RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Exercise 16.3

प्रश्न 1. दो थैले । वे ।। दिए गए है। थैले। में 3 लाल और 4 काली गेंदें है जबकि ।। थैले में 5 लाल और 6 काली गेंदे है। किसी एक थैले में से यादृच्छया एक गेंद निकाली गई है जोकि लाल है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि यह गेंद ।। थैले से निकाली गई है ?
Answer: माना थैले I को \( E_1 \) से तथा थैले II को \( E_2 \) से दिखाया गया है। लाल रंग की गेंद निकालने की घटना को \( A \) से दर्शाते हैं।
थैले I में लाल और काली गेंदों की संख्या = 3 लाल, 4 काली
कुल गेंदें = \( 3 + 4 = 7 \)
थैले II में लाल और काली गेंदों की संख्या = 5 लाल, 6 काली
कुल गेंदें = \( 5 + 6 = 11 \)
हम दो थैलों में से किसी एक को चुनते हैं, इसलिए दोनों थैलों के चुने जाने की प्रायिकता समान है:
\( P(E_1) = \frac{1}{2} \)
\( P(E_2) = \frac{1}{2} \)
अब, थैले I में से लाल रंग की गेंद निकालने की प्रायिकता:
\( P(\frac{A}{E_1}) = \frac{3}{7} \)
और थैले II में से लाल रंग की गेंद निकालने की प्रायिकता:
\( P(\frac{A}{E_2}) = \frac{5}{11} \)
हमें थैले II में से गेंद निकालने की प्रायिकता ज्ञात करनी है यदि वह लाल रंग की है। बेज प्रमेय द्वारा:
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{P(E_2) \cdot P(\frac{A}{E_2})}{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1}) + P(E_2) \cdot P(\frac{A}{E_2})} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{11}} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{3}{14} + \frac{5}{22}} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{3 \times 11 + 5 \times 7}{154}} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{33 + 35}{154}} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{68}{154}} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{5}{22} \times \frac{154}{68} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{5 \times 7}{68} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{35}{68} \)
In simple words: सबसे पहले, दोनों थैलों को चुनने की संभावना आधी-आधी होती है। फिर, हर थैले से लाल गेंद निकलने की संभावना निकालते हैं। बेज प्रमेय का इस्तेमाल करके, हम पता लगाते हैं कि यदि लाल गेंद निकली है, तो वह थैले II से ही निकली होगी।

🎯 Exam Tip: बेज प्रमेय के सवालों में सभी घटनाओं (Events) और उनकी प्रायिकताओं (Probabilities) को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें। गणनाओं में भिन्न को ध्यान से हल करें।

प्रश्न 2. एक डॉक्टर को एक रोगी को देखने आना है। पहले के अनुभवों से यह ज्ञात है कि उसके ट्रेन, बस, या अन्य किसी वाहन से आने की प्रायिकताएँ क्रमशः \( \frac{3}{10} \), \( \frac{1}{5} \), या \( \frac{1}{2} \) है। यदि वह ट्रेन, बस या स्कूटर से आता है तो उसके देर से आने की प्रायिकताएँ क्रमशः \( \frac{1}{4} \), \( \frac{1}{3} \) या \( \frac{1}{12} \) है परन्तु किसी अन्य वाहन से आने पर उसे देर नहीं होती है। यदि वह देर से आया, तो उसके ट्रेन से आने की प्रायिकता ज्ञात करो।
Answer: माना "डॉक्टर के रोगी के यहाँ देर से आने की घटना E है।"
यदि डॉक्टर ट्रेन, बस, स्कूटर या अन्य किसी वाहन से आता है, तो इन घटनाओं को क्रमशः \( T_1, T_2, T_3 \) और \( T_4 \) से दर्शाते हैं।
डॉक्टर के आने की प्रायिकताएँ दी गई हैं:
ट्रेन से आने की प्रायिकता \( P(T_1) = \frac{3}{10} \)
बस से आने की प्रायिकता \( P(T_2) = \frac{1}{5} \)
स्कूटर से आने की प्रायिकता \( P(T_3) = \frac{1}{2} \)
अन्य किसी वाहन से आने की प्रायिकता \( P(T_4) = 1 - (P(T_1) + P(T_2) + P(T_3)) \)
\( P(T_4) = 1 - (\frac{3}{10} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2}) \)
\( P(T_4) = 1 - (\frac{3 + 2 + 5}{10}) \)
\( P(T_4) = 1 - \frac{10}{10} = 1 - 1 = 0 \)
देर से आने की प्रायिकताएँ (यदि वह उस वाहन से आता है):
ट्रेन से आने पर देर से पहुँचने की प्रायिकता \( P(\frac{E}{T_1}) = \frac{1}{4} \)
बस से आने पर देर से पहुँचने की प्रायिकता \( P(\frac{E}{T_2}) = \frac{1}{3} \)
स्कूटर से आने पर देर से पहुँचने की प्रायिकता \( P(\frac{E}{T_3}) = \frac{1}{12} \)
अन्य वाहन से आने पर उसे देर नहीं होती है, इसलिए देर से आने की प्रायिकता \( P(\frac{E}{T_4}) = 0 \).
हमें डॉक्टर द्वारा देर से आने पर ट्रेन द्वारा आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। बेज प्रमेय द्वारा:
\( P(\frac{T_1}{E}) = \frac{P(T_1) \cdot P(\frac{E}{T_1})}{P(T_1) \cdot P(\frac{E}{T_1}) + P(T_2) \cdot P(\frac{E}{T_2}) + P(T_3) \cdot P(\frac{E}{T_3}) + P(T_4) \cdot P(\frac{E}{T_4})} \)
\( P(\frac{T_1}{E}) = \frac{\frac{3}{10} \times \frac{1}{4}}{\frac{3}{10} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{12} + 0 \times 0} \)
\( P(\frac{T_1}{E}) = \frac{\frac{3}{40}}{\frac{3}{40} + \frac{1}{15} + \frac{1}{24}} \)
अब, हर का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 120 है:
\( P(\frac{T_1}{E}) = \frac{\frac{3}{40}}{\frac{3 \times 3}{120} + \frac{1 \times 8}{120} + \frac{1 \times 5}{120}} \)
\( P(\frac{T_1}{E}) = \frac{\frac{3}{40}}{\frac{9 + 8 + 5}{120}} \)
\( P(\frac{T_1}{E}) = \frac{\frac{3}{40}}{\frac{22}{120}} \)
\( P(\frac{T_1}{E}) = \frac{3}{40} \times \frac{120}{22} \)
\( P(\frac{T_1}{E}) = \frac{3 \times 3}{22} \)
\( P(\frac{T_1}{E}) = \frac{9}{22} \)
अतः अभीष्ट प्रायिकता \( \frac{9}{22} \) है।
In simple words: पहले डॉक्टर के हर साधन से आने की संभावना निकालो। फिर, हर साधन से आने पर देर होने की संभावना पता करो। बेज प्रमेय का उपयोग करके, अगर डॉक्टर देर से आया है, तो उसके ट्रेन से आने की संभावना पता चल जाएगी।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि सभी घटनाओं की प्रायिकताएँ (जैसे \( P(T_1), P(T_2), P(T_3), P(T_4) \)) का योग 1 हो। बेज प्रमेय के सूत्र में मानों को ध्यान से रखें और गणनाएँ करें।

प्रश्न 4. एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंद है और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदे है। इन दोनों थैले में से एक थैले को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है जोकि लाल है। इस बात की प्रायिकता है कि गंद पहले थैले से निकाली गई है ?
Answer: माना पहले थैले को चुनने की घटना को \( E_1 \) से और दूसरे थैले को चुनने की घटना को \( E_2 \) से व्यक्त करते हैं।
लाल गेंद निकालने की घटना को \( A \) से दर्शाते हैं।
चूँकि दो थैले हैं, इसलिए प्रत्येक थैले को चुनने की प्रायिकता \( \frac{1}{2} \) होगी।
\( P(E_1) = \frac{1}{2} \)
\( P(E_2) = \frac{1}{2} \)
थैला 1 में: 4 लाल गेंदें, 4 काली गेंदें। कुल = 8 गेंदें।
थैला 2 में: 2 लाल गेंदें, 6 काली गेंदें। कुल = 8 गेंदें।
यदि थैला 1 चुना गया है, तो लाल गेंद निकालने की प्रायिकता:
\( P(\frac{A}{E_1}) = \frac{\text{थैला 1 में लाल गेंदें}}{\text{थैला 1 में कुल गेंदें}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
यदि थैला 2 चुना गया है, तो लाल गेंद निकालने की प्रायिकता:
\( P(\frac{A}{E_2}) = \frac{\text{थैला 2 में लाल गेंदें}}{\text{थैला 2 में कुल गेंदें}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)
हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि यदि लाल गेंद निकली है, तो वह पहले थैले से निकाली गई है (\( P(\frac{E_1}{A}) \))। बेज प्रमेय द्वारा:
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1})}{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1}) + P(E_2) \cdot P(\frac{A}{E_2})} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{8} + \frac{1}{8}} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{8}} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{1}{4} \times \frac{8}{3} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{2}{3} \)
In simple words: सबसे पहले, हर थैले को चुनने की संभावना आधी होती है। फिर, हर थैले से लाल गेंद निकलने की संभावना पता करते हैं। बेज प्रमेय का इस्तेमाल करके, यदि एक लाल गेंद मिली है, तो यह संभावना निकालते हैं कि वह पहले थैले से आई थी।

🎯 Exam Tip: जब थैले चुनने की बात हो, तो हमेशा यह मान लें कि हर थैले को चुनने की संभावना बराबर है, जब तक कि प्रश्न में कुछ और न कहा गया हो। लाल गेंद निकालने की संभावना की गणना करते समय, थैले में कुल गेंदों की संख्या का ध्यान रखें।

प्रश्न 5. तीन सिक्के दिये गये हैं एक सिक्के के दोनों ओर चित्त है। दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित्त 75% बार प्रकट होता है। और तीसरा सिक्का अनभिनत है। तीनों में से एक सिक्के को यादृच्छया चुना गया और उसे उछाला गया। यदि सिक्के पर चित्त प्रकट हो तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह दोनों ओर चित्त वाला सिक्का है ?
Answer: माना कि तीन सिक्कों की घटनायें क्रमशः \( E_1, E_2 \) तथा \( E_3 \) हैं, जहाँ:
\( E_1 \) = दोनों ओर चित्त वाला सिक्का चुना जाना
\( E_2 \) = अभिनत सिक्का चुना जाना
\( E_3 \) = अनभिनत सिक्का चुना जाना
चित्त आने की घटना को \( A \) से दर्शाते हैं।
तीनों सिक्कों में से एक सिक्का चुनने की प्रायिकता \( \frac{1}{3} \) है।
\( P(E_1) = \frac{1}{3} \)
\( P(E_2) = \frac{1}{3} \)
\( P(E_3) = \frac{1}{3} \)
अब, प्रत्येक सिक्के से चित्त आने की प्रायिकता:
सिक्का \( E_1 \) (दोनों ओर चित्त): चित्त आने की प्रायिकता \( P(\frac{A}{E_1}) = 1 \)
सिक्का \( E_2 \) (अभिनत सिक्का): चित्त 75% बार आता है, इसलिए \( P(\frac{A}{E_2}) = 75\% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \)
सिक्का \( E_3 \) (अनभिनत सिक्का): चित्त आने की प्रायिकता \( P(\frac{A}{E_3}) = \frac{1}{2} \)
हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि यदि सिक्के पर चित्त प्रकट हो, तो वह दोनों ओर चित्त वाला सिक्का (\( E_1 \)) है। बेज प्रमेय द्वारा:
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1})}{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1}) + P(E_2) \cdot P(\frac{A}{E_2}) + P(E_3) \cdot P(\frac{A}{E_3})} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} (1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{2})} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{1}{1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{2}} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{1}{\frac{4 + 3 + 2}{4}} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{1}{\frac{9}{4}} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{4}{9} \)
In simple words: तीन अलग-अलग सिक्कों में से किसी एक को चुनने की संभावना बराबर होती है। हर सिक्के से चित्त आने की संभावना अलग-अलग है। यदि चित्त आता है, तो हम यह पता करते हैं कि यह दोनों ओर चित्त वाले सिक्के से आया होगा।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, प्रत्येक घटना (सिक्के का चयन) और उसकी सापेक्ष प्रायिकताओं (चित्त आने की प्रायिकता) को स्पष्ट रूप से लिखें। बेज प्रमेय के हर पद को ध्यानपूर्वक गणना करें।

प्रश्न 6. किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जाँच 99% असरदार है, जब वास्तव में रोगी उस रोग से ग्रस्त होता है किन्तु 0.5% बार किसी स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर निदान गलत सूचना देता है यानि व्यक्ति को रोग से ग्रस्ति बताता है। यदि किसी जनसंख्या में 0.1% व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त है तो क्या प्रायिकता है कि कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में यह बताया जाता है कि उसे यह रोग है ?
Answer: माना कि घटनाएँ इस प्रकार हैं:
\( E_1 \) = व्यक्ति रोग से ग्रस्त है।
\( E_2 \) = व्यक्ति रोग से ग्रस्त नहीं है (स्वस्थ है)।
\( A \) = रक्त की जाँच में रोग का निदान होना (जाँच का सकारात्मक आना)।
जनसंख्या में 0.1% व्यक्ति रोग से ग्रस्त हैं:
\( P(E_1) = 0.1\% = \frac{0.1}{100} = 0.001 \)
'रोग से ग्रस्त नहीं' व्यक्ति की प्रायिकता:
\( P(E_2) = 1 - P(E_1) = 1 - 0.001 = 0.999 \)
जाँच की असरदारिता (यदि व्यक्ति रोग से ग्रस्त है, तो जाँच 99% सही निदान देती है):
\( P(\frac{A}{E_1}) = 99\% = \frac{99}{100} = 0.99 \)
स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर गलत निदान की प्रायिकता (स्वस्थ को रोगी बताना) 0.5% है:
\( P(\frac{A}{E_2}) = 0.5\% = \frac{0.5}{100} = 0.005 \)
हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि यदि रक्त की जाँच में रोग पाया जाता है (\( A \)), तो व्यक्ति वास्तव में रोग से ग्रस्त होगा (\( P(\frac{E_1}{A}) \))। बेज प्रमेय द्वारा:
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1})}{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1}) + P(E_2) \cdot P(\frac{A}{E_2})} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99 + 0.999 \times 0.005} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{0.00099}{0.00099 + 0.004995} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{0.00099}{0.005985} \)
इस भिन्न को सरल करने पर:
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{990}{5985} \)
दोनों संख्याओं को 5 से विभाजित करने पर:
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{198}{1197} \)
दोनों संख्याओं को 9 से विभाजित करने पर:
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{22}{133} \)
In simple words: पहले पता करते हैं कि कितने लोग सच में बीमार हैं और कितने स्वस्थ। फिर, जांच के नतीजे सही या गलत आने की संभावनाएँ देखते हैं। बेज प्रमेय का उपयोग करके, यदि जांच में रोग पॉजिटिव आया है, तो यह संभावना निकालते हैं कि व्यक्ति सच में बीमार है।

🎯 Exam Tip: प्रतिशत मानों को दशमलव में सावधानी से बदलें। बेज प्रमेय के सूत्र में अंश और हर के सभी पदों को स्पष्ट रूप से लिखकर गणना करें।

प्रश्न 9. एक बहुविकल्पीय प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है। माना कि विद्यार्थी के प्रश्न के लगाने की प्रायिकता \( \frac{1}{3} \) है। यह मानते हुए कि विद्यार्थी के प्रश्न के उत्तर का अनुमान
Answer: माना कि घटनाएँ इस प्रकार हैं:
\( E_1 \) = विद्यार्थी प्रश्न का उत्तर जानता है।
\( E_2 \) = विद्यार्थी प्रश्न का अनुमान लगाता है।
\( A \) = विद्यार्थी सही उत्तर देता है।
प्रश्न के अनुमान लगाने की प्रायिकता \( P(E_2) = \frac{1}{3} \) है।
इसका मतलब है कि विद्यार्थी के उत्तर जानने की प्रायिकता \( P(E_1) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)
यदि विद्यार्थी उत्तर जानता है, तो उसके सही उत्तर देने की प्रायिकता \( P(\frac{A}{E_1}) = 1 \) (क्योंकि जानता है तो सही ही देगा)।
यदि विद्यार्थी अनुमान लगाता है, तो उसके सही उत्तर देने की प्रायिकता \( P(\frac{A}{E_2}) = \frac{1}{4} \) (बहुविकल्पीय प्रश्न में 4 विकल्प होते हैं, तो सही विकल्प चुनने की प्रायिकता \( \frac{1}{4} \) होती है)।
हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि यदि विद्यार्थी ने सही उत्तर दिया है (\( A \)), तो वह उत्तर जानता था (\( E_1 \))। बेज प्रमेय द्वारा:
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1})}{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1}) + P(E_2) \cdot P(\frac{A}{E_2})} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{\frac{2}{3} \times 1}{\frac{2}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3} + \frac{1}{12}} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{12} + \frac{1}{12}} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{9}{12}} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{2}{3} \times \frac{12}{9} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{2 \times 4}{9} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{8}{9} \)
In simple words: हम पहले यह पता करते हैं कि छात्र उत्तर जानता है या अनुमान लगाता है। फिर, हर मामले में सही उत्तर देने की संभावना देखते हैं। यदि छात्र ने सही उत्तर दिया है, तो बेज प्रमेय से यह पता चलेगा कि वह वास्तव में उत्तर जानता था।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि "अनुमान लगाने" और "जानने" की प्रायिकताएँ सही ढंग से निर्धारित की गई हों। बहुविकल्पीय प्रश्न के संदर्भ में, अनुमान लगाने पर सही उत्तर की प्रायिकता \( \frac{1}{\text{विकल्पों की संख्या}} \) होती है।

प्रश्न 10. कल्पना कीजिए कि 5% पुरुषों और 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं एक सफेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छया चुना गया है। इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता है? यह मानते हुए कि पुरुषों तथा महिलाओं की संख्या समान है।
Answer: दिया है कि पुरुषों तथा महिलाओं की संख्या समान है।
माना घटनाएँ इस प्रकार हैं:
\( E_1 \) = चुना गया व्यक्ति पुरुष है।
\( E_2 \) = चुना गया व्यक्ति महिला है।
\( A \) = चुने गए व्यक्ति के बाल सफेद हैं।
चूँकि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है, इसलिए उन्हें चुनने की प्रायिकता बराबर होगी:
\( P(E_1) = \frac{1}{2} \)
\( P(E_2) = \frac{1}{2} \)
पुरुषों के बाल सफेद होने की प्रायिकता (5%):
\( P(\frac{A}{E_1}) = 5\% = \frac{5}{100} = 0.05 \)
महिलाओं के बाल सफेद होने की प्रायिकता (0.25%):
\( P(\frac{A}{E_2}) = 0.25\% = \frac{0.25}{100} = 0.0025 \)
हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि यदि सफेद बालों वाला व्यक्ति चुना गया है (\( A \)), तो वह पुरुष है (\( E_1 \))। बेज प्रमेय द्वारा:
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1})}{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1}) + P(E_2) \cdot P(\frac{A}{E_2})} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{\frac{1}{2} \times 0.05}{\frac{1}{2} \times 0.05 + \frac{1}{2} \times 0.0025} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{0.025}{0.025 + 0.00125} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{0.025}{0.02625} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{2500}{2625} \)
इसे सरल करने पर:
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{100}{105} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{20}{21} \)
In simple words: हम मान लेते हैं कि पुरुष और महिलाएँ समान संख्या में हैं, इसलिए उन्हें चुनने की संभावना आधी-आधी है। फिर, हर लिंग में सफेद बालों वालों की संख्या की संभावना निकालते हैं। यदि हमें एक सफेद बालों वाला व्यक्ति मिलता है, तो बेज प्रमेय से यह पता चलेगा कि वह पुरुष है।

🎯 Exam Tip: प्रतिशत मानों को दशमलव में बदलते समय ध्यान दें, खासकर जब दशमलव संख्याएँ भी हों (जैसे 0.25%)। बेज प्रमेय के सूत्र में मानों को सही ढंग से रखकर गणना करें।

प्रश्न 11. दो दल एक निगम के निदेशक मंडल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में है। पहले तथा दुसरे दल के जीतने की प्रायिकताओं क्रमशः 0.6 व 0.4 है। इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक नये उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता 0.7 है और यदि दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता 0.3 है। प्रायिकता ज्ञात करो कि नया उत्पाद दूसरे दल द्वारा प्रारंभ किया गया था।
Answer: माना कि घटनाएँ इस प्रकार हैं:
\( E_1 \) = पहले दल की जीत।
\( E_2 \) = दूसरे दल की जीत।
\( A \) = नया उत्पाद प्रारम्भ होना।
दल के जीतने की प्रायिकताएँ दी गई हैं:
\( P(E_1) = 0.6 \)
\( P(E_2) = 0.4 \)
यदि पहला दल जीतता है, तो नया उत्पाद प्रारम्भ होने की प्रायिकता:
\( P(\frac{A}{E_1}) = 0.7 \)
यदि दूसरा दल जीतता है, तो नया उत्पाद प्रारम्भ होने की प्रायिकता:
\( P(\frac{A}{E_2}) = 0.3 \)
हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि यदि नया उत्पाद प्रारम्भ किया गया था (\( A \)), तो वह दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ किया गया था (\( E_2 \))। बेज प्रमेय द्वारा:
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{P(E_2) \cdot P(\frac{A}{E_2})}{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1}) + P(E_2) \cdot P(\frac{A}{E_2})} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{0.4 \times 0.3}{0.6 \times 0.7 + 0.4 \times 0.3} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{0.12}{0.42 + 0.12} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{0.12}{0.54} \)
इसे सरल करने पर:
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{12}{54} \)
दोनों संख्याओं को 6 से विभाजित करने पर:
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{2}{9} \)
In simple words: पहले हर दल के जीतने की संभावना और फिर उनके जीतने पर नया उत्पाद शुरू होने की संभावना निकालते हैं। बेज प्रमेय का उपयोग करके, यदि नया उत्पाद शुरू हुआ है, तो यह पता करते हैं कि उसे दूसरे दल ने शुरू किया होगा।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सवालों में, दी गई सभी प्रायिकताओं को स्पष्ट रूप से लिखें और उन्हें सही घटनाओं से जोड़ें। दशमलव गणनाओं में सटीकता बनाए रखें।

प्रश्न 12. माना कोई लड़की एक पासा उछालती है। यदि उसे 5 या 6 का अंक प्राप्त होता है तो वह सिक्के का तीन बार उछालती है। और चितों की संख्या नोट करती है यदि उसे 1, 2, 3 या 4 का अंक प्राप्त होता है तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती हैं कि उस पर चित्त या पक्ष प्राप्त हुआ। यदि उसे तथ्यतः तथ्यतः एक चित्त प्राप्त होता है तो उसके द्वारा उछाले गये पसे पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है ?
Answer: माना कि घटनाएँ इस प्रकार हैं:
\( E_1 \) = पासे पर 5 या 6 अंक प्राप्त होना।
\( E_2 \) = पासे पर 1, 2, 3 या 4 अंक प्राप्त होना।
\( A \) = ठीक एक चित्त प्राप्त होना।
पासे को उछालने पर 6 परिणाम (1, 2, 3, 4, 5, 6) प्राप्त होते हैं।
5 या 6 आने की प्रायिकता:
\( P(E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
1, 2, 3 या 4 आने की प्रायिकता:
\( P(E_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
अब, यदि \( E_1 \) घटना होती है (पासे पर 5 या 6 आता है), तो सिक्का तीन बार उछाला जाता है।
संभावित परिणाम: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} - कुल 8 परिणाम।
इनमें से ठीक एक चित्त प्राप्त होने के तरीके: {HTT, THT, TTH} - कुल 3 तरीके।
इसलिए, \( P(\frac{A}{E_1}) = \frac{3}{8} \)
यदि \( E_2 \) घटना होती है (पासे पर 1, 2, 3 या 4 आता है), तो सिक्का एक बार उछाला जाता है।
संभावित परिणाम: {H, T} - कुल 2 परिणाम।
इनमें से ठीक एक चित्त प्राप्त होने के तरीके: {H} - कुल 1 तरीका।
इसलिए, \( P(\frac{A}{E_2}) = \frac{1}{2} \)
हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि यदि ठीक एक चित्त प्राप्त होता है (\( A \)), तो पासे पर 1, 2, 3 या 4 आया था (\( E_2 \))। बेज प्रमेय द्वारा:
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{P(E_2) \cdot P(\frac{A}{E_2})}{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1}) + P(E_2) \cdot P(\frac{A}{E_2})} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{8} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{24} + \frac{1}{3}} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8} + \frac{1}{3}} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 + 8}{24}} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{11}{24}} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{1}{3} \times \frac{24}{11} \)
\( P(\frac{E_2}{A}) = \frac{8}{11} \)
In simple words: पहले यह पता करो कि पासे पर कौन सा नंबर आया है, क्योंकि इससे पता चलेगा कि सिक्का एक बार उछाला जाएगा या तीन बार। फिर, हर मामले में ठीक एक चित्त आने की संभावना निकालो। अगर ठीक एक चित्त आता है, तो बेज प्रमेय से यह संभावना बताओ कि पासे पर 1, 2, 3 या 4 आया होगा।

🎯 Exam Tip: जब सिक्का एक से अधिक बार उछाला जाता है, तो सभी संभावित परिणामों को लिखें (जैसे HHH, HHT) और फिर वांछित घटना (ठीक एक चित्त) के लिए अनुकूल परिणामों की गिनती करें।

प्रश्न 13. 52 पत्तों की एक भाँ फैंटी गई गड्डी में एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते हैं नो ईंट के पत्ते है। खो गये पत्ते के ईट का पत्ता होने की क्या प्रायिकता है?
Answer: माना कि घटनाएँ इस प्रकार हैं:
\( E_1 \) = खोया हुआ पत्ता ईंट का है।
\( E_2 \) = खोया हुआ पत्ता ईंट का नहीं है।
\( A \) = शेष 51 पत्तों में से निकाले गए दो पत्ते ईंट के हैं।
एक गड्डी में 13 ईंट के पत्ते और 39 गैर-ईंट के पत्ते होते हैं।
खोया हुआ पत्ता ईंट का होने की प्रायिकता:
\( P(E_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \)
खोया हुआ पत्ता ईंट का न होने की प्रायिकता:
\( P(E_2) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4} \)
अब, यदि \( E_1 \) घटना होती है (खोया हुआ पत्ता ईंट का है), तो गड्डी में 12 ईंट के पत्ते और 39 गैर-ईंट के पत्ते बचते हैं। कुल 51 पत्ते।
इन 51 पत्तों में से 2 ईंट के पत्ते निकालने की प्रायिकता:
\( P(\frac{A}{E_1}) = \frac{\binom{12}{2}}{\binom{51}{2}} = \frac{\frac{12 \times 11}{2}}{\frac{51 \times 50}{2}} = \frac{12 \times 11}{51 \times 50} \)
\( P(\frac{A}{E_1}) = \frac{132}{2550} = \frac{22}{425} \)
यदि \( E_2 \) घटना होती है (खोया हुआ पत्ता ईंट का नहीं है), तो गड्डी में 13 ईंट के पत्ते और 38 गैर-ईंट के पत्ते बचते हैं। कुल 51 पत्ते।
इन 51 पत्तों में से 2 ईंट के पत्ते निकालने की प्रायिकता:
\( P(\frac{A}{E_2}) = \frac{\binom{13}{2}}{\binom{51}{2}} = \frac{\frac{13 \times 12}{2}}{\frac{51 \times 50}{2}} = \frac{13 \times 12}{51 \times 50} \)
\( P(\frac{A}{E_2}) = \frac{156}{2550} = \frac{26}{425} \)
हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि यदि निकाले गए दो पत्ते ईंट के हैं (\( A \)), तो खोया हुआ पत्ता ईंट का था (\( E_1 \))। बेज प्रमेय द्वारा:
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1})}{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1}) + P(E_2) \cdot P(\frac{A}{E_2})} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{132}{2550}}{\frac{1}{4} \times \frac{132}{2550} + \frac{3}{4} \times \frac{156}{2550}} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{\frac{132}{4}}{\frac{132}{4} + \frac{3 \times 156}{4}} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{132}{132 + 468} \)
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{132}{600} \)
इसे सरल करने पर:
\( P(\frac{E_1}{A}) = \frac{33}{150} = \frac{11}{50} \)
In simple words: पहले यह पता करो कि पत्ता ईंट का खोया था या नहीं। फिर, हर मामले में बचे हुए पत्तों से दो ईंट के पत्ते निकलने की संभावना निकालो। अगर दो ईंट के पत्ते निकलते हैं, तो बेज प्रमेय से यह पता चलेगा कि खोया हुआ पत्ता भी ईंट का ही था।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि C (कॉम्बिनेशन) गणनाएँ सही हैं, आप हमेशा \(\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) सूत्र का उपयोग करें। भिन्न को सरल करते समय सामान्य गुणनखंडों को ध्यान से काटें।

Question 14. एक थैले में 3 लाल और 7 काली गेंदे है। एक-एक करके बिना प्रतिस्थापन के दो गेंदो का यादृच्छया चयन किया गया है। यदि द्वितीय चयनित गेंद लाल प्राप्त हो तो क्या प्रायिकता है कि प्रथम चयनित गेंद भी लाल है ?
Answer: मान लीजिए कि पहली बार में लाल गेंद निकलने की घटना को \( A \) से दर्शाते हैं, और दूसरी बार में लाल गेंद निकलने की घटना को \( B \) से दर्शाते हैं।
एक थैले में कुल 10 गेंदें हैं: 3 लाल और 7 काली। इन गेंदों को एक-एक करके बिना वापस रखे निकाला जाता है।

हमें यह पता लगाना है कि अगर दूसरी गेंद लाल निकली है, तो पहली गेंद भी लाल होने की क्या संभावना है, यानी \( P(A|B) \).

सबसे पहले, दूसरी गेंद के लाल होने की कुल संभावना \( P(B) \) निकालते हैं। यह दो तरीकों से हो सकता है:
1. पहली गेंद लाल थी और दूसरी भी लाल निकली: \( P(A \cap B) \)
पहली लाल गेंद निकालने की प्रायिकता: \( \frac{3}{10} \)
अब थैले में 2 लाल और 7 काली गेंदें बचीं (कुल 9).
दूसरी लाल गेंद निकालने की प्रायिकता (जब पहली लाल थी): \( \frac{2}{9} \)
तो, \( P(A \cap B) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} \)
2. पहली गेंद काली थी और दूसरी लाल निकली: \( P(A' \cap B) \)
पहली काली गेंद निकालने की प्रायिकता: \( \frac{7}{10} \)
अब थैले में 3 लाल और 6 काली गेंदें बचीं (कुल 9).
दूसरी लाल गेंद निकालने की प्रायिकता (जब पहली काली थी): \( \frac{3}{9} \)
तो, \( P(A' \cap B) = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90} \)

इसलिए, दूसरी गेंद के लाल होने की कुल प्रायिकता \( P(B) \) होगी:
\( P(B) = P(A \cap B) + P(A' \cap B) \)
\( P(B) = \frac{6}{90} + \frac{21}{90} = \frac{27}{90} = \frac{3}{10} \)

अब, सशर्त प्रायिकता सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें \( P(A|B) \) ज्ञात करना है:
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( P(A|B) = \frac{\frac{6}{90}}{\frac{27}{90}} \)
\( P(A|B) = \frac{6}{27} \)
\( P(A|B) = \frac{2}{9} \)
जब हम बिना प्रतिस्थापन के गेंदें निकालते हैं, तो हर बार थैले में कुल गेंदों की संख्या कम हो जाती है।
In simple words: एक थैले से दो गेंदें बिना वापस डाले निकाली गईं। अगर दूसरी गेंद लाल थी, तो पहली गेंद के भी लाल होने की संभावना \( \frac{2}{9} \) है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सशर्त प्रायिकता प्रश्नों को हल करते समय, सभी संभव परिदृश्यों को सूचीबद्ध करें जिनके कारण दिया गया परिणाम हो सकता है, और फिर बेज प्रमेय का उपयोग करें या सीधे सूत्र में मान डालें।