RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 14 त्रि विमीयज्यामिति Exercise 14.6

प्रश्न 1. उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X-अक्ष के लम्ब है तथा बिन्दु (2, – 1, 3) से गुजरता है।
Answer: दिए गए बिंदु \( (2, -1, 3) \) से गुजरने वाले किसी समतल का समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( a(x - 2) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0 \)
हमें बताया गया है कि यह समतल X-अक्ष के लम्बवत है। जब कोई समतल X-अक्ष के लम्बवत होता है, तो इसके अभिलम्ब के दिक्-अनुपात \( (1, 0, 0) \) होते हैं। इसका मतलब है कि \( b = 0 \) और \( c = 0 \)।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
\( a(x - 2) + 0(y + 1) + 0(z - 3) = 0 \)
\( \implies a(x - 2) = 0 \)
क्योंकि \( a \) एक अशून्य संख्या है (यह अभिलम्ब का एक घटक है), हम इसे हटा सकते हैं:
\( \implies x - 2 = 0 \)
यह समीकरण एक ऐसा समतल बताता है जो X-अक्ष पर 2 बिंदु पर काटता है और X-अक्ष के लंबवत है।
In simple words: हमें एक समतल का समीकरण निकालना है जो X-अक्ष के बिलकुल सीधा खड़ा है और एक खास बिंदु \( (2, -1, 3) \) से होकर जाता है। इसका समीकरण \( x - 2 = 0 \) होगा।

🎯 Exam Tip: जब कोई समतल किसी अक्ष के लम्बवत होता है, तो उस अक्ष के दिक्-अनुपात उस समतल के अभिलम्ब के दिक्-अनुपात बन जाते हैं, जिससे समीकरण सरल हो जाता है।

प्रश्न 2. उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X-अक्ष तथा बिन्दु (3, 2, 4) से गुजरता है।
Answer: उस समतल का समीकरण जो X-अक्ष से होकर गुजरता है, उसे इस रूप में लिखा जा सकता है:
\( By + Cz = 0 \)
हमें दिया गया है कि यह समतल बिंदु \( (3, 2, 4) \) से भी गुजरता है। इसका मतलब है कि यह बिंदु समीकरण को संतुष्ट करेगा।
तो, हम \( y \) की जगह 2 और \( z \) की जगह 4 रखते हैं:
\( B(2) + C(4) = 0 \)
\( \implies 2B + 4C = 0 \)
\( \implies 2B = -4C \)
\( \implies B = -2C \)
अब, हम \( B = -2C \) को समतल के समीकरण \( By + Cz = 0 \) में वापस रखते हैं:
\( (-2C)y + Cz = 0 \)
हम \( C \) को बाहर निकाल सकते हैं (अगर \( C \ne 0 \) है):
\( C(-2y + z) = 0 \)
\( \implies -2y + z = 0 \)
या इसे ऐसे भी लिख सकते हैं:
\( \implies 2y - z = 0 \)
यह वह समीकरण है जो X-अक्ष से गुजरने वाले और दिए गए बिंदु को संतुष्ट करने वाले समतल को दर्शाता है।
In simple words: हमें एक ऐसा समतल खोजना है जो X-अक्ष से होकर जाता है और साथ ही बिंदु \( (3, 2, 4) \) से भी गुजरता है। इसका समीकरण \( 2y - z = 0 \) होगा।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि X-अक्ष से गुजरने वाले समतल में \( x \) पद नहीं होता, Y-अक्ष से गुजरने वाले समतल में \( y \) पद नहीं होता, और Z-अक्ष से गुजरने वाले समतल में \( z \) पद नहीं होता है।

प्रश्न 3. एक चर समतल बिन्दु (p, q, r) से गुजरता है तथा निर्देशी अक्षों को बिन्दु A, B तथा C पर मिलता है। प्रदर्शित कीजिए कि निर्देशांक समतलों के समान्तर A, B तथा C से गुजरने वाले समतलों के उभयनिष्ठ बिन्दु का बिन्दुपथ \(\frac{P}{x} + \frac{Q}{y} + \frac{R}{z} = 1\).
Answer: मान लीजिए कि समतल का समीकरण अंतःखंड रूप में है:
\( \frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} + \frac{z}{\gamma} = 1 \) ....(1)
यह समतल निर्देशी अक्षों को बिंदुओं \( A(\alpha, 0, 0) \), \( B(0, \beta, 0) \) और \( C(0, 0, \gamma) \) पर काटता है।
यह चर समतल बिंदु \( (p, q, r) \) से होकर गुजरता है, इसलिए यह बिंदु समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा:
\( \frac{p}{\alpha} + \frac{q}{\beta} + \frac{r}{\gamma} = 1 \) ....(2)
अब, उन समतलों के समीकरणों को देखें जो बिंदुओं A, B, C से गुजरते हैं और निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं:
बिंदु \( A(\alpha, 0, 0) \) से गुजरने वाला और YZ-समतल (\( x=0 \)) के समानांतर समतल का समीकरण है:
\( x = \alpha \) ....(3)
बिंदु \( B(0, \beta, 0) \) से गुजरने वाला और XZ-समतल (\( y=0 \)) के समानांतर समतल का समीकरण है:
\( y = \beta \) ....(4)
बिंदु \( C(0, 0, \gamma) \) से गुजरने वाला और XY-समतल (\( z=0 \)) के समानांतर समतल का समीकरण है:
\( z = \gamma \) ....(5)
हमें इन तीनों समतलों के उभयनिष्ठ बिंदु का बिन्दुपथ ज्ञात करना है। इस उभयनिष्ठ बिंदु के निर्देशांक \( (x, y, z) \) होंगे, जहाँ \( x = \alpha \), \( y = \beta \), और \( z = \gamma \)।
इन मानों को समीकरण (2) में रखने पर, जहाँ \( \alpha = x \), \( \beta = y \), \( \gamma = z \) है:
\( \frac{p}{x} + \frac{q}{y} + \frac{r}{z} = 1 \)
यह समीकरण उस उभयनिष्ठ बिंदु का बिन्दुपथ है। यह दर्शाता है कि एक चर समतल कैसे अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु के संबंध में अपनी स्थिति बदलता है।
In simple words: एक समतल बिंदु \( (p, q, r) \) से जाता है और अक्षों को \( A, B, C \) पर काटता है। \( A, B, C \) से होकर जाने वाले अक्षों के समानांतर समतलों के मिलने का रास्ता \( \frac{p}{x} + \frac{q}{y} + \frac{r}{z} = 1 \) होगा।

🎯 Exam Tip: अंतःखंड रूप के समीकरण और अक्षों के समानांतर समतलों के समीकरणों के बीच का संबंध समझना इस तरह के प्रश्नों को हल करने की कुंजी है।

प्रश्न 4. उस समतल को सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 7 इकाई दूरी पर है तथा \( \hat{i} \) इसके अभिलम्ब की तरफ इकाई सदिश है।
Answer: हमें दिया गया है कि मूल बिंदु से समतल की दूरी \( d = 7 \) इकाई है।
हमें यह भी दिया गया है कि समतल के अभिलम्ब के अनुदिश इकाई सदिश \( \hat{n} = \hat{i} \) है।
किसी समतल का सदिश समीकरण, जब उसकी मूल बिंदु से दूरी \( d \) और अभिलम्ब इकाई सदिश \( \hat{n} \) दिया गया हो, तो वह सूत्र \( \vec{r} \cdot \hat{n} = d \) द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \vec{r} \cdot \hat{i} = 7 \)
यह समतल का अभीष्ट सदिश समीकरण है, जो बताता है कि समतल X-अक्ष पर 7 इकाई की दूरी पर काटता है।
In simple words: एक समतल मूल बिंदु से 7 कदम दूर है, और इसका सीधा खड़ा (अभिलम्ब) तीर \( \hat{i} \) है। तो समतल का समीकरण \( \vec{r} \cdot \hat{i} = 7 \) होगा।

🎯 Exam Tip: सामान्य रूप से, \( \vec{r} \cdot \hat{n} = d \) समीकरण किसी भी समतल के लिए है जहाँ \( d \) मूल बिंदु से दूरी और \( \hat{n} \) अभिलम्ब की दिशा में इकाई सदिश है।

प्रश्न 5. उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 7 इकाई दूरी पर है तथा सदिश \( 6\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k} \) इसके अभिलम्ब है।
Answer: हमें दिया गया है कि मूल बिंदु से समतल की दूरी \( d = 7 \) इकाई है।
समतल के अभिलम्ब के अनुदिश सदिश \( \vec{N} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k} \) है।
हमें इस सदिश का इकाई सदिश \( \hat{n} \) ज्ञात करना होगा, क्योंकि सूत्र में इकाई सदिश का उपयोग होता है।
इकाई सदिश \( \hat{n} \) ज्ञात करने के लिए, हम सदिश को उसके परिमाण से विभाजित करते हैं:
\( \hat{n} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} \)
पहले परिमाण \( |\vec{N}| \) ज्ञात करें:
\( |\vec{N}| = \sqrt{(6)^2 + (3)^2 + (-2)^2} \)
\( = \sqrt{36 + 9 + 4} \)
\( = \sqrt{49} \)
\( = 7 \)
अब, इकाई सदिश \( \hat{n} \) होगा:
\( \hat{n} = \frac{6\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}}{7} \)
समतल का सदिश समीकरण \( \vec{r} \cdot \hat{n} = d \) है।
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \vec{r} \cdot \left(\frac{6\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}}{7}\right) = 7 \)
\( \implies \vec{r} \cdot (6\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) = 7 \times 7 \)
\( \implies \vec{r} \cdot (6\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) = 49 \)
यह समतल का अभीष्ट सदिश समीकरण है, जो इसके अभिलम्ब की दिशा और मूल से दूरी को दर्शाता है।
In simple words: एक समतल मूल बिंदु से 7 इकाई दूर है। इसका अभिलम्ब एक तीर \( 6\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k} \) है। पहले इस तीर को इकाई तीर में बदलते हैं, फिर सूत्र \( \vec{r} \cdot \hat{n} = d \) से समतल का समीकरण \( \vec{r} \cdot (6\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) = 49 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: सदिश समीकरण में \( \hat{n} \) हमेशा एक इकाई सदिश होना चाहिए; यदि एक गैर-इकाई सदिश दिया गया है, तो उसे पहले सामान्यीकृत करना आवश्यक है।

प्रश्न 6. समतल \( \vec{r} \cdot (3\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k}) = 5 \) के समीकरण को अभिलम्ब रूप में लिखिए तथा मूल बिन्दु से उसकी लम्ब दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer: समतल का दिया गया समीकरण है:
\( \vec{r} \cdot (3\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k}) = 5 \)
यह समीकरण \( \vec{r} \cdot \vec{N} = D \) के रूप में है, जहाँ \( \vec{N} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k} \) और \( D = 5 \)।
अभिलम्ब रूप में समीकरण \( \vec{r} \cdot \hat{n} = d \) होता है, जहाँ \( \hat{n} \) अभिलम्ब इकाई सदिश है और \( d \) मूल बिंदु से दूरी है।
पहले हमें सदिश \( \vec{N} \) का परिमाण ज्ञात करना होगा:
\( |\vec{N}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2 + (12)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 16 + 144} \)
\( = \sqrt{169} \)
\( = 13 \)
अब, दिए गए समीकरण को \( |\vec{N}| \) से विभाजित करके इसे अभिलम्ब रूप में बदलें:
\( \frac{\vec{r} \cdot (3\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k})}{13} = \frac{5}{13} \)
\( \implies \vec{r} \cdot \left(\frac{3}{13}\hat{i} - \frac{4}{13}\hat{j} + \frac{12}{13}\hat{k}\right) = \frac{5}{13} \)
यह समतल का अभिलम्ब रूप का सदिश समीकरण है।
इस समीकरण में, अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) \( \left(\frac{3}{13}, -\frac{4}{13}, \frac{12}{13}\right) \) हैं।
और मूल बिंदु से समतल की लम्ब दूरी \( d = \frac{5}{13} \) इकाई है।

वैकल्पिक रूप से, हम कार्तीय रूप में भी यही प्रक्रिया कर सकते हैं।
समतल का कार्तीय समीकरण \( 3x - 4y + 12z = 5 \) है।
यहाँ \( A=3, B=-4, C=12, D=5 \)।
अभिलम्ब सदिश का परिमाण \( \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13 \)।
समीकरण को 13 से विभाजित करने पर, अभिलम्ब रूप प्राप्त होता है:
\( \frac{3x}{13} - \frac{4y}{13} + \frac{12z}{13} = \frac{5}{13} \)
इस समीकरण से, दिक्-कोज्याएँ \( \left(\frac{3}{13}, -\frac{4}{13}, \frac{12}{13}\right) \) और मूल बिंदु से दूरी \( p = \frac{5}{13} \) इकाई है। दोनों विधियाँ एक ही परिणाम देती हैं।
In simple words: हमें समतल \( \vec{r} \cdot (3\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k}) = 5 \) को अभिलम्ब रूप में बदलना है। इसके लिए, अभिलम्ब सदिश \( (3\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k}) \) के माप (13) से पूरे समीकरण को भाग देते हैं। तो समीकरण \( \vec{r} \cdot \left(\frac{3}{13}\hat{i} - \frac{4}{13}\hat{j} + \frac{12}{13}\hat{k}\right) = \frac{5}{13} \) बन जाता है, और मूल बिंदु से दूरी \( \frac{5}{13} \) इकाई है।

🎯 Exam Tip: किसी भी समतल के समीकरण को अभिलम्ब रूप में बदलने के लिए, \( \vec{r} \cdot \vec{N} = D \) को \( \vec{r} \cdot \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{D}{|\vec{N}|} \) के रूप में लिखें।

प्रश्न 7. उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 4 इकाई दूरी पर है तथा इसके अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 2, -1, 2 हैं।
Answer: हमें दिया गया है कि मूल बिंदु से समतल की दूरी \( d = 4 \) इकाई है।
समतल के अभिलम्ब के दिक्-अनुपात \( (2, -1, 2) \) हैं।
पहले हमें अभिलम्ब सदिश \( \vec{N} \) बनाना होगा:
\( \vec{N} = 2\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \)
अब इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें ताकि हम इकाई सदिश \( \hat{n} \) निकाल सकें:
\( |\vec{N}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (2)^2} \)
\( = \sqrt{4 + 1 + 4} \)
\( = \sqrt{9} \)
\( = 3 \)
तो, अभिलम्ब के अनुदिश इकाई सदिश \( \hat{n} \) होगा:
\( \hat{n} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{3} = \frac{2}{3}\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k} \)
समतल का सदिश समीकरण \( \vec{r} \cdot \hat{n} = d \) है।
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \vec{r} \cdot \left(\frac{2}{3}\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}\right) = 4 \)
यह समतल का अभीष्ट सदिश समीकरण है, जो मूल बिंदु से उसकी दूरी और अभिलम्ब की दिशा को दर्शाता है।
In simple words: हमें एक समतल का समीकरण चाहिए जो मूल बिंदु से 4 इकाई दूर है और जिसका अभिलम्ब दिक्-अनुपात \( (2, -1, 2) \) है। हम इन दिक्-अनुपातों से अभिलम्ब इकाई सदिश निकालते हैं, और फिर सूत्र \( \vec{r} \cdot \hat{n} = d \) का उपयोग करके समतल का समीकरण \( \vec{r} \cdot \left(\frac{2}{3}\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}\right) = 4 \) पाते हैं।

🎯 Exam Tip: दिक्-अनुपातों से इकाई सदिश ज्ञात करने के लिए, हर घटक को दिक्-अनुपातों के वर्गों के योग के वर्गमूल से भाग दें।

प्रश्न 9. उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिस पर मूल बिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 13 है तथा इस लम्ब के दिक् अनुपात 4, - 3, 12 है।
Answer: हमें दिया गया है कि मूल बिंदु से समतल की लम्बवत दूरी \( d = 13 \) इकाई है।
लम्ब के दिक्-अनुपात \( (4, -3, 12) \) हैं।
पहले हमें इन दिक्-अनुपातों से अभिलम्ब के दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) ज्ञात करनी होंगी।
दिक्-कोज्याएँ \( (l, m, n) \) ज्ञात करने के लिए, हम दिक्-अनुपातों को \( \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (12)^2} \) से विभाजित करेंगे।
\( \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (12)^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13 \)
तो, दिक्-कोज्याएँ हैं:
\( l = \frac{4}{13} \), \( m = \frac{-3}{13} \), \( n = \frac{12}{13} \)
किसी समतल का समीकरण जब मूल बिंदु से उसकी दूरी \( d \) और अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएँ \( (l, m, n) \) दी गई हों, तो वह \( lx + my + nz = d \) होता है।
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \frac{4}{13}x + \left(\frac{-3}{13}\right)y + \frac{12}{13}z = 13 \)
\( \implies \frac{4x}{13} - \frac{3y}{13} + \frac{12z}{13} = 13 \)
पूरी समीकरण को 13 से गुणा करने पर:
\( 4x - 3y + 12z = 13 \times 13 \)
\( \implies 4x - 3y + 12z = 169 \)
यह समतल का अभीष्ट समीकरण है। यह कार्तीय समीकरण दिखाता है कि समतल कैसे अंतरिक्ष में स्थित है।
In simple words: हमें एक समतल का समीकरण निकालना है, जो मूल बिंदु से 13 इकाई दूर है और लम्ब के दिक्-अनुपात \( (4, -3, 12) \) हैं। पहले इन दिक्-अनुपातों को दिक्-कोज्याओं में बदला, फिर \( lx + my + nz = d \) सूत्र में मान रखकर \( 4x - 3y + 12z = 169 \) समतल का समीकरण मिला।

🎯 Exam Tip: दिक्-अनुपातों को दिक्-कोज्याओं में बदलने के लिए, प्रत्येक घटक को \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \) से भाग देना सुनिश्चित करें।

प्रश्न 10. समतल \( x + y + z - 3 = 0 \) का इकाई अभिलम्ब सदिश ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया समतल का समीकरण है:
\( x + y + z - 3 = 0 \)
इसे \( x + y + z = 3 \) के रूप में भी लिखा जा सकता है।
इस समीकरण की तुलना कार्तीय रूप \( Ax + By + Cz = D \) से करने पर, हमें मिलता है:
\( A = 1, B = 1, C = 1 \) और \( D = 3 \)।
समतल के अभिलम्ब सदिश \( \vec{N} \) को \( A\hat{i} + B\hat{j} + C\hat{k} \) के रूप में लिखा जा सकता है।
तो, अभिलम्ब सदिश \( \vec{N} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \) है।
अब, हमें इस अभिलम्ब सदिश का इकाई सदिश \( \hat{n} \) ज्ञात करना है। इसके लिए, हमें पहले \( \vec{N} \) का परिमाण \( |\vec{N}| \) ज्ञात करना होगा:
\( |\vec{N}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (1)^2} \)
\( = \sqrt{1 + 1 + 1} \)
\( = \sqrt{3} \)
अब, इकाई अभिलम्ब सदिश \( \hat{n} \) होगा:
\( \hat{n} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \hat{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \)
यह दिया गया समतल का इकाई अभिलम्ब सदिश है, जो उस दिशा को दर्शाता है जो समतल के लंबवत है।
In simple words: हमें समतल \( x + y + z - 3 = 0 \) का सीधा खड़ा (अभिलम्ब) इकाई तीर खोजना है। इस समतल का अभिलम्ब सदिश \( \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \) है। इसे इसके माप \( (\sqrt{3}) \) से भाग देने पर, इकाई अभिलम्ब सदिश \( \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: किसी भी कार्तीय समीकरण \( Ax + By + Cz + D = 0 \) के लिए, अभिलम्ब सदिश \( A\hat{i} + B\hat{j} + C\hat{k} \) होता है, और इकाई अभिलम्ब सदिश प्राप्त करने के लिए इसे हमेशा सामान्यीकृत करें।