NCERT Solutions for Class 12 Mathematics: Chapter 15 रैरिवक प्रोग्रामन
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Practice Class 12 Mathematics Solutions: Chapter 15 रैरिवक प्रोग्रामन
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Question 1. एक आहार विज्ञानी दो प्रकार के भोज्यों को इस प्रकार मिलाना चाहती है कि प्राप्त मिश्रण में विटामिन A की कम से कम 8 इकाई तथा विटामिन C की कम से कम 10 इकाई विद्यमान हो। भोज्य I में विटामिन A, 2 इकाई प्रति किलोग्राम तथा विटामिन C, 1 इकाई प्रति किलोग्राम तथा भोज्य II में विटामिन A, 1 इकाई प्रति किलोग्राम तथा विटामिन C, 2 इकाई प्रति किलोग्राम विद्यमान है। भोज्य I व II को प्रति किलोग्राम खरीदने की लागत क्रमशः Rs 5 व Rs 7 है। इस प्रकार के मिश्रण की निम्नतम लागत ज्ञात कीजिये। समस्या का गणितीय सूत्रीकरण करते हुए हल कीजिए।
Answer: सबसे पहले, हम समस्या को गणितीय रूप में लिखते हैं।
माना भोज्य I की मात्रा \( x \) किलोग्राम है और भोज्य II की मात्रा \( y \) किलोग्राम है।
उद्देश्य फलन (न्यूनतम लागत): \( Z = 5x + 7y \)
व्यवरोध (Constraints):
विटामिन A के लिए: \( 2x + 1y \ge 8 \)
विटामिन C के लिए: \( 1x + 2y \ge 10 \)
गैर-नकारात्मकता व्यवरोध: \( x \ge 0, y \ge 0 \)
अब, हम इन असमिकाओं को समीकरणों में बदलते हैं ताकि हम रेखाएँ बना सकें:
1. \( 2x + y = 8 \)
2. \( x + 2y = 10 \)
इन रेखाओं के लिए बिंदु ज्ञात करते हैं:
| \( x \) | \( y \) (for \( 2x + y = 8 \)) |
|---|---|
| 4 | 0 |
| 0 | 8 |
| \( x \) | \( y \) (for \( x + 2y = 10 \)) |
|---|---|
| 10 | 0 |
| 0 | 5 |
इन बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करके रेखाएँ खींचते हैं। असमिका \( 2x + y \ge 8 \) के लिए, मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 2(0) + 0 = 0 \ge 8 \) जो कि गलत है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत दिशा में होगा।
असमिका \( x + 2y \ge 10 \) के लिए भी, मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 + 2(0) = 0 \ge 10 \) जो कि गलत है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत दिशा में होगा।
चूंकि \( x \ge 0 \) और \( y \ge 0 \) है, इसलिए हल क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध (unbounded) है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु (corner points) हैं: B(0, 8), E(2, 4), C(10, 0)।
अब, हम इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 5x + 7y \) का मान ज्ञात करते हैं:
| बिंदु | \( x \) निर्देशांक | \( y \) निर्देशांक | उद्देश्य फलन \( Z = 5x + 7y \) |
|---|---|---|---|
| C | 10 | 0 | \( Z_C = 5 \times 10 + 7 \times 0 = 50 \) |
| E | 2 | 4 | \( Z_E = 5 \times 2 + 7 \times 4 = 10 + 28 = 38 \) |
| B | 0 | 8 | \( Z_B = 5 \times 0 + 7 \times 8 = 56 \) |
सारणी से पता चलता है कि बिंदु E(2, 4) पर उद्देश्य फलन का मान न्यूनतम Rs 38 है। चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, इसलिए हमें यह देखना होगा कि क्या \( 5x + 7y < 38 \) क्षेत्र का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु है। ऐसा कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
अतः, न्यूनतम लागत Rs 38 है, जब भोज्य I की 2 किलोग्राम और भोज्य II की 4 किलोग्राम मात्रा मिलाई जाती है।
In simple words: हमें दो तरह के खाने को मिलाकर सबसे कम पैसे में एक खास मात्रा में विटामिन A और C चाहिए। हमने ग्राफ बनाया और देखा कि 2 किलो पहले खाने और 4 किलो दूसरे खाने से हमें सबसे कम खर्च Rs 38 पड़ेगा।
🎯 Exam Tip: जब feasible region unbounded हो, तो न्यूनतम या अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए एक अतिरिक्त जांच करें। objective function की inequality (जैसे \( 5x+7y < 38 \)) को ग्राफ करें और देखें कि क्या यह feasible region के साथ overlap करता है।
Question 2. एक गृहिणी दो प्रकार के भोज्यों X तथा Y को एक साथ इस प्रकार मिलाना चाहती है कि मिश्रण में विटामिन A, B तथा C की क्रमशः कम से कम 10, 12 तथा 8 इकाइयाँ विद्यमान हो। एक किलोग्राम भोज्य में विटामिन संयोजन निम्न प्रकार है
| विटामिन A | विटामिन B | विटामिन C | |
|---|---|---|---|
| भोज्य x | 1 | 2 | 3 |
| भोज्य y | 2 | 2 | 1 |
भोज्य X तथा Y के एक किलोग्राम की कीमत क्रमशः Rs 6 व Rs 10 है। इस प्रकार के भोज्य मिश्रण की न्यूनतम कीमत ज्ञात कीजिये।
Answer: सबसे पहले, हम समस्या को गणितीय रूप में लिखते हैं।
माना गृहिणी मिश्रण में भोज्य X की \( x \) किलोग्राम और भोज्य Y की \( y \) किलोग्राम मात्रा मिलाती है।
उद्देश्य फलन (न्यूनतम लागत): \( Z = 6x + 10y \)
व्यवरोध (Constraints):
विटामिन A के लिए: \( 1x + 2y \ge 10 \)
विटामिन B के लिए: \( 2x + 2y \ge 12 \)
विटामिन C के लिए: \( 3x + 1y \ge 8 \)
गैर-नकारात्मकता व्यवरोध: \( x \ge 0, y \ge 0 \)
अब, हम इन असमिकाओं को समीकरणों में बदलते हैं ताकि हम रेखाएँ बना सकें:
1. \( x + 2y = 10 \)
2. \( 2x + 2y = 12 \) (जिसे \( x + y = 6 \) भी लिख सकते हैं)
3. \( 3x + y = 8 \)
इन रेखाओं के लिए बिंदु ज्ञात करते हैं:
| \( x \) | \( y \) (for \( x + 2y = 10 \)) |
|---|---|
| 10 | 0 |
| 0 | 5 |
| \( x \) | \( y \) (for \( x + y = 6 \)) |
|---|---|
| 6 | 0 |
| 0 | 6 |
| \( x \) | \( y \) (for \( 3x + y = 8 \)) |
|---|---|
| 8/3 | 0 |
| 0 | 8 |
इन बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करके रेखाएँ खींचते हैं। सभी असमिकाओं के लिए, मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर वे संतुष्ट नहीं होती हैं (जैसे \( 0 \ge 10 \) गलत है)। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत दिशा में होगा।
चूंकि \( x \ge 0 \) और \( y \ge 0 \) है, हल क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु (corner points) हैं: F(0, 8), Q(1, 5), P(2, 4), A(10, 0)। (ध्यान दें कि स्रोत में A(10,3) दिया गया है जो गलत है, A(10,0) सही है)
P(2,4) रेखाओं \( x + 2y = 10 \) और \( x + y = 6 \) का प्रतिच्छेद बिंदु है।
Q(1,5) रेखाओं \( x + y = 6 \) और \( 3x + y = 8 \) का प्रतिच्छेद बिंदु है।
अब, हम इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 6x + 10y \) का मान ज्ञात करते हैं:
| बिंदु | \( x \) निर्देशांक | \( y \) निर्देशांक | उद्देश्य फलन \( Z = 6x + 10y \) |
|---|---|---|---|
| A | 10 | 0 | \( Z_A = 6 \times 10 + 10 \times 0 = 60 \) |
| P | 2 | 4 | \( Z_P = 6 \times 2 + 10 \times 4 = 12 + 40 = 52 \) |
| Q | 1 | 5 | \( Z_Q = 6 \times 1 + 10 \times 5 = 6 + 50 = 56 \) |
| F | 0 | 8 | \( Z_F = 6 \times 0 + 10 \times 8 = 80 \) |
सारणी से पता चलता है कि बिंदु P(2, 4) पर उद्देश्य फलन का मान न्यूनतम Rs 52 है। चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, इसलिए हमें यह देखना होगा कि क्या \( 6x + 10y < 52 \) क्षेत्र का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु है। ऐसा कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
अतः, गृहिणी के लिए भोज्य X की 2 किलोग्राम और भोज्य Y की 4 किलोग्राम मात्रा से मिश्रण बनाने की नीति सबसे अच्छी होगी, जिससे उसे न्यूनतम लागत Rs 52 प्राप्त होगी।
In simple words: हमें तीन विटामिन (A, B, C) की तय मात्रा के लिए दो तरह के खाने (X और Y) को मिलाकर सबसे कम खर्च निकालना था। ग्राफ बनाने और समीकरण हल करने के बाद, हमने पाया कि 2 किलो X और 4 किलो Y मिलाकर Rs 52 का सबसे कम खर्च आता है।
🎯 Exam Tip: जब तीन या अधिक व्यवरोध हों, तो सुनिश्चित करें कि आप सभी प्रतिच्छेद बिंदुओं की सही गणना करें और ग्राफ पर उन्हें सही ढंग से चिह्नित करें। प्रत्येक कॉर्नर बिंदु पर objective function का मान निकालें।
Question 4. एक निर्माता औद्योगिक यंत्रों के लिए नट और बोल्ट का उत्पादन करता है। एक पैकेट नटों के उत्पादन के लिए मशीन A पर 1 घंटा तथा मशीन B पर 3 घंटे काम करना पड़ता है जबकि एक पैकेट बोल्टों के उत्पादन के लिए मशीन A पर 3 घंटे तथा मशीन B पर 1 घंटा काम करना पड़ता है। निर्माता नटों तथा बोल्टों के प्रति पैकेट पर लाभ क्रमशः Rs 2.50 तथा Rs 1 कमाता है। यदि वह प्रतिदिन अपनी मशीनों को अधिकतम 12 घंटे संचालित करता हो तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट उत्पादित किए जाने चाहिए ताकि वह अधिकतम लाभ अर्जित कर सके। समस्या का गणितीय सूत्रीकरण करते हुए हल कीजिए।
Answer: सबसे पहले, हम समस्या को गणितीय रूप में लिखते हैं।
माना निर्माता \( x \) पैकेट नट और \( y \) पैकेट बोल्ट बनाता है।
उद्देश्य फलन (अधिकतम लाभ): \( Z = 2.50x + 1y \)
व्यवरोध (Constraints):
मशीन A के लिए समय: नटों के लिए 1 घंटा, बोल्टों के लिए 3 घंटे। अधिकतम उपलब्ध समय 12 घंटे।
\( 1x + 3y \le 12 \)
मशीन B के लिए समय: नटों के लिए 3 घंटे, बोल्टों के लिए 1 घंटा। अधिकतम उपलब्ध समय 12 घंटे।
\( 3x + 1y \le 12 \)
गैर-नकारात्मकता व्यवरोध: \( x \ge 0, y \ge 0 \)
अब, हम इन असमिकाओं को समीकरणों में बदलते हैं ताकि हम रेखाएँ बना सकें:
1. \( x + 3y = 12 \)
2. \( 3x + y = 12 \)
इन रेखाओं के लिए बिंदु ज्ञात करते हैं:
| \( x \) | \( y \) (for \( x + 3y = 12 \)) |
|---|---|
| 12 | 0 |
| 0 | 4 |
| \( x \) | \( y \) (for \( 3x + y = 12 \)) |
|---|---|
| 4 | 0 |
| 0 | 12 |
इन बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करके रेखाएँ खींचते हैं। असमिका \( x + 3y \le 12 \) के लिए, मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 + 3(0) = 0 \le 12 \) जो कि सही है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका \( 3x + y \le 12 \) के लिए भी, मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 3(0) + 0 = 0 \le 12 \) जो कि सही है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
चूंकि \( x \ge 0 \) और \( y \ge 0 \) है, हल क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
सुसंगत क्षेत्र OCEB है जिसके कोणीय बिंदु (corner points) हैं: O(0, 0), C(4, 0), E(3, 3), B(0, 4)।
E(3,3) रेखाओं \( x + 3y = 12 \) और \( 3x + y = 12 \) का प्रतिच्छेद बिंदु है।
अब, हम इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 2.50x + 1y \) का मान ज्ञात करते हैं:
| बिंदु | \( x \) निर्देशांक | \( y \) निर्देशांक | उद्देश्य फलन \( Z = 2.50x + y \) |
|---|---|---|---|
| O | 0 | 0 | \( Z_O = 2.50(0) + 0 = 0 \) |
| C | 4 | 0 | \( Z_C = 2.50(4) + 0 = 10 \) |
| E | 3 | 3 | \( Z_E = 2.50(3) + 3 = 7.50 + 3 = 10.50 \) |
| B | 0 | 4 | \( Z_B = 2.50(0) + 4 = 4 \) |
सारणी से पता चलता है कि बिंदु E(3, 3) पर उद्देश्य फलन का मान अधिकतम Rs 10.50 है।
अतः, अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए निर्माता को नटों और बोल्टों के प्रत्येक के 3-3 पैकेट प्रतिदिन बनाने चाहिए।
In simple words: एक कंपनी नट और बोल्ट बनाती है और दो मशीनों का उपयोग करती है, जिनकी काम करने की एक सीमा है। हमें यह पता लगाना था कि कितने नट और बोल्ट बनाने से सबसे ज़्यादा फायदा होगा। हमने हिसाब लगाया और पाया कि 3 पैकेट नट और 3 पैकेट बोल्ट बनाने पर सबसे ज़्यादा फायदा Rs 10.50 होता है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप सभी constraints को सही ढंग से ग्राफ पर प्लॉट करें और feasible region (सुसंगत क्षेत्र) के सभी कॉर्नर बिंदुओं की पहचान करें। अधिकतम या न्यूनतम मान हमेशा इन कॉर्नर बिंदुओं पर ही होता है।
Question 5. एक व्यापारी पंखे तथा सिलाई मशीनें खरीदना चाहता है। उसके पास निवेश करने के लिए केवल Rs 5760 है तथा अधिकतम 20 वस्तुओं को रखने के लिए ही स्थान उपलब्ध है। एक पंखे तथा एक सिलाई मशीन की कीमत क्रमशः Rs 360 व Rs 240 है। वह एक पंखे तथा एक सिलाई मशीन को बेचने पर क्रमशः Rs 22 व Rs 18 लाभ कमाता है। यह मानते हुए कि व्यापारी कितनी वस्तुएँ खरीदता है, वे सभी वस्तुएँ वह बेच सकता है। अधिकतम लाभ अर्जित करने के लिए उसे कितने पंखे तथा सिलाई मशीने खरीदनी चाहिए। समस्या का गणितीय सूत्रीकरण कर हल कीजिए।
Answer: सबसे पहले, हम समस्या को गणितीय रूप में लिखते हैं।
माना व्यापारी \( x \) पंखे और \( y \) सिलाई मशीनें खरीदता है।
उद्देश्य फलन (अधिकतम लाभ): \( Z = 22x + 18y \)
व्यवरोध (Constraints):
निवेश के लिए: कुल राशि Rs 5760 है। एक पंखे की कीमत Rs 360 और एक सिलाई मशीन की कीमत Rs 240 है।
\( 360x + 240y \le 5760 \)
दोनों पक्षों को 120 से भाग देने पर: \( 3x + 2y \le 48 \)
स्थान के लिए: अधिकतम 20 वस्तुएँ रखी जा सकती हैं।
\( x + y \le 20 \)
गैर-नकारात्मकता व्यवरोध: \( x \ge 0, y \ge 0 \)
अब, हम इन असमिकाओं को समीकरणों में बदलते हैं ताकि हम रेखाएँ बना सकें:
1. \( 3x + 2y = 48 \)
2. \( x + y = 20 \)
इन रेखाओं के लिए बिंदु ज्ञात करते हैं:
| \( x \) | \( y \) (for \( 3x + 2y = 48 \)) |
|---|---|
| 16 | 0 |
| 0 | 24 |
| \( x \) | \( y \) (for \( x + y = 20 \)) |
|---|---|
| 20 | 0 |
| 0 | 20 |
इन बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करके रेखाएँ खींचते हैं। असमिका \( 3x + 2y \le 48 \) के लिए, मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 3(0) + 2(0) = 0 \le 48 \) जो कि सही है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका \( x + y \le 20 \) के लिए भी, मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 + 0 = 0 \le 20 \) जो कि सही है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
चूंकि \( x \ge 0 \) और \( y \ge 0 \) है, हल क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
सुसंगत क्षेत्र OAED है जिसके कोणीय बिंदु (corner points) हैं: O(0, 0), A(16, 0), E(8, 12), D(0, 20)।
E(8,12) रेखाओं \( 3x + 2y = 48 \) और \( x + y = 20 \) का प्रतिच्छेद बिंदु है।
अब, हम इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 22x + 18y \) का मान ज्ञात करते हैं:
| बिंदु | \( x \) निर्देशांक | \( y \) निर्देशांक | उद्देश्य फलन \( Z = 22x + 18y \) |
|---|---|---|---|
| O | 0 | 0 | \( Z_O = 22(0) + 18(0) = 0 \) |
| A | 16 | 0 | \( Z_A = 22(16) + 18(0) = 352 \) |
| E | 8 | 12 | \( Z_E = 22(8) + 18(12) = 176 + 216 = 392 \) |
| D | 0 | 20 | \( Z_D = 22(0) + 18(20) = 360 \) |
सारणी से पता चलता है कि बिंदु E(8, 12) पर उद्देश्य फलन का मान अधिकतम Rs 392 है।
अतः, व्यापारी को अधिकतम लाभ कमाने के लिए 8 पंखे और 12 सिलाई मशीनें खरीदनी चाहिए।
In simple words: एक दुकानदार पंखे और सिलाई मशीनें खरीदना चाहता है, लेकिन उसके पास पैसे और जगह की सीमा है। उसे हर पंखे और मशीन पर कुछ फायदा भी होता है। हमें यह पता लगाना था कि उसे कितने पंखे और मशीन खरीदने चाहिए ताकि उसे सबसे ज़्यादा फायदा हो। हिसाब लगाने पर पता चला कि 8 पंखे और 12 सिलाई मशीनें खरीदने पर उसे सबसे ज़्यादा Rs 392 का फायदा होगा।
🎯 Exam Tip: इस प्रकार के सवालों में, सुनिश्चित करें कि सभी वित्तीय और भौतिक सीमाओं को सही व्यवरोधों के रूप में लिखा गया है। निवेश और भंडारण की सीमाएं अक्सर छात्रों को भ्रमित करती हैं।
Question 6. एक कारखाना दो प्रकार के पेचों A तथा B का उत्पादन करता है। प्रत्येक के उत्पादन के लिए दो प्रकार के यंत्रों स्वचालित तथा हस्तचालित की आवश्यकता होती है। एक पैकेट पेचों A के उत्पादन में 4 मिनट स्वचालित तथा 6 मिनट हस्तचालित मशीन तथा एक पैकेट पेचों B के उत्पादन में 6 मिनट स्वचालित तथा 3 मिनट हस्तचालित मशीन का कार्य होता है। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन के अधिकतम 4 घंटे ही उपलब्ध होती है। यदि एक पैकेट पेच A पर लाभ Rs 0.70 तथा एक पैकेट पेच B पर लाभ Rs 1 हो, तो प्रत्येक प्रकार के कितने पैकेट पेच बनाए जाने चाहिए ताकि उसे अधिकतम लाभ प्राप्त हो सके।
Answer: सबसे पहले, हम समस्या को गणितीय रूप में लिखते हैं।
माना कारखाना \( x \) पैकेट पेच A और \( y \) पैकेट पेच B बनाता है।
उद्देश्य फलन (अधिकतम लाभ): \( Z = 0.70x + 1y \)
व्यवरोध (Constraints):
स्वचालित मशीन के लिए समय: पेच A के लिए 4 मिनट, पेच B के लिए 6 मिनट। अधिकतम उपलब्ध समय 4 घंटे (यानी \( 4 \times 60 = 240 \) मिनट)।
\( 4x + 6y \le 240 \)
हस्तचालित मशीन के लिए समय: पेच A के लिए 6 मिनट, पेच B के लिए 3 मिनट। अधिकतम उपलब्ध समय 4 घंटे (यानी \( 4 \times 60 = 240 \) मिनट)।
\( 6x + 3y \le 240 \)
गैर-नकारात्मकता व्यवरोध: \( x \ge 0, y \ge 0 \)
अब, हम इन असमिकाओं को समीकरणों में बदलते हैं ताकि हम रेखाएँ बना सकें:
1. \( 4x + 6y = 240 \)
2. \( 6x + 3y = 240 \)
इन रेखाओं के लिए बिंदु ज्ञात करते हैं:
| \( x \) | \( y \) (for \( 4x + 6y = 240 \)) |
|---|---|
| 60 | 0 |
| 0 | 40 |
| \( x \) | \( y \) (for \( 6x + 3y = 240 \)) |
|---|---|
| 40 | 0 |
| 0 | 80 |
इन बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करके रेखाएँ खींचते हैं। असमिका \( 4x + 6y \le 240 \) के लिए, मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 4(0) + 6(0) = 0 \le 240 \) जो कि सही है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका \( 6x + 3y \le 240 \) के लिए भी, मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 6(0) + 3(0) = 0 \le 240 \) जो कि सही है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
चूंकि \( x \ge 0 \) और \( y \ge 0 \) है, हल क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
सुसंगत क्षेत्र OAED है जिसके कोणीय बिंदु (corner points) हैं: O(0, 0), A(40, 0) [y-अक्ष पर C(40,0) के रूप में लेबल किया गया है], E(30, 20), D(0, 40)।
E(30,20) रेखाओं \( 4x + 6y = 240 \) और \( 6x + 3y = 240 \) का प्रतिच्छेद बिंदु है।
अब, हम इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 0.70x + 1y \) का मान ज्ञात करते हैं:
| बिंदु | \( x \) निर्देशांक | \( y \) निर्देशांक | उद्देश्य फलन \( Z = 0.70x + y \) |
|---|---|---|---|
| O | 0 | 0 | \( Z_O = 0.70(0) + 0 = 0 \) |
| A | 40 | 0 | \( Z_A = 0.70(40) + 0 = 28 \) |
| E | 30 | 20 | \( Z_E = 0.70(30) + 20 = 21 + 20 = 41 \) |
| D | 0 | 40 | \( Z_D = 0.70(0) + 40 = 40 \) |
सारणी से पता चलता है कि बिंदु E(30, 20) पर उद्देश्य फलन का मान अधिकतम Rs 41 है।
अतः, निर्माता को पेच A के 30 पैकेट और पेच B के 20 पैकेट बनाने चाहिए ताकि उसे अधिकतम लाभ Rs 41 प्राप्त हो सके।
In simple words: एक कारखाना दो तरह के पेच (A और B) बनाता है, जिसके लिए उन्हें दो अलग-अलग मशीनें इस्तेमाल करनी पड़ती हैं। हर मशीन दिन में एक तय समय तक ही चल सकती है। हमें यह पता लगाना था कि कितने पेच A और B बनाने पर कंपनी को सबसे ज़्यादा फायदा होगा। हिसाब लगाने पर पता चला कि 30 पैकेट पेच A और 20 पैकेट पेच B बनाने पर सबसे ज़्यादा Rs 41 का फायदा होता है।
🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि समय की इकाइयाँ (घंटे या मिनट) सभी गणनाओं में संगत हों। यदि उपलब्ध समय घंटे में दिया गया है और प्रक्रिया का समय मिनट में, तो सभी को एक ही इकाई में बदल लें।
Question 7. एक फर्म प्लाईवुड के अनूठे स्मृति चिन्ह का निर्माण करती है A प्रकार के प्रत्येक स्मृति चिन्ह के निर्माण में 5 मिनट काटने तथा 10 मिनट जोड़ने में लगते हैं। B प्रकार के प्रत्येक स्मृति चिन्ह के निर्माण में 8 मिनट काटने तथा 8 मिनट जोड़ने में लगते है। काटने तथा जोड़ने के लिये कुल समय क्रमशः 3 घण्टे 20 मिनट तथा 4 घण्टे उपलब्ध है। फर्म को प्रत्येक A प्रकार के स्मृति चिन्ह पर Rs 5 तथा प्रत्येक B प्रकार के स्मृति चिन्ह पर Rs 6 का लाभ होता है। अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए फर्म को प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने स्मृति चिन्हों का निर्माण करना चहिये?
Answer: फर्म को A प्रकार के \( x \) स्मृति चिन्ह और B प्रकार के \( y \) स्मृति चिन्ह बनाने चाहिए।
उद्देश्य फलन (अधिकतम लाभ): \( Z = 5x + 6y \)
व्यवधान (काटने का समय):
5 मिनट प्रति A प्रकार के चिन्ह के लिए, 8 मिनट प्रति B प्रकार के चिन्ह के लिए। कुल उपलब्ध समय 3 घंटे 20 मिनट (200 मिनट) है।
\( 5x + 8y \le 200 \)
व्यवरोध (जोड़ने का समय):
10 मिनट प्रति A प्रकार के चिन्ह के लिए, 8 मिनट प्रति B प्रकार के चिन्ह के लिए। कुल उपलब्ध समय 4 घंटे (240 मिनट) है।
\( 10x + 8y \le 240 \)
अऋणात्मकता व्यवरोध: \( x \ge 0, y \ge 0 \)
असमिकाओं को समीकरण में बदलने पर:
\( 5x + 8y = 200 \) (1)
\( 10x + 8y = 240 \) (2)
समीकरण (1) के लिए सारणी:
| x | 40 | 0 |
|---|---|---|
| y | 0 | 25 |
बिंदु A(40, 0) और B(0, 25) हैं। \( (0,0) \) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 \le 200 \), जो सत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
समीकरण (2) के लिए सारणी:
| x | 24 | 0 |
|---|---|---|
| y | 0 | 30 |
बिंदु C(24, 0) और D(0, 30) हैं। \( (0,0) \) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 \le 240 \), जो सत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
दोनों रेखाओं \( 5x + 8y = 200 \) और \( 10x + 8y = 240 \) का प्रतिच्छेद बिंदु E(8, 20) है।
व्यवरोधों को हल करने पर सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), C(24, 0), E(8, 20), और B(0, 25) हैं। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 5x + 6y \) का मान इस प्रकार है:
| बिन्दु | x निर्देशांक | y निर्देशांक | उद्देश्य फलन \( Z = 5x+6y \) |
|---|---|---|---|
| O | 0 | 0 | \( Z_O = 5 \times 0 + 6 \times 0 = 0 \) |
| C | 24 | 0 | \( Z_C = 5 \times 24 + 6 \times 0 = 120 \) |
| E | 8 | 20 | \( Z_E = 5 \times 8 + 6 \times 20 = 40 + 120 = 160 \) |
| B | 0 | 25 | \( Z_B = 5 \times 0 + 6 \times 25 = 150 \) |
तालिका से पता चलता है कि उद्देश्य फलन का अधिकतम मान Rs 160 है, जो बिंदु E(8, 20) पर प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि अधिकतम लाभ कमाने के लिए फर्म को A प्रकार के 8 स्मृति चिन्ह और B प्रकार के 20 स्मृति चिन्ह बनाने चाहिए। इस तरह, फर्म अपने संसाधनों का सबसे अच्छा उपयोग कर पाएगी।
In simple words: फर्म को सबसे ज़्यादा मुनाफ़ा तब मिलेगा जब वह 8 पीस टाइप A के और 20 पीस टाइप B के स्मृति चिन्ह बनाएगी।
🎯 Exam Tip: रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं में, अधिकतम या न्यूनतम मान हमेशा सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदुओं (कॉर्नर पॉइंट) पर ही मिलते हैं। हमेशा सभी शीर्ष बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मूल्यांकन करें।
Question 8. एक किसान के पास दो प्रकार के उर्वरक F1 व F2 है। उर्वरक F1 में 10% नाइट्रोजन तथा 6% फॉस्फोरिक अम्ल है। जबकि उर्वरक F2 में 5% नाइट्रोजन तथा 10% फॉस्फोरिक अम्ल हैं। मिट्टी की स्थितियों का परीक्षण करने के बाद किसान पाता है कि उसे अपनी फसल के लिए कम से कम 14 किलोग्राम नाइट्रोजन तथा कम से कम 14 किलोग्राम फॉस्फोरिक अमन की आवश्यकता है। यदि उर्वरक F1 की कीमत 60 पैसे प्रति किलोग्राम तथा F2 की कीमत 40 पैसा प्रति किलोग्राम हो तो न्यूनतम मूल्य र वाछित पोषक तत्वों की आवश्यकता को ध्यान में रखते हुए प्रत्येक बैरक की कितनी किलोग्राम मात्रा उपयोग में लाई जानी चाहिये।
Answer: मान लीजिए कि किसान उर्वरक F1 की \( x \) किलोग्राम और उर्वरक F2 की \( y \) किलोग्राम मात्रा का उपयोग करता है।
उद्देश्य फलन (न्यूनतम लागत): \( Z = 0.60x + 0.40y \) (क्योंकि 60 पैसे = Rs 0.60 और 40 पैसे = Rs 0.40)।
नाइट्रोजन के लिए व्यवरोध:
F1 में 10% नाइट्रोजन और F2 में 5% नाइट्रोजन है। कुल कम से कम 14 किलोग्राम नाइट्रोजन चाहिए।
\( 0.10x + 0.05y \ge 14 \)
\( \implies 10x + 5y \ge 1400 \)
फॉस्फोरिक अम्ल के लिए व्यवरोध:
F1 में 6% फॉस्फोरिक अम्ल और F2 में 10% फॉस्फोरिक अम्ल है। कुल कम से कम 14 किलोग्राम फॉस्फोरिक अम्ल चाहिए।
\( 0.06x + 0.10y \ge 14 \)
\( \implies 6x + 10y \ge 1400 \)
अऋणात्मकता व्यवरोध: \( x \ge 0, y \ge 0 \)
असमिकाओं को समीकरण में बदलने पर:
\( 10x + 5y = 1400 \implies 2x + y = 280 \) (1)
\( 6x + 10y = 1400 \implies 3x + 5y = 700 \) (2)
समीकरण (1) के लिए सारणी:
| x | 140 | 0 |
|---|---|---|
| y | 0 | 280 |
बिंदु A(140, 0) और B(0, 280) हैं। \( (0,0) \) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 \not\ge 1400 \), जो असत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु से दूर होगा।
समीकरण (2) के लिए सारणी (बिंदु C और D):
बिंदु C (1400/6, 0) = C(233.33, 0) और D(0, 140) हैं। \( (0,0) \) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 \not\ge 1400 \), जो असत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु से दूर होगा।
दोनों रेखाओं \( 10x + 5y = 1400 \) और \( 6x + 10y = 1400 \) का प्रतिच्छेद बिंदु E(100, 80) है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु C(1400/6, 0), E(100, 80) और B(0, 280) हैं। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 0.60x + 0.40y \) का मान इस प्रकार है:
| बिन्दु | x निर्देशांक | y निर्देशांक | उद्देश्य फलन \( Z = 0.60x + 0.40y \) |
|---|---|---|---|
| C | \( \frac{1400}{6} \) | 0 | \( Z_C = 0.60 \times (\frac{1400}{6}) + 0.40 \times 0 = 140 \) |
| E | 100 | 80 | \( Z_E = 0.60 \times 100 + 0.40 \times 80 = 60 + 32 = 92 \) |
| B | 0 | 280 | \( Z_B = 0.60 \times 0 + 0.40 \times 280 = 112 \) |
तालिका से पता चलता है कि उद्देश्य फलन का न्यूनतम मान Rs 92 है, जो बिंदु E(100, 80) पर प्राप्त होता है। इसलिए, किसान को उर्वरक F1 की 100 किलोग्राम और उर्वरक F2 की 80 किलोग्राम मात्रा का उपयोग करना चाहिए ताकि आवश्यक पोषक तत्वों की न्यूनतम लागत पर आपूर्ति हो सके। इस मिश्रण से फसल को सही पोषण मिलेगा।
In simple words: किसान को 100 किलोग्राम F1 और 80 किलोग्राम F2 खाद का उपयोग करना चाहिए। ऐसा करने से उसे ज़रूरी पोषक तत्व सबसे कम पैसों में मिलेंगे।
🎯 Exam Tip: न्यूनतमकरण समस्याओं में, सुसंगत क्षेत्र अक्सर अपरिबद्ध होता है। सुनिश्चित करें कि आपने सभी शीर्ष बिंदुओं का सही ढंग से मूल्यांकन किया है और यदि आवश्यक हो, तो अपरिबद्ध क्षेत्र के लिए अतिरिक्त जांच करें।
Question 9. एक व्यापारी दो प्रकार के निजी कम्प्यूटर एक डेस्कटॉप प्रतिरूप तथा एक पोर्टेबल प्रतिरूप जिनकी कीमतें क्रमशः Rs 25,000 तथा Rs 40,000 होगी, बेचने की योजना बनाता है। वह अनुमान लगाता है कि कम्प्यूटर की कुल मासिक प्रांग 250 इकाइयों से अधिक नहीं होगी। प्रत्येक प्रकार के कम्प्यूटरों की इकाईयों की संख्या ज्ञात कीजिये जिसे व्यापारी अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए भण्डारण करें यदि उसके पास निवेश करने के लिए Rs 70 लाख से अधिक नहीं है तथा यदि व्यापारी का डेस्कटॉप प्रतिरूप पर लाभ Rs 4500 तथा पोर्टेबल प्रतिरूप पर लाभ Rs 5000 से।
Answer: मान लीजिए कि व्यापारी डेस्कटॉप कंप्यूटर की \( x \) इकाइयाँ और पोर्टेबल कंप्यूटर की \( y \) इकाइयाँ बेचता है।
उद्देश्य फलन (अधिकतम लाभ): \( Z = 4500x + 5000y \)
कंप्यूटरों की कुल संख्या पर व्यवरोध:
कुल मासिक मांग 250 इकाइयों से अधिक नहीं होगी।
\( x + y \le 250 \)
निवेश पर व्यवरोध:
डेस्कटॉप की कीमत Rs 25,000 और पोर्टेबल की कीमत Rs 40,000 है। अधिकतम निवेश Rs 70 लाख (Rs 70,00,000) है।
\( 25000x + 40000y \le 7000000 \)
\( \implies 25x + 40y \le 7000 \)
अऋणात्मकता व्यवरोध: \( x \ge 0, y \ge 0 \)
असमिकाओं को समीकरण में बदलने पर:
\( x + y = 250 \) (1)
\( 25x + 40y = 7000 \) (2)
समीकरण (1) के लिए सारणी:
| x | 250 | 0 |
|---|---|---|
| y | 0 | 250 |
बिंदु A(250, 0) और B(0, 250) हैं। \( (0,0) \) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 \le 250 \), जो सत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
समीकरण (2) के लिए सारणी:
| x | 280 | 0 |
|---|---|---|
| y | 0 | 175 |
बिंदु C(280, 0) और D(0, 175) हैं। \( (0,0) \) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 \le 7000 \), जो सत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
दोनों रेखाओं \( x + y = 250 \) और \( 25x + 40y = 7000 \) का प्रतिच्छेद बिंदु E(200, 50) है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(250, 0), E(200, 50), और D(0, 175) हैं। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 4500x + 5000y \) का मान इस प्रकार है:
| बिन्द | x निर्देशांक | y निर्देशांक | उद्देश्य फलन \( Z = 4500x+5000y \) |
|---|---|---|---|
| O | 0 | 0 | \( Z_O = 4500 \times 0 + 5000 \times 0 = 0 \) |
| A | 250 | 0 | \( Z_A = 4500 \times 250 + 5000 \times 0 = 11,25,000 \) |
| E | 200 | 50 | \( Z_E = 4500 \times 200 + 5000 \times 50 = 9,00,000 + 2,50,000 = 11,50,000 \) |
| D | 0 | 175 | \( Z_D = 4500 \times 0 + 5000 \times 175 = 8,75,000 \) |
तालिका से पता चलता है कि उद्देश्य फलन का अधिकतम मान Rs 11,50,000 है, जो बिंदु E(200, 50) पर प्राप्त होता है। इसलिए, व्यापारी को अधिकतम लाभ कमाने के लिए 200 डेस्कटॉप कंप्यूटर और 50 पोर्टेबल कंप्यूटर खरीदने चाहिए। ऐसा करने से वह अपनी सभी शर्तों को पूरा करते हुए सबसे ज़्यादा मुनाफा कमा पाएगा।
In simple words: व्यापारी को 200 डेस्कटॉप और 50 पोर्टेबल कंप्यूटर बेचने चाहिए ताकि उसे सबसे ज़्यादा Rs 11,50,000 का मुनाफ़ा हो।
🎯 Exam Tip: लाभ अधिकतमकरण समस्याओं में, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मूल्यांकन करना महत्वपूर्ण है। सुनिश्चित करें कि आप सभी बाधाओं को ध्यान में रखते हैं।
Question 10. दो अन्न भण्डारों A तथा B की भण्डारण क्षमता क्रमशः 100 किण्टल तथा 50 क्विटल है। उन्हें तीन राशन की दुकानों D, E तथा F पर अन्न उपलब्ध करवाना है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 60, 50 तथा 40 किटल है। भण्डारों से दुकानों को प्रति क्विटल परिवहन लागत निम्न सारणी में दी गई है।
| प्रति क्विंटल परिवहन लागत (Rs में) | ||
|---|---|---|
| को / से | A | B |
| D | 6 | 4 |
| E | 3 | 2 |
| F | 2.5 | 3 |
Answer: मान लीजिए कि भण्डार A से दुकान D को \( x \) क्विंटल और दुकान E को \( y \) क्विंटल अनाज भेजा जाता है।
भण्डार A की कुल क्षमता 100 क्विंटल है, इसलिए भण्डार A से दुकान F को भेजा गया अनाज \( (100 - x - y) \) क्विंटल होगा।
दुकान D को 60 क्विंटल की आवश्यकता है। अगर A से \( x \) क्विंटल आता है, तो B से \( (60 - x) \) क्विंटल आएगा।
दुकान E को 50 क्विंटल की आवश्यकता है। अगर A से \( y \) क्विंटल आता है, तो B से \( (50 - y) \) क्विंटल आएगा।
दुकान F को 40 क्विंटल की आवश्यकता है। अगर A से \( (100 - x - y) \) क्विंटल आता है, तो B से \( 40 - (100 - x - y) = (x + y - 60) \) क्विंटल आएगा।
उद्देश्य फलन (न्यूनतम परिवहन लागत):
\( Z = \left[ 6x + 3y + 2.5(100 - x - y) \right] + \left[ 4(60 - x) + 2(50 - y) + 3(x + y - 60) \right] \)
\( \implies Z = 6x + 3y + 250 - 2.5x - 2.5y + 240 - 4x + 100 - 2y + 3x + 3y - 180 \)
\( \implies Z = (6 - 2.5 - 4 + 3)x + (3 - 2.5 - 2 + 3)y + (250 + 240 + 100 - 180) \)
\( \implies Z = 2.5x + 1.5y + 410 \)
व्यवरोध (क्षमता और मांग):
1. भण्डार A की कुल क्षमता: \( x + y \le 100 \)
2. दुकान D की मांग: \( x \le 60 \)
3. दुकान E की मांग: \( y \le 50 \)
4. दुकान F की मांग (और भण्डार B से F के लिए भेजा गया अनाज): \( (100 - x - y) \ge 0 \implies x + y \le 100 \) (जो पहले ही लिखा जा चुका है)
\( (x + y - 60) \ge 0 \implies x + y \ge 60 \)
5. अऋणात्मकता: \( x \ge 0, y \ge 0 \)
असमिकाओं को समीकरण में बदलने पर:
\( x + y = 100 \) (1)
\( x = 60 \) (2)
\( y = 50 \) (3)
\( x + y = 60 \) (4)
समीकरण (1) के लिए सारणी:
| x | 100 | 0 |
|---|---|---|
| y | 0 | 100 |
बिंदु A(100, 0) और B(0, 100) हैं। \( (0,0) \) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 \le 100 \), जो सत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
समीकरण (2) के लिए सारणी (x = 60):
| x | 60 | 60 |
|---|---|---|
| y | 0 | 50 |
बिंदु C(60, 0) और D(60, 50) हैं। \( x \le 60 \) के लिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
समीकरण (3) के लिए सारणी (y = 50):
| x | 0 | 50 |
|---|---|---|
| y | 50 | 50 |
बिंदु E(0, 50) और F(50, 50) हैं। \( y \le 50 \) के लिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
समीकरण (4) के लिए सारणी (x + y = 60):
| x | 60 | 0 |
|---|---|---|
| y | 0 | 60 |
बिंदु G(60, 0) और H(0, 60) हैं। \( (0,0) \) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 \not\ge 60 \), जो असत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु से दूर होगा।
इन व्यवरोधों से बनने वाले सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु G(60, 0), J(40, 60), F(50, 50) और M(10, 50) हैं (जैसा कि स्रोत में दिया गया है)। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 2.5x + 1.5y + 410 \) का मान इस प्रकार है:
| बिन्द | x निर्देशांक | y निर्देशांक | उद्देश्य फलन \( Z = 2.5x+1.5y+410 \) |
|---|---|---|---|
| G | 60 | 0 | \( Z_G = 2.5(60)+1.5(0)+410 = 150 + 0 + 410 = 560 \) |
| J | 40 | 60 | \( Z_J = 2.5(40)+1.5(60)+410 = 100 + 90 + 410 = 600 \) |
| F | 50 | 50 | \( Z_F = 2.5(50)+1.5(50)+410 = 125 + 75 + 410 = 610 \) |
| M | 10 | 50 | \( Z_M = 2.5(10)+1.5(50)+410 = 25 + 75 + 410 = 510 \) |
तालिका से पता चलता है कि उद्देश्य फलन का न्यूनतम मान Rs 510 है, जो बिंदु M(10, 50) पर प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि न्यूनतम परिवहन लागत के लिए भण्डार A से दुकान D को 10 क्विंटल, दुकान E को 50 क्विंटल और दुकान F को 40 क्विंटल अनाज भेजना चाहिए। इसी तरह, भण्डार B से दुकान D को 50 क्विंटल, दुकान E को 0 क्विंटल और दुकान F को 0 क्विंटल अनाज भेजना चाहिए। यह योजना सभी दुकानों की ज़रूरतों को पूरा करते हुए कुल परिवहन लागत को कम करती है।
In simple words: सबसे कम लागत के लिए, भण्डार A से D को 10, E को 50, F को 40 क्विंटल अनाज भेजें। भण्डार B से D को 50 क्विंटल, और E तथा F को कुछ भी नहीं भेजना चाहिए।
🎯 Exam Tip: परिवहन समस्याओं में, सुनिश्चित करें कि आपने प्रत्येक भण्डार की क्षमता और प्रत्येक दुकान की आवश्यकता दोनों को सही ढंग से शामिल किया है ताकि कोई कमी या अतिरिक्त स्टॉक न हो।
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