RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Exercise 16.1

प्रश्न 1. यदि \( P(A) = \frac {7}{13} \), \( P(B) = \frac {9}{13} \) और \( P(A\cap B) = \frac {4}{13} \) हो, तो \( P\left(\frac {A}{B} \right) \) ज्ञात करो।
Answer: हम जानते हैं कि दो घटनाओं A और B के लिए, घटना B के घटित होने पर घटना A के घटित होने की प्रायिकता (जिसे सप्रतिबंध प्रायिकता कहते हैं) को सूत्र \( P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) से दिया जाता है। इस सूत्र का उपयोग करके हम \( P\left(\frac{A}{B}\right) \) का मान आसानी से निकाल सकते हैं।
\( P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{4}{9} \)
In simple words: हमें A और B दोनों के एक साथ होने की प्रायिकता (P(A∩B)) और केवल B के होने की प्रायिकता (P(B)) दी गई है। P(A|B) निकालने के लिए, हम दोनों को भाग करते हैं, जिससे 4/9 उत्तर आता है।

🎯 Exam Tip: सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र को हमेशा याद रखें: \( P(A|B) = P(A \cap B) / P(B) \)। यह सुनिश्चित करें कि आप हर बार सही मानों को सही जगह पर रख रहे हैं।

प्रश्न 2. यदि \( P(B) = 0.5 \) और \( P(A\cap B) = 0.32 \) हो तो \( P\left(\frac { A }{ B } \right) \) ज्ञात करो।
Answer: सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करके, हम \( P\left(\frac{A}{B}\right) \) का मान ज्ञात करेंगे, जहाँ घटना B के घटित होने पर घटना A के घटित होने की प्रायिकता को निकालना है। यह प्रायिकता दर्शाती है कि B के घटित होने के बाद A के घटित होने की कितनी संभावना है।
\( P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{0.32}{0.5} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{32}{50} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = 0.64 \)
In simple words: हमें A और B दोनों के एक साथ होने की प्रायिकता (0.32) और केवल B के होने की प्रायिकता (0.5) दी गई है। A के होने की प्रायिकता, जब B पहले ही हो चुका हो, निकालने के लिए, हम 0.32 को 0.5 से भाग करते हैं, जिससे 0.64 उत्तर आता है।

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं का भाग करते समय सावधान रहें, खासकर जब अंश हर से छोटा हो। आप दशमलव हटाकर भिन्नों के रूप में भी गणना कर सकते हैं।

प्रश्न 3. यदि \( 2P(A) = P(B) = \frac {5}{13} \) और \( P\left(\frac {A}{B} \right) =\frac{2}{5} \) हो तो \( P(A\cup B) \) ज्ञात करो।
Answer: हमें \( P(A \cup B) \) का मान ज्ञात करना है, जिसके लिए हमें \( P(A) \), \( P(B) \) और \( P(A \cap B) \) की आवश्यकता होगी। दिए गए मानों का उपयोग करके, हम पहले \( P(A) \) और \( P(A \cap B) \) की गणना करेंगे, और फिर उन्हें योग के सूत्र में रखेंगे। यह प्रायिकता दर्शाती है कि घटना A या घटना B (या दोनों) के घटित होने की क्या संभावना है।
हमें दिया गया है:
\( 2P(A) = P(B) = \frac{5}{13} \)
तो, \( P(B) = \frac{5}{13} \)
और \( P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{13} = \frac{5}{26} \)
हम जानते हैं कि \( P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \implies P(A \cap B) = P\left(\frac{A}{B}\right) \times P(B) \)
\( \implies P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13} \)
अब, योग का सूत्र है: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( \implies P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13} \)
\( \implies P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26} \)
\( \implies P(A \cup B) = \frac{5 + 10 - 4}{26} \)
\( \implies P(A \cup B) = \frac{11}{26} \)
In simple words: हमें \( P(A) \) और \( P(B) \) और \( P(A|B) \) दिया गया है। पहले, हमने इन मानों से \( P(A \cap B) \) को निकाला। फिर, हमने प्रायिकता के योग सूत्र का उपयोग किया, जहाँ \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) होता है, जिससे हमें 11/26 उत्तर मिला।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, सभी ज्ञात प्रायिकताओं को स्पष्ट रूप से लिखें और फिर आवश्यक प्रायिकताएँ (जैसे \( P(A \cap B) \)) ज्ञात करने के लिए सूत्रों का सही क्रम में उपयोग करें।

प्रश्न 4. यदि \( P(A) = 0.6 \), \( P(B) = 0.3 \) और \( P(A\cap B) = 0.2 \) हो तो \( P\left(\frac {A}{B} \right) \) तथा \( P\left(\frac {B}{A} \right) \) ज्ञात करो।
Answer: हमें दो सप्रतिबंध प्रायिकताएँ \( P\left(\frac{A}{B}\right) \) और \( P\left(\frac{B}{A}\right) \) ज्ञात करनी हैं। ये प्रायिकताएँ बताती हैं कि एक घटना के घटित होने के बाद दूसरी घटना के घटित होने की क्या संभावना है। हम दोनों के लिए संबंधित सूत्रों का उपयोग करेंगे, जो घटनाओं A और B के लिए दिए गए मानों पर आधारित हैं।
पहले, \( P\left(\frac{A}{B}\right) \) की गणना करेंगे:
\( P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{0.2}{0.3} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{2}{3} \)
अब, \( P\left(\frac{B}{A}\right) \) की गणना करेंगे:
\( P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
\( \implies P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{0.2}{0.6} \)
\( \implies P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{1}{3} \)
In simple words: हमें \( P(A) \), \( P(B) \) और \( P(A \cap B) \) दिया गया है। \( P(A|B) \) निकालने के लिए, हमने \( P(A \cap B) \) को \( P(B) \) से भाग दिया। \( P(B|A) \) निकालने के लिए, हमने \( P(A \cap B) \) को \( P(A) \) से भाग दिया।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि \( P(A|B) \) और \( P(B|A) \) एक समान नहीं होते हैं, और दोनों की गणना के लिए संबंधित सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्रों का सही उपयोग करना चाहिए।

प्रश्न 5. यदि \( P(A) = 0.8 \), \( P(B) = 0.5 \) और \( P\left(\frac {B}{A} \right) = 0.4 \) हो तो ज्ञात करो
(i) \( P(A\cap B) \)
(ii) \( P\left(\frac {A}{B} \right) \)
(iii) \( P(A\cup B) \)
Answer: हमें दिए गए प्रायिकताओं का उपयोग करके तीन अलग-अलग प्रायिकताओं की गणना करनी है। हम सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करके \( P(A \cap B) \) से शुरुआत करेंगे, फिर \( P\left(\frac{A}{B}\right) \) ज्ञात करेंगे, और अंत में योग के सूत्र से \( P(A \cup B) \) ज्ञात करेंगे।
(i) \( P(A\cap B) \) ज्ञात करने के लिए, हम सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
\( \implies P(A \cap B) = P\left(\frac{B}{A}\right) \times P(A) \)
\( \implies P(A \cap B) = 0.4 \times 0.8 \)
\( \implies P(A \cap B) = 0.32 \)
(ii) \( P\left(\frac{A}{B}\right) \) ज्ञात करने के लिए, हम फिर से सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{0.32}{0.5} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = 0.64 \)
(iii) \( P(A\cup B) \) ज्ञात करने के लिए, हम प्रायिकता के योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( \implies P(A \cup B) = 0.8 + 0.5 - 0.32 \)
\( \implies P(A \cup B) = 1.3 - 0.32 \)
\( \implies P(A \cup B) = 0.98 \)
In simple words: पहले, हमने \( P(B|A) \) और \( P(A) \) का उपयोग करके \( P(A \cap B) \) को निकाला। फिर, हमने \( P(A \cap B) \) और \( P(B) \) का उपयोग करके \( P(A|B) \) को निकाला। अंत में, हमने सभी मानों को जोड़कर \( P(A \cup B) \) को ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: दिए गए मानों से \( P(A \cap B) \) की गणना करना अक्सर पहला कदम होता है, क्योंकि यह मान कई अन्य प्रायिकताओं को ज्ञात करने के लिए आवश्यक होता है। हमेशा सभी उप-भागों को क्रमानुसार हल करें।

प्रश्न 6. एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात हो कि दोनों बच्चों में से कम से कम एक बच्चा लड़का है तो दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात करो।
Answer: हमें एक सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात करनी है। यहाँ, हमें यह जानकारी दी गई है कि परिवार में कम से कम एक लड़का है, और हमें दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। यह एक शास्त्रीय प्रायिकता का प्रश्न है जहाँ हम अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल संभावित परिणामों की संख्या से भाग करते हैं।
सबसे पहले, दो बच्चों के लिए संभावित प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space) लिखें। प्रत्येक बच्चे के लिए लड़का (B) या लड़की (G) होने के दो विकल्प होते हैं।
प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{BB, BG, GB, GG\} \)
जहाँ \( n(S) = 4 \)
घटना A: "कम से कम एक बच्चा लड़का है"। इसका मतलब है कि या तो एक लड़का हो या दोनों लड़के हों।
\( A = \{BB, BG, GB\} \)
जहाँ \( n(A) = 3 \)
घटना B: "दोनों बच्चे लड़का हैं"।
\( B = \{BB\} \)
जहाँ \( n(B) = 1 \)
हमें \( P(B|A) \) ज्ञात करना है, जिसका अर्थ है कि जब कम से कम एक बच्चा लड़का हो (घटना A) तब दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता (घटना B)।
पहले \( A \cap B \) ज्ञात करें। \( A \cap B \) वे परिणाम हैं जो A और B दोनों में मौजूद हैं।
\( A \cap B = \{BB\} \)
जहाँ \( n(A \cap B) = 1 \)
अब, प्रायिकताएँ ज्ञात करें:
\( P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{4} \)
\( P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{4} \)
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र है:
\( P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
\( \implies P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} \)
\( \implies P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{1}{3} \)
In simple words: पहले हमने सभी संभावित दो बच्चों के संयोजनों को सूचीबद्ध किया। फिर, हमने उन संयोजनों को चुना जहाँ कम से कम एक लड़का था (यह हमारी दी गई जानकारी है)। अंत में, हमने उन संयोजनों में से उन संयोजनों को गिना जहाँ दोनों लड़के थे और उन्हें कुल संभावित संयोजनों से भाग दिया, जिससे हमें 1/3 की प्रायिकता मिली।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में प्रतिदर्श समष्टि को स्पष्ट रूप से परिभाषित करना और फिर घटनाओं को सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है। "कम से कम एक" और "दोनों" जैसे वाक्यांशों पर विशेष ध्यान दें।

प्रश्न 7. दो सिक्कों को एक बार उछाला गया हैं। इस प्रयोग से संबंधित घटनाओं A व B को निम्न प्रकार परिभाषित किया गया है तो \( P\left(\frac {A}{B} \right) \) ज्ञात कीजिए।
(i) A : एक सिक्के पर पट प्रकट होता है; B : एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
(ii) A : कोई पट प्रकट नहीं होता है; B : कोई चित प्रकट नहीं होता
Answer: हमें दो अलग-अलग स्थितियों के लिए सप्रतिबंध प्रायिकता \( P\left(\frac{A}{B}\right) \) ज्ञात करनी है, जब दो सिक्कों को उछाला जाता है। प्रत्येक स्थिति में, घटनाओं A और B को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। हम पहले प्रतिदर्श समष्टि बनाएंगे, फिर प्रत्येक घटना के परिणामों को पहचानेंगे, और अंत में सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करेंगे।
दो सिक्कों को एक बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space):
\( S = \{HH, HT, TH, TT\} \)
जहाँ \( n(S) = 4 \)

(i) A : एक सिक्के पर पट प्रकट होता है; B : एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
यहाँ, "एक सिक्के पर पट प्रकट होता है" का अर्थ है 'ठीक एक पट'।
\( A = \{HT, TH\} \)
\( P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
"एक सिक्के पर चित प्रकट होता है" का अर्थ है 'ठीक एक चित'।
\( B = \{HT, TH\} \)
\( P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( A \cap B \) ज्ञात करें (वे परिणाम जो A और B दोनों में हैं):
\( A \cap B = \{HT, TH\} \)
\( P(A \cap B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
अब \( P\left(\frac{A}{B}\right) \) ज्ञात करें:
\( P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = 1 \)

(ii) A : कोई पट प्रकट नहीं होता है; B : कोई चित प्रकट नहीं होता
"कोई पट प्रकट नहीं होता है" का अर्थ है कि दोनों चित हैं।
\( A = \{HH\} \)
\( P(A) = \frac{1}{4} \)
"कोई चित प्रकट नहीं होता है" का अर्थ है कि दोनों पट हैं।
\( B = \{TT\} \)
\( P(B) = \frac{1}{4} \)
\( A \cap B \) ज्ञात करें (वे परिणाम जो A और B दोनों में हैं):
\( A \cap B = \emptyset \) (कोई उभयनिष्ठ परिणाम नहीं है)
\( P(A \cap B) = 0 \)
अब \( P\left(\frac{A}{B}\right) \) ज्ञात करें:
\( P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{0}{\frac{1}{4}} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = 0 \)
In simple words: (i) जब एक सिक्के पर पट आता है और एक पर चित, और हमें पता है कि एक सिक्के पर चित आया है, तो दूसरे सिक्के पर पट आने की प्रायिकता 1 हो जाती है क्योंकि यही एकमात्र संभावना है। (ii) जब कोई पट नहीं आता (यानी दोनों चित) और हमें पता है कि कोई चित नहीं आता (यानी दोनों पट), तो दोनों बातें एक साथ होना असंभव है, इसलिए प्रायिकता 0 है।

🎯 Exam Tip: "एक सिक्के पर पट प्रकट होता है" जैसे वाक्यांशों की व्याख्या में सावधानी बरतें; यह "ठीक एक पट" या "कम से कम एक पट" हो सकता है। संदर्भ के अनुसार सही अर्थ समझें, और यदि स्पष्ट न हो तो आमतौर पर "ठीक एक" माना जाता है।

प्रश्न 8. एक पारिवारिक चित्र में माता, पिता व पुत्र यादृच्छया सीधी रेखा में खड़े है। इससे सम्बद्ध घटनाओं A व B को निम्न प्रकार परिभाष्नित किया गया है तो \( P\left(\frac { A }{ B } \right) \) ज्ञात करो यदि
A : पुत्र एक सिरे पर खड़ा है, B : पिता मध्य में खड़े है।
Answer: हमें सप्रतिबंध प्रायिकता \( P\left(\frac{A}{B}\right) \) ज्ञात करनी है, जब परिवार के तीन सदस्य (माता, पिता, पुत्र) एक पंक्ति में खड़े हों। हम पहले सभी संभावित व्यवस्थाओं (प्रतिदर्श समष्टि) को सूचीबद्ध करेंगे, फिर घटना A (पुत्र एक सिरे पर) और घटना B (पिता मध्य में) के अनुकूल परिणामों को पहचानेंगे, और अंत में प्रायिकता सूत्र का उपयोग करेंगे।
माना माता (M), पिता (F) तथा पुत्र (S) हैं।
तीनों के खड़े होने की कुल विधियाँ \( = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) हैं।
प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{MFS, MSF, FMS, FSM, SMF, SFM\} \)
घटना A: "पुत्र (S) एक सिरे पर खड़ा है"।
इसका मतलब है कि पुत्र या तो सबसे पहले या सबसे अंत में खड़ा हो सकता है।
\( A = \{SMF, SFM, MFS, FMS\} \)
\( n(A) = 4 \)
घटना B: "पिता (F) मध्य में खड़े हैं"।
\( B = \{MFS, SFM\} \)
\( n(B) = 2 \)
हमें \( A \cap B \) ज्ञात करना है (वे परिणाम जहाँ पुत्र एक सिरे पर है और पिता मध्य में हैं)।
\( A \cap B = \{MFS, SFM\} \)
\( n(A \cap B) = 2 \)
अब, प्रायिकताएँ ज्ञात करें:
\( P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
\( P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
\( P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र है:
\( P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = 1 \)
In simple words: जब परिवार के तीन सदस्य एक लाइन में खड़े होते हैं, तो कुल 6 तरीके होते हैं। अगर हमें पहले से पता है कि पिता बीच में हैं, तो बस 2 ही तरीके बचते हैं (माता-पिता-पुत्र या पुत्र-पिता-माता)। इन 2 तरीकों में से, पुत्र एक किनारे पर ही होता है। इसलिए, जब पिता बीच में हैं, तो पुत्र के किनारे पर होने की प्रायिकता 1 है।

🎯 Exam Tip: क्रमचय और संचय के प्रश्नों में, प्रतिदर्श समष्टि और घटना परिणामों को सूचीबद्ध करते समय सावधानी बरतें। स्पष्टता के लिए, आप अक्षरों (M, F, S) का उपयोग कर सकते हैं।

प्रश्न 9. एक न्याय्य पासे की उछाला गया है। घटनाओं A = {1, 3, 5}, B = {2, 3} और C = {2, 3, 4, 5} के लिये निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) \( P\left(\frac{A}{B}\right) \) और \( P\left(\frac{B}{A}\right) \)
(ii) \( P\left(\frac{A}{C}\right) \) और \( P\left(\frac{C}{A}\right) \)
(iii) \( P\left(\frac{A\cup B}{C}\right) \) और \( P\left(\frac{A\cap B}{C}\right) \)
Answer: हमें एक न्याय्य पासे के एकल उछाल के लिए तीन घटनाओं (A, B, C) से संबंधित विभिन्न सप्रतिबंध प्रायिकताओं की गणना करनी है। हम प्रत्येक उप-भाग के लिए आवश्यक प्रतिच्छेदन और प्रायिकताओं की गणना करेंगे, और फिर सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करेंगे। पासा उछालने पर संभावित कुल परिणाम 6 होते हैं।
एक पासे को उछालने पर कुल परिणाम \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
\( n(S) = 6 \)
दी गई घटनाएँ हैं:
\( A = \{1, 3, 5\} \implies n(A)=3 \implies P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
\( B = \{2, 3\} \implies n(B)=2 \implies P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
\( C = \{2, 3, 4, 5\} \implies n(C)=4 \implies P(C) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

(i) \( P\left(\frac{A}{B}\right) \) और \( P\left(\frac{B}{A}\right) \):
पहले \( A \cap B \) ज्ञात करें:
\( A \cap B = \{1, 3, 5\} \cap \{2, 3\} = \{3\} \)
\( n(A \cap B) = 1 \implies P(A \cap B) = \frac{1}{6} \)
अब, \( P\left(\frac{A}{B}\right) \) ज्ञात करें:
\( P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{6} \times \frac{3}{1} = \frac{1}{2} \)
अब, \( P\left(\frac{B}{A}\right) \) ज्ञात करें:
\( P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{3} \)

(ii) \( P\left(\frac{A}{C}\right) \) और \( P\left(\frac{C}{A}\right) \):
पहले \( A \cap C \) ज्ञात करें:
\( A \cap C = \{1, 3, 5\} \cap \{2, 3, 4, 5\} = \{3, 5\} \)
\( n(A \cap C) = 2 \implies P(A \cap C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
अब, \( P\left(\frac{A}{C}\right) \) ज्ञात करें:
\( P\left(\frac{A}{C}\right) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \)
अब, \( P\left(\frac{C}{A}\right) \) ज्ञात करें:
\( P\left(\frac{C}{A}\right) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{3} \)

(iii) \( P\left(\frac{A\cup B}{C}\right) \) और \( P\left(\frac{A\cap B}{C}\right) \):
हमें \( A = \{1, 3, 5\} \), \( B = \{2, 3\} \), \( C = \{2, 3, 4, 5\} \) दिया गया है।
पहले \( A \cup B \) ज्ञात करें:
\( A \cup B = \{1, 3, 5\} \cup \{2, 3\} = \{1, 2, 3, 5\} \)
फिर \( (A \cup B) \cap C \) ज्ञात करें:
\( (A \cup B) \cap C = \{1, 2, 3, 5\} \cap \{2, 3, 4, 5\} = \{2, 3, 5\} \)
\( n((A \cup B) \cap C) = 3 \implies P((A \cup B) \cap C) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
अब, \( P\left(\frac{A\cup B}{C}\right) \) ज्ञात करें:
\( P\left(\frac{A\cup B}{C}\right) = \frac{P((A \cup B) \cap C)}{P(C)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \)
वैकल्पिक रूप से, सूत्र \( P\left(\frac{A\cup B}{C}\right) = P\left(\frac{A}{C}\right) + P\left(\frac{B}{C}\right) - P\left(\frac{A\cap B}{C}\right) \) का उपयोग करें।
\( A \cap C = \{3, 5\} \implies P(A \cap C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
\( B \cap C = \{2, 3\} \implies P(B \cap C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
\( (A \cap B) \cap C = \{3\} \implies P((A \cap B) \cap C) = \frac{1}{6} \)
\( P\left(\frac{A\cup B}{C}\right) = \frac{P(A\cap C) + P(B\cap C) - P(A\cap B\cap C)}{P(C)} \)
\( \implies P\left(\frac{A\cup B}{C}\right) = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{2}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{4} \)

अब \( P\left(\frac{A\cap B}{C}\right) \) ज्ञात करें:
पहले \( (A \cap B) \cap C \) ज्ञात करें:
\( A \cap B = \{3\} \)
\( (A \cap B) \cap C = \{3\} \cap \{2, 3, 4, 5\} = \{3\} \)
\( n((A \cap B) \cap C) = 1 \implies P((A \cap B) \cap C) = \frac{1}{6} \)
अब, \( P\left(\frac{A\cap B}{C}\right) \) ज्ञात करें:
\( P\left(\frac{A\cap B}{C}\right) = \frac{P((A \cap B) \cap C)}{P(C)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{4} \)
In simple words: हमने प्रत्येक उप-भाग के लिए पहले आवश्यक घटनाओं के परिणाम ढूंढे, उनकी प्रायिकताएँ निकालीं, और फिर सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करके उत्तर ज्ञात किया। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि घटनाओं का संयोजन (जैसे \( A \cup B \) या \( A \cap B \)) सप्रतिबंध प्रायिकता की गणना से पहले सही ढंग से किया जाना चाहिए।

🎯 Exam Tip: जब कई घटनाएँ (A, B, C) शामिल हों, तो पहले सभी घटनाओं की व्यक्तिगत प्रायिकताएँ और उनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकताएँ ज्ञात करें। यह गणना को सरल बनाता है और त्रुटियों से बचाता है।

प्रश्न 10. यह दिया गया है कि पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दो पासों को फेंकने पर संख्याओं के योग की प्रायिकता ज्ञात करनी है, जबकि एक शर्त पहले से ज्ञात है कि प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। यह एक सप्रतिबंध प्रायिकता का प्रश्न है। हम पहले कुल संभावित परिणामों को सूचीबद्ध करेंगे, फिर दी गई शर्त (संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं) और वांछित घटना (योग 4 है) के अनुकूल परिणामों को पहचानेंगे।
जब दो पासों को फेंका जाता है, तो कुल संभावित परिणाम \( = 6 \times 6 = 36 \) होते हैं।
घटना E: "पासों पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं"।
वे परिणाम जहाँ संख्याएँ समान हैं: \( \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\} \)। इनकी संख्या 6 है।
तो, भिन्न-भिन्न संख्याओं वाले परिणामों की संख्या \( n(E) = 36 - 6 = 30 \)।
\( P(E) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6} \)
घटना F: "दोनों संख्याओं का योग 4 है"।
\( F = \{(1,3), (2,2), (3,1)\} \)
\( n(F) = 3 \)
हमें \( P(F|E) \) ज्ञात करना है, जिसका अर्थ है कि जब संख्याएँ भिन्न-भिन्न हों (घटना E), तब संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता (घटना F)।
पहले \( F \cap E \) ज्ञात करें। \( F \cap E \) वे परिणाम हैं जहाँ संख्याओं का योग 4 है और संख्याएँ भिन्न-भिन्न भी हैं।
\( F \cap E = \{(1,3), (3,1)\} \) (क्योंकि \( (2,2) \) में संख्याएँ समान हैं, इसलिए यह \( E \) में नहीं है)
\( n(F \cap E) = 2 \implies P(F \cap E) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \)
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र है:
\( P\left(\frac{F}{E}\right) = \frac{P(F \cap E)}{P(E)} \)
\( \implies P\left(\frac{F}{E}\right) = \frac{\frac{1}{18}}{\frac{5}{6}} \)
\( \implies P\left(\frac{F}{E}\right) = \frac{1}{18} \times \frac{6}{5} \)
\( \implies P\left(\frac{F}{E}\right) = \frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{15} \)
In simple words: जब हम दो पासे फेंकते हैं, और हमें पहले से पता है कि दोनों पासों पर अलग-अलग नंबर आए हैं, तो कुल 30 संभावित परिणाम होते हैं। हमें यह पता करना है कि इन 30 परिणामों में से कितने ऐसे हैं जिनका जोड़ 4 है। ऐसे सिर्फ दो ही परिणाम हैं: (1,3) और (3,1)। इसलिए प्रायिकता 2 को 30 से भाग देकर 1/15 आती है।

🎯 Exam Tip: सप्रतिबंध प्रायिकता के प्रश्नों में, दी गई शर्त (जैसे "संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं") का उपयोग करके प्रतिदर्श समष्टि को प्रभावी ढंग से कम करना महत्वपूर्ण है, और फिर नए कम किए गए समष्टि के भीतर अनुकूल परिणामों की गणना करना चाहिए।

प्रश्न 11. एक बक्से में दस कार्ड 1 से 10 तक लिखकर रखे गये हैं और उन्हें अच्छी तरह मिलाया गया है। इस बक्से में से एक कार्ड यादृच्छया निकाला गया है। यदि यह ज्ञात हो कि निकाले गये कार्ड पर संख्या 3 से अधिक है, तो इस संख्या के सम होने की क्या प्रायिकता है।
Answer: हमें एक बक्से से निकाले गए कार्ड पर सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात करनी है। हमें यह जानकारी दी गई है कि कार्ड पर संख्या 3 से अधिक है, और हमें यह ज्ञात करना है कि वह संख्या सम (even) होने की क्या प्रायिकता है। यह एक शास्त्रीय प्रायिकता का प्रश्न है जहाँ हम अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल संभावित परिणामों की संख्या से भाग करते हैं।
बक्से में 1 से 10 तक संख्या वाले दस कार्ड हैं।
कुल प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
\( n(S) = 10 \)
घटना A: "निकाला गया कार्ड सम संख्या है"।
\( A = \{2, 4, 6, 8, 10\} \)
\( n(A) = 5 \implies P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
घटना B: "निकाले गए कार्ड पर संख्या 3 से अधिक है"। (यह दी गई शर्त है)
\( B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
\( n(B) = 7 \implies P(B) = \frac{7}{10} \)
हमें \( P(A|B) \) ज्ञात करना है, जिसका अर्थ है कि जब संख्या 3 से अधिक हो (घटना B), तब संख्या के सम होने की प्रायिकता (घटना A)।
पहले \( A \cap B \) ज्ञात करें। \( A \cap B \) वे परिणाम हैं जहाँ संख्या सम है और 3 से अधिक भी है।
\( A \cap B = \{4, 6, 8, 10\} \)
\( n(A \cap B) = 4 \implies P(A \cap B) = \frac{4}{10} \)
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र है:
\( P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{7}{10}} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{4}{7} \)
In simple words: हमें 1 से 10 तक के कार्डों में से एक कार्ड निकालना है। हमें बताया गया है कि कार्ड पर संख्या 3 से बड़ी है, तो हमारे पास 7 कार्ड (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) बचे हैं। इन 7 कार्डों में से, 4 कार्ड सम हैं (4, 6, 8, 10)। इसलिए, सम संख्या होने की प्रायिकता 4/7 है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले दी गई शर्त (घटना B) के आधार पर संभावित परिणामों के समुच्चय को पहचानें। फिर उस समुच्चय के भीतर वांछित घटना (A) के अनुकूल परिणामों को देखें।

प्रश्न 12. एक विद्यालय में 1000 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 430 लड़कियाँ हैं। यह ज्ञात है कि 430 में से 10% लड़कियाँ कक्षा XI में पढ़ती हैं। क्या प्रायिकता है कि एक यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी कक्षा XI में पढ़ता है। यदि यह ज्ञात है कि चुना गया विद्यार्थी लड़की है।
Answer: हमें एक विद्यालय के विद्यार्थियों से संबंधित सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात करनी है। हमें यह जानकारी दी गई है कि चुना गया विद्यार्थी एक लड़की है, और हमें यह ज्ञात करना है कि वह लड़की कक्षा XI में पढ़ती है, इसकी क्या प्रायिकता है। हम पहले सभी आवश्यक संख्याएँ ज्ञात करेंगे, फिर प्रायिकताओं की गणना करेंगे।
विद्यालय में कुल विद्यार्थियों की संख्या = 1000
लड़कियों की संख्या = 430
लड़कों की संख्या = \( 1000 - 430 = 570 \)
कक्षा XI में पढ़ने वाली लड़कियों की संख्या = 430 का 10%
\( = 0.10 \times 430 = 43 \)
घटना A: "चुना गया विद्यार्थी कक्षा XI में पढ़ता है"।
घटना B: "चुना गया विद्यार्थी लड़की है"। (यह दी गई शर्त है)
हमें \( P(A|B) \) ज्ञात करना है, जिसका अर्थ है कि जब चुना गया विद्यार्थी लड़की हो (घटना B), तब उसके कक्षा XI में पढ़ने की प्रायिकता (घटना A)।
पहले \( P(B) \) ज्ञात करें:
\( P(B) = \frac{\text{लड़कियों की संख्या}}{\text{कुल विद्यार्थियों की संख्या}} = \frac{430}{1000} = 0.43 \)
अब \( A \cap B \) ज्ञात करें। \( A \cap B \) वे विद्यार्थी हैं जो लड़की हैं और कक्षा XI में भी पढ़ते हैं।
\( n(A \cap B) = \text{कक्षा XI में पढ़ने वाली लड़कियों की संख्या} = 43 \)
\( P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{\text{कुल विद्यार्थियों की संख्या}} = \frac{43}{1000} = 0.043 \)
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र है:
\( P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{0.043}{0.43} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = 0.1 \)
In simple words: कुल 1000 विद्यार्थी हैं जिनमें से 430 लड़कियाँ हैं। हमें पहले से पता है कि हमने एक लड़की को चुना है। उन 430 लड़कियों में से 43 लड़कियाँ कक्षा XI में पढ़ती हैं। तो, चुनी गई लड़की के कक्षा XI में होने की प्रायिकता 43 को 430 से भाग देने पर 0.1 मिलती है।

🎯 Exam Tip: दी गई शर्त (जैसे "चुना गया विद्यार्थी लड़की है") के आधार पर प्रायिकता की गणना करते समय, सुनिश्चित करें कि आप केवल उस सबसेट (यहाँ, केवल लड़कियों) पर विचार कर रहे हैं, न कि पूरी जनसंख्या पर।

प्रश्न 13. एक पासे को दो बार उछाला गया और प्रकट हुई संख्याओं का योग 6 पाया गया। संख्या 4 के न्यूनतम एक बार प्रकट होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दो पासों को उछालने पर एक सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात करनी है। हमें यह जानकारी दी गई है कि प्रकट हुई संख्याओं का योग 6 है, और हमें यह ज्ञात करना है कि संख्या 4 कम से कम एक बार प्रकट हुई हो, इसकी क्या प्रायिकता है। हम पहले सभी संभावित परिणामों (प्रतिदर्श समष्टि) को सूचीबद्ध करेंगे, फिर दी गई शर्त और वांछित घटना के अनुकूल परिणामों को पहचानेंगे।
जब एक पासे को दो बार उछाला जाता है, तो कुल संभावित परिणाम \( = 6 \times 6 = 36 \) होते हैं।
घटना B: "प्रकट हुई संख्याओं का योग 6 है"। (यह दी गई शर्त है)
\( B = \{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)\} \)
\( n(B) = 5 \implies P(B) = \frac{5}{36} \)
घटना A: "संख्या 4 के न्यूनतम एक बार प्रकट होना"। (अर्थात, एक बार या दो बार 4 आना)
\( A = \{(1,4), (2,4), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (6,4)\} \)
\( n(A) = 11 \implies P(A) = \frac{11}{36} \)
हमें \( P(A|B) \) ज्ञात करना है, जिसका अर्थ है कि जब संख्याओं का योग 6 हो (घटना B), तब संख्या 4 के कम से कम एक बार प्रकट होने की प्रायिकता (घटना A)।
पहले \( A \cap B \) ज्ञात करें। \( A \cap B \) वे परिणाम हैं जहाँ संख्याओं का योग 6 है और संख्या 4 कम से कम एक बार प्रकट हुई है।
\( A \cap B = \{(2,4), (4,2)\} \)
\( n(A \cap B) = 2 \implies P(A \cap B) = \frac{2}{36} \)
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र है:
\( P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{\frac{2}{36}}{\frac{5}{36}} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{2}{5} \)
In simple words: जब दो पासे फेंकने पर योग 6 आता है, तो केवल 5 तरीके होते हैं (जैसे (1,5), (2,4) आदि)। इन 5 तरीकों में से, केवल 2 ही ऐसे तरीके हैं जहाँ संख्या 4 भी आती है ((2,4) और (4,2))। तो, संख्या 4 के कम से कम एक बार आने की प्रायिकता 2/5 है।

🎯 Exam Tip: "कम से कम एक बार" जैसे वाक्यांशों को ध्यान से समझें, क्योंकि वे अक्सर एक से अधिक संभावित परिणामों को कवर करते हैं। सप्रतिबंध प्रायिकता में, दी गई शर्त (यहाँ, योग 6) प्रभावी रूप से प्रतिदर्श समष्टि को छोटा कर देती है।

प्रश्न 14. एक सिक्के को उछालने के परीक्षण पर विचार कीजिए यदि सिक्के पर चित प्रकट हो, तो सिक्के को पुनः उछालिए परंतु यदि सिक्के पर पट प्रकट हो, तो एक पासा फेंकिए। यदि घटना 'कम से कम एक पट प्रकट होना' का घटित होना दिया गया है, तो घटना 'पासे पर 4 से बड़ी संख्या प्रकट होना' की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें एक जटिल परीक्षण के लिए सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात करनी है। परीक्षण में एक सिक्का उछालना शामिल है, और परिणाम के आधार पर आगे या तो सिक्का उछाला जाता है या पासा फेंका जाता है। हमें एक शर्त दी गई है (कम से कम एक पट प्रकट होना) और वांछित घटना (पासे पर 4 से बड़ी संख्या प्रकट होना) की प्रायिकता ज्ञात करनी है। हम इस परीक्षण के लिए एक ट्री आरेख बनाकर प्रतिदर्श समष्टि और उसकी प्रायिकताओं को स्पष्ट रूप से परिभाषित करेंगे।
परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि और प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता:
सिक्के पर चित (H) आने की प्रायिकता \( P(H) = \frac{1}{2} \)
सिक्के पर पट (T) आने की प्रायिकता \( P(T) = \frac{1}{2} \)
यदि चित (H) आता है, तो सिक्का फिर से उछाला जाता है:
\( P(HH) = P(H) \times P(H) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
\( P(HT) = P(H) \times P(T) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
यदि पट (T) आता है, तो एक पासा फेंका जाता है (पासे पर 1 से 6 तक कुछ भी आ सकता है, प्रत्येक की प्रायिकता \( \frac{1}{6} \)):
\( P(T1) = P(T) \times P(1) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \)
\( P(T2) = P(T) \times P(2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \)
\( P(T3) = P(T) \times P(3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \)
\( P(T4) = P(T) \times P(4) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \)
\( P(T5) = P(T) \times P(5) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \)
\( P(T6) = P(T) \times P(6) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \)
कुल प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6\} \)

घटना B: "कम से कम एक पट प्रकट होना"। (यह दी गई शर्त है)
वे परिणाम जहाँ कम से कम एक पट है:
\( B = \{HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6\} \)
\( P(B) = P(HT) + P(T1) + P(T2) + P(T3) + P(T4) + P(T5) + P(T6) \)
\( \implies P(B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} \)
\( \implies P(B) = \frac{1}{4} + \frac{6}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4} \)

घटना A: "पासे पर 4 से बड़ी संख्या प्रकट होना"। (यह वांछित घटना है)
यह घटना तभी घटित हो सकती है जब पहला सिक्का पट (T) हो, और पासे पर 5 या 6 आए।
\( A = \{T5, T6\} \)
\( P(A) = P(T5) + P(T6) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \)

अब, \( A \cap B \) ज्ञात करें। \( A \cap B \) वे परिणाम हैं जहाँ पासे पर 4 से बड़ी संख्या प्रकट हुई है और कम से कम एक पट भी आया है।
\( A \cap B = \{T5, T6\} \)
\( P(A \cap B) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \)
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र है:
\( P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{4}} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{1}{6} \times \frac{4}{3} \)
\( \implies P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \)
In simple words: पहले हमने सभी संभावित परिणामों (जैसे HH, HT, T1) और उनकी प्रायिकताओं को ज्ञात किया। फिर, हमने उन सभी परिणामों को चुना जहाँ कम से कम एक पट आया (हमारी दी गई जानकारी)। अंत में, उन परिणामों में से हमने उन्हें चुना जहाँ पासे पर 4 से बड़ी संख्या आई थी (T5, T6), और कुल कम से कम एक पट वाले परिणामों की प्रायिकता से भाग देकर 2/9 उत्तर प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: ऐसे जटिल परीक्षणों के लिए ट्री आरेख बनाना बहुत सहायक होता है, क्योंकि यह सभी संभावित परिणामों और उनकी संयुक्त प्रायिकताओं को स्पष्ट रूप से दर्शाने में मदद करता है, जिससे गणना आसान हो जाती है।