RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Exercise 16.2

प्रश्न 1. यदि दो घटनाएँ A तथा B इस प्रकार से हैं कि \( P(A) = \frac {1}{4} \), \( P(B) = \frac {1}{2 } \) तथा \( P(A \cap B) = \frac {1}{8} \) तो \( P\left(\overline {A} \cap \overline {B} \right) \) ज्ञात करो।
Answer: हमें \( P(A) = \frac{1}{4} \), \( P(B) = \frac{1}{2} \) और \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} \) दिया गया है। सबसे पहले, हम \( P(A \cup B) \) ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( \implies P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} \)
\( \implies P(A \cup B) = \frac{2}{8} + \frac{4}{8} - \frac{1}{8} \)
\( \implies P(A \cup B) = \frac{2+4-1}{8} \)
\( \implies P(A \cup B) = \frac{5}{8} \) अब, हमें \( P\left(\overline {A} \cap \overline {B} \right) \) ज्ञात करना है। डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, \( \overline {A} \cap \overline {B} = \overline {A \cup B} \)। तो, \( P\left(\overline {A} \cap \overline {B} \right) = P\left(\overline {A \cup B} \right) \)
\( \implies P\left(\overline {A} \cap \overline {B} \right) = 1 - P(A \cup B) \)
\( \implies P\left(\overline {A} \cap \overline {B} \right) = 1 - \frac{5}{8} \)
\( \implies P\left(\overline {A} \cap \overline {B} \right) = \frac{8-5}{8} \)
\( \implies P\left(\overline {A} \cap \overline {B} \right) = \frac{3}{8} \) अतः, \( P\left(\overline {A} \cap \overline {B} \right) \) का मान \( \frac{3}{8} \) है। यह दिखाता है कि दोनों घटनाएँ A और B नहीं होने की प्रायिकता \( \frac{3}{8} \) है।
In simple words: हमें A और B दो घटनाओं की प्रायिकता दी गई है। सबसे पहले, हमने A या B होने की कुल प्रायिकता निकाली। फिर, हमने डी मॉर्गन के नियम का इस्तेमाल करके दोनों घटनाओं के न होने की प्रायिकता \( \frac{3}{8} \) निकाली।

🎯 Exam Tip: डी मॉर्गन के नियमों को हमेशा याद रखें क्योंकि वे ऐसे प्रश्नों को हल करने में बहुत मदद करते हैं, खासकर जब आपको पूरक घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात करनी हो।

प्रश्न 2. यदि \( P(A) = 0.6 \), \( P(B) = p \) में \( P(A \cap B) = 0.2 \) तथा A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं तब \( p \) का मान ज्ञात करो।
Answer: हमें दिया गया है: \( P(A) = 0.6 \) \( P(B) = p \) \( P(A \cap B) = 0.2 \) चूँकि A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं, तो स्वतन्त्र घटनाओं के नियम के अनुसार: \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
\( \implies 0.2 = 0.6 \times p \)
\( \implies p = \frac{0.2}{0.6} \)
\( \implies p = \frac{2}{6} \)
\( \implies p = \frac{1}{3} \) इस प्रकार, \( p \) का मान \( \frac{1}{3} \) है। इसका मतलब है कि घटना B के घटित होने की प्रायिकता \( \frac{1}{3} \) है।
In simple words: हमें घटना A और घटना (A और B) की प्रायिकता दी गई है, और यह भी बताया गया है कि A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं। स्वतन्त्र घटनाओं का नियम बताता है कि उनकी साथ होने की प्रायिकता उनकी अलग-अलग प्रायिकताओं का गुणा होती है। इस नियम का उपयोग करके, हमने \( p \) का मान \( \frac{1}{3} \) पाया।

🎯 Exam Tip: स्वतन्त्र घटनाओं के लिए \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \) सूत्र बहुत महत्वपूर्ण है। इस सूत्र का सही ढंग से उपयोग करके आप अज्ञात प्रायिकताएँ आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

प्रश्न 3. यदि A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं तथा \( P(A) = 0.3 \) व \( P(B) = 0.4 \) तब ज्ञात करो
(i) \( P(A \cap B) \)
(ii) \( P(A \cup B) \)
(iii) \( P\left(\frac {A}{B} \right) \)
(iv) \( P\left(\frac {B}{A} \right) \)
Answer: हमें दिया गया है कि A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं, और \( P(A) = 0.3 \), \( P(B) = 0.4 \)। (i) \( P(A \cap B) \) ज्ञात करने के लिए, चूंकि A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं: \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
\( \implies P(A \cap B) = 0.3 \times 0.4 \)
\( \implies P(A \cap B) = 0.12 \) (ii) \( P(A \cup B) \) ज्ञात करने के लिए, हम जानते हैं कि: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( \implies P(A \cup B) = 0.3 + 0.4 - 0.12 \)
\( \implies P(A \cup B) = 0.7 - 0.12 \)
\( \implies P(A \cup B) = 0.58 \) (iii) \( P\left(\frac {A}{B} \right) \) ज्ञात करने के लिए, यह A के B के होने पर होने की प्रायिकता है। चूंकि A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं, तो \( P\left(\frac {A}{B} \right) = P(A) \): \( P\left(\frac {A}{B} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \implies P\left(\frac {A}{B} \right) = \frac{0.12}{0.4} \)
\( \implies P\left(\frac {A}{B} \right) = \frac{12}{40} \)
\( \implies P\left(\frac {A}{B} \right) = 0.3 \) यह दिखाता है कि स्वतंत्र घटनाओं के लिए, एक घटना के घटित होने की प्रायिकता दूसरी घटना के घटित होने से प्रभावित नहीं होती। (iv) \( P\left(\frac {B}{A} \right) \) ज्ञात करने के लिए, चूंकि A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं, तो \( P\left(\frac {B}{A} \right) = P(B) \): \( P\left(\frac {B}{A} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
\( \implies P\left(\frac {B}{A} \right) = \frac{0.12}{0.3} \)
\( \implies P\left(\frac {B}{A} \right) = \frac{12}{30} \)
\( \implies P\left(\frac {B}{A} \right) = \frac{2}{5} \)
\( \implies P\left(\frac {B}{A} \right) = 0.4 \) यह परिणाम भी स्वतंत्र घटनाओं की परिभाषा के अनुरूप है।
In simple words: हमने दो घटनाओं A और B की प्रायिकताएँ लीं, जिन्हें स्वतन्त्र बताया गया था। फिर, हमने उनके साथ होने की प्रायिकता (0.12), उनमें से कोई एक होने की प्रायिकता (0.58), और एक के होने पर दूसरे की प्रायिकता (जोकि उनकी अपनी प्रायिकताओं के बराबर ही होती है) ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: स्वतन्त्र घटनाओं के लिए, हमेशा याद रखें कि \( P(A|B) = P(A) \) और \( P(B|A) = P(B) \)। इससे गणनाएँ बहुत सरल हो जाती हैं।

प्रश्न 4. यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं जहाँ \( P(A) = 0.3 \), \( P(B) = 0.6 \) तब ज्ञात करो
(i) \( P(A \cap B) \)
(ii) \( P\left(A \cup \overline { B } \right) \)
(iii) \( P(A \cup B) \)
(iv) \( P\left(\overline { A } \cap \overline { B } \right) \)
Answer: हमें दिया गया है कि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, और \( P(A) = 0.3 \), \( P(B) = 0.6 \)। (i) \( P(A \cap B) \) ज्ञात करने के लिए, चूंकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं: \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
\( \implies P(A \cap B) = 0.3 \times 0.6 \)
\( \implies P(A \cap B) = 0.18 \) (ii) \( P\left(A \cup \overline { B } \right) \) ज्ञात करने के लिए: \( P\left(A \cup \overline { B } \right) = P(A) + P\left(\overline { B } \right) - P\left(A \cap \overline { B } \right) \) हम जानते हैं कि \( P\left(\overline { B } \right) = 1 - P(B) = 1 - 0.6 = 0.4 \)। चूँकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो A और \( \overline{B} \) भी स्वतंत्र होंगी। इसलिए, \( P\left(A \cap \overline { B } \right) = P(A) \times P\left(\overline { B } \right) = 0.3 \times 0.4 = 0.12 \)। अब मानों को सूत्र में रखने पर: \( P\left(A \cup \overline { B } \right) = 0.3 + 0.4 - 0.12 \)
\( \implies P\left(A \cup \overline { B } \right) = 0.7 - 0.12 \)
\( \implies P\left(A \cup \overline { B } \right) = 0.58 \) (iii) \( P(A \cup B) \) ज्ञात करने के लिए: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( \implies P(A \cup B) = 0.3 + 0.6 - 0.18 \)
\( \implies P(A \cup B) = 0.9 - 0.18 \)
\( \implies P(A \cup B) = 0.72 \) (iv) \( P\left(\overline { A } \cap \overline { B } \right) \) ज्ञात करने के लिए, डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए: \( P\left(\overline { A } \cap \overline { B } \right) = P\left(\overline { A \cup B } \right) \)
\( \implies P\left(\overline { A } \cap \overline { B } \right) = 1 - P(A \cup B) \)
\( \implies P\left(\overline { A } \cap \overline { B } \right) = 1 - 0.72 \)
\( \implies P\left(\overline { A } \cap \overline { B } \right) = 0.28 \) वैकल्पिक रूप से, चूंकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो \( \overline{A} \) और \( \overline{B} \) भी स्वतंत्र होंगी। \( P\left(\overline { A } \cap \overline { B } \right) = P\left(\overline { A } \right) \times P\left(\overline { B } \right) \)
\( P\left(\overline { A } \right) = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7 \)
\( P\left(\overline { B } \right) = 1 - P(B) = 1 - 0.6 = 0.4 \)
\( \implies P\left(\overline { A } \cap \overline { B } \right) = 0.7 \times 0.4 \)
\( \implies P\left(\overline { A } \cap \overline { B } \right) = 0.28 \) यह दर्शाता है कि दोनों घटनाएँ A और B नहीं होने की प्रायिकता 0.28 है।
In simple words: हमने दो स्वतंत्र घटनाओं A और B की प्रायिकताएँ लीं। फिर हमने उनके साथ होने की प्रायिकता, A या B का पूरक होने की प्रायिकता, A या B होने की प्रायिकता, और A और B दोनों के न होने की प्रायिकता की गणना की। हमने स्वतंत्र घटनाओं और डी मॉर्गन के नियमों का इस्तेमाल किया।

🎯 Exam Tip: जब घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं, तो उनके पूरक भी स्वतंत्र होते हैं। यह जानकर गणनाओं में कई बार आसानी होती है।

प्रश्न 5. एक थैले में 5 सफेद, 7 लाल और 8 काली गेंदे है। यदि चार गेंदों को एक-एक कर बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाये तो सभी गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात करो।
Answer: हमें दिया गया है: सफेद गेंदों की संख्या = 5 लाल गेंदों की संख्या = 7 काली गेंदों की संख्या = 8 कुल गेंदों की संख्या = \( 5 + 7 + 8 = 20 \) हमें चार गेंदों को एक-एक कर बिना प्रतिस्थापन के निकालना है और सभी गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। पहली सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता: कुल 20 गेंदों में से 5 सफेद गेंदें हैं। \( P(\text{पहली सफेद गेंद}) = \frac{5}{20} \) दूसरी सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता (बिना प्रतिस्थापन के): अब थैले में 19 गेंदें बची हैं और उनमें से 4 सफेद गेंदें हैं। \( P(\text{दूसरी सफेद गेंद}) = \frac{4}{19} \) तीसरी सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता (बिना प्रतिस्थापन के): अब थैले में 18 गेंदें बची हैं और उनमें से 3 सफेद गेंदें हैं। \( P(\text{तीसरी सफेद गेंद}) = \frac{3}{18} \) चौथी सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता (बिना प्रतिस्थापन के): अब थैले में 17 गेंदें बची हैं और उनमें से 2 सफेद गेंदें हैं। \( P(\text{चौथी सफेद गेंद}) = \frac{2}{17} \) सभी चारों गेंदों के सफेद होने की कुल प्रायिकता: \( P(\text{सभी सफेद}) = P(\text{पहली सफेद}) \times P(\text{दूसरी सफेद}) \times P(\text{तीसरी सफेद}) \times P(\text{चौथी सफेद}) \) \( \implies P(\text{सभी सफेद}) = \frac{5}{20} \times \frac{4}{19} \times \frac{3}{18} \times \frac{2}{17} \)
\( \implies P(\text{सभी सफेद}) = \frac{1}{4} \times \frac{4}{19} \times \frac{1}{6} \times \frac{2}{17} \)
\( \implies P(\text{सभी सफेद}) = \frac{1}{1} \times \frac{1}{19} \times \frac{1}{6} \times \frac{2}{17} \) (4 से 4 कट गया)
\( \implies P(\text{सभी सफेद}) = \frac{2}{19 \times 6 \times 17} \)
\( \implies P(\text{सभी सफेद}) = \frac{2}{19 \times 102} \)
\( \implies P(\text{सभी सफेद}) = \frac{2}{1938} \)
\( \implies P(\text{सभी सफेद}) = \frac{1}{969} \) तो, चारों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता \( \frac{1}{969} \) है। यह एक बहुत छोटी प्रायिकता है।
In simple words: एक थैले में कई रंग की गेंदें हैं। हमें एक के बाद एक चार गेंदें बिना बदले निकालनी हैं, और सभी गेंदों के सफेद होने की संभावना बतानी है। हर बार जब हम एक सफेद गेंद निकालते हैं, तो थैले में सफेद गेंदों और कुल गेंदों की संख्या कम हो जाती है। हमने हर बार की संभावना को गुणा करके कुल संभावना निकाली, जो \( \frac{1}{969} \) है।

🎯 Exam Tip: 'बिना प्रतिस्थापन' का मतलब है कि एक बार निकाली गई गेंद को वापस नहीं रखा जाता, इसलिए हर बार कुल संख्या और अनुकूल परिणामों की संख्या दोनों घटती जाती हैं। इस बात का ध्यान रखना आवश्यक है।

प्रश्न 6. यदि एक पासे को तीन बार उछाला जाये तो कम से कम एक विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात करो।
Answer: जब एक पासे को उछाला जाता है, तो संभावित परिणाम \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) होते हैं, जिनकी कुल संख्या 6 है। एक पासे पर विषम संख्याएँ \( \{1, 3, 5\} \) हैं, जिनकी संख्या 3 है। एक पासे पर सम संख्याएँ \( \{2, 4, 6\} \) हैं, जिनकी संख्या 3 है। एक बार पासा उछालने पर सम संख्या आने की प्रायिकता: \( P(\text{सम संख्या}) = \frac{\text{सम संख्याओं की संख्या}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) एक बार पासा उछालने पर विषम संख्या आने की प्रायिकता: \( P(\text{विषम संख्या}) = \frac{\text{विषम संख्याओं की संख्या}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) हमें "कम से कम एक विषम संख्या" प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। इसका सबसे आसान तरीका है "सभी सम संख्याएँ" आने की प्रायिकता ज्ञात करना और उसे 1 में से घटा देना। तीनों बार पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता: चूंकि प्रत्येक उछाल स्वतंत्र है, \( P(\text{तीनों बार सम}) = P(\text{सम}) \times P(\text{सम}) \times P(\text{सम}) \)
\( \implies P(\text{तीनों बार सम}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \)
\( \implies P(\text{तीनों बार सम}) = \frac{1}{8} \) तो, कम से कम एक विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता: \( P(\text{कम से कम एक विषम}) = 1 - P(\text{तीनों बार सम}) \)
\( \implies P(\text{कम से कम एक विषम}) = 1 - \frac{1}{8} \)
\( \implies P(\text{कम से कम एक विषम}) = \frac{8-1}{8} \)
\( \implies P(\text{कम से कम एक विषम}) = \frac{7}{8} \) यह दिखाता है कि तीन बार पासा उछालने पर कम से कम एक विषम संख्या आने की संभावना काफी अधिक है।
In simple words: हमने एक पासे को तीन बार उछाला। हमें यह जानने की संभावना बतानी है कि कम से कम एक बार विषम संख्या आए। इसे निकालने का आसान तरीका यह है कि हम पहले यह पता करें कि तीनों बार सम संख्या आने की क्या संभावना है, और फिर उसे 1 में से घटा दें। कुल संभावना \( \frac{7}{8} \) है।

🎯 Exam Tip: "कम से कम एक" वाले प्रश्नों को हल करने के लिए अक्सर "कोई नहीं" की प्रायिकता को 1 में से घटाना सबसे प्रभावी तरीका होता है। इससे गणनाएँ सरल हो जाती हैं।

प्रश्न 7. 52 पत्तों की गड्डी में यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किये दो पत्ते निकाले गये हैं। इन दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता ज्ञात करो।
Answer: कुल पत्तों की संख्या = 52 काले रंग के पत्तों की संख्या = 26 (13 हुकुम + 13 चिड़ी) हमें दो पत्ते बिना प्रतिस्थापन के निकालने हैं और दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। पहला पत्ता काला होने की प्रायिकता: कुल 52 पत्तों में से 26 काले पत्ते हैं। \( P(\text{पहला पत्ता काला}) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \) दूसरा पत्ता काला होने की प्रायिकता (पहला पत्ता निकालने के बाद, बिना प्रतिस्थापन के): अब गड्डी में कुल \( 52 - 1 = 51 \) पत्ते बचे हैं। पहले पत्ते के काला निकलने के बाद, अब काले पत्तों की संख्या \( 26 - 1 = 25 \) बची है। \( P(\text{दूसरा पत्ता काला}) = \frac{25}{51} \) दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता: \( P(\text{दोनों काले}) = P(\text{पहला काला}) \times P(\text{दूसरा काला | पहला काला}) \)
\( \implies P(\text{दोनों काले}) = \frac{26}{52} \times \frac{25}{51} \)
\( \implies P(\text{दोनों काले}) = \frac{1}{2} \times \frac{25}{51} \)
\( \implies P(\text{दोनों काले}) = \frac{25}{102} \) तो, दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता \( \frac{25}{102} \) है।
In simple words: 52 पत्तों की एक गड्डी में से, हमने एक के बाद एक दो पत्ते निकाले और उन्हें वापस नहीं रखा। हमें इस बात की संभावना बतानी है कि दोनों पत्ते काले रंग के हों। पहले पत्ता काला आने की संभावना निकाली, फिर बचे हुए पत्तों में से दूसरा पत्ता काला आने की संभावना निकाली, और उन दोनों संभावनाओं को गुणा करके कुल संभावना \( \frac{25}{102} \) ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: 'बिना प्रतिस्थापन' वाले प्रश्नों में, हर बार घटना के बाद कुल संभावित परिणामों और अनुकूल परिणामों की संख्या दोनों को कम करना याद रखें।

प्रश्न 8. दो सिक्कों को उछाला गया है। दो चित आने की प्रायिकता ज्ञात करो जबकि यह ज्ञात है कि कम से कम एक चित्त आ चुका है।
Answer: जब दो सिक्कों को उछाला जाता है, तो संभावित परिणामों का प्रतिदर्श समष्टि (sample space) S है: \( S = \{HH, HT, TH, TT\} \) कुल परिणामों की संख्या \( n(S) = 4 \)। हम घटना A को "दो चित आना" मानते हैं: \( A = \{HH\} \) \( n(A) = 1 \) हम घटना B को "कम से कम एक चित्त आना" मानते हैं: कम से कम एक चित्त का मतलब है एक या दो चित्त। \( B = \{HH, HT, TH\} \) \( n(B) = 3 \) हमें \( P(A|B) \) ज्ञात करना है, जिसका अर्थ है "दो चित आने की प्रायिकता, जबकि कम से कम एक चित्त आ चुका हो"। सशर्त प्रायिकता का सूत्र है: \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) सबसे पहले \( A \cap B \) ज्ञात करें: \( A \cap B = \{HH\} \cap \{HH, HT, TH\} = \{HH\} \) \( n(A \cap B) = 1 \) अब प्रायिकताएँ ज्ञात करें: \( P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{4} \) \( P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{4} \) अतः, \( P(A|B) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} \)
\( \implies P(A|B) = \frac{1}{3} \) इस प्रकार, दी गई शर्त के तहत दो चित आने की प्रायिकता \( \frac{1}{3} \) है।
In simple words: हमने दो सिक्के उछाले। हमें यह जानना है कि अगर हमें पहले से पता हो कि कम से कम एक हेड (चित्त) आ चुका है, तो दोनों हेड आने की क्या संभावना है। कुल चार संभावित परिणामों में से, कम से कम एक हेड वाले तीन परिणाम होते हैं। इनमें से केवल एक परिणाम में दोनों हेड होते हैं। इसलिए, संभावना \( \frac{1}{3} \) है।

🎯 Exam Tip: सशर्त प्रायिकता \( P(A|B) \) में, घटना B वह शर्त होती है जो पहले ही घटित हो चुकी होती है, और यह आपके प्रतिदर्श समष्टि को प्रभावी रूप से छोटा कर देती है। सही प्रतिदर्श समष्टि को पहचानना महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 9. एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिन्दी का 40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अख़बार पढ़ते हैं। एक छात्र को यादृच्छया चुना जाता है
(i) प्रायिकता ज्ञात करो कि वह न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अख़बार पढ़ती है।
(ii) यदि वह हिन्दी का अख़बार पढ़ती है तो उसके अंग्रेजी का अख़बार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात करो।
(iii) यदि वह अंग्रेजी का अख़बार पढ़ती है तो उसके हिन्दी का अख़बार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात करो।
Answer: माना H घटना है कि छात्र हिन्दी का अख़बार पढ़ता है, और E घटना है कि छात्र अंग्रेजी का अख़बार पढ़ता है। दी गई जानकारी के अनुसार: \( P(H) = 60\% = 0.6 \) \( P(E) = 40\% = 0.4 \) \( P(H \cap E) = 20\% = 0.2 \) (दोनों अख़बार पढ़ने की प्रायिकता) (i) प्रायिकता ज्ञात करो कि वह न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अख़बार पढ़ती है। यह \( P(\overline{H} \cap \overline{E}) \) के बराबर है। डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, \( \overline{H} \cap \overline{E} = \overline{H \cup E} \)। सबसे पहले \( P(H \cup E) \) ज्ञात करते हैं: \( P(H \cup E) = P(H) + P(E) - P(H \cap E) \)
\( \implies P(H \cup E) = 0.6 + 0.4 - 0.2 \)
\( \implies P(H \cup E) = 1.0 - 0.2 \)
\( \implies P(H \cup E) = 0.8 \) अब, न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अख़बार पढ़ने की प्रायिकता: \( P(\overline{H} \cap \overline{E}) = 1 - P(H \cup E) \)
\( \implies P(\overline{H} \cap \overline{E}) = 1 - 0.8 \)
\( \implies P(\overline{H} \cap \overline{E}) = 0.2 \) यह 20% के बराबर है, जिसका अर्थ है कि 20% छात्र कोई अख़बार नहीं पढ़ते हैं। (ii) यदि वह हिन्दी का अख़बार पढ़ती है तो उसके अंग्रेजी का अख़बार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात करो। यह सशर्त प्रायिकता \( P(E|H) \) है। \( P(E|H) = \frac{P(E \cap H)}{P(H)} \)
\( \implies P(E|H) = \frac{0.2}{0.6} \)
\( \implies P(E|H) = \frac{2}{6} \)
\( \implies P(E|H) = \frac{1}{3} \) तो, अगर कोई छात्र हिन्दी का अख़बार पढ़ता है, तो उसके अंग्रेजी का अख़बार भी पढ़ने की प्रायिकता \( \frac{1}{3} \) है। (iii) यदि वह अंग्रेजी का अख़बार पढ़ती है तो उसके हिन्दी का अख़बार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात करो। यह सशर्त प्रायिकता \( P(H|E) \) है। \( P(H|E) = \frac{P(H \cap E)}{P(E)} \)
\( \implies P(H|E) = \frac{0.2}{0.4} \)
\( \implies P(H|E) = \frac{2}{4} \)
\( \implies P(H|E) = \frac{1}{2} \) इस प्रकार, अगर कोई छात्र अंग्रेजी का अख़बार पढ़ता है, तो उसके हिन्दी का अख़बार भी पढ़ने की प्रायिकता \( \frac{1}{2} \) है।
In simple words: हमने छात्रों के अख़बार पढ़ने की जानकारी का उपयोग किया। पहले, हमने निकाला कि कितने छात्र कोई अख़बार नहीं पढ़ते हैं, जो 20% है। फिर, हमने देखा कि यदि कोई छात्र हिन्दी अख़बार पढ़ता है, तो उसके अंग्रेजी अख़बार पढ़ने की संभावना \( \frac{1}{3} \) है। अंत में, हमने यह भी देखा कि यदि कोई छात्र अंग्रेजी अख़बार पढ़ता है, तो उसके हिन्दी अख़बार पढ़ने की संभावना \( \frac{1}{2} \) है।

🎯 Exam Tip: प्रतिशत को दशमलव में बदलना और डी मॉर्गन के नियमों का सही उपयोग करना ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है। सशर्त प्रायिकता के सूत्र को ध्यान से लागू करें।

प्रश्न 10. A, किसी पुस्तक की 90% समस्याओं को तथा B, उसी पुस्तक की 70% समस्याओं को हल कर सकता है। पुस्तक से यादृच्छया चयनित किसी समस्या का उनमें से कम से कम एक के द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता ज्ञात करो।
Answer: माना \( P(A) \) घटना है कि A समस्या को हल करता है। \( P(A) = 90\% = 0.9 \)। माना \( P(B) \) घटना है कि B समस्या को हल करता है। \( P(B) = 70\% = 0.7 \)। चूंकि A और B द्वारा समस्या को हल करना स्वतंत्र घटनाएँ हैं। हमें "कम से कम एक के द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता" ज्ञात करनी है। इसका मतलब है कि या तो A हल करे, या B हल करे, या दोनों हल करें। इसे \( P(A \cup B) \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सूत्र है: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)। चूंकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)। \( \implies P(A \cap B) = 0.9 \times 0.7 = 0.63 \) अब, \( P(A \cup B) \) की गणना करते हैं: \( P(A \cup B) = 0.9 + 0.7 - 0.63 \)
\( \implies P(A \cup B) = 1.6 - 0.63 \)
\( \implies P(A \cup B) = 0.97 \) वैकल्पिक तरीका: हम "कम से कम एक के द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता" को \( 1 - P(\text{किसी के द्वारा हल न होने की प्रायिकता}) \) के रूप में भी ज्ञात कर सकते हैं। A द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.9 = 0.1 \)। B द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता \( P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.7 = 0.3 \)। चूंकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो \( \overline{A} \) और \( \overline{B} \) भी स्वतंत्र होंगी। तो, किसी के द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता \( P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) \)
\( \implies P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0.1 \times 0.3 \)
\( \implies P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0.03 \) अब, कम से कम एक के द्वारा समस्या हल किए जाने की प्रायिकता: \( P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) \)
\( \implies P(A \cup B) = 1 - 0.03 \)
\( \implies P(A \cup B) = 0.97 \) दोनों तरीके समान परिणाम देते हैं, जो 0.97 है। यह दर्शाता है कि समस्या के हल होने की बहुत अधिक संभावना है।
In simple words: A और B नामक दो व्यक्ति एक ही किताब की समस्याएँ हल करने की अलग-अलग संभावनाएँ रखते हैं। हमें यह जानना है कि अगर किताब से कोई भी समस्या उठाई जाए, तो उनमें से कम से कम एक व्यक्ति उसे हल कर पाए इसकी क्या संभावना है। हमने पाया कि इस बात की 97% संभावना है कि समस्या हल हो जाएगी।

🎯 Exam Tip: "कम से कम एक" वाले प्रायिकता प्रश्नों को अक्सर \( 1 - P(\text{कोई नहीं}) \) सूत्र का उपयोग करके अधिक आसानी से हल किया जा सकता है। यह विधि गणनाओं को सरल करती है।

प्रश्न 11. तीन विद्यार्थियों को गणित की एक समस्या को हल करने के लिये दिया गया। इन विद्यार्थियों के द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकता क्रमशः \( \frac{1}{2}, \frac {1}{ 3 } \) व \( \frac{1}{4} \) है। समस्या के हल हो जाने की क्या प्रायिकता है?
Answer: माना तीन विद्यार्थी \( V_1, V_2, V_3 \) हैं। समस्या को \( V_1 \) द्वारा हल करने की प्रायिकता \( P(V_1) = \frac{1}{2} \)। समस्या को \( V_2 \) द्वारा हल करने की प्रायिकता \( P(V_2) = \frac{1}{3} \)। समस्या को \( V_3 \) द्वारा हल करने की प्रायिकता \( P(V_3) = \frac{1}{4} \)। यह माना जाता है कि प्रत्येक विद्यार्थी द्वारा समस्या हल करना एक स्वतंत्र घटना है। हमें "समस्या के हल हो जाने की प्रायिकता" ज्ञात करनी है। इसका मतलब है कि कम से कम एक विद्यार्थी समस्या को हल कर दे। यह प्रायिकता \( 1 - P(\text{किसी भी विद्यार्थी द्वारा समस्या हल न होने की प्रायिकता}) \) के बराबर है। पहले प्रत्येक विद्यार्थी द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता ज्ञात करें: \( P(\overline{V_1}) = 1 - P(V_1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \) \( P(\overline{V_2}) = 1 - P(V_2) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \) \( P(\overline{V_3}) = 1 - P(V_3) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \) अब, किसी भी विद्यार्थी द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता (चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं): \( P(\overline{V_1} \cap \overline{V_2} \cap \overline{V_3}) = P(\overline{V_1}) \times P(\overline{V_2}) \times P(\overline{V_3}) \)
\( \implies P(\overline{V_1} \cap \overline{V_2} \cap \overline{V_3}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \)
\( \implies P(\overline{V_1} \cap \overline{V_2} \cap \overline{V_3}) = \frac{1 \times 2 \times 3}{2 \times 3 \times 4} \)
\( \implies P(\overline{V_1} \cap \overline{V_2} \cap \overline{V_3}) = \frac{6}{24} \)
\( \implies P(\overline{V_1} \cap \overline{V_2} \cap \overline{V_3}) = \frac{1}{4} \) यह प्रायिकता है कि कोई भी विद्यार्थी समस्या हल नहीं कर पाएगा। अतः, समस्या के हल हो जाने की प्रायिकता: \( P(\text{समस्या हल हो}) = 1 - P(\text{किसी द्वारा हल न हो}) \)
\( \implies P(\text{समस्या हल हो}) = 1 - \frac{1}{4} \)
\( \implies P(\text{समस्या हल हो}) = \frac{3}{4} \) तो, समस्या के हल होने की प्रायिकता \( \frac{3}{4} \) है।
In simple words: तीन बच्चों को एक गणित का सवाल दिया गया है, और हर बच्चे के सवाल हल करने की अपनी-अपनी संभावना है। हमें यह बताना है कि उनमें से कोई एक भी बच्चा सवाल हल कर ले, इसकी क्या संभावना है। हमने पहले यह निकाला कि कोई भी बच्चा सवाल हल न कर पाए, इसकी क्या संभावना है। फिर, हमने उसे 1 में से घटा दिया, जिससे कुल संभावना \( \frac{3}{4} \) निकली कि सवाल हल हो जाएगा।

🎯 Exam Tip: जब स्वतंत्र घटनाओं के "कम से कम एक" के घटित होने की प्रायिकता पूछी जाए, तो हमेशा \( 1 - P(\text{किसी भी घटना के घटित न होने}) \) के सूत्र का उपयोग करें। यह गणना को सरल बनाता है।

प्रश्न 12. एक थैले में 5 सफेद तथा 3 काली गेंदे है। थैले में से 4 गेंदे उत्तरोतर बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती है। इन गेंदों के एकान्तरतः विभिन्न रंगों के होने की प्रायिकता ज्ञात करो।
Answer: कुल सफेद गेंदे = 5 कुल काली गेंदे = 3 कुल गेंदों की संख्या = \( 5 + 3 = 8 \) हमें 4 गेंदे बिना प्रतिस्थापन के निकालनी हैं और उनके एकान्तरतः विभिन्न रंगों के होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। एकान्तरतः विभिन्न रंगों के होने के दो क्रम हो सकते हैं: 1. सफेद, काली, सफेद, काली (S K S K) 2. काली, सफेद, काली, सफेद (K S K S) **स्थिति 1: सफेद, काली, सफेद, काली (S K S K)** * पहली सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता: \( P(S_1) = \frac{5}{8} \) * दूसरी काली गेंद निकालने की प्रायिकता (1 सफेद गेंद निकल चुकी है): \( P(K_1|S_1) = \frac{3}{7} \) * तीसरी सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता (1 सफेद, 1 काली निकल चुकी है): \( P(S_2|S_1, K_1) = \frac{4}{6} \) (क्योंकि अब 4 सफेद बची हैं) * चौथी काली गेंद निकालने की प्रायिकता (2 सफेद, 1 काली निकल चुकी है): \( P(K_2|S_1, K_1, S_2) = \frac{2}{5} \) (क्योंकि अब 2 काली बची हैं) तो, इस क्रम (S K S K) की प्रायिकता = \( \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{5} \)
\( \implies \frac{5 \times 3 \times 4 \times 2}{8 \times 7 \times 6 \times 5} \)
\( \implies \frac{120}{1680} \)
\( \implies \frac{1}{14} \) **स्थिति 2: काली, सफेद, काली, सफेद (K S K S)** * पहली काली गेंद निकालने की प्रायिकता: \( P(K_1) = \frac{3}{8} \) * दूसरी सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता (1 काली गेंद निकल चुकी है): \( P(S_1|K_1) = \frac{5}{7} \) * तीसरी काली गेंद निकालने की प्रायिकता (1 काली, 1 सफेद निकल चुकी है): \( P(K_2|K_1, S_1) = \frac{2}{6} \) (क्योंकि अब 2 काली बची हैं) * चौथी सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता (2 काली, 1 सफेद निकल चुकी है): \( P(S_2|K_1, S_1, K_2) = \frac{4}{5} \) (क्योंकि अब 4 सफेद बची हैं) तो, इस क्रम (K S K S) की प्रायिकता = \( \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} \times \frac{2}{6} \times \frac{4}{5} \)
\( \implies \frac{3 \times 5 \times 2 \times 4}{8 \times 7 \times 6 \times 5} \)
\( \implies \frac{120}{1680} \)
\( \implies \frac{1}{14} \) दोनों स्थितियों में से कोई भी एक स्थिति हो सकती है, इसलिए कुल प्रायिकता इन दोनों प्रायिकताओं का योग होगी: कुल प्रायिकता = \( P(S K S K) + P(K S K S) \)
\( \implies \frac{1}{14} + \frac{1}{14} \)
\( \implies \frac{2}{14} \)
\( \implies \frac{1}{7} \) तो, गेंदों के एकान्तरतः विभिन्न रंगों के होने की प्रायिकता \( \frac{1}{7} \) है।
In simple words: एक थैले में सफेद और काली गेंदें हैं। हमने बिना वापस रखे चार गेंदें निकालीं। हमें यह बताना है कि गेंदें एक के बाद एक अलग-अलग रंग की निकलें (जैसे सफेद-काली-सफेद-काली या काली-सफेद-काली-सफेद) इसकी क्या संभावना है। हमने दोनों तरीकों की संभावनाएँ अलग-अलग निकालीं और फिर उन्हें जोड़ दिया, जिससे कुल संभावना \( \frac{1}{7} \) आई।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सभी संभव 'एकान्तरतः' क्रमों को पहचानना और प्रत्येक क्रम की प्रायिकता को अलग-अलग गणना करना महत्वपूर्ण है। 'बिना प्रतिस्थापन' का मतलब है कि हर बार गेंदों की कुल संख्या और संबंधित रंग की गेंदों की संख्या दोनों घटती जाती हैं।

प्रश्न 13. एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतंत्र रूप से हल करने की प्रायिकतायें क्रमश \( \frac{1}{2} \) व \( \frac{1}{3} \) है। यदि दोनों स्वतंत्र रूप से समस्या को हल करने का प्रयास करते हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i) समस्या हल हो जाती है।
(ii) उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है।
Answer: माना \( P(A) \) घटना है कि A समस्या को हल करता है। \( P(A) = \frac{1}{2} \)। माना \( P(B) \) घटना है कि B समस्या को हल करता है। \( P(B) = \frac{1}{3} \)। यह दिया गया है कि A और B द्वारा समस्या को हल करना स्वतंत्र घटनाएँ हैं। A द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)। B द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता \( P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)। (i) समस्या हल हो जाती है। इसका मतलब है कि कम से कम एक व्यक्ति समस्या को हल करता है, जिसे \( P(A \cup B) \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। हम इसे \( 1 - P(\text{समस्या हल न हो}) \) के रूप में भी ज्ञात कर सकते हैं। समस्या हल न होने की प्रायिकता का मतलब है कि A भी हल न करे और B भी हल न करे। चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं, तो \( \overline{A} \) और \( \overline{B} \) भी स्वतंत्र होंगी। \( P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) \)
\( \implies P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \)
\( \implies P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) तो, समस्या हल होने की प्रायिकता: \( P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) \)
\( \implies P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{3} \)
\( \implies P(A \cup B) = \frac{2}{3} \) (ii) उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है। इसका मतलब है कि या तो A हल करे और B हल न करे, या B हल करे और A हल न करे। यह \( P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) \) के बराबर है। चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं: \( P(A \cap \overline{B}) = P(A) \times P(\overline{B}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) \( P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \) तो, तथ्यतः कोई एक समस्या हल करने की प्रायिकता: \( P(\text{तथ्यतः कोई एक}) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) \)
\( \implies P(\text{तथ्यतः कोई एक}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \)
\( \implies P(\text{तथ्यतः कोई एक}) = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} \)
\( \implies P(\text{तथ्यतः कोई एक}) = \frac{3}{6} \)
\( \implies P(\text{तथ्यतः कोई एक}) = \frac{1}{2} \) तो, उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल करने की प्रायिकता \( \frac{1}{2} \) है।
In simple words: A और B नामक दो व्यक्तियों के एक सवाल हल करने की संभावनाएँ अलग-अलग दी गई हैं। हमें पहले यह बताना है कि सवाल हल हो जाए इसकी क्या संभावना है, जो \( \frac{2}{3} \) है। फिर हमें यह बताना है कि उनमें से कोई एक ही सवाल हल कर पाए, दूसरा न कर पाए, इसकी क्या संभावना है, जो \( \frac{1}{2} \) है।

🎯 Exam Tip: "समस्या हल हो जाती है" का मतलब "कम से कम एक हल कर लेता है" होता है, जिसे \( 1 - P(\text{कोई हल नहीं कर पाता}) \) से आसानी से निकाला जा सकता है। "तथ्यतः कोई एक" का मतलब है कि एक हल करे और दूसरा न करे। इन बारीकियों को समझना महत्वपूर्ण है।