RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Exercise 16.5

Question 1. यदि एक न्यायय सिक्के को 10 बार उछाला गया हो तो निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात करो :
(i) तथ्यतः छः चित
(ii) कम से कम छः चित
(iii) अधिकतम छः चित
Answer: यहाँ, 10 बार सिक्का उछाला गया है, तो \( n = 10 \).
चित आने की प्रायिकता \( p = \frac{1}{2} \)
पट आने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
द्विपद बंटन का सूत्र \( P(X=x) = nC_x p^x q^{n-x} \)
\( P(X=x) = 10C_x \left(\frac{1}{2}\right)^x \left(\frac{1}{2}\right)^{10-x} \)
\( P(X=x) = 10C_x \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \)
(i) तथ्यतः छः चित का मतलब है \( x = 6 \).
तो, \( P(X=6) = 10C_6 \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \)
\( P(X=6) = \frac{10!}{6!4!} \times \frac{1}{1024} \)
\( P(X=6) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{1024} \)
\( P(X=6) = 210 \times \frac{1}{1024} = \frac{105}{512} \)
(ii) कम से कम छः चित का मतलब है \( x \ge 6 \).
अर्थात्, \( P(X \ge 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) \)
\( P(X \ge 6) = \left(\frac{1}{2}\right)^{10} [10C_6 + 10C_7 + 10C_8 + 10C_9 + 10C_{10}] \)
\( P(X \ge 6) = \frac{1}{1024} [210 + 120 + 45 + 10 + 1] \)
\( P(X \ge 6) = \frac{1}{1024} [386] = \frac{193}{512} \)
(iii) अधिकतम छः चित का मतलब है \( x \le 6 \).
अर्थात्, \( P(X \le 6) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) \)
\( P(X \le 6) = \left(\frac{1}{2}\right)^{10} [10C_0 + 10C_1 + 10C_2 + 10C_3 + 10C_4 + 10C_5 + 10C_6] \)
\( P(X \le 6) = \frac{1}{1024} [1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210] \)
\( P(X \le 6) = \frac{1}{1024} [848] = \frac{53}{64} \)
In simple words: सिक्के को 10 बार उछालने पर, हमने अलग-अलग चित आने की प्रायिकताएँ निकालीं. 6 चित आने की प्रायिकता \( \frac{105}{512} \), कम से कम 6 चित आने की प्रायिकता \( \frac{193}{512} \), और अधिकतम 6 चित आने की प्रायिकता \( \frac{53}{64} \) है.

🎯 Exam Tip: द्विपद बंटन के सवालों में \( nC_x \) के मान सही निकालना और सभी संभावित प्रायिकताओं को जोड़ना महत्वपूर्ण है.

Question 2. एक कलश में 5 सफेद, 7 लाल और 8 काली गेंदे। यदि चार गेंदे एक-एक करके प्रतिस्थापन सहित निकाली जाती है, तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि
(i) सभी सफेद गेंद हो
(ii) केवल तीन गेंदे हो
(ii) कोई भी सफेद गेंद नहीं हो
(iv) कम से कम तीन सफेद हो।
Answer:
कुल गेंदों की संख्या \( = 5 + 7 + 8 = 20 \)
सफेद गेंदों की संख्या \( = 5 \)
एक बार में सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता \( p = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \)
सफेद गेंद न निकलने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
चूँकि सभी घटनाएँ स्वतंत्र हैं और प्रतिस्थापन के साथ हैं.
(i) सभी सफेद गेंद हो (चारों सफेद हों):
\( P(\text{सभी सफेद}) = \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256} \)
(ii) केवल तीन गेंदे हो (तीन सफेद और एक गैर-सफेद):
\( P(\text{केवल 3 सफेद}) = 4C_3 \times \left(\frac{1}{4}\right)^3 \times \left(\frac{3}{4}\right)^1 \)
\( P(\text{केवल 3 सफेद}) = 4 \times \frac{1}{64} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{256} = \frac{3}{64} \)
(iii) कोई भी सफेद गेंद नहीं हो (चारों गैर-सफेद हों):
\( P(\text{कोई सफेद नहीं}) = \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{81}{256} \)
(iv) कम से कम तीन सफेद हो (तीन सफेद या चार सफेद):
\( P(\text{कम से कम 3 सफेद}) = P(\text{3 सफेद}) + P(\text{4 सफेद}) \)
\( P(\text{कम से कम 3 सफेद}) = 4C_3 \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^1 + 4C_4 \left(\frac{1}{4}\right)^4 \left(\frac{3}{4}\right)^0 \)
\( P(\text{कम से कम 3 सफेद}) = 4 \times \frac{1}{64} \times \frac{3}{4} + 1 \times \frac{1}{256} \times 1 \)
\( P(\text{कम से कम 3 सफेद}) = \frac{12}{256} + \frac{1}{256} = \frac{13}{256} \)
In simple words: एक कलश में विभिन्न रंगों की गेंदे हैं. चार गेंदे प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं. सभी सफेद होने की प्रायिकता \( \frac{1}{256} \), केवल तीन सफेद होने की \( \frac{3}{64} \), कोई भी सफेद न होने की \( \frac{81}{256} \), और कम से कम तीन सफेद होने की प्रायिकता \( \frac{13}{256} \) है.

🎯 Exam Tip: प्रतिस्थापन सहित चुने जाने वाले सवालों में घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं, इसलिए प्रायिकताएँ सीधे गुणा हो जाती हैं.

Question 3. एक बाधा दौड़ में एक खिलाड़ी को 10 बाधाएँ पार करनी हैं। खिलाड़ी के द्वारा प्रत्येक बाधा को पार करने की प्रायिकता \( \frac {5}{6} \) है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह 2 कम बाधाओं को गिरा देगा (पार नहीं कर पाएगा)?
Answer:
कुल बाधाओं की संख्या \( n = 10 \).
बाधा पार करने की प्रायिकता \( p = \frac{5}{6} \).
बाधा पार न करने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \).
खिलाड़ी द्वारा 2 से कम बाधाओं को गिराने का मतलब है कि वह 0 या 1 बाधा गिराएगा.
तो, हमें \( P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1) \) निकालना है, जहाँ \( X \) गिराई गई बाधाओं की संख्या है.
\( P(X=x) = nC_x p^x q^{n-x} \)
यहाँ, 'सफलता' बाधा गिराना है, इसलिए \( p = \frac{1}{6} \) (बाधा गिराने की प्रायिकता) और \( q = \frac{5}{6} \) (बाधा पार करने की प्रायिकता).
\( P(X=0) = 10C_0 \left(\frac{1}{6}\right)^0 \left(\frac{5}{6}\right)^{10} = 1 \times 1 \times \left(\frac{5}{6}\right)^{10} = \left(\frac{5}{6}\right)^{10} \)
\( P(X=1) = 10C_1 \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{5}{6}\right)^9 = 10 \times \frac{1}{6} \times \left(\frac{5}{6}\right)^9 \)
\( P(X < 2) = \left(\frac{5}{6}\right)^{10} + 10 \times \frac{1}{6} \times \left(\frac{5}{6}\right)^9 \)
\( P(X < 2) = \left(\frac{5}{6}\right)^9 \left[ \frac{5}{6} + \frac{10}{6} \right] \)
\( P(X < 2) = \left(\frac{5}{6}\right)^9 \left[ \frac{15}{6} \right] = \left(\frac{5}{6}\right)^9 \times \frac{5}{2} \)
\( P(X < 2) = \frac{5^{10}}{6^9 \times 2} = \frac{5^{10}}{2 \times 6^9} \)
In simple words: एक खिलाड़ी को 10 बाधाएँ पार करनी हैं. बाधा पार करने की प्रायिकता \( \frac{5}{6} \) है. वह 2 से कम बाधाएँ गिराएगा, इसकी प्रायिकता \( \frac{5^{10}}{2 \times 6^9} \) है.

🎯 Exam Tip: '2 कम बाधाओं को गिराएगा' का मतलब है 0 या 1 बाधा गिराना. 'गिराना' को सफलता मानकर \( p \) और \( q \) के मानों को ध्यान से चुनें.

Question 4. यदि एक पासे पर सम अंक आने को सफलता माना जाये तो अधिकतम 3 सफलताओं की प्रायिकता क्या है जब पासे को 5 बार उछाला गया हो?
Answer:
पासे को 5 बार उछाला गया है, तो \( n = 5 \).
सम अंक आने को सफलता माना जाता है. एक पासे पर सम अंक हैं \( \{2, 4, 6\} \).
कुल संभव परिणाम \( n(S) = 6 \).
सम अंक आने के परिणाम \( n(A) = 3 \).
सफलता की प्रायिकता \( p = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
असफलता की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).
हमें अधिकतम 3 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करनी है, यानी \( P(X \le 3) \).
\( P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \)
द्विपद बंटन के सूत्र \( P(X=x) = nC_x p^x q^{n-x} \) का उपयोग करें.
\( P(X \le 3) = 5C_0 \left(\frac{1}{2}\right)^0 \left(\frac{1}{2}\right)^5 + 5C_1 \left(\frac{1}{2}\right)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^4 + 5C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 5C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
\( P(X \le 3) = \left(\frac{1}{2}\right)^5 [5C_0 + 5C_1 + 5C_2 + 5C_3] \)
\( P(X \le 3) = \frac{1}{32} [1 + 5 + 10 + 10] \)
\( P(X \le 3) = \frac{1}{32} [26] = \frac{13}{16} \)
In simple words: पासे को 5 बार उछालने पर सम अंक आने को सफलता माना जाता है. सम अंक आने की प्रायिकता \( \frac{1}{2} \) है. अधिकतम 3 बार सम अंक आने की कुल प्रायिकता \( \frac{13}{16} \) है.

🎯 Exam Tip: 'अधिकतम 3 सफलताएँ' का मतलब है 0, 1, 2, या 3 सफलताएँ. सभी संबंधित प्रायिकताओं को जोड़ना न भूलें.

Question 5. 10% खराब अंडों वाले एक ढेर से 10 अंडे उत्तरोत्तर प्रतिस्थापन के साथ निकाले गऐ है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि 10 अंडों के प्रतिदर्श में कम से कम खाब अंडा है।
Answer:
खराब अंडों की प्रायिकता \( p = 10\% = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} \).
अच्छे अंडों की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \).
कुल अंडे निकाले गए \( n = 10 \).
हमें कम से कम एक खराब अंडा होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है. इसका मतलब है 1, 2, ..., 10 खराब अंडे.
इसे निकालने का आसान तरीका है कि कुल प्रायिकता (जो कि 1 होती है) में से 'कोई भी खराब अंडा न होने' की प्रायिकता को घटा दें.
\( P(\text{कम से कम 1 खराब अंडा}) = 1 - P(\text{कोई खराब अंडा नहीं}) \)
'कोई खराब अंडा नहीं' का मतलब है कि सभी 10 अंडे अच्छे हैं.
\( P(\text{कोई खराब अंडा नहीं}) = P(X=0) = nC_0 p^0 q^{n-0} = 10C_0 \left(\frac{1}{10}\right)^0 \left(\frac{9}{10}\right)^{10} \)
\( P(X=0) = 1 \times 1 \times \left(\frac{9}{10}\right)^{10} = \left(\frac{9}{10}\right)^{10} \)
तो, \( P(\text{कम से कम 1 खराब अंडा}) = 1 - \left(\frac{9}{10}\right)^{10} \)
In simple words: 10% खराब अंडों में से 10 अंडे निकाले गए. कम से कम एक खराब अंडा मिलने की संभावना यह है कि कुल संभावना में से एक भी खराब अंडा न मिलने की संभावना को घटा दें. यह \( 1 - \left(\frac{9}{10}\right)^{10} \) के बराबर है.

🎯 Exam Tip: 'कम से कम एक' वाले प्रायिकता के सवालों में, '1 - कोई नहीं' का सूत्र अक्सर गणना को सरल बनाता है.

Question 6. एक व्यक्ति एक लॉटरी के 50 टिकट खरीदता है, जिसमें उसके प्रत्येक में जीतने की \( \frac {1}{100} \) प्रायिकता है। इस बात की क्या प्रायिकता हैं कि वह
(i) कम से कम एक बार
(ii) तथ्यतः एक बार
(iii) कम से कम दो बार इनाम जीत लेगा।
Answer:
कुल टिकटों की संख्या \( n = 50 \).
जीतने की प्रायिकता \( p = \frac{1}{100} \).
हारने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} \).
(i) कम से कम एक बार जीतने की प्रायिकता:
\( P(\text{कम से कम 1 जीत}) = 1 - P(\text{कोई जीत नहीं}) \)
\( P(\text{कोई जीत नहीं}) = P(X=0) = 50C_0 \left(\frac{1}{100}\right)^0 \left(\frac{99}{100}\right)^{50} = \left(\frac{99}{100}\right)^{50} \)
तो, \( P(\text{कम से कम 1 जीत}) = 1 - \left(\frac{99}{100}\right)^{50} = 1 - (0.99)^{50} \)
(ii) तथ्यतः एक बार जीतने की प्रायिकता:
\( P(\text{तथ्यतः 1 जीत}) = P(X=1) = 50C_1 \left(\frac{1}{100}\right)^1 \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \)
\( P(\text{तथ्यतः 1 जीत}) = 50 \times \frac{1}{100} \times \left(\frac{99}{100}\right)^{49} = \frac{1}{2} \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \)
\( P(\text{तथ्यतः 1 जीत}) = \frac{1}{2} (0.99)^{49} \)
(iii) कम से कम दो बार इनाम जीतने की प्रायिकता:
\( P(\text{कम से कम 2 जीत}) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] \)
\( P(\text{कम से कम 2 जीत}) = 1 - \left[ \left(\frac{99}{100}\right)^{50} + \frac{1}{2} \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \right] \)
\( P(\text{कम से कम 2 जीत}) = 1 - \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \left[ \frac{99}{100} + \frac{1}{2} \right] \)
\( P(\text{कम से कम 2 जीत}) = 1 - \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \left[ \frac{99+50}{100} \right] \)
\( P(\text{कम से कम 2 जीत}) = 1 - \frac{149}{100} \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \)
In simple words: एक व्यक्ति ने 50 लॉटरी टिकट खरीदे. प्रत्येक टिकट के जीतने की संभावना \( \frac{1}{100} \) है. कम से कम एक बार जीतने की प्रायिकता \( 1 - (0.99)^{50} \) है, तथ्यतः एक बार जीतने की प्रायिकता \( \frac{1}{2} (0.99)^{49} \) है, और कम से कम दो बार जीतने की प्रायिकता \( 1 - \frac{149}{100} (0.99)^{49} \) है.

🎯 Exam Tip: प्रायिकता के सवालों में 'कम से कम' की गणना करने के लिए अक्सर पूरक घटना (complementary event) का उपयोग करना आसान होता है.

Question 7. किसी कारखाने में बने एक बल्ब की 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता 0.05 हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस प्रकार के 5 बल्बों में से
(i) एक भी नहीं
(ii) एक से अधिक नहीं
(iii) एक से अधिक
(iv) कम से कम एक 150 दिनों से उपयोग के बाद फ्यूज हो जायेंगे।
Answer:
बल्बों की संख्या \( n = 5 \).
फ्यूज होने की प्रायिकता \( p = 0.05 \).
फ्यूज न होने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - 0.05 = 0.95 \).
द्विपद बंटन का सूत्र \( P(X=x) = nC_x p^x q^{n-x} \).
(i) एक भी बल्ब फ्यूज नहीं (यानी \( X=0 \)):
\( P(X=0) = 5C_0 (0.05)^0 (0.95)^5 = 1 \times 1 \times (0.95)^5 = (0.95)^5 \)
(ii) एक से अधिक नहीं (यानी \( X \le 1 \), जिसका अर्थ है \( X=0 \) या \( X=1 \)):
\( P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) \)
\( P(X=1) = 5C_1 (0.05)^1 (0.95)^4 = 5 \times 0.05 \times (0.95)^4 = 0.25 \times (0.95)^4 \)
\( P(X \le 1) = (0.95)^5 + 0.25 \times (0.95)^4 \)
\( P(X \le 1) = (0.95)^4 [0.95 + 0.25] = (0.95)^4 [1.20] = 1.2 (0.95)^4 \)
(iii) एक से अधिक (यानी \( X > 1 \), जिसका अर्थ है \( X=2, 3, 4, \text{ या } 5 \)):
\( P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) \)
\( P(X > 1) = 1 - 1.2 (0.95)^4 \)
(iv) कम से कम एक 150 दिनों से उपयोग के बाद फ्यूज हो जायेगा (यानी \( X \ge 1 \)):
\( P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) \)
\( P(X \ge 1) = 1 - (0.95)^5 \)
In simple words: 5 बल्बों में से, फ्यूज होने की संभावना 0.05 है. एक भी बल्ब फ्यूज न होने की प्रायिकता \( (0.95)^5 \) है, एक से अधिक बल्ब फ्यूज न होने की प्रायिकता \( 1.2 (0.95)^4 \) है, एक से अधिक बल्ब फ्यूज होने की प्रायिकता \( 1 - 1.2 (0.95)^4 \) है, और कम से कम एक बल्ब फ्यूज होने की प्रायिकता \( 1 - (0.95)^5 \) है.

🎯 Exam Tip: 'एक से अधिक नहीं' का अर्थ \( X \le 1 \), और 'एक से अधिक' का अर्थ \( X > 1 \) या \( 1 - P(X \le 1) \) होता है. इन शर्तों को ध्यान से समझें.

Question 8. एक बह-विकल्पीय परीक्षा में 5 प्रश्न है जिनमें प्रत्येक के तीन संभावित उत्तर है जिनमें से केवल एक ही सही उत्तर हैं इसकी क्या प्रायिकता है कि एक विद्यार्थी केवल अनुमान लगा कर चार या अधिक प्रश्नों के सही उत्तर दे देगा?
Answer:
कुल प्रश्न \( n = 5 \).
प्रत्येक प्रश्न के 3 संभावित उत्तर हैं, जिनमें से 1 सही है.
अनुमान लगाकर सही उत्तर देने की प्रायिकता \( p = \frac{1}{3} \).
अनुमान लगाकर गलत उत्तर देने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).
हमें चार या अधिक प्रश्नों के सही उत्तर देने की प्रायिकता ज्ञात करनी है, यानी \( P(X \ge 4) \).
\( P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) \)
द्विपद बंटन के सूत्र \( P(X=x) = nC_x p^x q^{n-x} \) का उपयोग करें.
\( P(X=4) = 5C_4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243} \)
\( P(X=5) = 5C_5 \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243} \)
तो, \( P(X \ge 4) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243} \)
In simple words: एक परीक्षा में 5 प्रश्न हैं, और हर प्रश्न के 3 उत्तर हैं जिनमें से 1 सही है. यदि कोई सिर्फ अनुमान लगाता है, तो उसके 4 या 5 प्रश्न सही होने की संभावना \( \frac{11}{243} \) है.

🎯 Exam Tip: 'चार या अधिक' का मतलब है ठीक चार या ठीक पाँच. दोनों प्रायिकताओं को अलग-अलग निकालकर जोड़ें.

Question 9. एक सत्य-असत्य प्रकार के 20 प्रश्नों वाली परीक्षा में माना एक विद्यार्थी एक न्यायय एक सिक्के को उछालकार प्रश्न का उत्तर निर्धारित करता है। यदि पासे पर चित प्रकट हो, तो वह प्रश्न का उत्तर 'सत्य' देता है और यदि पट प्रकट हो, तो 'असत्य' लिखता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम से कम 12 प्रश्नों का सही उत्तर देता है।
Answer:
कुल प्रश्न \( n = 20 \).
सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता \( P(\text{चित}) = \frac{1}{2} \).
सिक्के को उछालने पर पट आने की प्रायिकता \( P(\text{पट}) = \frac{1}{2} \).
माना कि प्रश्न का सही उत्तर 'सत्य' है. यदि चित आता है तो विद्यार्थी 'सत्य' लिखता है, तो सही उत्तर देने की प्रायिकता \( p = \frac{1}{2} \).
यदि प्रश्न का सही उत्तर 'असत्य' है. यदि पट आता है तो विद्यार्थी 'असत्य' लिखता है, तो सही उत्तर देने की प्रायिकता \( p = \frac{1}{2} \).
दोनों ही मामलों में, सही उत्तर देने की प्रायिकता \( p = \frac{1}{2} \) है. (यह मानकर कि सही उत्तर या तो सत्य है या असत्य, और विद्यार्थी सही उत्तर देने का 50% मौका लेता है).
गलत उत्तर देने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).
हमें कम से कम 12 प्रश्नों के सही उत्तर देने की प्रायिकता ज्ञात करनी है, यानी \( P(X \ge 12) \).
\( P(X \ge 12) = P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) + P(X=17) + P(X=18) + P(X=19) + P(X=20) \)
द्विपद बंटन के सूत्र \( P(X=x) = nC_x p^x q^{n-x} \) का उपयोग करें.
\( P(X \ge 12) = 20C_{12} \left(\frac{1}{2}\right)^{12} \left(\frac{1}{2}\right)^8 + 20C_{13} \left(\frac{1}{2}\right)^{13} \left(\frac{1}{2}\right)^7 + \dots + 20C_{20} \left(\frac{1}{2}\right)^{20} \left(\frac{1}{2}\right)^0 \)
\( P(X \ge 12) = \left(\frac{1}{2}\right)^{20} [20C_{12} + 20C_{13} + 20C_{14} + 20C_{15} + 20C_{16} + 20C_{17} + 20C_{18} + 20C_{19} + 20C_{20}] \)
In simple words: 20 प्रश्नों की परीक्षा में, एक विद्यार्थी सिक्के उछालकर जवाब देता है. सही जवाब देने की संभावना \( \frac{1}{2} \) है. विद्यार्थी के कम से कम 12 सवालों के सही जवाब देने की कुल संभावना इन सभी अलग-अलग संभावनाओं का जोड़ होगी.

🎯 Exam Tip: 'कम से कम 12' का मतलब है 12 से 20 तक सभी संभावनाओं को जोड़ना. \( \left(\frac{1}{2}\right)^n \) को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालना गणना को आसान बनाता है.

Question 10. एक थैले में 0 से 9 तक के अंकों में से अंक लिखा है। यदि थैले से 4 गेंदें उत्तरोत्तर पुनः वापस रखते हुए निकाली जाती है, तो उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 लिखा न होने की प्रायिकता क्या है?
Answer:
थैले में कुल अंक \( = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \), तो कुल संख्या \( = 10 \).
अंक 0 आने की प्रायिकता \( p = \frac{1}{10} \).
अंक 0 न आने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \).
4 गेंदें उत्तरोत्तर प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं, तो \( n = 4 \).
हमें किसी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है, यानी चारों गेंदों पर 0 न हो.
यह द्विपद बंटन में \( P(X=0) \) के समान है, जहाँ \( X \) अंक 0 आने की संख्या है.
\( P(X=0) = nC_0 p^0 q^{n-0} \)
\( P(X=0) = 4C_0 \left(\frac{1}{10}\right)^0 \left(\frac{9}{10}\right)^4 \)
\( P(X=0) = 1 \times 1 \times \left(\frac{9}{10}\right)^4 = \left(\frac{9}{10}\right)^4 = \frac{6561}{10000} \)
In simple words: एक थैले में 0 से 9 तक के अंक वाली 10 गेंदें हैं. 4 गेंदें वापस रखते हुए निकाली जाती हैं. किसी भी गेंद पर 0 न होने की संभावना \( \left(\frac{9}{10}\right)^4 \) है, क्योंकि हर बार 0 न आने की संभावना \( \frac{9}{10} \) है.

🎯 Exam Tip: 'किसी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा होने' का मतलब है कि हर बार अंक 0 नहीं आया. चूंकि चुनाव प्रतिस्थापन के साथ है, प्रत्येक घटना स्वतंत्र होती है.

Question 11. 52 ताश के पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से 5 पत्ते उत्तरोतर प्रतिस्थापन सहित निकाले जाते है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) सभी 5 पत्ते हुकुम के हो ?
(ii) केवल 3 पत्ते हुकुम के हो ?
(iii) एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो ?
Answer:
कुल पत्तों की संख्या \( = 52 \).
हुकुम के पत्तों की संख्या \( = 13 \).
एक पत्ता निकालने पर हुकुम होने की प्रायिकता \( p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \).
एक पत्ता निकालने पर हुकुम न होने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \).
5 पत्ते प्रतिस्थापन सहित निकाले गए हैं, तो \( n = 5 \).
(i) सभी 5 पत्ते हुकुम के हों:
\( P(X=5) = nC_5 p^5 q^{n-5} = 5C_5 \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{1024} \times 1 = \frac{1}{1024} \)
(ii) केवल 3 पत्ते हुकुम के हों:
\( P(X=3) = nC_3 p^3 q^{n-3} = 5C_3 \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^2 \)
\( P(X=3) = 10 \times \frac{1}{64} \times \frac{9}{16} = \frac{90}{1024} = \frac{45}{512} \)
(iii) एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो:
\( P(X=0) = nC_0 p^0 q^{n-0} = 5C_0 \left(\frac{1}{4}\right)^0 \left(\frac{3}{4}\right)^5 = 1 \times 1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \frac{243}{1024} \)
In simple words: 52 पत्तों की गड्डी में से 5 पत्ते निकाले जाते हैं, वापस रखते हुए. हुकुम का पत्ता आने की संभावना \( \frac{1}{4} \) है. सभी 5 पत्ते हुकुम के होने की प्रायिकता \( \frac{1}{1024} \), केवल 3 पत्ते हुकुम के होने की प्रायिकता \( \frac{45}{512} \), और कोई भी पत्ता हुकुम का न होने की प्रायिकता \( \frac{243}{1024} \) है.

🎯 Exam Tip: प्रतिस्थापन के साथ पत्तों के चयन में, हर बार चुनने की प्रायिकता समान रहती है और घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं, इसलिए द्विपद बंटन का उपयोग किया जाता है.

Question 12. माना चर X का बंटन B(6, \( \frac {1}{2} \)) द्विपद बंटन है सिद्ध करो कि X=3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
Answer:
दिया गया द्विपद बंटन \( B(n, p) \) है, जहाँ \( n = 6 \) और \( p = \frac{1}{2} \).
असफलता की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).
द्विपद बंटन का प्रायिकता फलन है: \( P(X=x) = nC_x p^x q^{n-x} \)
यहाँ, \( P(X=x) = 6C_x \left(\frac{1}{2}\right)^x \left(\frac{1}{2}\right)^{6-x} = 6C_x \left(\frac{1}{2}\right)^6 \).
हमें यह सिद्ध करना है कि \( X=3 \) अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है. इसके लिए हमें \( x \) के विभिन्न मानों के लिए \( P(X=x) \) की गणना करनी होगी.
चूँकि \( \left(\frac{1}{2}\right)^6 \) सभी मानों के लिए स्थिर है, हमें केवल \( 6C_x \) के मानों की तुलना करनी है.
\( 6C_0 = 1 \)
\( 6C_1 = 6 \)
\( 6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \)
\( 6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \)
\( 6C_4 = 6C_{6-4} = 6C_2 = 15 \)
\( 6C_5 = 6C_{6-5} = 6C_1 = 6 \)
\( 6C_6 = 6C_{6-6} = 6C_0 = 1 \)
स्पष्ट है कि \( 6C_x \) का अधिकतम मान \( 6C_3 = 20 \) है.
इसलिए, \( P(X=3) = 6C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^6 \) अधिकतम प्रायिकता है.
यह सिद्ध होता है कि \( X=3 \) अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है जब \( n=6 \) और \( p=\frac{1}{2} \).
In simple words: एक द्विपद बंटन में जहाँ 6 प्रयास हैं और सफलता की प्रायिकता \( \frac{1}{2} \) है, तो सबसे अधिक संभावना 3 सफलताओं की होगी. हमने यह देखा कि \( 6C_x \) के मानों में \( 6C_3 \) सबसे बड़ा है, जिसका मतलब है कि \( X=3 \) पर प्रायिकता सबसे ज़्यादा है.

🎯 Exam Tip: जब \( p = \frac{1}{2} \) होता है, तो द्विपद बंटन सममित होता है और अधिकतम प्रायिकता मध्यमान \( \frac{n}{2} \) पर होती है (यदि \( n \) सम है). \( n \) विषम होने पर, अधिकतम प्रायिकता \( \frac{n \pm 1}{2} \) पर होती है.

Question 13. पासों के एक जोड़ को 4 बार उछाला जाता है। यदि पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक होना सफलता मानी जाए तो 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करो।
Answer:
एक जोड़ पासों को उछालने पर कुल संभव परिणाम \( n(S) = 6 \times 6 = 36 \).
द्विक (दोनों पासों पर समान अंक) आने के परिणाम हैं: \( \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\} \).
तो, द्विक आने की संख्या \( = 6 \).
द्विक आने की प्रायिकता (सफलता) \( p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \).
द्विक न आने की प्रायिकता (असफलता) \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \).
पासों के जोड़ को 4 बार उछाला जाता है, तो \( n = 4 \).
हमें 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करनी है, यानी \( P(X=2) \).
द्विपद बंटन के सूत्र \( P(X=x) = nC_x p^x q^{n-x} \) का उपयोग करें.
\( P(X=2) = 4C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^2 \)
\( P(X=2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} \)
\( P(X=2) = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} \)
\( P(X=2) = \frac{1}{6} \times \frac{25}{36} = \frac{25}{216} \)
In simple words: दो पासों को 4 बार उछाला जाता है. दोनों पासों पर एक ही अंक आने को सफलता मानते हैं. ऐसा होने की प्रायिकता \( \frac{1}{6} \) है. हमें ठीक 2 बार ऐसी सफलता मिलने की संभावना \( \frac{25}{216} \) है.

🎯 Exam Tip: द्विक आने के सभी संभावित परिणामों को सूचीबद्ध करना सुनिश्चित करें ताकि आप सफलता की प्रायिकता \( p \) को सही ढंग से निर्धारित कर सकें.

प्रश्न 1. यदि एक न्यायय सिक्के को 10 बार उछाला गया हो तो निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात करो :
(i) तथ्यतः छः चित
(ii) कम से कम छः चित
(iii) अधिकतम छः चित।
Answer:
यह एक द्विपद बंटन है, जहाँ \( n = 10 \) (कुल उछाल), \( p = \frac{1}{2} \) (चित आने की प्रायिकता), और \( q = 1 - p = \frac{1}{2} \) (पट आने की प्रायिकता) है।
प्रायिकता फलन है: \( P(X = x) = ^{10}C_x (\frac{1}{2})^x (\frac{1}{2})^{10-x} \)
\( \implies P(X = x) = ^{10}C_x (\frac{1}{2})^{10} \)

(i) तथ्यतः छः चित (ठीक 6 चित)
इसका मतलब है कि \( x = 6 \) है।
\( P(X = 6) = ^{10}C_6 (\frac{1}{2})^{10} \)
\( \implies P(X = 6) = \frac{10!}{6!4!} \times \frac{1}{1024} \)
\( \implies P(X = 6) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{1024} \)
\( \implies P(X = 6) = 210 \times \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} = \frac{105}{512} \)

(ii) कम से कम छः चित (यानी 6 या 6 से अधिक चित)
इसका मतलब है कि \( x \ge 6 \) है। हमें \( P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) \) निकालना होगा।
\( P(X \ge 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) \)
\( \implies P(X \ge 6) = ^{10}C_6 (\frac{1}{2})^{10} + ^{10}C_7 (\frac{1}{2})^{10} + ^{10}C_8 (\frac{1}{2})^{10} + ^{10}C_9 (\frac{1}{2})^{10} + ^{10}C_{10} (\frac{1}{2})^{10} \)
\( \implies P(X \ge 6) = (\frac{1}{2})^{10} [^{10}C_6 + ^{10}C_7 + ^{10}C_8 + ^{10}C_9 + ^{10}C_{10}] \)
\( \implies P(X \ge 6) = \frac{1}{1024} [210 + 120 + 45 + 10 + 1] \)
\( \implies P(X \ge 6) = \frac{1}{1024} [386] = \frac{386}{1024} = \frac{193}{512} \)

(iii) अधिकतम छः चित (यानी 6 या 6 से कम चित)
इसका मतलब है कि \( x \le 6 \) है। हमें \( P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) \) निकालना होगा।
\( P(X \le 6) = (\frac{1}{2})^{10} [^{10}C_0 + ^{10}C_1 + ^{10}C_2 + ^{10}C_3 + ^{10}C_4 + ^{10}C_5 + ^{10}C_6] \)
\( \implies P(X \le 6) = \frac{1}{1024} [1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210] \)
\( \implies P(X \le 6) = \frac{1}{1024} [848] = \frac{848}{1024} = \frac{53}{64} \)
In simple words: जब एक सिक्का 10 बार उछाला जाता है, तो चित आने की संभावना 6 होने पर \( \frac{105}{512} \), कम से कम 6 चित आने पर \( \frac{193}{512} \) और अधिकतम 6 चित आने पर \( \frac{53}{64} \) है।

🎯 Exam Tip: द्विपद बंटन के प्रश्नों में n, p, और q के मानों को सही ढंग से पहचानें। \( ^{n}C_r \) की गणना करते समय सावधानी बरतें, खासकर बड़े मानों के लिए।

प्रश्न 2. एक कलश में 5 सफेद, 7 लाल और 8 काली गेंदे। यदि चार गेंदे एक-एक करके प्रतिस्थापन सहित निकाली जाती है, तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि
(i) सभी सफेद गेंद हो
(ii) केवल तीन गेंदे हो
(iii) कोई भी सफेद गेंद नहीं हो
(iv) कम से कम तीन सफेद हो।
Answer:
कुल गेंदों की संख्या \( = 5 + 7 + 8 = 20 \)
सफेद गेंदों की संख्या \( = 5 \)
एक बार में सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता \( p = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \)
सफेद गेंद न निकलने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
चूंकि सभी घटनाएँ स्वतंत्र हैं। \( n = 4 \) (निकाली गई गेंदों की संख्या)

(i) सभी सफेद गेंद हों
यानी चारों गेंदें सफेद हों। \( P(X=4) \)
\( P(X=4) = ^{4}C_4 p^4 q^0 = (\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256} \)
In simple words: क्योंकि प्रतिस्थापन हो रहा है, हर बार सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता \( \frac{1}{4} \) रहती है। चारों गेंदें सफेद होने की प्रायिकता \( (\frac{1}{4})^4 \) है।

(ii) केवल तीन गेंदें सफेद हों
यानी 3 गेंदें सफेद और 1 गेंद सफेद न हो। \( P(X=3) \)
\( P(X=3) = ^{4}C_3 p^3 q^1 = ^{4}C_3 (\frac{1}{4})^3 (\frac{3}{4})^1 \)
\( \implies P(X=3) = 4 \times \frac{1}{64} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{256} = \frac{3}{64} \)
In simple words: 4 में से 3 सफेद गेंदें निकलने और 1 गैर-सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता \( ^{4}C_3 (\frac{1}{4})^3 (\frac{3}{4})^1 \) है।

(iii) कोई भी सफेद गेंद नहीं हो
यानी चारों गेंदें सफेद न हों। \( P(X=0) \)
\( P(X=0) = ^{4}C_0 p^0 q^4 = (\frac{3}{4})^4 = \frac{81}{256} \)
In simple words: कोई भी सफेद गेंद न निकलने का मतलब है कि चारों गेंदें गैर-सफेद हों, जिसकी प्रायिकता \( (\frac{3}{4})^4 \) है।

(iv) कम से कम तीन सफेद हों
यानी 3 या 4 गेंदें सफेद हों। \( P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) \)
\( P(X \ge 3) = ^{4}C_3 (\frac{1}{4})^3 (\frac{3}{4})^1 + ^{4}C_4 (\frac{1}{4})^4 (\frac{3}{4})^0 \)
\( \implies P(X \ge 3) = \frac{12}{256} + \frac{1}{256} = \frac{13}{256} \)
In simple words: कम से कम तीन सफेद गेंदों का मतलब है कि या तो तीन सफेद हों या चारों सफेद हों। हम इन दोनों प्रायिकताओं को जोड़ देते हैं।

🎯 Exam Tip: प्रतिस्थापन वाले प्रश्नों में, प्रत्येक प्रयास में प्रायिकता समान रहती है। 'कम से कम' या 'अधिकतम' जैसे शब्दों का अर्थ सही ढंग से समझें और उसके अनुसार प्रायिकताओं का योग करें।

प्रश्न 3. एक बाधा दौड़ में एक खिलाड़ी को 10 बाधाएँ पार करनी हैं। खिलाड़ी के द्वारा प्रत्येक बाधा को पार करने की प्रायिकता \( \frac{5}{6} \) है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह 2 कम बाधाओं को गिरा देगा (पार नहीं कर पाएगा)?
Answer:
कुल बाधाओं की संख्या \( n = 10 \)
बाधा को पार करने की प्रायिकता \( p = \frac{5}{6} \)
बाधा पार न करने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \)
हमें प्रायिकता ज्ञात करनी है कि खिलाड़ी 2 से कम बाधाओं को गिरा देगा। '2 से कम' का अर्थ है 0 या 1 बाधा गिराना।
यदि \( Y \) गिराई गई बाधाओं की संख्या है, तो \( Y \) द्विपद बंटन \( B(10, \frac{1}{6}) \) का पालन करता है।
हमें \( P(Y < 2) = P(Y=0) + P(Y=1) \) ज्ञात करना है।
\( P(Y=0) = ^{10}C_0 (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^{10} = 1 \times 1 \times (\frac{5}{6})^{10} = (\frac{5}{6})^{10} \)
\( P(Y=1) = ^{10}C_1 (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^9 = 10 \times \frac{1}{6} \times (\frac{5}{6})^9 \)
\( \implies P(Y < 2) = (\frac{5}{6})^{10} + 10 \times \frac{1}{6} \times (\frac{5}{6})^9 \)
\( \implies P(Y < 2) = (\frac{5}{6})^9 [\frac{5}{6} + \frac{10}{6}] \)
\( \implies P(Y < 2) = (\frac{5}{6})^9 [\frac{15}{6}] = (\frac{5}{6})^9 \times \frac{5}{2} \)
\( \implies P(Y < 2) = \frac{5^{10}}{6^9 \times 2} = \frac{5^{10}}{2 \times 6^9} \)
In simple words: खिलाड़ी को 10 बाधाएँ पार करनी हैं, और हर बाधा को पार न करने की संभावना \( \frac{1}{6} \) है। यदि वह 0 या 1 बाधा गिराता है, तो इसकी प्रायिकता की गणना द्विपद सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

🎯 Exam Tip: '2 से कम' का मतलब '0 या 1' होता है। इसे सही ढंग से परिभाषित करें। द्विपद बंटन में सफलता और असफलता की प्रायिकता को स्पष्ट रूप से पहचानें।

प्रश्न 5. 10% खराब अंडों वाले एक ढेर से 10 अंडे उत्तरोत्तर प्रतिस्थापन के साथ निकाले गऐ है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि 10 अंडों के प्रतिदर्श में कम से कम खाब अंडा है।
Answer:
खराब अंडों की प्रायिकता \( p = 10\% = \frac{10}{100} = 0.1 \)
अच्छे अंडों की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - 0.1 = 0.9 \)
निकाले गए अंडों की संख्या \( n = 10 \)
कम से कम एक अंडा खराब होने की प्रायिकता का मतलब है कि 10 अंडों में से 1, 2, ..., या सभी 10 अंडे खराब हों।
इसे \( 1 - P(\text{कोई भी अंडा खराब नहीं}) \) के रूप में निकालना आसान है।
\( P(\text{कोई भी अंडा खराब नहीं}) = P(X=0) \)
\( P(X=0) = ^{10}C_0 p^0 q^{10} = q^{10} = (0.9)^{10} \)
इसलिए, कम से कम एक अंडा खराब होने की प्रायिकता है:
\( P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - (0.9)^{10} \)
In simple words: 10 में से कम से कम एक अंडा खराब होने की संभावना निकालने के लिए, हम कुल संभावना (जो 1 है) में से एक भी अंडा खराब न होने की संभावना को घटा देते हैं।

🎯 Exam Tip: 'कम से कम एक' वाले प्रश्नों को अक्सर \( 1 - P(\text{कोई नहीं}) \) सूत्र का उपयोग करके हल करना सबसे आसान होता है। प्रतिशत को दशमलव में बदलना न भूलें।

प्रश्न 6. एक व्यक्ति एक लॉटरी के 50 टिकट खरीदता है, जिसमें उसके प्रत्येक में जीतने की \( \frac{1}{100} \) प्रायिकता है। इस बात की क्या प्रायिकता हैं कि वह
(i) कम से कम एक बार
(ii) तथ्यतः एक बार
(iii) कम से कम दो बार इनाम जीत लेगा।
Answer:
कुल खरीदे गए टिकट \( n = 50 \)
प्रत्येक टिकट जीतने की प्रायिकता \( p = \frac{1}{100} = 0.01 \)
प्रत्येक टिकट हारने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - 0.01 = 0.99 \)

(i) कम से कम एक बार जीतने की प्रायिकता
यह \( 1 - P(\text{कोई बार नहीं जीतना}) \) के बराबर है।
\( P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) \)
\( P(X=0) = ^{50}C_0 p^0 q^{50} = (0.99)^{50} \)
\( \implies P(X \ge 1) = 1 - (0.99)^{50} \)
In simple words: कम से कम एक बार जीतने के लिए, हम कुल संभावना में से एक भी बार न जीतने की संभावना घटाते हैं।

(ii) तथ्यतः एक बार जीतने की प्रायिकता
यानी ठीक एक बार जीतना। \( P(X=1) \)
\( P(X=1) = ^{50}C_1 p^1 q^{49} \)
\( \implies P(X=1) = 50 \times (\frac{1}{100})^1 \times (\frac{99}{100})^{49} \)
\( \implies P(X=1) = \frac{50}{100} \times (\frac{99}{100})^{49} = \frac{1}{2} (0.99)^{49} \)
In simple words: ठीक एक बार जीतने के लिए, हम 50 में से 1 को चुनते हैं, फिर जीतने और 49 बार हारने की संभावना गुणा करते हैं।

(iii) कम से कम दो बार जीतने की प्रायिकता
यानी 2 या अधिक बार जीतना। \( P(X \ge 2) \)
यह \( 1 - [P(X=0) + P(X=1)] \) के बराबर है।
\( P(X \ge 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] \)
\( \implies P(X \ge 2) = 1 - [(0.99)^{50} + \frac{1}{2} (0.99)^{49}] \)
\( \implies P(X \ge 2) = 1 - (0.99)^{49} [0.99 + \frac{1}{2}] \)
\( \implies P(X \ge 2) = 1 - (0.99)^{49} [0.99 + 0.5] \)
\( \implies P(X \ge 2) = 1 - (0.99)^{49} [1.49] \)
\( \implies P(X \ge 2) = 1 - 1.49(0.99)^{49} \)
In simple words: कम से कम दो बार जीतने के लिए, हम कुल संभावना में से एक भी बार न जीतने और ठीक एक बार जीतने की संभावनाओं का योग घटा देते हैं।

🎯 Exam Tip: जटिल प्रायिकताओं को सरल बनाने के लिए '1 - P(घटना नहीं)' सूत्र का उपयोग करें। सही संयोजन \( ^{n}C_r \) और घातों को लगाना सुनिश्चित करें।

प्रश्न 7. किसी कारखाने में बने एक बल्ब की 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता 0.05 हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस प्रकार के 5 बल्बों में से
(i) एक भी नहीं
(ii) एक से अधिक नहीं
(iii) एक से अधिक
(iv) कम से कम एक 150 दिनों से उपयोग के बाद फ्यूज हो जायेंगे।
Answer:
बल्ब के फ्यूज होने की प्रायिकता \( p = 0.05 \)
बल्ब के फ्यूज न होने की प्रायिकता \( q = 1 - 0.05 = 0.95 \)
कुल बल्बों की संख्या \( n = 5 \)

(i) P(एक भी बल्ब फ्यूज न हो)
यह \( P(X=0) \) के बराबर है।
\( P(X=0) = ^{5}C_0 p^0 q^5 = (0.95)^5 \)
In simple words: कोई भी बल्ब फ्यूज न होने का मतलब है कि सभी 5 बल्ब ठीक काम करते रहें।

(ii) P(एक से अधिक नहीं फ्यूज)
यह \( P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) \) के बराबर है।
\( P(X \le 1) = ^{5}C_0 q^5 + ^{5}C_1 p^1 q^4 \)
\( \implies P(X \le 1) = (0.95)^5 + 5 \times 0.05 \times (0.95)^4 \)
\( \implies P(X \le 1) = (0.95)^4 [0.95 + 5 \times 0.05] \)
\( \implies P(X \le 1) = (0.95)^4 [0.95 + 0.25] \)
\( \implies P(X \le 1) = (0.95)^4 [1.2] = 1.2(0.95)^4 \)
In simple words: एक से अधिक बल्ब फ्यूज न होने का मतलब है या तो कोई भी फ्यूज न हो या सिर्फ एक बल्ब फ्यूज हो।

(iii) P(एक से अधिक फ्यूज)
यह \( P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) \) के बराबर है।
\( P(X > 1) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] \)
\( \implies P(X > 1) = 1 - 1.2(0.95)^4 \)
(भाग (ii) से प्राप्त मान का उपयोग किया गया है।)
In simple words: एक से अधिक बल्ब फ्यूज होने की संभावना निकालने के लिए, हम कुल संभावना में से 'एक से अधिक नहीं' (यानी 0 या 1 फ्यूज) होने की संभावना को घटा देते हैं।

(iv) P(कम से कम एक फ्यूज)
यह \( P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) \) के बराबर है।
\( P(X \ge 1) = 1 - (0.95)^5 \)
(भाग (i) से प्राप्त मान का उपयोग किया गया है।)
In simple words: कम से कम एक बल्ब फ्यूज होने की संभावना निकालने के लिए, हम कुल संभावना में से एक भी बल्ब फ्यूज न होने की संभावना घटाते हैं।

🎯 Exam Tip: 'एक से अधिक नहीं' का अर्थ '0 या 1', 'एक से अधिक' का अर्थ '2 या उससे अधिक', और 'कम से कम एक' का अर्थ '1 या उससे अधिक' होता है। इन शब्दों को सही ढंग से व्याख्या करना महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 8. एक बह-विकल्पीय परीक्षा में 5 प्रश्न है जिनमें प्रत्येक के तीन संभावित उत्तर है जिनमें से केवल एक ही सही उत्तर हैं इसकी क्या प्रायिकता है कि एक विद्यार्थी केवल अनुमान लगा कर चार या अधिक प्रश्नों के सही उत्तर दे देगा?
Answer:
कुल प्रश्न \( n = 5 \)
प्रत्येक प्रश्न के 3 संभावित उत्तर हैं, जिनमें से केवल 1 सही है।
सही उत्तर देने की प्रायिकता \( p = \frac{1}{3} \)
गलत उत्तर देने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)
हमें प्रायिकता ज्ञात करनी है कि विद्यार्थी चार या अधिक प्रश्नों के सही उत्तर दे देगा।
यह \( P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) \) के बराबर है।
\( P(X=4) = ^{5}C_4 p^4 q^1 = ^{5}C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243} \)
\( P(X=5) = ^{5}C_5 p^5 q^0 = ^{5}C_5 (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243} \)
\( P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243} \)
In simple words: 5 प्रश्नों में से, प्रत्येक प्रश्न का सही उत्तर देने की 1/3 संभावना है। 4 या 5 प्रश्न सही होने की कुल संभावना \( \frac{11}{243} \) है।

🎯 Exam Tip: 'चार या अधिक' का अर्थ '4 या 5' होता है। द्विपद बंटन के लिए \( p \) और \( q \) के मानों को सही ढंग से पहचानें।

प्रश्न 9. एक सत्य-असत्य प्रकार के 20 प्रश्नों वाली परीक्षा में माना एक विद्यार्थी एक न्यायय एक सिक्के को उछालकार प्रश्न का उत्तर निर्धारित करता है। यदि पासे पर चित प्रकट हो, तो वह प्रश्न का उत्तर 'सत्य' देता है और यदि पट प्रकट हो, तो 'असत्य' लिखता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम से कम 12 प्रश्नों का सही उत्तर देता है।
Answer:
कुल प्रश्न \( n = 20 \)
सिक्के पर चित आने की प्रायिकता \( = \frac{1}{2} \)
सिक्के पर पट आने की प्रायिकता \( = \frac{1}{2} \)
यदि विद्यार्थी अनुमान लगाता है, तो सही उत्तर देने की प्रायिकता \( p = \frac{1}{2} \) (क्योंकि 'सत्य' या 'असत्य' में से एक चुनता है, और सही उत्तर होने की संभावना 1/2 होती है)।
गलत उत्तर देने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
हमें कम से कम 12 प्रश्नों के सही उत्तर देने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
यह \( P(X \ge 12) = P(X=12) + P(X=13) + \dots + P(X=20) \) के बराबर है।
\( P(X \ge 12) = ^{20}C_{12} (\frac{1}{2})^{12} (\frac{1}{2})^8 + ^{20}C_{13} (\frac{1}{2})^{13} (\frac{1}{2})^7 + \dots + ^{20}C_{20} (\frac{1}{2})^{20} (\frac{1}{2})^0 \)
\( \implies P(X \ge 12) = (\frac{1}{2})^{20} [^{20}C_{12} + ^{20}C_{13} + ^{20}C_{14} + ^{20}C_{15} + ^{20}C_{16} + ^{20}C_{17} + ^{20}C_{18} + ^{20}C_{19} + ^{20}C_{20}] \)
यह एक लंबा योग है जिसे सीधे गणना करना कठिन है, लेकिन यह एक मानक द्विपद प्रायिकता है। इसका सटीक मान ज्ञात करने के लिए गणना की आवश्यकता होगी।
In simple words: 20 प्रश्नों में से, हर प्रश्न के सही होने की संभावना \( \frac{1}{2} \) है। कम से कम 12 प्रश्न सही होने की संभावना निकालने के लिए, हमें 12 से 20 तक सभी सही उत्तरों की संभावनाओं को जोड़ना होगा।

🎯 Exam Tip: 'सत्य-असत्य' प्रश्नों में अनुमान लगाने पर सही उत्तर की प्रायिकता हमेशा 1/2 होती है। 'कम से कम' का अर्थ है दी गई संख्या से अधिक या बराबर।

प्रश्न 11. 52 ताश के पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से 5 पत्ते उत्तरोतर प्रतिस्थापन सहित निकाले जाते है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) सभी 5 पत्ते हुकुम के हो ?
(ii) केवल 3 पत्ते हुकुम के हो ?
(iii) एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो ?
Answer:
कुल पत्ते \( = 52 \)
हुकुम के पत्तों की संख्या \( = 13 \)
एक हुकुम का पत्ता निकालने की प्रायिकता \( p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \)
एक हुकुम का पत्ता न निकालने की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
निकाले गए पत्तों की संख्या \( n = 5 \)

(i) सभी 5 पत्ते हुकुम के हों
यानी \( X=5 \)
\( P(X=5) = ^{5}C_5 p^5 q^0 = (\frac{1}{4})^5 = \frac{1}{1024} \)
In simple words: चूंकि हर बार पत्ता वापस रखा जाता है, हर बार हुकुम निकलने की संभावना 1/4 रहती है। सभी 5 पत्ते हुकुम होने की संभावना \( (\frac{1}{4})^5 \) है।

(ii) केवल 3 पत्ते हुकुम के हों
यानी 3 पत्ते हुकुम के हों और 2 पत्ते हुकुम के न हों। \( X=3 \)
\( P(X=3) = ^{5}C_3 p^3 q^2 = ^{5}C_3 (\frac{1}{4})^3 (\frac{3}{4})^2 \)
\( \implies P(X=3) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{1}{64} \times \frac{9}{16} \)
\( \implies P(X=3) = 10 \times \frac{1}{64} \times \frac{9}{16} = \frac{90}{1024} = \frac{45}{512} \)
In simple words: 5 में से 3 पत्ते हुकुम के होने और 2 पत्ते हुकुम के न होने की संभावना \( ^{5}C_3 (\frac{1}{4})^3 (\frac{3}{4})^2 \) है।

(iii) एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो
यानी कोई भी पत्ता हुकुम का न हो। \( X=0 \)
\( P(X=0) = ^{5}C_0 p^0 q^5 = (\frac{3}{4})^5 \)
\( \implies P(X=0) = \frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4} = \frac{243}{1024} \)
In simple words: एक भी पत्ता हुकुम का न निकलने का मतलब है कि सभी 5 पत्ते हुकुम के न हों, जिसकी संभावना \( (\frac{3}{4})^5 \) है।

🎯 Exam Tip: प्रतिस्थापन के साथ पत्तों के चुनाव में, प्रत्येक चुनाव स्वतंत्र होता है और प्रायिकताएँ समान रहती हैं। द्विपद बंटन का सही उपयोग सुनिश्चित करें।

प्रश्न 12. माना चर X का बंटन \( B(6, \frac{1}{2}) \) द्विपद बंटन हैं सिद्ध करो कि \( X=3 \) अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
Answer:
दिया गया बंटन द्विपद बंटन \( B(6, \frac{1}{2}) \) है। यहाँ \( n=6 \) और \( p=\frac{1}{2} \) है।
प्रायिकता फलन है: \( P(X=x) = ^{6}C_x (\frac{1}{2})^x (\frac{1}{2})^{6-x} = ^{6}C_x (\frac{1}{2})^6 \)
हमें यह सिद्ध करना है कि \( X=3 \) अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
इसके लिए हमें विभिन्न \( x \) मानों के लिए \( ^{6}C_x \) के मानों की तुलना करनी होगी क्योंकि \( (\frac{1}{2})^6 \) सभी मानों के लिए समान है।
\( ^{6}C_0 = 1 \)
\( ^{6}C_1 = 6 \)
\( ^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \)
\( ^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \)
\( ^{6}C_4 = ^{6}C_{6-4} = ^{6}C_2 = 15 \)
\( ^{6}C_5 = ^{6}C_{6-5} = ^{6}C_1 = 6 \)
\( ^{6}C_6 = ^{6}C_{6-6} = ^{6}C_0 = 1 \)
यहां हम देखते हैं कि \( ^{6}C_x \) का अधिकतम मान 20 है, जो \( x=3 \) पर प्राप्त होता है।
अतः, \( P(X=3) = ^{6}C_3 (\frac{1}{2})^6 = 20 \times \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16} \)
चूंकि \( ^{6}C_3 \) का मान अन्य सभी \( ^{6}C_x \) मानों से अधिक है, इसलिए \( X=3 \) अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
In simple words: एक द्विपद बंटन में जब सफलता की प्रायिकता 1/2 होती है, तो अधिकतम प्रायिकता तब मिलती है जब सफलता की संख्या कुल प्रयासों की संख्या के आधे के बराबर होती है। यहाँ, 6 प्रयासों में 3 सफलताएँ सबसे संभावित परिणाम हैं।

🎯 Exam Tip: जब \( p = \frac{1}{2} \) होता है, तो द्विपद बंटन में अधिकतम प्रायिकता \( x = \frac{n}{2} \) (यदि n सम है) या \( x = \frac{n \pm 1}{2} \) (यदि n विषम है) पर प्राप्त होती है। इस अवधारणा का उपयोग करके आप बिना पूरी गणना किए भी अधिकतम प्रायिकता वाले परिणाम का अनुमान लगा सकते हैं।

प्रश्न 13. पासों के एक जोड़ को 4 बार उछाला जाता है। यदि पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक होना सफलता मानी जाए तो 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करो।
Answer:
पासे के एक जोड़े को उछालने पर कुल संभावित परिणाम \( n(S) = 6 \times 6 = 36 \)
द्विक (दोनों पासों पर समान अंक) होने की घटनाएँ हैं:
\( \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\} \)
द्विक आने की घटनाओं की संख्या \( = 6 \)
सफलता (द्विक आना) की प्रायिकता \( p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \)
असफलता (द्विक न आना) की प्रायिकता \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \)
पासे के जोड़े को 4 बार उछाला जाता है, इसलिए कुल प्रयास \( n = 4 \)
हमें 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करनी है। \( P(X=2) \)
\( P(X=2) = ^{4}C_2 p^2 q^2 \)
\( \implies P(X=2) = ^{4}C_2 (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^2 \)
\( \implies P(X=2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} \)
\( \implies P(X=2) = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} \)
\( \implies P(X=2) = \frac{6 \times 25}{36 \times 36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216} \)
In simple words: जब दो पासे एक साथ उछाले जाते हैं, तो दोनों पर एक ही अंक आने की संभावना 1/6 है। अगर यह 4 बार किया जाता है, तो ठीक 2 बार दोनों पासों पर एक ही अंक आने की संभावना 25/216 है।

🎯 Exam Tip: पासे के प्रश्नों में, पहले सभी संभावित परिणामों और अनुकूल परिणामों की गणना करके p और q का मान सही ढंग से ज्ञात करें। द्विपद बंटन सूत्र का उपयोग करते समय \( ^{n}C_r \) की गणना सावधानी से करें।