को यादृच्छिक चर X मानते हुए प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
Answer:
दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर, हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं: \( S = \{HH, HT, TH, TT\} \). कुल परिणामों की संख्या 4 है।
चित्तों (heads) की संख्या को यादृच्छिक चर X द्वारा दर्शाया गया है। X के संभावित मान 0, 1 या 2 हो सकते हैं।
1. \( P(X = 0) \) = P(कोई चित्त नहीं) = P(TT) = \( \frac{1}{4} \)
2. \( P(X = 1) \) = P(एक चित्त) = P(HT या TH) = \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
3. \( P(X = 2) \) = P(दो चित्त) = P(HH) = \( \frac{1}{4} \)
अतः, प्रायिकता बंटन निम्न प्रकार है:

पुनः, हम देखते हैं कि प्रायिकताओं में से प्रत्येक एक ऋणेत्तर भिन्न (0 से अधिक या बराबर) है और उनका योग \( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1+2+1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \) है।
In simple words: जब आप दो सिक्के उछालते हैं, तो आपको 0, 1 या 2 चित्त मिल सकते हैं। 0 चित्त आने की संभावना 1/4 है, 1 चित्त आने की संभावना 1/2 है, और 2 चित्त आने की संभावना 1/4 है। यह जानकारी एक तालिका में दी गई है, जिसे प्रायिकता बंटन कहते हैं।

🎯 Exam Tip: यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों को पहचानें और प्रत्येक मान के लिए संबंधित प्रायिकता की सही गणना करें। कुल प्रायिकता का योग हमेशा 1 होना चाहिए।

Question 3. चार खराब संतरे, 16 अच्छे संतरों में भूलवश मिला दिए गए हैं। दो संतरों के निकाल में खराब संतरों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
Answer:
खराब संतरों की संख्या = 4
अच्छे संतरों की संख्या = 16
कुल संतरों की संख्या = \( 4 + 16 = 20 \)
हमें 2 संतरे चुनने हैं। मान लीजिए X खराब संतरों की संख्या है। X के संभावित मान 0, 1 या 2 हो सकते हैं।
कुल संभव तरीकों से 20 संतरों में से 2 संतरे चुनने के तरीके = \( ^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190 \).

\( P(X = 0) \) = P(कोई खराब संतरा नहीं) = P(दोनों अच्छे संतरे हैं)
= \( \frac{^{16}C_2}{^{20}C_2} = \frac{\frac{16 \times 15}{2 \times 1}}{190} = \frac{120}{190} = \frac{12}{19} \)

\( P(X = 1) \) = P(एक खराब संतरा और एक अच्छा संतरा)
= \( \frac{^{4}C_1 \times ^{16}C_1}{^{20}C_2} = \frac{4 \times 16}{190} = \frac{64}{190} = \frac{32}{95} \)

\( P(X = 2) \) = P(दोनों खराब संतरे हैं)
= \( \frac{^{4}C_2}{^{20}C_2} = \frac{\frac{4 \times 3}{2 \times 1}}{190} = \frac{6}{190} = \frac{3}{95} \)
अतः, खराब संतरों का प्रायिकता बंटन इस प्रकार है:

In simple words: जब 4 खराब और 16 अच्छे संतरों के मिश्रण में से दो संतरे चुने जाते हैं, तो चुने गए संतरों में खराब संतरों की संख्या 0, 1 या 2 हो सकती है। इन तीनों संभावनाओं के लिए अलग-अलग प्रायिकताएँ गिनी जाती हैं, और फिर उन्हें एक तालिका में दिखाया जाता है।

🎯 Exam Tip: 'बिना प्रतिस्थापन' वाले प्रश्नों में, हमेशा संयोजन (nCr) का उपयोग करें और सुनिश्चित करें कि सभी संभावित परिणाम सही ढंग से गिने गए हैं।

Question 4. एक कलश में 4 सफेद तथा 3 लाल गेंद हैं। तीन गेंदों के यादृच्छिक निकाल में लाल गेंदों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
Answer:
कलश में सफेद गेंदों की संख्या = 4
कलश में लाल गेंदों की संख्या = 3
कुल गेंदों की संख्या = \( 4 + 3 = 7 \)
हमें कलश में से तीन गेंदें निकालनी हैं। मान लीजिए X लाल गेंदों की संख्या है। X के संभावित मान 0, 1, 2 या 3 हो सकते हैं।
कुल संभव तरीकों से 7 गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके = \( ^{7}C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \).

\( P(X = 0) \) = P(कोई लाल गेंद नहीं) = P(WWW) = P(सभी सफेद गेंदें)
= \( \frac{^{4}C_3}{^{7}C_3} = \frac{4}{35} \)

\( P(X = 1) \) = P(एक लाल गेंद और दो सफेद गेंद)
= \( \frac{^{3}C_1 \times ^{4}C_2}{^{7}C_3} = \frac{3 \times 6}{35} = \frac{18}{35} \)

\( P(X = 2) \) = P(दो लाल गेंद और एक सफेद गेंद)
= \( \frac{^{3}C_2 \times ^{4}C_1}{^{7}C_3} = \frac{3 \times 4}{35} = \frac{12}{35} \)

\( P(X = 3) \) = P(तीनों लाल गेंदें)
= \( \frac{^{3}C_3}{^{7}C_3} = \frac{1}{35} \)
अतः, प्रायिकता बंटन निम्न प्रकार है:

In simple words: एक थैले में से तीन गेंदें निकाली जाती हैं, जिसमें कुछ सफेद और कुछ लाल गेंदें हैं। हमें यह देखना है कि कितनी लाल गेंदें निकाली गईं (0, 1, 2, या 3) और हर संभावना की कितनी प्रायिकता है।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप 'बिना प्रतिस्थापन' वाले समस्याओं के लिए संयोजन (nCr) का सही उपयोग करते हैं, और सभी संभावित परिणामों के लिए प्रायिकताओं की गणना करते हैं।

Question 5. 10 वस्तुओं के ढेर में 3 वस्तुएँ त्रुटिपूर्ण हैं। इस ढेर में से 4 वस्तुओं का एक प्रतिदर्श खराब वस्तुओं की संख्या को यादृच्छिक चर X द्वारा निरूपित किया जाता है। ज्ञात कीजिए:
(i) X का प्रायिकता बंटन
(ii) P(X ≤ 1)
(iii) P(X < 1)
(iv) P(0 < X < 2)
Answer:
कुल वस्तुएँ = 10
खराब वस्तुएँ = 3
अच्छी वस्तुएँ = \( 10 - 3 = 7 \)
हम 4 वस्तुएँ चुनते हैं। X खराब वस्तुओं की संख्या को दर्शाता है। X के संभावित मान 0, 1, 2, 3 हो सकते हैं। (क्योंकि केवल 3 खराब वस्तुएँ हैं, X का मान 4 नहीं हो सकता)।
कुल तरीकों से 10 वस्तुओं में से 4 चुनने के तरीके = \( ^{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \).

\( P(X = 0) \) = P(कोई खराब वस्तु नहीं) = P(सभी अच्छी वस्तुएँ)
= \( \frac{^{7}C_4}{^{10}C_4} = \frac{\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1}}{210} = \frac{35}{210} = \frac{1}{6} \)

\( P(X = 1) \) = P(एक खराब वस्तु और तीन अच्छी वस्तुएँ)
= \( \frac{^{3}C_1 \times ^{7}C_3}{^{10}C_4} = \frac{3 \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}}{210} = \frac{3 \times 35}{210} = \frac{105}{210} = \frac{1}{2} \)

\( P(X = 2) \) = P(दो खराब वस्तुएँ और दो अच्छी वस्तुएँ)
= \( \frac{^{3}C_2 \times ^{7}C_2}{^{10}C_4} = \frac{3 \times \frac{7 \times 6}{2 \times 1}}{210} = \frac{3 \times 21}{210} = \frac{63}{210} = \frac{3}{10} \)

\( P(X = 3) \) = P(तीन खराब वस्तुएँ और एक अच्छी वस्तु)
= \( \frac{^{3}C_3 \times ^{7}C_1}{^{10}C_4} = \frac{1 \times 7}{210} = \frac{7}{210} = \frac{1}{30} \)

(i) X का प्रायिकता बंटन निम्न प्रकार है:

(ii) \( P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1+3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
(iii) \( P(X < 1) = P(X=0) = \frac{1}{6} \)
(iv) \( P(0 < X < 2) = P(X=1) = \frac{1}{2} \)
In simple words: 10 वस्तुओं में से 4 चुनने पर, जिनमें 3 खराब हैं, खराब वस्तुओं की संख्या 0, 1, 2, या 3 हो सकती है। इन प्रत्येक संभावना की प्रायिकताएँ निकालते हैं। फिर, इन्हीं प्रायिकताओं का उपयोग करके यह बताते हैं कि खराब वस्तुओं की संख्या 1 या उससे कम होने, 1 से कम होने, या 0 और 2 के बीच होने की क्या संभावना है।

🎯 Exam Tip: संयोजन (nCr) का उपयोग करके सही प्रायिकताओं की गणना करना महत्वपूर्ण है। 'कम या बराबर', 'से कम' और 'के बीच' जैसे असमानता संकेतों को ध्यान से समझें और लागू करें।

Question 6. एक पासे को इस प्रकार भारित किया गया है कि पासे पर सम संख्या आने की संभावना विषम संख्या आने की अपेक्षा दुगुनी है। यदि पासे को दो बार उछाला गया है, तब दोनों उछालों में पूर्ण वर्गों को यादृच्छिक चर X मानते हुए प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए ।
Answer:
माना X पूर्ण वर्गों की संख्या व्यक्त करता है।
एक पासे को उछालने पर समष्टि \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \).
माना P(विषम संख्या) = k.
तब P(सम संख्या) = 2k.
विषम संख्याएँ: 1, 3, 5. सम संख्याएँ: 2, 4, 6.
सभी प्रायिकताओं का योग = 1:
\( P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 \)
\( k + 2k + k + 2k + k + 2k = 1 \)
\( 9k = 1 \implies k = \frac{1}{9} \).
इसलिए, P(विषम संख्या) = \( \frac{1}{9} \) और P(सम संख्या) = \( \frac{2}{9} \).

पासे पर पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं: {1, 4}.
P(पूर्ण वर्ग) = \( P(1) + P(4) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \).
P(पूर्ण वर्ग नहीं) = \( 1 - P(\text{पूर्ण वर्ग}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).

पासे को दो बार उछाला गया है। X दोनों उछालों में प्राप्त पूर्ण वर्गों की संख्या है। X के संभावित मान 0, 1, 2 हो सकते हैं।
\( P(X = 0) \) = P(दोनों बार कोई पूर्ण वर्ग नहीं) = \( P(\text{पूर्ण वर्ग नहीं}) \times P(\text{पूर्ण वर्ग नहीं}) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \).
\( P(X = 1) \) = P(एक बार पूर्ण वर्ग और एक बार पूर्ण वर्ग नहीं)
= \( P(\text{पूर्ण वर्ग}) \times P(\text{पूर्ण वर्ग नहीं}) + P(\text{पूर्ण वर्ग नहीं}) \times P(\text{पूर्ण वर्ग}) \)
= \( \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9} \).
\( P(X = 2) \) = P(दोनों बार पूर्ण वर्ग) = \( P(\text{पूर्ण वर्ग}) \times P(\text{पूर्ण वर्ग}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \).
अतः, प्रायिकता बंटन निम्न प्रकार है:

In simple words: एक पासे को इस तरह से बनाया गया है कि सम संख्या आने की संभावना विषम संख्या से दोगुनी है। पहले हम यह पता लगाते हैं कि प्रत्येक संख्या (1 से 6) के आने की क्या संभावना है। फिर, दो बार पासा उछालने पर कितनी बार पूर्ण वर्ग संख्याएँ (जैसे 1 या 4) आती हैं (0, 1, या 2 बार) इसकी प्रायिकता निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: भारित पासे के प्रश्नों में, पहले अलग-अलग परिणामों की प्रायिकताएँ सही ढंग से निर्धारित करना महत्वपूर्ण है। सुनिश्चित करें कि आप 'पूर्ण वर्ग' की परिभाषा और द्विपद वितरण की अवधारणा को समझते हैं।

Question 7. एक कलश में 4 सफेद तथा 6 लाल गेंद है। इस कलश में से चार गेंदे यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। सफेद गेंदों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
Answer:
सफेद गेंदों की संख्या = 4
लाल गेंदों की संख्या = 6
कुल गेंदों की संख्या = \( 4 + 6 = 10 \)
कलश में से चार गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। मान लीजिए X सफेद गेंदों की संख्या को दर्शाता है। X के संभावित मान 0, 1, 2, 3 या 4 हो सकते हैं।
कुल तरीकों से 10 गेंदों में से 4 चुनने के तरीके = \( ^{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \).

\( P(X = 0) \) = P(कोई सफेद गेंद नहीं) = P(सभी लाल गेंदें)
= \( \frac{^{6}C_4}{^{10}C_4} = \frac{\frac{6 \times 5}{2 \times 1}}{210} = \frac{15}{210} = \frac{1}{14} \)

\( P(X = 1) \) = P(एक सफेद गेंद और तीन लाल गेंद)
= \( \frac{^{4}C_1 \times ^{6}C_3}{^{10}C_4} = \frac{4 \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1}}{210} = \frac{4 \times 20}{210} = \frac{80}{210} = \frac{8}{21} \)

\( P(X = 2) \) = P(दो सफेद गेंद और दो लाल गेंद)
= \( \frac{^{4}C_2 \times ^{6}C_2}{^{10}C_4} = \frac{\frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1}}{210} = \frac{6 \times 15}{210} = \frac{90}{210} = \frac{3}{7} \)

\( P(X = 3) \) = P(तीन सफेद गेंद और एक लाल गेंद)
= \( \frac{^{4}C_3 \times ^{6}C_1}{^{10}C_4} = \frac{4 \times 6}{210} = \frac{24}{210} = \frac{4}{35} \)

\( P(X = 4) \) = P(चारों सफेद गेंदें)
= \( \frac{^{4}C_4}{^{10}C_4} = \frac{1}{210} \)
अतः, अभीष्ट प्रायिकता बंटन इस प्रकार है:

In simple words: एक थैले में 4 सफेद और 6 लाल गेंदें हैं। इसमें से चार गेंदें बिना देखे निकाली जाती हैं। हमें यह पता करना है कि इन चार गेंदों में कितनी सफेद गेंदें होंगी (0, 1, 2, 3, या 4) और हर संभावना की कितनी संभावना है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, संयोजन (nCr) का उपयोग करके सही प्रायिकताओं की गणना करना महत्वपूर्ण है, खासकर जब वस्तुएं बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती हैं।

Question 8. पासों में एक जोड़े को तीन बार उछालने पर टिकों (doubleth) की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
Answer:
एक पासों के जोड़े को उछालने पर कुल संभावित परिणाम = \( 6 \times 6 = 36 \).
टिकों (doublets) का समुच्चय = \( \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\} \).
एक उछाल में टिक (doublet) आने की प्रायिकता \( P(\text{doublet}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \).
एक उछाल में टिक (doublet) न आने की प्रायिकता \( P(\text{not doublet}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \).
पासों के जोड़े को तीन बार उछाला गया है। मान लीजिए X टिकों की संख्या है। X के संभावित मान 0, 1, 2 या 3 हो सकते हैं। यह एक द्विपद बंटन है जहाँ \( n=3 \) और \( p=\frac{1}{6} \).

\( P(X = 0) \) = P(कोई टिक नहीं) = \( ^{3}C_0 \left(\frac{1}{6}\right)^0 \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 1 \times 1 \times \frac{125}{216} = \frac{125}{216} \).

\( P(X = 1) \) = P(एक टिक और दो टिक नहीं)
= \( ^{3}C_1 \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{25}{36} = \frac{75}{216} \).

\( P(X = 2) \) = P(दो टिक और एक टिक नहीं)
= \( ^{3}C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^1 = 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216} \).

\( P(X = 3) \) = P(तीनों टिक)
= \( ^{3}C_3 \left(\frac{1}{6}\right)^3 \left(\frac{5}{6}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{216} \times 1 = \frac{1}{216} \).
अतः, अभीष्ट प्रायिकता बंटन इस प्रकार है:

In simple words: जब दो पासे एक साथ उछाले जाते हैं, तो एक ही संख्या दोनों पासों पर आने (जिसे 'डबलेट' कहते हैं) की संभावना 1/6 होती है। यदि हम इस जोड़े को तीन बार उछालते हैं, तो डबलेट 0, 1, 2, या 3 बार आ सकता है। इन सभी संभावनाओं की प्रायिकताएँ द्विपद बंटन का उपयोग करके निकाली जाती हैं।

🎯 Exam Tip: यह एक द्विपद बंटन का उदाहरण है। ध्यान दें कि प्रत्येक उछाल स्वतंत्र होती है, और 'सफलता' (डबलेट) की प्रायिकता हर बार समान रहती है।

Question 9. पासों के युग्म को उछाला जाता है। माना यादृच्छिक चर X, पासों पर प्राप्त अंकों के योग को निरूपित करता है। चर X का माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो परिणामों की कुल संख्या = \( 6 \times 6 = 36 \).
X पासों पर प्राप्त अंकों के योग को दर्शाता है। X के संभावित मान 2 से 12 तक हैं।
प्रत्येक योग के लिए प्रायिकताएँ निम्न प्रकार हैं:
\( P(X = 2) = P(1, 1) = \frac{1}{36} \)
\( P(X = 3) = P[(1, 2), (2, 1)] = \frac{2}{36} \)
\( P(X = 4) = P[(1, 3), (2, 2), (3, 1)] = \frac{3}{36} \)
\( P(X = 5) = P[(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)] = \frac{4}{36} \)
\( P(X = 6) = P[(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)] = \frac{5}{36} \)
\( P(X = 7) = P[(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)] = \frac{6}{36} \)
\( P(X = 8) = P[(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)] = \frac{5}{36} \)
\( P(X = 9) = P[(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)] = \frac{4}{36} \)
\( P(X = 10) = P[(4, 6), (5, 5), (6, 4)] = \frac{3}{36} \)
\( P(X = 11) = P[(5, 6), (6, 5)] = \frac{2}{36} \)
\( P(X = 12) = P[(6, 6)] = \frac{1}{36} \)
प्रायिकता बंटन तालिका:

यादृच्छिक चर X का माध्य \( E(X) = \sum X P(X) \)
\( E(X) = \frac{1}{36} (2 \times 1 + 3 \times 2 + 4 \times 3 + 5 \times 4 + 6 \times 5 + 7 \times 6 + 8 \times 5 + 9 \times 4 + 10 \times 3 + 11 \times 2 + 12 \times 1) \)
\( E(X) = \frac{1}{36} (2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12) \)
\( E(X) = \frac{1}{36} (252) = 7 \).
अतः, चर X का माध्य = 7.
In simple words: जब दो पासे उछाले जाते हैं, तो उनके अंकों का योग (X) 2 से 12 तक कुछ भी हो सकता है। हमने हर योग के आने की संभावना निकाली। फिर, हर योग को उसकी संभावना से गुणा करके और सभी को जोड़कर, हमने अंकों के औसत योग (माध्य) को पता किया, जो 7 है।

🎯 Exam Tip: माध्य की गणना के लिए \( E(X) = \sum x P(x) \) सूत्र का सही उपयोग करें। पासे के योग की प्रायिकताओं को सावधानी से सूचीबद्ध करना महत्वपूर्ण है।

Question 10. एक अनभिनत पासे को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं का प्रसारण ज्ञात कीजिए।
Answer:
एक अनभिनत पासे को फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ \( X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) हैं।
प्रत्येक संख्या के प्राप्त होने की प्रायिकता \( P(X=x) = \frac{1}{6} \) है।
X का प्रायिकता बंटन निम्न है:

माध्य \( E(X) = \sum X P(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} \)
\( E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} \).

\( E(X^2) = \sum X^2 P(X) = 1^2 \times \frac{1}{6} + 2^2 \times \frac{1}{6} + 3^2 \times \frac{1}{6} + 4^2 \times \frac{1}{6} + 5^2 \times \frac{1}{6} + 6^2 \times \frac{1}{6} \)
\( E(X^2) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \).

प्रसरण \( \text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \)
\( \text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 \)
\( \text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} \)
\( \text{Var}(X) = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \).
In simple words: एक साधारण पासे को फेंकने पर हमें 1 से 6 तक कोई भी संख्या मिल सकती है, और हर संख्या के आने की संभावना बराबर होती है। हमने पहले औसत (माध्य) निकाला, फिर संख्याओं के वर्गों का औसत निकाला। इन दोनों का उपयोग करके, हमने यह पता किया कि संख्याएं माध्य से कितनी फैली हुई हैं (जिसे प्रसरण कहते हैं)।

🎯 Exam Tip: प्रसरण (variance) की गणना के लिए सूत्र \( \text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \) याद रखें। माध्य और \( E(X^2) \) दोनों की सही गणना महत्वपूर्ण है।

Question 11. यदि X = 1 किसी प्रस्ताव का पक्ष करने वाले सदस्यों की संख्या को दर्शाता है और X = 0 विरोध करने वाले सदस्यों की संख्या को दर्शाता है, तथा X = 1 की प्रायिकता 70% और X = 0 की प्रायिकता 30% है, तो इसका प्रायिकता बंटन, माध्य और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: X = 1 पर किसी प्रस्ताव का पक्ष करने वाले सदस्यों की प्रायिकता = 70% \( = \frac{70}{100} = 0.70 \).
X = 0 पर किसी प्रस्ताव का विरोध करने वाले सदस्यों की प्रायिकता = 30% \( = \frac{30}{100} = 0.30 \).
प्रायिकता बंटन इस प्रकार है:

माध्य \( E(X) = \sum X P(X) = (0 \times 0.30) + (1 \times 0.70) = 0 + 0.70 = 0.70 \).
\( E(X^2) = \sum X^2 P(X) = (0^2 \times 0.30) + (1^2 \times 0.70) = 0 + 0.70 = 0.70 \).
प्रसरण \( \text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \)
\( \text{Var}(X) = 0.70 - (0.70)^2 \)
\( \text{Var}(X) = 0.70 - 0.49 = 0.21 \).
माध्य \( = 0.70 \), प्रसरण \( = 0.21 \).
In simple words: जब किसी प्रस्ताव के पक्ष या विरोध में लोगों की प्रायिकताएँ दी गई हों, तो हम उनका औसत मान (माध्य) और यह कितना फैला हुआ है (प्रसरण) ज्ञात करते हैं। इसमें हम मान X को उसकी प्रायिकता से गुणा करते हैं और फिर उन्हें जोड़ते हैं।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सरल द्विपद वितरण के लिए माध्य \( np \) और प्रसरण \( np(1-p) \) होता है, जहाँ \( n=1 \). यहाँ \( p=0.70 \), तो माध्य \( 1 \times 0.70 = 0.70 \) और प्रसरण \( 1 \times 0.70 \times (1-0.70) = 0.70 \times 0.30 = 0.21 \).

Question 12. ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से दो पत्ते उत्तरोतर बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं। बादशाहों की संख्या का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात करो।
Answer:
कुल ताश के पत्ते = 52.
बादशाहों की संख्या = 4.
गैर-बादशाह पत्तों की संख्या = \( 52 - 4 = 48 \).
दो पत्ते बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं। मान लीजिए X निकाले गए बादशाहों की संख्या है। X के संभावित मान 0, 1 या 2 हो सकते हैं।
कुल तरीकों से 52 पत्तों में से 2 पत्ते चुनने के तरीके = \( ^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326 \).

\( P(X = 0) \) = P(कोई बादशाह नहीं) = P(दोनों गैर-बादशाह पत्ते)
= \( \frac{^{48}C_2}{^{52}C_2} = \frac{\frac{48 \times 47}{2 \times 1}}{1326} = \frac{1128}{1326} \).

\( P(X = 1) \) = P(एक बादशाह और एक गैर-बादशाह)
= \( \frac{^{4}C_1 \times ^{48}C_1}{^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} \).

\( P(X = 2) \) = P(दोनों बादशाह)
= \( \frac{^{4}C_2}{^{52}C_2} = \frac{\frac{4 \times 3}{2 \times 1}}{1326} = \frac{6}{1326} \).
प्रायिकता बंटन इस प्रकार है:

माध्य \( E(X) = \sum X P(X) \)
\( E(X) = \left(0 \times \frac{1128}{1326}\right) + \left(1 \times \frac{192}{1326}\right) + \left(2 \times \frac{6}{1326}\right) \)
\( E(X) = 0 + \frac{192}{1326} + \frac{12}{1326} = \frac{204}{1326} = \frac{34}{221} \).

\( E(X^2) = \sum X^2 P(X) \)
\( E(X^2) = \left(0^2 \times \frac{1128}{1326}\right) + \left(1^2 \times \frac{192}{1326}\right) + \left(2^2 \times \frac{6}{1326}\right) \)
\( E(X^2) = 0 + \frac{192}{1326} + \frac{24}{1326} = \frac{216}{1326} = \frac{36}{221} \).

प्रसरण \( \text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \)
\( \text{Var}(X) = \frac{36}{221} - \left(\frac{34}{221}\right)^2 \)
\( \text{Var}(X) = \frac{36}{221} - \frac{1156}{48841} = \frac{36 \times 221 - 1156}{48841} = \frac{7956 - 1156}{48841} = \frac{6800}{48841} \).

मानक विचलन \( \sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{\frac{6800}{48841}} = \frac{\sqrt{6800}}{221} = \frac{82.46}{221} \approx 0.37 \).
माध्य \( = \frac{34}{221} \), प्रसरण \( = \frac{6800}{48841} \), मानक विचलन \( \approx 0.37 \).
In simple words: 52 ताश के पत्तों में से दो पत्ते बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं। हमने यह पता लगाया कि निकाले गए पत्तों में बादशाहों की संख्या 0, 1 या 2 होने की कितनी संभावना है। फिर, इस जानकारी का उपयोग करके, हमने बादशाहों की औसत संख्या (माध्य), परिणाम कितनी दूरी पर फैले हैं (प्रसरण), और फैलाव की डिग्री (मानक विचलन) की गणना की।

🎯 Exam Tip: 'बिना प्रतिस्थापन' के प्रश्नों में संयोजन का उपयोग सावधानी से करें। माध्य, प्रसरण और मानक विचलन की गणना के लिए सूत्रों को सही ढंग से लागू करें और गणना में सटीकता बनाए रखें।