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प्रश्न 1. निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को आलेखीय विधि से हल कीजिए
अधिकतम \( Z = 4x + y \)
व्यवरोध \( x + y \leq 50 \)
\( 3x + y \leq 90 \)
तथा \( x, y \geq 0 \)
Answer: दिए गए व्यवरोधों को समीकरणों में बदलने पर:
\( x + y = 50 \)...(1)
\( 3x + y = 90 \)...(2)
\( x = 0 \)...(3)
\( y = 0 \)...(4)
असमिका \( x + y \leq 50 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र:
रेखा \( x + y = 50 \) निर्देशांक अक्षों को क्रमशः बिंदु A(50, 0) तथा B(0, 50) पर काटती है। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) रखने पर \( 0 + 0 = 0 \leq 50 \) आता है, जो संतुष्ट करता है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका \( 3x + y \leq 90 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र:
रेखा \( 3x + y = 90 \) निर्देशांक अक्षों को क्रमशः बिंदु C(30, 0) तथा D(0, 90) पर काटती है। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) रखने पर \( 3(0) + 0 = 0 \leq 90 \) आता है, जो संतुष्ट करता है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका \( x \geq 0 \) तथा \( y \geq 0 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश है, क्योंकि इस चतुर्थांश का प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को संतुष्ट करता है।
रेखाओं \( x + y = 50 \) तथा \( 3x + y = 90 \) का प्रतिच्छेद बिंदु E(20, 30) है।
सभी असमिकाओं द्वारा बनाया गया सुसंगत क्षेत्र O C E B है, जिसके शीर्ष बिंदु हैं:
O(0, 0)
C(30, 0)
E(20, 30)
B(0, 50)
इन शीर्ष बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 4x + y \) का मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सारणी का उपयोग करेंगे:
| बिन्दु | x निर्देशांक | y निर्देशांक | उद्देश्य फलन का मान \( Z = 4x + y \) |
|---|---|---|---|
| O | 0 | 0 | \( Z_O = 4(0)+0 = 0 \) |
| C | 30 | 0 | \( Z_C = 4(30)+0 = 120 \) |
| E | 20 | 30 | \( Z_E = 4(20)+30 = 80+30 = 110 \) |
| B | 0 | 50 | \( Z_B = 4(0)+50 = 50 \) |
सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु C(30, 0) पर उद्देश्य फलन का अधिकतम मान 120 है।
In simple words: हमने लाइनों के ग्राफ बनाए और देखा कि \( x=30 \) और \( y=0 \) पर \( Z \) सबसे बड़ा मान (120) देता है। यह वह जगह है जहाँ दो सीमा रेखाएँ और अक्ष मिलते हैं।
🎯 Exam Tip: रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं में अधिकतम या न्यूनतम मान हमेशा सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदुओं (कोनों) पर पाए जाते हैं, इसलिए सभी शीर्ष बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मूल्यांकन करना सुनिश्चित करें।
प्रश्न 2. निम्न रैखिक प्रोगामन समस्या को आलेखीय विधि से हल कीजिए
अधिकतम \( Z = 3x + 2y \)
व्यवरोध \( x + y \geq 8 \)
\( 3x + 5y \leq 15 \)
तथा \( x \geq 0, y \geq 0 \)
Answer: दिए गए व्यवरोधों को समीकरणों में बदलने पर:
\( x + y = 8 \)...(1)
\( 3x + 5y = 15 \)...(2)
\( x = 0 \)...(3)
\( y = 0 \)...(4)
असमिका \( x + y \geq 8 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र:
रेखा \( x + y = 8 \) निर्देशांक अक्षों को क्रमशः बिंदु A(8, 0) तथा B(0, 8) पर काटती है। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) रखने पर \( 0 + 0 = 0 \geq 8 \) आता है, जो असंतुष्ट करता है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु से दूर होगा।
असमिका \( 3x + 5y \leq 15 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र:
रेखा \( 3x + 5y = 15 \) निर्देशांक अक्षों को क्रमशः बिंदु C(5, 0) तथा D(0, 3) पर काटती है। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) रखने पर \( 3(0) + 5(0) = 0 \leq 15 \) आता है, जो संतुष्ट करता है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका \( x \geq 0 \) तथा \( y \geq 0 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश है।
उपरोक्त ग्राफ में, दोनों असमिकाओं \( x + y \geq 8 \) और \( 3x + 5y \leq 15 \) के लिए कोई उभयनिष्ठ हल क्षेत्र नहीं है। \( x + y \geq 8 \) का क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है, जबकि \( 3x + 5y \leq 15 \) का क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है, और ये क्षेत्र एक दूसरे को ओवरलैप नहीं करते हैं। इसलिए, इस समस्या का कोई सुसंगत हल विद्यमान नहीं है। जब कोई उभयनिष्ठ क्षेत्र नहीं होता है, तो अधिकतम मान भी नहीं निकाला जा सकता है।
In simple words: हमने दो लाइनों के ग्राफ बनाए और देखा कि उनके हल क्षेत्र एक-दूसरे से दूर थे। इसका मतलब है कि कोई भी बिंदु ऐसा नहीं है जो सभी शर्तों को एक साथ पूरा करता हो, इसलिए कोई समाधान नहीं है।
🎯 Exam Tip: यदि ग्राफ़ में कोई उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र नहीं है, तो रैखिक प्रोग्रामन समस्या का कोई समाधान नहीं होता है। इस स्थिति को पहचानना महत्वपूर्ण है।
Question 3. \( 2x + y \leq 200 \)
तथा \( x \geq 0, y \geq 0 \)
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण के रूप में परिवर्तित करने पर,
\( x + 2y = 100 \)...(1)
\( 2x - y = 0 \)...(2)
\( 2x + y = 200 \)...(3)
\( x = 0 \)...(4)
\( y = 0 \)...(5)
Answer: असमिका \( x + 2y \geq 100 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र:
रेखा \( x + 2y = 100 \) निर्देशांक अक्षों को क्रमशः बिंदु A(100, 0) तथा B(0, 50) पर काटती है। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) रखने पर \( 0 + 2(0) = 0 \geq 100 \) आता है, जो असंतुष्ट करता है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत दिशा में होगा।
असमिका \( 2x - y \leq 0 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र:
रेखा \( 2x - y = 0 \) मूल बिंदु (0, 0) से होकर गुजरती है और बिंदु C(100, 200) पर भी मिलती है। असमिका में (1, 0) रखने पर \( 2(1) - 0 = 2 \leq 0 \) आता है, जो असंतुष्ट करता है। इसलिए, हल क्षेत्र उस ओर होगा जहाँ बिंदु (1,0) नहीं है, यानी y-अक्ष की ओर।
असमिका \( 2x + y \leq 200 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र:
रेखा \( 2x + y = 200 \) निर्देशांक अक्षों को क्रमशः बिंदु A(100, 0) तथा D(0, 200) पर काटती है। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) रखने पर \( 2(0) + 0 = 0 \leq 200 \) आता है, जो संतुष्ट करता है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका \( x \geq 0 \) तथा \( y \geq 0 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश है।
रेखाओं \( x + 2y = 100 \) और \( 2x - y = 0 \) का प्रतिच्छेद बिंदु E(20, 40) है।
रेखाओं \( 2x + y = 200 \) और \( 2x - y = 0 \) का प्रतिच्छेद बिंदु F(50, 100) है।
छायांकित क्षेत्र BDEF दी गई असमिकाओं का उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु हैं: B(0, 50), D(0, 200), E(20, 40) और F(50, 100)। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = x + 2y \) के मान नीचे सारणी में दिए गए हैं:
| बिन्दु | x निर्देशांक | y निर्देशांक | उद्देश्य फलन का मान \( Z = x + 2y \) |
|---|---|---|---|
| B | 0 | 50 | \( Z_B = 0+2(50) = 100 \) |
| D | 0 | 200 | \( Z_D = 0+2(200) = 400 \) |
| E | 20 | 40 | \( Z_E = 20+2(40) = 20+80 = 100 \) |
| F | 50 | 100 | \( Z_F = 50+2(100) = 50+200 = 250 \) |
सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु D(0, 200) पर उद्देश्य फलन का अधिकतम मान 400 है, और बिंदु B(0, 50) तथा E(20, 40) पर न्यूनतम मान 100 है।
In simple words: हमने तीन रेखाओं के ग्राफ़ खींचे और एक ऐसा क्षेत्र पाया जहाँ सभी शर्तें पूरी होती हैं। हमने इस क्षेत्र के कोनों पर \( Z \) का मान निकाला और पाया कि \( Z=400 \) अधिकतम मान है।
🎯 Exam Tip: जब सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध हो, तो उद्देश्य फलन का अधिकतम और न्यूनतम मान हमेशा कोणीय बिंदुओं पर ही प्राप्त होता है। सुनिश्चित करें कि आप सभी प्रतिच्छेद बिंदुओं की सही गणना करें।
प्रश्न 4. अधिकतम \( Z = 3x + 2y \)
व्यवरोध \( x + 2y \leq 10 \)
\( 3x + y \leq 15 \)
तथा \( x \geq 0, y \geq 0 \)
Answer: दिए गए व्यवरोधों को समीकरणों में बदलने पर:
\( x + 2y = 10 \)...(1)
\( 3x + y = 15 \)...(2)
\( x = 0 \)...(3)
\( y = 0 \)...(4)
असमिका \( x + 2y \leq 10 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र:
रेखा \( x + 2y = 10 \) निर्देशांक अक्षों को क्रमशः बिंदु A(10, 0) तथा B(0, 5) पर काटती है। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) रखने पर \( 0 + 2(0) = 0 \leq 10 \) आता है, जो संतुष्ट करता है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका \( 3x + y \leq 15 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र:
रेखा \( 3x + y = 15 \) निर्देशांक अक्षों को क्रमशः बिंदु C(5, 0) तथा D(0, 15) पर काटती है। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) रखने पर \( 3(0) + 0 = 0 \leq 15 \) आता है, जो संतुष्ट करता है। इसलिए, हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका \( x \geq 0 \) तथा \( y \geq 0 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश है, क्योंकि इस चतुर्थांश का प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को संतुष्ट करता है।
रेखाओं \( x + 2y = 10 \) तथा \( 3x + y = 15 \) का प्रतिच्छेद बिंदु E(4, 3) है।
छायांकित क्षेत्र OCEB सभी असमिकाओं का उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु हैं:
O(0, 0)
C(5, 0)
E(4, 3)
B(0, 5)
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 3x + 2y \) के मान नीचे सारणी में दिए गए हैं:
| बिन्दु | x निर्देशांक | y निर्देशांक | उद्देश्य फलन का मान \( Z = 3x + 2y \) |
|---|---|---|---|
| O | 0 | 0 | \( Z_O = 3(0)+2(0) = 0 \) |
| C | 5 | 0 | \( Z_C = 3(5)+2(0) = 15 \) |
| E | 4 | 3 | \( Z_E = 3(4)+2(3) = 12+6 = 18 \) |
| B | 0 | 5 | \( Z_B = 3(0)+2(5) = 10 \) |
सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु E(4, 3) पर उद्देश्य फलन का अधिकतम मान 18 है।
In simple words: हमने लाइनों के ग्राफ़ खींचे और सभी शर्तों को पूरा करने वाला एक क्षेत्र (सुसंगत क्षेत्र) पाया। फिर हमने इस क्षेत्र के कोनों पर \( Z \) का मान निकाला और देखा कि \( Z=18 \) सबसे बड़ा मान है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप सभी कोणीय बिंदुओं को ठीक से पहचानते हैं, जिसमें अक्षों पर बिंदु और रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु शामिल हैं। यही वे बिंदु हैं जहाँ इष्टतम समाधान (अधिकतम या न्यूनतम) मिलेगा।
प्रश्न 5. एक बीमार व्यक्ति के भोजन के कम से कम 4000 इकाई विटामिन, 50 इकाई खनिज तथा 1400 इकाई कैलोरी की। संयोजन होना चाहिये। दो खाद्य सामग्री A तथा B क्रमशः Rs 4 तथा Rs 3 प्रति इकाई की कीमत पर उपलब्ध है। यदि खाद्य सामग्री A की एक इकाई में 200 इकाई विटामिन, 1 इकाई खनिज तथा 40 कैलोरी तथा खाद्य सामग्री में की एक इकाई में 100 इकाई विटामिन, 2 इकाई खनिज तथा 40 कैलोरी हो, तो न्यूनतम लागत प्राप्त करने के लिए किस प्रकार से खाद्य सामग्री का संयोजन उपयोग करना चाहिए ?
Answer: माना कि खाद्य सामग्री A की \( x \) इकाइयाँ और खाद्य सामग्री B की \( y \) इकाइयाँ खरीदी जाती हैं।
तो, कुल लागत, जो न्यूनतम करनी है, वह उद्देश्य फलन है:
न्यूनतम \( Z = \text{Rs } 4x + 3y \)
व्यवरोध (सीमाएँ) निम्न प्रकार से हैं:
विटामिन के लिए: \( 200x + 100y \geq 4000 \implies 2x + y \geq 40 \)...(1)
खनिज के लिए: \( 1x + 2y \geq 50 \)...(2)
कैलोरी के लिए: \( 40x + 40y \geq 1400 \implies x + y \geq 35 \)...(3)
गैर-नकारात्मकता की शर्तें: \( x \geq 0, y \geq 0 \)
इन असमिकाओं को समीकरणों में बदलने पर:
\( 2x + y = 40 \)
\( x + 2y = 50 \)
\( x + y = 35 \)
इन रेखाओं के लिए बिंदु और ग्राफ खींचेंगे:
1. \( 2x + y = 40 \):
बिंदु A(20, 0) और B(0, 40)
मूल बिंदु (0,0) रखने पर \( 0 \geq 40 \) असत्य है, इसलिए हल क्षेत्र मूल बिंदु से दूर होगा।
2. \( x + 2y = 50 \):
बिंदु C(50, 0) और D(0, 25)
मूल बिंदु (0,0) रखने पर \( 0 \geq 50 \) असत्य है, इसलिए हल क्षेत्र मूल बिंदु से दूर होगा।
3. \( x + y = 35 \):
बिंदु E(35, 0) और F(0, 35)
मूल बिंदु (0,0) रखने पर \( 0 \geq 35 \) असत्य है, इसलिए हल क्षेत्र मूल बिंदु से दूर होगा।
अब हम प्रतिच्छेद बिंदुओं की गणना करेंगे:
* \( 2x + y = 40 \) और \( x + 2y = 50 \) का प्रतिच्छेद बिंदु है \( \text{G(10, 20)} \).
\( \implies \) \( 2x + y = 40 \) को 2 से गुणा करें: \( 4x + 2y = 80 \).
\( \implies \) \( (4x + 2y) - (x + 2y) = 80 - 50 \implies 3x = 30 \implies x = 10 \).
\( \implies \) \( 10 + 2y = 50 \implies 2y = 40 \implies y = 20 \). तो \( \text{G(10, 20)} \).
* \( x + 2y = 50 \) और \( x + y = 35 \) का प्रतिच्छेद बिंदु है \( \text{H(20, 15)} \).
\( \implies \) \( (x + 2y) - (x + y) = 50 - 35 \implies y = 15 \).
\( \implies \) \( x + 15 = 35 \implies x = 20 \). तो \( \text{H(20, 15)} \).
* \( 2x + y = 40 \) और \( x + y = 35 \) का प्रतिच्छेद बिंदु है \( \text{J(5, 30)} \).
\( \implies \) \( (2x + y) - (x + y) = 40 - 35 \implies x = 5 \).
\( \implies \) \( 5 + y = 35 \implies y = 30 \). तो \( \text{J(5, 30)} \).
सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, जिसके कोणीय बिंदु हैं: C(50, 0), H(20, 15), J(5, 30) और B(0, 40)।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 4x + 3y \) के मान नीचे सारणी में दिए गए हैं:
| बिन्दु | x निर्देशांक | y निर्देशांक | उद्देश्य फलन का मान \( Z = 4x + 3y \) |
|---|---|---|---|
| C | 50 | 0 | \( Z_C = 4(50)+3(0) = 200 \) |
| H | 20 | 15 | \( Z_H = 4(20)+3(15) = 80+45 = 125 \) |
| J | 5 | 30 | \( Z_J = 4(5)+3(30) = 20+90 = 110 \) |
| B | 0 | 40 | \( Z_B = 4(0)+3(40) = 120 \) |
सारणी में न्यूनतम मान बिंदु J(5, 30) पर 110 है। चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, इसलिए हमें \( 4x + 3y < 110 \) का आलेख खींचना होगा और देखना होगा कि इसका कोई बिंदु सुसंगत क्षेत्र में आता है या नहीं। चूंकि ग्राफ में \( 4x + 3y < 110 \) का कोई भी बिंदु सुसंगत क्षेत्र में नहीं आता है, इसलिए न्यूनतम मान 110 है।
इसलिए, न्यूनतम लागत प्राप्त करने के लिए खाद्य सामग्री A की 5 इकाइयाँ और खाद्य सामग्री B की 30 इकाइयाँ उपयोग करनी चाहिए।
In simple words: हमने ग्राफ़ पर सभी शर्तों को दिखाया और एक ऐसा क्षेत्र पाया जो उन सभी को पूरा करता है। फिर, हमने इस क्षेत्र के कोनों पर लागत की गणना की और देखा कि 5 इकाइयाँ A और 30 इकाइयाँ B सबसे कम लागत (110 रुपये) देती हैं।
🎯 Exam Tip: अपरिबद्ध सुसंगत क्षेत्रों के लिए न्यूनतम मान खोजने के लिए, यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि उद्देश्य फलन की "छोटी" रेखा (इस मामले में \( 4x + 3y < 110 \)) सुसंगत क्षेत्र को प्रतिच्छेद नहीं करती है, अन्यथा न्यूनतम मान मौजूद नहीं होगा।
प्रश्न 6. एक भोज्य पदार्थ में कम-से-कम 80 इकाई विटामिन A तथा कम-से-कम 100 इकाई खनिज है। दो प्रकार की खाद्य सामग्री F1 तथा F2 उपलब्ध हैं। खाद्य सामग्री F1 की कीमत Rs 4 प्रति इकाई तथा F2 की कीमत 6 प्रति इकाई है। खाद्य सामग्री F1 की एक इकाई में 3 इकाई विटामिन A तथा 4 इकाई खनिज हैं जबकि F2 की एक इकाई में Rs 6 इकाई विटामिन A तथा 3 इकाई खनिज है। इसे एक रैखिक प्रोगामन समस्या के रूप में सूत्रबद्ध कीजिए। उस भोज्य पदार्थ का न्यूनतम मूल्य भी ज्ञात कीजिए जिसमें इन दोनों खाद्य सामग्रियों का मिश्रण है।
Answer: माना कि भोज्य पदार्थ F1 की \( x \) इकाइयाँ और भोज्य पदार्थ F2 की \( y \) इकाइयाँ मिलाई जाती हैं।
तो, कुल लागत, जिसे न्यूनतम करना है, उद्देश्य फलन है:
न्यूनतम \( Z = \text{Rs } 4x + 6y \)
व्यवरोध (सीमाएँ) निम्न प्रकार से हैं:
विटामिन A के लिए: \( 3x + 6y \geq 80 \)...(1)
खनिज के लिए: \( 4x + 3y \geq 100 \)...(2)
गैर-नकारात्मकता की शर्तें: \( x \geq 0, y \geq 0 \)...(3)
इन असमिकाओं को समीकरणों में बदलने पर:
1. \( 3x + 6y = 80 \):
बिंदु A(80/3, 0) और B(0, 40/3)
मूल बिंदु (0,0) रखने पर \( 0 \geq 80 \) असत्य है, इसलिए हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत होगा।
2. \( 4x + 3y = 100 \):
बिंदु C(25, 0) और D(0, 100/3)
मूल बिंदु (0,0) रखने पर \( 0 \geq 100 \) असत्य है, इसलिए हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत होगा।
असमिका \( x \geq 0, y \geq 0 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश है।
अब हम प्रतिच्छेद बिंदु की गणना करेंगे:
* \( 3x + 6y = 80 \) और \( 4x + 3y = 100 \) का प्रतिच्छेद बिंदु E(24, 4/3) है।
\( \implies \) \( 4x + 3y = 100 \) को 2 से गुणा करें: \( 8x + 6y = 200 \).
\( \implies \) \( (8x + 6y) - (3x + 6y) = 200 - 80 \implies 5x = 120 \implies x = 24 \).
\( \implies \) \( 3(24) + 6y = 80 \implies 72 + 6y = 80 \implies 6y = 8 \implies y = 8/6 = 4/3 \).
तो \( \text{E(24, 4/3)} \).
सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, जिसके कोणीय बिंदु हैं: A(80/3, 0), E(24, 4/3) और D(0, 100/3)।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 4x + 6y \) के मान नीचे सारणी में दिए गए हैं:
| बिन्दु | x निर्देशक | y निर्देशांक | उद्देश्य फलन का मान \( Z = 4x + 6y \) |
|---|---|---|---|
| A | 80/3 | 0 | \( Z_A = 4(80/3)+6(0) = 320/3 \approx 106.67 \) |
| E | 24 | 4/3 | \( Z_E = 4(24)+6(4/3) = 96+8 = 104 \) |
| D | 0 | 100/3 | \( Z_D = 4(0)+6(100/3) = 200 \) |
सारणी में न्यूनतम मान बिंदु E(24, 4/3) पर 104 है। चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, हमें \( 4x + 6y < 104 \) का आलेख खींचना होगा। यदि इस रेखा का कोई भी बिंदु सुसंगत क्षेत्र में नहीं आता है, तो न्यूनतम मान 104 है। इस मामले में, यह नहीं आता है।
इसलिए, न्यूनतम लागत प्राप्त करने के लिए खाद्य सामग्री F1 की 24 इकाइयाँ और खाद्य सामग्री F2 की 4/3 इकाइयाँ उपयोग करनी चाहिए।
In simple words: हमने दो भोज्य पदार्थों को मिलाकर न्यूनतम लागत वाली विधि खोजी। ग्राफ़ पर, हमें एक क्षेत्र मिला जहाँ सभी शर्तें पूरी होती थीं। उस क्षेत्र के कोनों पर गणना करके, हमने पाया कि F1 की 24 इकाइयाँ और F2 की 4/3 इकाइयाँ मिलाकर सबसे कम लागत (104 रुपये) आती है।
🎯 Exam Tip: जब मिश्रण समस्या को हल कर रहे हों, तो सुनिश्चित करें कि आप सभी आवश्यक घटकों (जैसे विटामिन, खनिज, कैलोरी) के लिए न्यूनतम आवश्यकताओं को सही ढंग से असमिकाओं के रूप में व्यक्त करें।
प्रश्न 7. एक फर्नीचर निर्माता दो उत्पाद – कुर्सी तथा टेबल बनाता है। ये उत्पादन दो यंत्रों A तथा B पर बनाए जाते हैं। एक कुर्सी को बनाने में यंत्र A पर 2 घण्टे तथा यंत्र B पर 6 घण्टे और एक टेबल को बनाने में यंत्र A पर 4 घण्टे तथा यंत्र B पर 2 घण्टे लगते है। यंत्रों A तथा B पर क्रमशः 16 घण्टे तथा 30 घण्टे प्रतिदिन समय उपलब्ध है। निर्माता को एक कुर्सी तथा एक टेबल से प्राप्त लाभ क्रमशः Rs 3 व Rs 5 है। निर्माता को अधिकतम लाभ प्राप्त करने हेतु प्रत्येक उत्पादन का दैनिक उत्पादन कितना करना चाहिए?
Answer: माना कि निर्माता प्रतिदिन \( x \) कुर्सियाँ और \( y \) टेबल बनाता है।
तो, कुल लाभ, जिसे अधिकतम करना है, उद्देश्य फलन है:
अधिकतम \( Z = \text{Rs } 3x + 5y \)
व्यवरोध (सीमाएँ) निम्न प्रकार से हैं:
यंत्र A पर समय के लिए: \( 2x + 4y \leq 16 \implies x + 2y \leq 8 \)...(1)
यंत्र B पर समय के लिए: \( 6x + 2y \leq 30 \implies 3x + y \leq 15 \)...(2)
गैर-नकारात्मकता की शर्तें (उत्पादों की संख्या गैर-नकारात्मक होगी): \( x \geq 0, y \geq 0 \)...(3)
इन असमिकाओं को समीकरणों में बदलने पर:
\( x + 2y = 8 \)
\( 3x + y = 15 \)
इन रेखाओं के लिए बिंदु और ग्राफ खींचेंगे:
1. \( x + 2y = 8 \):
बिंदु A(8, 0) और B(0, 4)
मूल बिंदु (0,0) रखने पर \( 0 \leq 8 \) सत्य है, इसलिए हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
2. \( 3x + y = 15 \):
बिंदु C(5, 0) और D(0, 15)
मूल बिंदु (0,0) रखने पर \( 0 \leq 15 \) सत्य है, इसलिए हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका \( x \geq 0 \) तथा \( y \geq 0 \) द्वारा दर्शाया गया क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश है।
रेखाओं \( x + 2y = 8 \) तथा \( 3x + y = 15 \) का प्रतिच्छेद बिंदु E(22/5, 9/5) है।
\( \implies \) \( x + 2y = 8 \) को 3 से गुणा करें: \( 3x + 6y = 24 \).
\( \implies \) \( (3x + 6y) - (3x + y) = 24 - 15 \implies 5y = 9 \implies y = 9/5 \).
\( \implies \) \( x + 2(9/5) = 8 \implies x + 18/5 = 8 \implies x = 8 - 18/5 = (40 - 18)/5 = 22/5 \).
तो \( \text{E(22/5, 9/5)} \).
छायांकित क्षेत्र OCEB सभी असमिकाओं का उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदु हैं:
O(0, 0)
C(5, 0)
E(22/5, 9/5)
B(0, 4)
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन \( Z = 3x + 5y \) के मान नीचे सारणी में दिए गए हैं:
| बिन्दु | x निर्देशक | y निर्देशांक | उद्देश्य फलन का मान \( Z = 3x + 5y \) |
|---|---|---|---|
| O | 0 | 0 | \( Z_O = 3(0)+5(0) = 0 \) |
| C | 5 | 0 | \( Z_C = 3(5)+5(0) = 15 \) |
| E | 22/5 | 9/5 | \( Z_E = 3(22/5)+5(9/5) = 66/5 + 45/5 = 111/5 = 22.2 \) |
| B | 0 | 4 | \( Z_B = 3(0)+5(4) = 20 \) |
सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु E(22/5, 9/5) पर उद्देश्य फलन का अधिकतम मान 22.2 है।
इसलिए, अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए निर्माता को प्रतिदिन \( 22/5 = 4.4 \) कुर्सियाँ और \( 9/5 = 1.8 \) टेबल बनाने चाहिए। क्योंकि कुर्सियों और टेबलों की संख्या पूर्णांक होनी चाहिए, हमें निकटतम पूर्णांक पर विचार करना होगा जो सुसंगत क्षेत्र में हो। इन मानों के पास के पूर्णांक बिंदु हैं (4, 1), (4, 2) या (5, 0), (0, 4)। इन पर \( Z \) का मान जांचने पर, E(4.4, 1.8) के निकटतम पूर्णांक बिंदु (4, 2) पर \( Z = 3(4) + 5(2) = 12 + 10 = 22 \) होगा। यदि हम (4,1) लेते हैं तो \( Z = 3(4) + 5(1) = 17 \) होगा। मूल बिंदु E(22/5, 9/5) पर ही अधिकतम मान आता है। दिए गए विकल्पों में, (4.4, 1.8) एक वास्तविक बिंदु है, जिसका अर्थ है कि उत्पाद को आंशिक रूप से बनाया जा सकता है यदि इसे किसी बड़े बैच का हिस्सा माना जाए।
In simple words: एक फर्नीचर बनाने वाले को सबसे ज़्यादा लाभ तब होगा जब वह हर दिन लगभग 4 कुर्सियाँ और 2 टेबल बनाएगा, जिससे उसे 22.2 रुपये का सबसे अधिक लाभ मिलेगा।
🎯 Exam Tip: लाभ या लागत को अधिकतम/न्यूनतम करने वाली समस्याओं में, अंतिम उत्तर हमेशा वास्तविक दुनिया के संदर्भ में होना चाहिए। यदि उत्पादन की संख्या जैसी चीजें मांगी जाती हैं, तो ध्यान दें कि ये पूर्णांक संख्याएं होनी चाहिए, और फिर ग्राफ़ के आसपास के पूर्णांक बिंदुओं की जांच करें।
Question 7. एक फर्नीचर निर्माता दो उत्पाद – कुर्सी तथा टेबल बनाता है। ये उत्पादन दो यंत्रों A तथा B पर बनाए जाते हैं। एक कुर्सी को बनाने में यंत्र A पर 2 घण्टे तथा यंत्र B पर 6 घण्टे और एक टेबल को बनाने में यंत्र A पर 4 घण्टे तथा यंत्र B पर 2 घण्टे लगते है। यंत्रों A तथा B पर क्रमशः 16 घण्टे तथा 30 घण्टे प्रतिदिन समय उपलब्ध है। निर्माता को एक कुर्सी तथा एक टेबल से प्राप्त लाभ क्रमशः Rs 3 व Rs 5 है। निर्माता को अधिकतम लाभ प्राप्त करने हेतु प्रत्येक उत्पादन का दैनिक उत्पादन कितना करना चाहिए?
Answer: मान लीजिए कि फर्नीचर निर्माता x कुर्सी और y टेबल बनाता है।
उद्देश्य फलन लाभ को अधिकतम करना है: \( Z = 3x + 5y \)
व्यवरोध (Constraints) हैं:
यंत्र A के लिए: \( 2x + 4y \le 16 \)
यंत्र B के लिए: \( 6x + 2y \le 30 \)
चूंकि उत्पादन ऋणात्मक नहीं हो सकता: \( x \ge 0, y \ge 0 \)
इन असमिकाओं को समीकरणों में बदलने पर:
\( 2x + 4y = 16 \implies x + 2y = 8 \)
\( 6x + 2y = 30 \implies 3x + y = 15 \)
इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम इन्हें हल करते हैं:
\( x = 8 - 2y \)
\( 3(8 - 2y) + y = 15 \)
\( 24 - 6y + y = 15 \)
\( 24 - 5y = 15 \)
\( 5y = 9 \)
\( y = \frac{9}{5} \)
\( x = 8 - 2(\frac{9}{5}) = 8 - \frac{18}{5} = \frac{40 - 18}{5} = \frac{22}{5} \)
प्रतिच्छेदन बिंदु \( E = (\frac{22}{5}, \frac{9}{5}) \)
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु (Corner points) और उन पर उद्देश्य फलन \( Z \) का मान इस प्रकार है:
| बिन्दु | x निर्देशांक | y निर्देशांक | उद्देश्य फलन का मान \( Z = 3x + 5y \) |
|---|---|---|---|
| O | 0 | 0 | \( Z_O = 3(0)+5(0) = 0 \) |
| C | 5 | 0 | \( Z_C = 3(5)+5(0) = 15 \) |
| E | \( \frac{22}{5} \) (4.4) | \( \frac{9}{5} \) (1.8) | \( Z_E = 3(\frac{22}{5})+5(\frac{9}{5}) = \frac{66}{5}+\frac{45}{5} = \frac{111}{5} = 22.2 \) |
| B | 0 | 4 | \( Z_B = 3(0)+5(4) = 20 \) |
सबसे अधिक लाभ \( Z = 22.2 \) बिंदु \( E(\frac{22}{5}, \frac{9}{5}) \) पर प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि अधिकतम लाभ कमाने के लिए निर्माता को लगभग 4.4 कुर्सियाँ और 1.8 टेबल बनानी होंगी, हालांकि उत्पादों की संख्या पूर्णांक होनी चाहिए।
In simple words: निर्माता को सबसे अधिक मुनाफा कमाने के लिए 4.4 कुर्सियाँ और 1.8 टेबल बनाने होंगे। यह गणना हमें बताती है कि किस उत्पादन स्तर पर लाभ सबसे ज्यादा होगा।
🎯 Exam Tip: रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं में, अधिकतम या न्यूनतम मान हमेशा सुसंगत क्षेत्र के कोने वाले बिंदुओं पर ही मिलते हैं। हमेशा सभी कोने वाले बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मूल्यांकन करें।
Question 8. एक फर्म सिरदर्द की दो आकारों-आकार A तथा आकार B की गोलियों का निर्माण करती है। आकार A की गोली में 2 ग्रेन एस्प्रिन, 5 ग्रेन बाइकार्बोनेट तथा 1 ग्रेन कोफ़ीन है जबकि आकार B की गोली में 1 ग्रेन एस्प्रिन, 8 गेन बाइकार्बोनेट तथा 6.6 ग्रेन कोफ़ीन है। उपयोगकर्ताओं के द्वारा यह पाया गया है कि तुरंत प्रभाव के लिए कम-से-कम 12 ग्रेन एस्प्रिन, 74 ग्रेन बाईकार्बोनेट तथा 24 ग्रेन कोफ्रीन की आवश्यकता है। एक मरीज को तुरंत राहत प्राप्त करने के लिए कम से कम कितनी गोलियाँ लेनी चाहिए?
Answer: मान लीजिए कि मरीज आकार A की x गोलियाँ और आकार B की y गोलियाँ लेता है।
कुल गोलियों की संख्या को न्यूनतम करना है, इसलिए उद्देश्य फलन है: \( Z = x + y \)
व्यवरोध (Constraints) हैं:
एस्प्रिन के लिए: \( 2x + y \ge 12 \)
बाइकार्बोनेट के लिए: \( 5x + 8y \ge 74 \)
कोफ्रीन के लिए: \( x + 6.6y \ge 24 \)
गोलियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए: \( x \ge 0, y \ge 0 \)
इन असमिकाओं को समीकरणों में बदलने पर:
\( 2x + y = 12 \)
\( 5x + 8y = 74 \)
\( x + 6.6y = 24 \)
इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम इन्हें हल करते हैं:
1. \( 2x + y = 12 \) और \( 5x + 8y = 74 \):
\( y = 12 - 2x \)
\( 5x + 8(12 - 2x) = 74 \)
\( 5x + 96 - 16x = 74 \)
\( -11x = -22 \implies x = 2 \)
\( y = 12 - 2(2) = 8 \)
प्रतिच्छेदन बिंदु \( G = (2, 8) \)
2. \( 5x + 8y = 74 \) और \( x + 6.6y = 24 \):
\( x = 24 - 6.6y \)
\( 5(24 - 6.6y) + 8y = 74 \)
\( 120 - 33y + 8y = 74 \)
\( -25y = -46 \implies y = \frac{46}{25} \)
\( x = 24 - 6.6(\frac{46}{25}) = 24 - \frac{303.6}{25} = \frac{600 - 303.6}{25} = \frac{296.4}{25} \)
प्रतिच्छेदन बिंदु \( H = (\frac{296.4}{25}, \frac{46}{25}) \approx (11.86, 1.84) \)
(नोट: दिए गए स्रोत में इस बिंदु के निर्देशांक गलत दिए गए हैं, लेकिन हम मूल्यांकन के लिए सुसंगत क्षेत्र के सही कोने वाले बिंदुओं का उपयोग करेंगे।)
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु (Corner points) और उन पर उद्देश्य फलन \( Z \) का मान इस प्रकार है:
| बिन्दु | x निर्देशांक | y निर्देशांक | उद्देश्य फलन का मान \( Z = x + y \) |
|---|---|---|---|
| B | 0 | 12 | \( Z_B = 0+12 = 12 \) |
| G | 2 | 8 | \( Z_G = 2+8 = 10 \) |
| H | \( \frac{296.4}{25} \) (11.86) | \( \frac{46}{25} \) (1.84) | \( Z_H = \frac{296.4}{25} + \frac{46}{25} = \frac{342.4}{25} = 13.696 \) |
| E | 24 | 0 | \( Z_E = 24+0 = 24 \) |
न्यूनतम मान \( Z = 10 \) बिंदु \( G(2, 8) \) पर प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि एक मरीज को तुरंत राहत के लिए सबसे कम गोलियां (10 गोलियां) लेनी चाहिए, जिसमें 2 गोलियां आकार A की और 8 गोलियां आकार B की हों।
In simple words: मरीज को 2 गोलियां आकार A की और 8 गोलियां आकार B की लेनी चाहिए ताकि उसे सबसे कम गोलियों में पूरी राहत मिल सके।
🎯 Exam Tip: जब सभी व्यवरोध \( \ge \) प्रकार के हों, तो सुसंगत क्षेत्र अक्सर अपरिबद्ध होता है। ऐसे मामलों में, न्यूनतम मान के लिए, आपको \( ax+by < Z_{min} \) रेखा का आलेख बनाकर यह जांचना चाहिए कि क्या यह सुसंगत क्षेत्र को काटती है। यदि नहीं, तो \( Z_{min} \) ही न्यूनतम मान है।
Question 9. परिवहन लागत को न्यूनतम रखते हुए निर्माता आदेशों को किस प्रकार भिजवा पायेगा?
Answer: मान लीजिए कि डिपो A से बिल्डर P को x हजार ईंटें और बिल्डर Q को y हजार ईंटें भेजी जाती हैं।
तो, डिपो A से बिल्डर R को \( (30 - x - y) \) हजार ईंटें भेजी जाएंगी।
अब, डिपो B से:
बिल्डर P को: \( (15 - x) \) हजार ईंटें (चूंकि P को कुल 15 हजार चाहिए)
बिल्डर Q को: \( (20 - y) \) हजार ईंटें (चूंकि Q को कुल 20 हजार चाहिए)
बिल्डर R को: \( (15 - (30 - x - y)) = (x + y - 15) \) हजार ईंटें (चूंकि R को कुल 15 हजार चाहिए)
सभी भेजी गई मात्राएँ ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, इसलिए व्यवरोध (Constraints) हैं:
\( x \ge 0, y \ge 0 \)
\( 30 - x - y \ge 0 \implies x + y \le 30 \)
\( 15 - x \ge 0 \implies x \le 15 \)
\( 20 - y \ge 0 \implies y \le 20 \)
\( x + y - 15 \ge 0 \implies x + y \ge 15 \)
दिए गए लागतों के आधार पर उद्देश्य फलन (कुल लागत को न्यूनतम करना) है:
\( Z = 40x + 20y + 30(30 - x - y) + 20(15 - x) + 60(20 - y) + 40(x + y - 15) \)
\( Z = 40x + 20y + 900 - 30x - 30y + 300 - 20x + 1200 - 60y + 40x + 40y - 600 \)
सरल करने पर: \( Z = 30x - 30y + 1800 \)
हम ग्राफिकल विधि का उपयोग करके सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु ज्ञात करते हैं:
व्यवरोधों को समीकरणों में बदलने पर:
\( x + y = 30 \) (बिंदु J(15,15) और K(10,20) से गुजरती है)
\( x = 15 \) (बिंदु C(15,0) और J(15,15) से गुजरती है)
\( y = 20 \) (बिंदु E(0,20) और K(10,20) से गुजरती है)
\( x + y = 15 \) (बिंदु H(0,15) और C(15,0) से गुजरती है)
\( x = 0, y = 0 \)
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु (Corner points) और उन पर उद्देश्य फलन \( Z \) का मान इस प्रकार है:
| बिन्दु | x निर्देशक | y निर्देशक | उद्देश्य फलन का मान \( Z = 30x - 30y + 1800 \) |
|---|---|---|---|
| C | 15 | 0 | \( Z_C = 30(15) - 30(0) + 1800 = 2250 \) |
| J | 15 | 15 | \( Z_J = 30(15) - 30(15) + 1800 = 1800 \) |
| K | 10 | 20 | \( Z_K = 30(10) - 30(20) + 1800 = 1500 \) |
| E | 0 | 20 | \( Z_E = 30(0) - 30(20) + 1800 = 1200 \) |
| H | 0 | 15 | \( Z_H = 30(0) - 30(15) + 1800 = 1350 \) |
न्यूनतम लागत \( Z = 1200 \) बिंदु \( E(0, 20) \) पर प्राप्त होती है।
अतः, निर्माता को अपनी परिवहन लागत को न्यूनतम करने के लिए निम्नलिखित तरीके से ईंटें भेजनी चाहिए:
डिपो A से:
- बिल्डर P को 0 हजार ईंटें
- बिल्डर Q को 20 हजार ईंटें
- बिल्डर R को 10 हजार ईंटें (30 - 0 - 20)
डिपो B से:
- बिल्डर P को 15 हजार ईंटें (15 - 0)
- बिल्डर Q को 0 हजार ईंटें (20 - 20)
- बिल्डर R को 5 हजार ईंटें (0 + 20 - 15)
यह वितरण सभी बिल्डरों की मांग पूरी करता है और कुल लागत को न्यूनतम रखता है।
In simple words: सबसे कम खर्च में ईंटें भेजने के लिए, डिपो A से Q को 20 और R को 10 हजार ईंटें भेजनी होंगी। डिपो B से P को 15 और R को 5 हजार ईंटें भेजनी होंगी। P को A से कुछ नहीं मिलेगा और Q को B से कुछ नहीं मिलेगा।
🎯 Exam Tip: परिवहन समस्याओं में, यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक स्रोत की कुल आपूर्ति और प्रत्येक गंतव्य की कुल मांग दोनों पूरी हों। उद्देश्य फलन में प्रत्येक रूट की लागत और मात्रा का सही ढंग से गुणा करना चाहिए।
Question 10. \( x + y \le 3 \), \( y \le 6 \) तथा \( x,y \ge 0 \) द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र है
(a) प्रथम पाद में अपरिबद्ध
(b) प्रथम व द्वितीय पादों में अपरिबद्ध
(c) प्रथम पाद में परिबद्ध
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c) प्रथम पाद में परिबद्ध
In simple words: यह क्षेत्र पहले चतुर्थांश (first quadrant) में एक बंद जगह बनाता है। यह कहीं भी अनंत तक नहीं फैला है, इसलिए यह परिबद्ध है।
🎯 Exam Tip: एक क्षेत्र को 'परिबद्ध' तब कहा जाता है जब उसे सभी तरफ से घेरा जा सके, जबकि 'अपरिबद्ध' क्षेत्र कम से कम एक दिशा में अनंत तक फैलता है। रैखिक असमिकाओं के ग्राफ बनाते समय इन अवधारणाओं को समझना महत्वपूर्ण है।
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