RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 14 त्रि विमीयज्यामिति Exercise 14.4

Question 1. दिखाइए कि रेखाएँ \( \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4} \) और \( \frac{x-4}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{1} \) परस्पर प्रतिच्छेदी हैं। उनका प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात कीजिए।
Answer: सबसे पहले, हम दी गई रेखाओं को एक पैरामीट्रिक रूप में लिखते हैं।
माना पहली रेखा \( L_1 \) है: \( \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4} = r_1 \)
यहां से, \( x = 2r_1+1, y = 3r_1+2, z = 4r_1+3 \).
इसलिए, \( L_1 \) पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक \( (2r_1+1, 3r_1+2, 4r_1+3) \) हैं।
दूसरी रेखा \( L_2 \) है: \( \frac{x-4}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{1} = r_2 \)
यहां से, \( x = 5r_2+4, y = 2r_2+1, z = r_2 \).
इसलिए, \( L_2 \) पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक \( (5r_2+4, 2r_2+1, r_2) \) हैं।
यदि दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो \( r_1 \) और \( r_2 \) का एक ऐसा मान होगा जहां उनके निर्देशांक समान होंगे:
\( 2r_1+1 = 5r_2+4 \)
\( \implies 2r_1 - 5r_2 = 3 \) ...(1)
\( 3r_1+2 = 2r_2+1 \)
\( \implies 3r_1 - 2r_2 = -1 \) ...(2)
\( 4r_1+3 = r_2 \)
\( \implies 4r_1 - r_2 = -3 \) ...(3)

समीकरण (1) और (2) को हल करने के लिए, समीकरण (1) को 2 से और समीकरण (2) को 5 से गुणा करें:
\( 4r_1 - 10r_2 = 6 \)
\( 15r_1 - 10r_2 = -5 \)
अब, पहले नए समीकरण को दूसरे नए समीकरण से घटाएँ:
\( (15r_1 - 10r_2) - (4r_1 - 10r_2) = -5 - 6 \)
\( 11r_1 = -11 \)
\( r_1 = -1 \)

\( r_1 = -1 \) को समीकरण (1) में रखने पर:
\( 2(-1) - 5r_2 = 3 \)
\( -2 - 5r_2 = 3 \)
\( -5r_2 = 5 \)
\( r_2 = -1 \)

अब, \( r_1 = -1 \) और \( r_2 = -1 \) के इन मानों को समीकरण (3) में जांच करें:
\( 4r_1 - r_2 = 4(-1) - (-1) = -4 + 1 = -3 \).
चूंकि \( -3 = -3 \), सभी तीनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। इसका मतलब है कि रेखाएँ वास्तव में एक-दूसरे को काटती हैं।

प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए, \( r_1 = -1 \) को पहली रेखा के निर्देशांकों में रखें:
\( x = 2(-1)+1 = -2+1 = -1 \)
\( y = 3(-1)+2 = -3+2 = -1 \)
\( z = 4(-1)+3 = -4+3 = -1 \)
अतः, प्रतिच्छेद बिंदु \( (-1, -1, -1) \) है। यह प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों रेखाओं पर स्थित होता है।
In simple words: हमने दोनों रेखाओं के लिए बिंदु के सूत्र बनाए। फिर, हमने देखा कि क्या कोई खास संख्या है जो दोनों सूत्रों को एक साथ सही बनाती है। हमें वह संख्या मिली, जिसका मतलब है कि रेखाएँ एक ही जगह पर मिलती हैं। मिलने वाला बिंदु \( (-1, -1, -1) \) है।

🎯 Exam Tip: प्रतिच्छेद की जांच के लिए हमेशा \( r_1 \) और \( r_2 \) के मानों को तीसरे समीकरण में रखकर सत्यापित करें। यदि यह संतुष्ट नहीं होता है, तो रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

Question 2. निर्धारित करें कि निम्न रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं या नहीं:
\( \vec{r} = (\hat{i}-\hat{j}) + \lambda(2\hat{i}+\hat{k}) \)
और
\( \vec{r} = (2\hat{i}+\hat{j}) + \mu(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \)
Answer: दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनके स्थिति सदिश के गुणांकों को बराबर करने पर \( \lambda \) और \( \mu \) के संगत मान मिलते हैं जो सभी समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।

पहली रेखा का समीकरण है: \( \vec{r_1} = (1+2\lambda)\hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k} \)
दूसरी रेखा का समीकरण है: \( \vec{r_2} = (2+\mu)\hat{i} + (1+\mu)\hat{j} - \mu\hat{k} \)

यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो \( \vec{r_1} = \vec{r_2} \) होना चाहिए। इसलिए, \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) के गुणांकों को बराबर करने पर हमें मिलता है:
1. \( 1+2\lambda = 2+\mu \)
2. \( -1 = 1+\mu \)
3. \( \lambda = -\mu \)

समीकरण (2) से:
\( -1 = 1+\mu \)
\( \implies \mu = -2 \)

\( \mu = -2 \) को समीकरण (3) में रखने पर:
\( \lambda = -(-2) \)
\( \implies \lambda = 2 \)

अब, \( \lambda = 2 \) और \( \mu = -2 \) के इन मानों को समीकरण (1) में जांच करें:
\( 1+2(2) = 2+(-2) \)
\( 1+4 = 0 \)
\( 5 = 0 \)
यह समीकरण असत्य है। चूंकि \( \lambda \) और \( \mu \) के मान सभी तीन समीकरणों को संतुष्ट नहीं करते हैं, इसलिए रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। यह महत्वपूर्ण है कि सभी गुणांकों के लिए समानता बनी रहे।
In simple words: हमने दोनों रेखाओं को बराबर मानकर उनके \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) के हिस्सों की तुलना की। इससे हमें \( \lambda \) और \( \mu \) की कुछ संख्याएँ मिलीं। लेकिन जब हमने उन संख्याओं को तीसरे हिस्से में डाला, तो वे सही नहीं बैठीं। इसका मतलब है कि ये रेखाएँ कभी नहीं मिलेंगी, वे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

🎯 Exam Tip: यह जांचना सुनिश्चित करें कि \( \lambda \) और \( \mu \) के मान सभी तीन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। यदि वे एक भी समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं, तो रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

Question 3. बिंदु P(2,3,4) से रेखा \( \frac{x-4}{-2} = \frac{y}{6} = \frac{z-1}{-3} \) पर डाले गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखा का समीकरण है: \( \frac{x-4}{-2} = \frac{y}{6} = \frac{z-1}{-3} \).
मान लीजिए इस रेखा पर कोई बिंदु Q है, तो हम इसे एक पैरामीटर \( \lambda \) के बराबर करके Q के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं:
\( \frac{x-4}{-2} = \lambda \implies x = -2\lambda+4 \)
\( \frac{y}{6} = \lambda \implies y = 6\lambda \)
\( \frac{z-1}{-3} = \lambda \implies z = -3\lambda+1 \)
तो, बिंदु Q के निर्देशांक \( (-2\lambda+4, 6\lambda, -3\lambda+1) \) हैं।

हमें बिंदु P(2,3,4) दिया गया है।
लंब PQ के दिक् अनुपात (direction ratios) ज्ञात करने के लिए, हम Q और P के निर्देशांकों का अंतर लेते हैं:
\( a_1 = (-2\lambda+4) - 2 = -2\lambda+2 \)
\( b_1 = (6\lambda) - 3 = 6\lambda-3 \)
\( c_1 = (-3\lambda+1) - 4 = -3\lambda-3 \)
इसलिए, PQ के दिक् अनुपात हैं: \( (-2\lambda+2, 6\lambda-3, -3\lambda-3) \).

दी गई रेखा के दिक् अनुपात उसके हर से प्राप्त होते हैं: \( a_2 = -2, b_2 = 6, c_2 = -3 \).

चूंकि PQ, दी गई रेखा पर लंब है, उनके दिक् अनुपातों का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
\( a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0 \)
\( (-2\lambda+2)(-2) + (6\lambda-3)(6) + (-3\lambda-3)(-3) = 0 \)
\( (4\lambda-4) + (36\lambda-18) + (9\lambda+9) = 0 \)
\( 4\lambda-4+36\lambda-18+9\lambda+9 = 0 \)
सभी \( \lambda \) पदों को एक साथ और सभी स्थिरांक पदों को एक साथ जोड़ें:
\( (4+36+9)\lambda + (-4-18+9) = 0 \)
\( 49\lambda - 13 = 0 \)
\( 49\lambda = 13 \)
\( \implies \lambda = \frac{13}{49} \)

अब, \( \lambda \) के इस मान को बिंदु Q के निर्देशांकों में रखें ताकि लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात हो सकें:
\( x = -2\left(\frac{13}{49}\right)+4 = \frac{-26}{49} + \frac{4 \times 49}{49} = \frac{-26+196}{49} = \frac{170}{49} \)
\( y = 6\left(\frac{13}{49}\right) = \frac{78}{49} \)
\( z = -3\left(\frac{13}{49}\right)+1 = \frac{-39}{49} + \frac{49}{49} = \frac{10}{49} \)
अतः, लंब के पाद के निर्देशांक \( \left(\frac{170}{49}, \frac{78}{49}, \frac{10}{49}\right) \) हैं। यह बिंदु उस रेखा पर सबसे नजदीक होता है जो दिए गए बिंदु P से गुजरती है।
In simple words: हमें एक बिंदु और एक रेखा दी गई थी। हमने रेखा पर एक बिंदु Q माना। फिर, हमने PQ की दिशा और रेखा की दिशा का उपयोग करके एक समीकरण बनाया क्योंकि वे लंबवत हैं। इस समीकरण को हल करके हमें एक मान \( \lambda \) मिला। इस \( \lambda \) मान को Q के सूत्र में वापस रखने पर हमें वह बिंदु मिल गया जहां से लंब रेखा को छूता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, हमेशा रेखा पर एक सामान्य बिंदु \( (\text{x}, \text{y}, \text{z}) \) को पैरामीट्रिक रूप में मानें। यह आपको \( \lambda \) का मान ज्ञात करने और फिर लंब के पाद के निर्देशांक प्राप्त करने में मदद करेगा।

Question 4. बिन्दु (2, 3, 2) से जाने वाले रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा \( \vec{r} = (-2\hat{i}+3\hat{j}) + \mu(2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k}) \) के समान्तर है। इन रेखाओं के मध्य दूरी भी ज्ञात कीजिए।
Answer: यह प्रश्न दो भागों में है: पहले एक नई रेखा का समीकरण ज्ञात करना है, फिर दोनों समांतर रेखाओं के बीच की दूरी।

**भाग 1: नई रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात करना**
दी गई रेखा का समीकरण है:
\( \vec{r} = (-2\hat{i}+3\hat{j}) + \mu(2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k}) \)
यह रेखा \( \vec{a_1} = -2\hat{i}+3\hat{j} \) से गुजरती है और सदिश \( \vec{b} = 2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k} \) के समान्तर है।

हमें एक नई रेखा का समीकरण ज्ञात करना है जो बिंदु \( (2,3,2) \) से गुजरती है। इस बिंदु का स्थिति सदिश \( \vec{a_2} = 2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k} \) है।
चूंकि नई रेखा दी गई रेखा के समान्तर है, इसलिए उसका दिशा सदिश भी \( \vec{b} = 2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k} \) होगा।

एक बिंदु \( \vec{a_2} \) से गुजरने वाली और सदिश \( \vec{b} \) के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण होता है: \( \vec{r} = \vec{a_2} + \lambda\vec{b} \)
इसलिए, नई रेखा का सदिश समीकरण है:
\( \vec{r} = (2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}) + \lambda(2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k}) \)

**भाग 2: दोनों रेखाओं के मध्य की दूरी ज्ञात करना**
दोनों रेखाएँ समांतर हैं। समांतर रेखाओं के बीच की दूरी का सूत्र है:
\( d = \frac{|\vec{b} \times (\vec{a_2}-\vec{a_1})|}{|\vec{b}|} \)

यहां, \( \vec{a_1} = -2\hat{i}+3\hat{j} \)
और \( \vec{a_2} = 2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k} \)
\( \vec{b} = 2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k} \)

सबसे पहले \( (\vec{a_2}-\vec{a_1}) \) ज्ञात करें:
\( \vec{a_2}-\vec{a_1} = (2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}) - (-2\hat{i}+3\hat{j}) \)
\( = (2-(-2))\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (2-0)\hat{k} \)
\( = 4\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k} \)

अब \( \vec{b} \times (\vec{a_2}-\vec{a_1}) \) ज्ञात करें:
\[ \vec{b} \times (\vec{a_2}-\vec{a_1}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 6 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} \] \( = \hat{i}((-3)(2) - (6)(0)) - \hat{j}((2)(2) - (6)(4)) + \hat{k}((2)(0) - (-3)(4)) \)
\( = \hat{i}(-6 - 0) - \hat{j}(4 - 24) + \hat{k}(0 + 12) \)
\( = -6\hat{i} + 20\hat{j} + 12\hat{k} \)

अब \( |\vec{b} \times (\vec{a_2}-\vec{a_1})| \) का परिमाण ज्ञात करें:
\( |\vec{b} \times (\vec{a_2}-\vec{a_1})| = \sqrt{(-6)^2 + (20)^2 + (12)^2} \)
\( = \sqrt{36 + 400 + 144} \)
\( = \sqrt{580} \)

अब \( |\vec{b}| \) का परिमाण ज्ञात करें:
\( |\vec{b}| = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (6)^2} \)
\( = \sqrt{4 + 9 + 36} \)
\( = \sqrt{49} \)
\( = 7 \)

अंत में, समांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें:
\( d = \frac{|\vec{b} \times (\vec{a_2}-\vec{a_1})|}{|\vec{b}|} = \frac{\sqrt{580}}{7} \)
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी हमेशा लंबवत होती है, जैसे रेल की पटरियों के बीच की दूरी।
In simple words: हमें एक बिंदु दिया गया था और एक रेखा जिसके समांतर एक नई रेखा बनानी थी। हमने नई रेखा का समीकरण बनाया। फिर, हमने दोनों समांतर रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी निकालने के लिए एक खास सूत्र का इस्तेमाल किया। सूत्र में सदिशों की घटाव और गुणनफल करके हमें \( \frac{\sqrt{580}}{7} \) की दूरी मिली।

🎯 Exam Tip: समांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि दिशा सदिश (\( \vec{b} \)) दोनों रेखाओं के लिए समान हो। सूत्र में \( \vec{a_1} \) और \( \vec{a_2} \) किसी भी रेखा पर एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करते हैं।