RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 14 त्रि विमीयज्यामिति Exercise 14.5

Question 1. रेखाओं \( \vec{r} = (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \) और \( \vec{r}=2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}+\mu(2\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) \) के मध्य की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखाओं की तुलना \( \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1} \) और \( \vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2} \) से करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( \vec{a_1} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k} \)
\( \vec{b_1} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \)
\( \vec{a_2} = 2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k} \)
\( \vec{b_2} = 2\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k} \)

पहले हम \( \vec{a_2} - \vec{a_1} \) ज्ञात करेंगे:
\( \vec{a_2} - \vec{a_1} = (2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) \)
\( = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} \)
\( = \hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k} \)

अगले चरण में, हम \( \vec{b_1} \times \vec{b_2} \) ज्ञात करेंगे:
\( \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} \)
\( = \hat{i}((-1)(2)-(1)(1)) - \hat{j}((1)(2)-(1)(2)) + \hat{k}((1)(1)-(-1)(2)) \)
\( = \hat{i}(-2-1) - \hat{j}(2-2) + \hat{k}(1+2) \)
\( = -3\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k} \)
\( = -3\hat{i} + 3\hat{k} \)

अब, \( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| \) का परिमाण ज्ञात करेंगे:
\( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2} \)
\( = \sqrt{9+9} \)
\( = \sqrt{18} \)
\( = 3\sqrt{2} \)

न्यूनतम दूरी (d) का सूत्र उपयोग करते हुए:
\( d = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right| \)
\( d = \left| \frac{(\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}) \cdot (-3\hat{i}+3\hat{k})}{3\sqrt{2}} \right| \)
\( d = \left| \frac{(1)(-3) + (-3)(0) + (-2)(3)}{3\sqrt{2}} \right| \)
\( d = \left| \frac{-3 - 0 - 6}{3\sqrt{2}} \right| \)
\( d = \left| \frac{-9}{3\sqrt{2}} \right| \)
\( d = \frac{9}{3\sqrt{2}} \)
\( d = \frac{3}{\sqrt{2}} \)
\( d = \frac{3\sqrt{2}}{2} \) इकाई
यह दो तिरछी रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी है।
In simple words: सबसे पहले, दी गई रेखाओं के सदिश भागों को पहचानें. फिर, पहले सदिश का दूसरे से घटाव और दो दिशा सदिशों का क्रॉस उत्पाद ज्ञात करें. इन मानों का उपयोग करके, न्यूनतम दूरी के सूत्र में डालकर गणना करें, जो हमें रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी बताता है.

🎯 Exam Tip: सदिश गुणन और डॉट गुणन की गणना में सावधान रहें, क्योंकि एक छोटी सी गलती पूरे उत्तर को प्रभावित कर सकती है।

Question 2. रेखाओं \( \frac{x - (-1)}{7} = \frac{y - (-1)}{-6} = \frac{z - (-1)}{1} \) और \( \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 5}{-2} = \frac{z - 7}{1} \) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखाओं की तुलना \( \frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1} \) और \( \frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2} \) से करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( x_1 = -1, y_1 = -1, z_1 = -1 \)
\( a_1 = 7, b_1 = -6, c_1 = 1 \)
\( x_2 = 3, y_2 = 5, z_2 = 7 \)
\( a_2 = 1, b_2 = -2, c_2 = 1 \)

न्यूनतम दूरी (d) ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करेंगे:
\( d = \frac{\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\sqrt{(b_1c_2-b_2c_1)^2 + (c_1a_2-c_2a_1)^2 + (a_1b_2-a_2b_1)^2}} \)

पहले अंश की गणना करें:
\( \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3-(-1) & 5-(-1) & 7-(-1) \\ 7 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} \)
\( = \begin{vmatrix} 4 & 6 & 8 \\ 7 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} \)
\( = 4((-6)(1) - (1)(-2)) - 6((7)(1) - (1)(1)) + 8((7)(-2) - (-6)(1)) \)
\( = 4(-6+2) - 6(7-1) + 8(-14+6) \)
\( = 4(-4) - 6(6) + 8(-8) \)
\( = -16 - 36 - 64 \)
\( = -116 \)

अब हर की गणना करें:
\( \sqrt{(b_1c_2-b_2c_1)^2 + (c_1a_2-c_2a_1)^2 + (a_1b_2-a_2b_1)^2} \)
\( b_1c_2-b_2c_1 = (-6)(1) - (-2)(1) = -6+2 = -4 \)
\( c_1a_2-c_2a_1 = (1)(1) - (1)(7) = 1-7 = -6 \)
\( a_1b_2-a_2b_1 = (7)(-2) - (1)(-6) = -14+6 = -8 \)
हर \( = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-8)^2} \)
\( = \sqrt{16+36+64} \)
\( = \sqrt{116} \)

तो, न्यूनतम दूरी d है:
\( d = \frac{|-116|}{\sqrt{116}} \)
\( d = \frac{116}{\sqrt{116}} \)
\( d = \sqrt{116} \)
\( d = \sqrt{4 \times 29} \)
\( d = 2\sqrt{29} \) इकाई
कार्टेशियन निर्देशांकों में यह गणना, रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी प्रदान करती है।
In simple words: सबसे पहले, दी गई रेखाओं के \( x_1, y_1, z_1, a_1, b_1, c_1 \) और \( x_2, y_2, z_2, a_2, b_2, c_2 \) मानों को पहचानें. फिर, ऊपर दिए गए विशेष सूत्र में इन मानों को रखें. सूत्र में एक सारणी (डिटर्मिनेंट) और वर्गमूल वाला भाग होता है, जिसकी गणना करके आपको न्यूनतम दूरी मिलेगी.

🎯 Exam Tip: कार्टेशियन रूप में न्यूनतम दूरी के सूत्र में अंश और हर की गणना करते समय चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।

Question 3. रेखाओं \( \vec{r} = (\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})+\lambda(\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}) \) और \( \vec{r} = (4\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}) + \mu(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}) \) के मध्य की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए तथा लघुतम दूरी वाली रेखा का समीकरण भी ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखाओं की तुलना \( \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1} \) और \( \vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2} \) से करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( \vec{a_1} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k} \)
\( \vec{b_1} = \hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k} \)
\( \vec{a_2} = 4\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k} \)
\( \vec{b_2} = 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k} \)

पहले \( \vec{b_1} \times \vec{b_2} \) की गणना करें:
\( \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} \)
\( = \hat{i}((-3)(1) - (2)(3)) - \hat{j}((1)(1) - (2)(2)) + \hat{k}((1)(3) - (-3)(2)) \)
\( = \hat{i}(-3-6) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(3+6) \)
\( = -9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k} \)

अब, \( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| \) का परिमाण ज्ञात करें:
\( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-9)^2 + (3)^2 + (9)^2} \)
\( = \sqrt{81+9+81} \)
\( = \sqrt{171} \)
\( = \sqrt{9 \times 19} \)
\( = 3\sqrt{19} \)

फिर \( \vec{a_2} - \vec{a_1} \) ज्ञात करें:
\( \vec{a_2} - \vec{a_1} = (4\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) \)
\( = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (6-3)\hat{k} \)
\( = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} \)

न्यूनतम दूरी (d) के सूत्र का उपयोग करते हुए:
\( d = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right| \)
\( d = \left| \frac{(3\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}) \cdot (-9\hat{i}+3\hat{j}+9\hat{k})}{3\sqrt{19}} \right| \)
\( d = \left| \frac{(3)(-9) + (3)(3) + (3)(9)}{3\sqrt{19}} \right| \)
\( d = \left| \frac{-27 + 9 + 27}{3\sqrt{19}} \right| \)
\( d = \left| \frac{9}{3\sqrt{19}} \right| \)
\( d = \frac{3}{\sqrt{19}} \) इकाई
न्यूनतम दूरी \( \frac{3}{\sqrt{19}} \) इकाई है।

अब लघुतम दूरी वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करेंगे:
रेखाओं को कार्टेशियन रूप में लिखने पर:
पहली रेखा: \( \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z-3}{2} = r_1 \) (माना)
दूसरी रेखा: \( \frac{x-4}{2} = \frac{y-5}{3} = \frac{z-6}{1} = r_2 \) (माना)

पहली रेखा पर कोई बिंदु P \( (r_1+1, -3r_1+2, 2r_1+3) \) तथा दूसरी रेखा पर कोई बिंदु Q \( (2r_2+4, 3r_2+5, r_2+6) \) है।

तब रेखा PQ के दिक्-अनुपात हैं:
\( 2r_2+4 - (r_1+1) = 2r_2-r_1+3 \)
\( 3r_2+5 - (-3r_1+2) = 3r_2+3r_1+3 \)
\( r_2+6 - (2r_1+3) = r_2-2r_1+3 \)

PQ रेखा (1) के लम्बवत् है, इसलिए \( a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2 = 0 \):
\( 1(2r_2-r_1+3) + (-3)(3r_2+3r_1+3) + 2(r_2-2r_1+3) = 0 \)
\( 2r_2-r_1+3 - 9r_2-9r_1-9 + 2r_2-4r_1+6 = 0 \)
\( (2-9+2)r_2 + (-1-9-4)r_1 + (3-9+6) = 0 \)
\( -5r_2 - 14r_1 + 0 = 0 \)
\( -5r_2 - 14r_1 = 0 \)
\( 5r_2 + 14r_1 = 0 \) ...(A)

PQ रेखा (2) के लम्बवत् है, इसलिए \( a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2 = 0 \):
\( 2(2r_2-r_1+3) + 3(3r_2+3r_1+3) + 1(r_2-2r_1+3) = 0 \)
\( 4r_2-2r_1+6 + 9r_2+9r_1+9 + r_2-2r_1+3 = 0 \)
\( (4+9+1)r_2 + (-2+9-2)r_1 + (6+9+3) = 0 \)
\( 14r_2 + 5r_1 + 18 = 0 \) ...(B)

समीकरण (A) और (B) को हल करने पर:
\( 5r_2 = -14r_1 \implies r_2 = -\frac{14}{5}r_1 \)
इस मान को समीकरण (B) में रखने पर:
\( 14(-\frac{14}{5}r_1) + 5r_1 + 18 = 0 \)
\( -\frac{196}{5}r_1 + 5r_1 + 18 = 0 \)
\( \frac{-196r_1 + 25r_1}{5} = -18 \)
\( \frac{-171r_1}{5} = -18 \)
\( r_1 = \frac{-18 \times 5}{-171} = \frac{90}{171} = \frac{10}{19} \)
तो, \( r_2 = -\frac{14}{5} \times \frac{10}{19} = -\frac{14 \times 2}{19} = -\frac{28}{19} \)

P और Q के निर्देशांक ज्ञात करें:
P \( (r_1+1, -3r_1+2, 2r_1+3) = (\frac{10}{19}+1, -3(\frac{10}{19})+2, 2(\frac{10}{19})+3) \)
\( = (\frac{10+19}{19}, \frac{-30+38}{19}, \frac{20+57}{19}) = (\frac{29}{19}, \frac{8}{19}, \frac{77}{19}) \)

Q \( (2r_2+4, 3r_2+5, r_2+6) = (2(-\frac{28}{19})+4, 3(-\frac{28}{19})+5, -\frac{28}{19}+6) \)
\( = (\frac{-56+76}{19}, \frac{-84+95}{19}, \frac{-28+114}{19}) = (\frac{20}{19}, \frac{11}{19}, \frac{86}{19}) \)

लघुतम दूरी \( PQ \) है:
\( PQ = \sqrt{(\frac{20}{19}-\frac{29}{19})^2 + (\frac{11}{19}-\frac{8}{19})^2 + (\frac{86}{19}-\frac{77}{19})^2} \)
\( = \sqrt{(\frac{-9}{19})^2 + (\frac{3}{19})^2 + (\frac{9}{19})^2} \)
\( = \sqrt{\frac{81}{361} + \frac{9}{361} + \frac{81}{361}} \)
\( = \sqrt{\frac{171}{361}} = \frac{\sqrt{171}}{\sqrt{361}} = \frac{3\sqrt{19}}{19} = \frac{3}{\sqrt{19}} \) इकाई (यह पहले निकाली गई दूरी से मेल खाती है)

लघुतम दूरी वाली रेखा PQ का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम बिंदु P \( (\frac{29}{19}, \frac{8}{19}, \frac{77}{19}) \) और दिशा सदिश \( \vec{PQ} = Q-P = (\frac{20-29}{19})\hat{i} + (\frac{11-8}{19})\hat{j} + (\frac{86-77}{19})\hat{k} = -\frac{9}{19}\hat{i} + \frac{3}{19}\hat{j} + \frac{9}{19}\hat{k} \) का उपयोग कर सकते हैं।
इसलिए, लघुतम दूरी वाली रेखा का समीकरण है:
\( \vec{r} = (\frac{29}{19}\hat{i} + \frac{8}{19}\hat{j} + \frac{77}{19}\hat{k}) + t(-\frac{9}{19}\hat{i} + \frac{3}{19}\hat{j} + \frac{9}{19}\hat{k}) \)
आप इसे \( \vec{r} = \frac{1}{19}(29\hat{i} + 8\hat{j} + 77\hat{k}) + \frac{t}{19}(-9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}) \) भी लिख सकते हैं, जहाँ \( t \) एक स्केलर पैरामीटर है।
In simple words: पहले दी गई रेखाओं से उनके प्रारंभिक बिंदु सदिश और दिशा सदिश ज्ञात करें. फिर, क्रॉस उत्पाद और डॉट उत्पाद का उपयोग करके उनके बीच की सबसे छोटी दूरी की गणना करें. रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए, दो सामान्य बिंदुओं P और Q को रेखाओं पर लें, उनके बीच के सदिश को ज्ञात करें, और फिर लंबवत स्थितियों का उपयोग करके अज्ञात मापदंडों को हल करें. अंत में, न्यूनतम दूरी और न्यूनतम दूरी वाली रेखा का समीकरण लिखें.

🎯 Exam Tip: न्यूनतम दूरी की गणना के बाद, लघुतम दूरी वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए P और Q बिंदुओं के निर्देशांकों को सावधानीपूर्वक निर्धारित करें।

Question 4. रेखाएँ, जिसकी सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के मध्य की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए: \( \vec{r}=(1-t)\hat{i}+(t-2)\hat{j}+(3-2t)\hat{k} \) और \( \vec{r} = (s+1)\hat{i}+(2s-1)\hat{j}-(2s+1)\hat{k} \)
Answer: दी गई रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) में बदलें:
पहली रेखा:
\( \vec{r} = (1-t)\hat{i}+(t-2)\hat{j}+(3-2t)\hat{k} \)
\( \vec{r} = (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) + t(-\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}) \)
तो, \( \vec{a_1} = \hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k} \)
और \( \vec{b_1} = -\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k} \)

दूसरी रेखा:
\( \vec{r} = (s+1)\hat{i}+(2s-1)\hat{j}-(2s+1)\hat{k} \)
\( \vec{r} = (\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) + s(\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}) \)
तो, \( \vec{a_2} = \hat{i}-\hat{j}-\hat{k} \)
और \( \vec{b_2} = \hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k} \)

अब, \( \vec{a_2} - \vec{a_1} \) की गणना करें:
\( \vec{a_2} - \vec{a_1} = (\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) - (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) \)
\( = (1-1)\hat{i} + (-1-(-2))\hat{j} + (-1-3)\hat{k} \)
\( = 0\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k} \)
\( = \hat{j} - 4\hat{k} \)

अगले चरण में, हम \( \vec{b_1} \times \vec{b_2} \) ज्ञात करेंगे:
\( \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} \)
\( = \hat{i}((1)(-2) - (-2)(2)) - \hat{j}((-1)(-2) - (-2)(1)) + \hat{k}((-1)(2) - (1)(1)) \)
\( = \hat{i}(-2+4) - \hat{j}(2+2) + \hat{k}(-2-1) \)
\( = 2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k} \)

अब, \( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| \) का परिमाण ज्ञात करें:
\( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(2)^2 + (-4)^2 + (-3)^2} \)
\( = \sqrt{4+16+9} \)
\( = \sqrt{29} \)

न्यूनतम दूरी (d) के सूत्र का उपयोग करते हुए:
\( d = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right| \)
\( d = \left| \frac{(\hat{j}-4\hat{k}) \cdot (2\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k})}{\sqrt{29}} \right| \)
\( d = \left| \frac{(0)(2) + (1)(-4) + (-4)(-3)}{\sqrt{29}} \right| \)
\( d = \left| \frac{0 - 4 + 12}{\sqrt{29}} \right| \)
\( d = \left| \frac{8}{\sqrt{29}} \right| \)
\( d = \frac{8}{\sqrt{29}} \) इकाई
यह दो तिरछी रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी है।
In simple words: पहले दिए गए रेखा समीकरणों को मानक सदिश रूप में बदलें. फिर, प्रारंभिक बिंदुओं और दिशा सदिशों को पहचानें. दिशा सदिशों का क्रॉस उत्पाद ज्ञात करें, और फिर न्यूनतम दूरी के सूत्र में सभी मानों को डालकर हल करें. यह आपको रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी देगा.

🎯 Exam Tip: पैरामीट्रिक समीकरणों को मानक सदिश रूप में बदलते समय, \( t \) और \( s \) जैसे पैरामीटरों से जुड़े सभी पदों को दिशा सदिश के रूप में सही ढंग से अलग करना सुनिश्चित करें।