RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 15 रैरिवक प्रोग्रामन Exercise 15.1

Question 1. निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को आलेखीय विधि से हल करो। निम्नतम \( Z = -3x + 4y \) व्यवरोध \( x + 2y \le 8 \), \( 3x + 2y \le 12 \) तथा \( x \ge 0, y \ge 0 \).
Answer: दिए गए व्यवरोधों को समीकरणों में बदलने पर:
(i) \( x + 2y = 8 \)
सारणी:

यह रेखा निर्देशी अक्षों को A(8, 0) और B(0, 4) बिंदुओं पर मिलती है। जब असमिका \( x + 2y \le 8 \) में मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करते हैं, तो \( 0 + 2(0) = 0 \le 8 \) मिलता है, जो कि सत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।

(ii) \( 3x + 2y = 12 \)
सारणी:

यह रेखा निर्देशी अक्षों को C(4, 0) और D(0, 6) बिंदुओं पर मिलती है। जब असमिका \( 3x + 2y \le 12 \) में मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करते हैं, तो \( 3(0) + 2(0) = 0 \le 12 \) मिलता है, जो कि सत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।

चूंकि \( x \ge 0 \) और \( y \ge 0 \) भी दिए गए हैं, तो हल क्षेत्र प्रथम पाद में होगा। रेखाओं \( x + 2y = 8 \) और \( 3x + 2y = 12 \) के प्रतिच्छेदन बिंदु E को ज्ञात करने के लिए, हम इन समीकरणों को हल करते हैं।
घटाने पर: \( (3x + 2y) - (x + 2y) = 12 - 8 \)
\( \implies 2x = 4 \)
\( \implies x = 2 \)
\( x = 2 \) को \( x + 2y = 8 \) में रखने पर:
\( 2 + 2y = 8 \)
\( \implies 2y = 6 \)
\( \implies y = 3 \)
तो, प्रतिच्छेदन बिंदु E(2, 3) है।

छायांकित क्षेत्र OQCEB (मूल बिंदु O(0,0), C(4,0), E(2,3) और B(0,4)) सभी असमिकाओं का उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु O(0, 0), C(4, 0), E(2, 3) और B(0, 4) हैं। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = -3x + 4y \) के मान नीचे सारणी में दिए गए हैं:

सारणी से पता चलता है कि बिंदु C(4, 0) पर फलन का मान न्यूनतम है। अतः, \( x = 4, y = 0 \) पर उद्देश्य फलन का न्यूनतम मान \( -12 \) है। रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं में, उद्देश्य फलन का न्यूनतम या अधिकतम मान हमेशा सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं पर प्राप्त होता है।

In simple words: हमने उन सभी नियमों (असमिकाओं) के लिए रेखाएँ बनाईं जो x और y को मान लेने की अनुमति देते हैं। फिर हमने देखा कि कौन सा क्षेत्र सभी नियमों को एक साथ पूरा करता है। इस क्षेत्र को 'सुसंगत क्षेत्र' कहते हैं, और यह एक बंद आकृति है। इस क्षेत्र के कोनों पर, हमने Z के मानों की गणना की। इनमें से, सबसे छोटा मान Z = -12, बिंदु (4,0) पर मिला।

🎯 Exam Tip: आलेखीय विधि से हल करते समय, सभी कोणीय बिंदुओं को सही ढंग से पहचानना और उन पर उद्देश्य फलन का मान निकालना महत्वपूर्ण है। ग्राफ को साफ और स्पष्ट रूप से लेबल करें।

Question 2. अधिकतम \( Z = 3x + 4y \) व्यवरोध \( x + y \le 4 \) तथा \( x \ge 0, y \ge 0 \).
Answer: दिए गए व्यवरोधों को समीकरण में बदलने पर:
\( x + y = 4 \)
सारणी:

यह रेखा निर्देशी अक्षों को A(4, 0) और B(0, 4) बिंदुओं पर मिलती है। जब असमिका \( x + y \le 4 \) में मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करते हैं, तो \( 0 + 0 = 0 \le 4 \) मिलता है, जो कि सत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।

चूंकि \( x \ge 0 \) और \( y \ge 0 \) भी दिए गए हैं, तो हल क्षेत्र प्रथम पाद में होगा। छायांकित क्षेत्र OAB सभी असमिकाओं का उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु O(0, 0), A(4, 0) और B(0, 4) हैं। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 3x + 4y \) के मान नीचे सारणी में दिए गए हैं:

सारणी से पता चलता है कि बिंदु B(0, 4) पर फलन का मान अधिकतम है। अतः, \( x = 0, y = 4 \) पर उद्देश्य फलन का अधिकतम मान \( 16 \) है। यह विधि हमेशा अधिकतम या न्यूनतम मान कोणीय बिंदुओं पर खोजने में मदद करती है।

In simple words: हमने x + y = 4 रेखा खींची। चूंकि सभी मान 0 से ऊपर या बराबर होने चाहिए (x ≥ 0, y ≥ 0) और x + y 4 से कम या बराबर होना चाहिए, तो सुसंगत क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है और त्रिभुज के आकार का है। इस त्रिभुज के तीन कोनों पर Z के मानों की गणना करने पर, हमें बिंदु (0,4) पर सबसे बड़ा मान 16 प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: अधिकतम मान ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि आप सुसंगत क्षेत्र के सभी कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मूल्यांकन करें। ध्यान दें कि असमिकाएँ किस दिशा में संकेत करती हैं (मूल बिंदु की ओर या उसके विपरीत)।

Question 3. निम्नतम \( Z = -50x + 20y \) व्यवरोध \( 2x - y \ge -5 \), \( 3x + y \ge 12 \), \( 2x - 3y \le 12 \) तथा \( x \ge 0, y \ge 0 \).
Answer: दिए गए व्यवरोधों को समीकरणों में बदलने पर:
(i) \( 2x - y = -5 \)
सारणी:

यह रेखा निर्देशी अक्षों को A(-5/2, 0) और B(0, 5) बिंदुओं पर मिलती है। असमिका \( 2x - y \ge -5 \) में मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 2(0) - 0 = 0 \ge -5 \) मिलता है, जो कि सत्य है। अतः, इस असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।

(ii) \( 3x + y = 12 \)
सारणी:

यह रेखा निर्देशी अक्षों को C(4, 0) और D(0, 12) बिंदुओं पर मिलती है। असमिका \( 3x + y \ge 12 \) में मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 3(0) + 0 = 0 \ge 12 \) मिलता है, जो कि असत्य है। अतः, इस असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर है।

(iii) \( 2x - 3y = 12 \)
सारणी:

यह रेखा निर्देशी अक्षों को E(6, 0) और F(0, -4) बिंदुओं पर मिलती है। असमिका \( 2x - 3y \le 12 \) में मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 2(0) - 3(0) = 0 \le 12 \) मिलता है, जो कि सत्य है। अतः, इस असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।

चूंकि \( x \ge 0 \) और \( y \ge 0 \) भी दिए गए हैं, तो हल क्षेत्र प्रथम पाद में होगा। रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
1. \( 2x - y = -5 \) और \( 3x + y = 12 \) को हल करने पर, बिंदु G(1.4, 7.8) प्राप्त होता है।
2. \( 3x + y = 12 \) और \( 2x - 3y = 12 \) को हल करने पर, बिंदु H(48/11, -12/11) प्राप्त होता है।
3. \( 2x - y = -5 \) और \( 2x - 3y = 12 \) को हल करने पर, बिंदु I(-27/4, -17/2) प्राप्त होता है।

आलेख से स्पष्ट है कि दिए गए व्यवरोधों के लिए सुसंगत क्षेत्र एक अपरिबद्ध क्षेत्र है। इस स्थिति में, उद्देश्य फलन \( Z = -50x + 20y \) का कोई निम्नतम मान विद्यमान नहीं है। जब सुसंगत क्षेत्र असीमित होता है, तो न्यूनतम या अधिकतम मान मौजूद नहीं भी हो सकता है।

In simple words: हमने तीन रेखाओं को खींचा और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात किए। जब हमने मूल बिंदु (0,0) को असमिकाओं में रखा, तो हमें पता चला कि कुछ क्षेत्रों को मूल बिंदु के विपरीत होना चाहिए। क्योंकि सभी नियम मिलकर एक ऐसा क्षेत्र बनाते हैं जो असीमित है, और इसमें कोई कोणीय बिंदु ऐसा नहीं है जहाँ Z का मान सबसे कम या सबसे अधिक हो सके, इसलिए कोई न्यूनतम मान मौजूद नहीं है।

🎯 Exam Tip: यदि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध हो, तो यह सुनिश्चित करने के लिए जांच करें कि उद्देश्य फलन का कोई न्यूनतम या अधिकतम मान मौजूद है या नहीं। यह अक्सर ढाल और असमिकाओं की दिशा पर निर्भर करता है।

Question 4. निम्नतम \( Z = 3x+4y \) व्यवरोध \( x + 3y \ge 3 \), \( x + y \ge 2 \) तथा \( x \ge 0, y \ge 0 \).
Answer: दिए गए व्यवरोधों को समीकरणों में बदलने पर:
(i) \( x + 3y = 3 \)
सारणी:

यह रेखा निर्देशी अक्षों को A(3, 0) और B(0, 1) बिंदुओं पर मिलती है। असमिका \( x + 3y \ge 3 \) में मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 + 3(0) = 0 \ge 3 \) मिलता है, जो कि असत्य है। अतः, इस असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर है।

(ii) \( x + y = 2 \)
सारणी:

यह रेखा निर्देशी अक्षों को C(2, 0) और D(0, 2) बिंदुओं पर मिलती है। असमिका \( x + y \ge 2 \) में मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 + 0 = 0 \ge 2 \) मिलता है, जो कि असत्य है। अतः, इस असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर है।

चूंकि \( x \ge 0 \) और \( y \ge 0 \) भी दिए गए हैं, तो हल क्षेत्र प्रथम पाद में होगा। रेखाओं \( x + 3y = 3 \) और \( x + y = 2 \) के प्रतिच्छेदन बिंदु E को ज्ञात करने के लिए, हम इन समीकरणों को हल करते हैं।
घटाने पर: \( (x + 3y) - (x + y) = 3 - 2 \)
\( \implies 2y = 1 \)
\( \implies y = 1/2 \)
\( y = 1/2 \) को \( x + y = 2 \) में रखने पर:
\( x + 1/2 = 2 \)
\( \implies x = 2 - 1/2 = 3/2 \)
तो, प्रतिच्छेदन बिंदु E(3/2, 1/2) है।

छायांकित क्षेत्र AED (A(3,0), E(3/2, 1/2), D(0,2)) सभी असमिकाओं का उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र है, जो कि एक अपरिबद्ध क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु A(3, 0), E(3/2, 1/2) और D(0, 2) हैं। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 3x + 4y \) के मान नीचे सारणी में दिए गए हैं:

सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु E(3/2, 1/2) पर फलन का मान न्यूनतम है। अतः \( x = 3/2, y = 1/2 \) पर उद्देश्य फलन का न्यूनतम मान \( 6.5 \) है। यह इंगित करता है कि कभी-कभी अपरिबद्ध क्षेत्रों में भी न्यूनतम मान मौजूद हो सकता है।

In simple words: हमने उन सभी रेखाओं को खींचा जो दिए गए नियमों (असमिकाओं) को दर्शाती हैं। चूंकि नियम बताते हैं कि x और y के मान शून्य से अधिक या बराबर होने चाहिए और रेखाओं के ऊपर या बाहर होने चाहिए, तो सुसंगत क्षेत्र असीमित है। हमने इस असीमित क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं पर Z के मानों की गणना की और पाया कि बिंदु (3/2, 1/2) पर Z का न्यूनतम मान 6.5 है।

🎯 Exam Tip: अपरिबद्ध सुसंगत क्षेत्रों के लिए, न्यूनतम या अधिकतम मानों की जांच करते समय सभी कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान निकालना महत्वपूर्ण है। यदि कोई ऐसा बिंदु मिलता है जहाँ फलन न्यूनतम या अधिकतम हो, तो वही इष्टतम मान होता है।

Question 5. निम्नतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जहाँ \( Z = 3x + 9y \) व्यवरोध \( x + 3y \le 60 \), \( x + y \ge 10 \), \( x \le y \) तथा \( x \ge 0, y \ge 0 \).
Answer: दिए गए व्यवरोधों को समीकरणों में बदलने पर:
(i) \( x + y = 10 \)
(ii) \( x + 3y = 60 \)
(iii) \( x = y \)

इन रेखाओं को खींचने और \( x \ge 0, y \ge 0 \) को ध्यान में रखते हुए, सुसंगत क्षेत्र एक चतुर्भुज ABCD के रूप में प्राप्त होता है, जो आरेख में छायांकित है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु निम्नलिखित हैं:
A(0, 10) (रेखा \( x + y = 10 \) का Y-अक्ष पर बिंदु)
B(5, 5) (रेखाओं \( x + y = 10 \) और \( x = y \) का प्रतिच्छेदन बिंदु)
C(15, 15) (रेखाओं \( x + 3y = 60 \) और \( x = y \) का प्रतिच्छेदन बिंदु)
D(0, 20) (रेखा \( x + 3y = 60 \) का Y-अक्ष पर बिंदु)

इन कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 3x + 9y \) के मान नीचे सारणी में दिए गए हैं:

सारणी से स्पष्ट है कि:
उद्देश्य फलन का न्यूनतम मान \( 60 \) है, जो बिंदु B(5, 5) पर प्राप्त होता है।
उद्देश्य फलन का अधिकतम मान \( 180 \) है, जो बिंदुओं C(15, 15) और D(0, 20) पर प्राप्त होता है। यदि अधिकतम मान एक से अधिक बिंदुओं पर प्राप्त होता है, तो उन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाखंड पर स्थित प्रत्येक बिंदु पर भी वही अधिकतम मान प्राप्त होता है।

In simple words: हमने दिए गए सभी नियमों (व्यवरोधों) को रेखाओं के रूप में खींचा। फिर हमने वह क्षेत्र ढूंढा जो सभी नियमों को एक साथ पूरा करता है। इस क्षेत्र को 'सुसंगत क्षेत्र' कहते हैं, और यह एक बंद आकृति है। इस आकृति के चारों कोनों पर, हमने Z का मान निकाला। हमें पता चला कि सबसे कम मान 60 बिंदु (5,5) पर मिलता है, और सबसे अधिक मान 180 दो बिंदुओं (15,15) और (0,20) पर मिलता है, जिसका मतलब है कि इन दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के हर बिंदु पर भी Z का मान 180 होगा।

🎯 Exam Tip: यदि उद्देश्य फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान सुसंगत क्षेत्र के एक से अधिक कोणीय बिंदुओं पर प्राप्त होता है, तो उन बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित सभी बिंदुओं पर भी वही इष्टतम मान प्राप्त होता है। इस बात का उल्लेख करना अतिरिक्त अंक दिला सकता है।

Question 6. निम्नतम \( Z = x + 2y \) व्यवरोध \( 2x + y \ge 3 \), \( x + 2y \ge 6 \) तथा \( x \ge 0, y \ge 0 \).
Answer: दिए गए व्यवरोधों को समीकरणों में बदलने पर:
(i) \( 2x + y = 3 \)
सारणी:

यह रेखा निर्देशी अक्षों को A(3/2, 0) और B(0, 3) बिंदुओं पर मिलती है। असमिका \( 2x + y \ge 3 \) में मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 2(0) + 0 = 0 \ge 3 \) मिलता है, जो कि असत्य है। अतः, इस असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर है।

(ii) \( x + 2y = 6 \)
सारणी:

यह रेखा निर्देशी अक्षों को C(6, 0) और B(0, 3) बिंदुओं पर मिलती है। असमिका \( x + 2y \ge 6 \) में मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 + 2(0) = 0 \ge 6 \) मिलता है, जो कि असत्य है। अतः, इस असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर है।

चूंकि \( x \ge 0 \) और \( y \ge 0 \) भी दिए गए हैं, तो हल क्षेत्र प्रथम पाद में होगा। रेखाओं \( 2x + y = 3 \) और \( x + 2y = 6 \) को हल करने पर, हमें प्रतिच्छेदन बिंदु (0,3) प्राप्त होता है, जो कि बिंदु B है। अतः, ये दोनों रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

छायांकित क्षेत्र OCB (B(0,3), C(6,0)) सभी असमिकाओं का उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र है, जो कि एक अपरिबद्ध क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु B(0, 3) और C(6, 0) हैं। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = x + 2y \) के मान नीचे सारणी में दिए गए हैं:

सारणी से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन का न्यूनतम मान \( 6 \) है, जो रेखाखंड BC पर स्थित प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होता है। जब न्यूनतम मान एक से अधिक बिंदुओं पर प्राप्त होता है, तो उन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाखंड पर स्थित प्रत्येक बिंदु पर भी वही न्यूनतम मान प्राप्त होता है।

In simple words: हमने उन सभी रेखाओं को खींचा जो दिए गए नियमों को दर्शाती हैं। चूंकि नियम कहते हैं कि x और y के मान शून्य से अधिक या बराबर होने चाहिए और रेखाओं के ऊपर या बाहर होने चाहिए, तो सुसंगत क्षेत्र असीमित है। हमने इस असीमित क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं पर Z के मानों की गणना की और पाया कि बिंदु (0,3) और (6,0) पर Z का न्यूनतम मान 6 है। इसका मतलब है कि इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के सभी बिंदुओं पर भी Z का मान 6 रहेगा।

🎯 Exam Tip: अपरिबद्ध सुसंगत क्षेत्रों में न्यूनतम या अधिकतम मान एक रेखाखंड पर भी प्राप्त हो सकता है, न कि केवल एक बिंदु पर। यदि कोणीय बिंदुओं पर समान न्यूनतम/अधिकतम मान प्राप्त होता है, तो पूरी रेखाखंड इष्टतम समाधान का हिस्सा होती है।

Question 7. निम्नतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जहाँ \( Z = 5x + 10y \) व्यवरोध \( x + 2y \le 120 \), \( x + y \ge 60 \), \( x - 2y \ge 0 \) तथा \( x \ge 0, y \ge 0 \).
Answer: दिए गए व्यवरोधों को समीकरणों में बदलने पर:
(i) \( x + 2y = 120 \)
सारणी:

यह रेखा निर्देशी अक्षों को A(120, 0) और B(0, 60) बिंदुओं पर मिलती है। असमिका \( x + 2y \le 120 \) में मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 + 2(0) = 0 \le 120 \) मिलता है, जो कि सत्य है। अतः, इस असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।

(ii) \( x + y = 60 \)
सारणी:

यह रेखा निर्देशी अक्षों को C(60, 0) और D(0, 60) बिंदुओं पर मिलती है। असमिका \( x + y \ge 60 \) में मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 + 0 = 0 \ge 60 \) मिलता है, जो कि असत्य है। अतः, इस असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर है।

(iii) \( x - 2y = 0 \)
सारणी:

यह रेखा मूल बिंदु E(0, 0) और F(60, 30) पर मिलती है। असमिका \( x - 2y \ge 0 \) में मूल बिंदु (0,0) प्रतिस्थापित करने पर \( 0 - 2(0) = 0 \ge 0 \) मिलता है, जो कि सत्य है। यह एक सीमा रेखा है, इसलिए हल क्षेत्र रेखा के एक तरफ होगा। (यहां, परीक्षण बिंदु (1,0) का उपयोग करके, \( 1-2(0) = 1 \ge 0 \) सत्य है, अतः हल क्षेत्र x-अक्ष की ओर है)।

चूंकि \( x \ge 0 \) और \( y \ge 0 \) भी दिए गए हैं, तो हल क्षेत्र प्रथम पाद में होगा। रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
1. \( x + y = 60 \) और \( x - 2y = 0 \) को हल करने पर, बिंदु E(40, 20) प्राप्त होता है।
2. \( x + 2y = 120 \) और \( x - 2y = 0 \) को हल करने पर, बिंदु F(60, 30) प्राप्त होता है।

छायांकित क्षेत्र ACEF सभी असमिकाओं का उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु A(120, 0), C(60, 0), E(40, 20) और F(60, 30) हैं। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 5x + 10y \) के मान नीचे सारणी में दिए गए हैं:

सारणी से स्पष्ट है कि:
उद्देश्य फलन का न्यूनतम मान \( 300 \) है, जो बिंदु C(60, 0) पर प्राप्त होता है।
उद्देश्य फलन का अधिकतम मान \( 600 \) है, जो बिंदुओं A(120, 0) और F(60, 30) को मिलाने वाली रेखाखंड पर स्थित प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होता है।

In simple words: हमने दिए गए सभी नियमों (व्यवरोधों) के लिए रेखाएँ बनाईं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात किए। इन नियमों को पूरा करने वाला क्षेत्र, जिसे 'सुसंगत क्षेत्र' कहते हैं, एक बंद आकृति है (चतुर्भुज ACEF)। इस आकृति के कोणीय बिंदुओं पर हमने Z के मानों की गणना की। हमें पता चला कि सबसे कम मान 300 बिंदु (60,0) पर और सबसे अधिक मान 600 बिंदुओं (120,0) और (60,30) को जोड़ने वाली रेखा के हर बिंदु पर मिलता है।

🎯 Exam Tip: सभी प्रतिच्छेदन बिंदुओं की गणना सावधानी से करें, क्योंकि एक भी गलती से पूरा सुसंगत क्षेत्र गलत हो सकता है। सुनिश्चित करें कि आप सभी शर्तों (जैसे \( x \ge 0, y \ge 0 \)) को लागू करते हैं ताकि सही क्षेत्र को परिभाषित किया जा सके।

Question 8. निम्नतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जहाँ \( Z = x + y \) व्यवरोध \( x - y \leq - 1 \), \( - x + y \leq 0 \) तथा \( x \geq 0, y \geq 0 \).
Answer: दिए गए व्यवरोधों को समीकरणों में बदलने पर:
1. \( x - y = -1 \)
यह रेखा \( x \)-अक्ष को \( (-1, 0) \) पर और \( y \)-अक्ष को \( (0, 1) \) पर काटती है। यदि हम मूल बिंदु \( (0, 0) \) को असमिका \( x - y \leq -1 \) में रखते हैं, तो हमें \( 0 \leq -1 \) मिलता है, जो असत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत दिशा में है। एक सीधी रेखा के लिए, हल क्षेत्र उसकी किसी एक तरफ होता है।
2. \( -x + y = 0 \)
यह रेखा मूल बिंदु \( (0, 0) \) से होकर गुजरती है। यदि हम \( (1, 0) \) को असमिका \( -x + y \leq 0 \) में रखते हैं, तो हमें \( -1 \leq 0 \) मिलता है, जो सत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र \( (1, 0) \) की ओर है।
3. \( x \geq 0, y \geq 0 \)
ये व्यवरोध दर्शाते हैं कि हल क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है।

उपरोक्त असमिकाओं को आलेखित करने पर यह देखा जाता है कि इन व्यवरोधों को संतुष्ट करने वाला कोई उभयनिष्ठ क्षेत्र नहीं है। चूंकि कोई व्यवहार्य क्षेत्र नहीं है, इसलिए दिए गए उद्देश्यों के लिए \( Z \) का कोई अधिकतम या निम्नतम मान मौजूद नहीं है। यह रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं में एक सामान्य स्थिति है जब बाधाएं एक सुसंगत व्यवहार्य क्षेत्र नहीं बनाती हैं।
In simple words: हमने समस्याओं को ग्राफ पर प्लॉट किया। हमें ऐसा कोई क्षेत्र नहीं मिला जहाँ सभी शर्तें एक साथ पूरी होती हों। इसलिए, इस सवाल में कोई सबसे बड़ा या सबसे छोटा हल नहीं है।

🎯 Exam Tip: हमेशा सभी व्यवरोधों को ध्यान से आलेखित करें और सुनिश्चित करें कि कोई भी व्यवहार्य क्षेत्र ओवरलैप नहीं कर रहा है। यदि कोई उभयनिष्ठ व्यवहार्य क्षेत्र नहीं है, तो इष्टतम समाधान मौजूद नहीं होता है।

Question 9. निम्नतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जहाँ \( Z = 3x + 2y \) व्यवरोध \( x + y \geq 8 \), \( 3x + 5y \leq 15 \) तथा \( x \geq 0, y \geq 0 \).
Answer: दिए गए व्यवरोधों को समीकरणों में बदलने पर:
1. \( x + y = 8 \)
यह रेखा \( x \)-अक्ष को \( (8, 0) \) पर और \( y \)-अक्ष को \( (0, 8) \) पर काटती है। यदि हम मूल बिंदु \( (0, 0) \) को असमिका \( x + y \geq 8 \) में रखते हैं, तो हमें \( 0 \geq 8 \) मिलता है, जो असत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत दिशा में है।
2. \( 3x + 5y = 15 \)
यह रेखा \( x \)-अक्ष को \( (5, 0) \) पर और \( y \)-अक्ष को \( (0, 3) \) पर काटती है। यदि हम मूल बिंदु \( (0, 0) \) को असमिका \( 3x + 5y \leq 15 \) में रखते हैं, तो हमें \( 0 \leq 15 \) मिलता है, जो सत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है। इस तरह के अलग-अलग हल क्षेत्र अक्सर यह बताते हैं कि कोई व्यवहार्य समाधान नहीं है।
3. \( x \geq 0, y \geq 0 \)
ये व्यवरोध दर्शाते हैं कि हल क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है।

उपरोक्त असमिकाओं को आलेखित करने पर यह देखा जाता है कि इन व्यवरोधों को संतुष्ट करने वाला कोई उभयनिष्ठ व्यवहार्य क्षेत्र नहीं है। चूँकि कोई व्यवहार्य क्षेत्र नहीं है, इसलिए दिए गए उद्देश्यों के लिए \( Z \) का कोई अधिकतम या निम्नतम मान मौजूद नहीं है। यह महत्वपूर्ण है कि सभी व्यवरोध एक साथ संतुष्ट हों।
In simple words: हमने दी गई शर्तों को ग्राफ पर बनाया। हमें ऐसा कोई हिस्सा नहीं मिला जहाँ सभी शर्तें पूरी होती हों। इसलिए, इस सवाल के लिए कोई सबसे बड़ा या सबसे छोटा उत्तर नहीं है।

🎯 Exam Tip: जब दो असमिकाओं के हल क्षेत्र विपरीत दिशाओं में हों (एक मूल बिंदु की ओर और दूसरा उससे दूर), तो अक्सर कोई उभयनिष्ठ व्यवहार्य क्षेत्र नहीं बनता, जिसका अर्थ है कि कोई इष्टतम समाधान नहीं है।

Question 10. अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जहाँ \( Z = - x + 2y \) व्यवरोध \( x \geq 3 \), \( x + y \geq 5 \), \( x + 2y \leq 6 \) तथा \( y \geq 0 \).
Answer: दिए गए व्यवरोधों को समीकरणों में बदलने पर:
1. \( x = 3 \)
यह \( y \)-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। असमिका \( x \geq 3 \) का अर्थ है कि हल क्षेत्र इस रेखा के दाईं ओर है।
2. \( x + y = 5 \)
यह रेखा \( x \)-अक्ष को \( (5, 0) \) पर और \( y \)-अक्ष को \( (0, 5) \) पर काटती है। यदि हम मूल बिंदु \( (0, 0) \) को असमिका \( x + y \geq 5 \) में रखते हैं, तो हमें \( 0 \geq 5 \) मिलता है, जो असत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत दिशा में है।
3. \( x + 2y = 6 \)
यह रेखा \( x \)-अक्ष को \( (6, 0) \) पर और \( y \)-अक्ष को \( (0, 3) \) पर काटती है। यदि हम मूल बिंदु \( (0, 0) \) को असमिका \( x + 2y \leq 6 \) में रखते हैं, तो हमें \( 0 \leq 6 \) मिलता है, जो सत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है। इन अलग-अलग हल क्षेत्रों की जांच करना महत्वपूर्ण है।
4. \( y \geq 0 \)
यह व्यवरोध दर्शाता है कि हल क्षेत्र \( x \)-अक्ष के ऊपर है (अर्थात, प्रथम और द्वितीय चतुर्थांश)।

उपरोक्त असमिकाओं को आलेखित करने पर यह देखा जाता है कि इन व्यवरोधों को संतुष्ट करने वाला कोई उभयनिष्ठ व्यवहार्य क्षेत्र नहीं है। चूँकि कोई व्यवहार्य क्षेत्र नहीं है, इसलिए दिए गए उद्देश्यों के लिए \( Z \) का कोई अधिकतम मान मौजूद नहीं है। जब बाधाएं विरोधाभासी होती हैं, तो कोई संभव समाधान नहीं होता।
In simple words: हमने सभी शर्तों को ग्राफ पर बनाया। कोई भी ऐसा जगह नहीं मिली जहाँ सभी शर्तें एक साथ पूरी हो सकें। इसलिए, इस सवाल में कोई सबसे बड़ा हल नहीं है।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप सभी व्यवरोधों के लिए सही दिशा में हल क्षेत्र को छायांकित करें। यदि कोई ओवरलैपिंग क्षेत्र नहीं मिलता है, तो कोई व्यवहार्य समाधान मौजूद नहीं होता है।