RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 14 त्रि विमीयज्यामिति Exercise 14.3

प्रश्न 1. निम्नलिखित रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए : \( \vec{r} = 2\hat{i}-5\hat{j}+\hat{k} + \lambda(3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}) \) और \( \vec{r} = 7\hat{i}-6\hat{j} + \mu(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}) \)
Answer: दी गई रेखाओं की तुलना \( \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1} \) और \( \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2} \) से करने पर:
प्रथम रेखा की दिशा \( \vec{b_1} = 3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k} \)
द्वितीय रेखा की दिशा \( \vec{b_2} = \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k} \)
दोनों रेखाओं के बीच का कोण \( \theta \) ज्ञात करने के लिए हम सूत्र \( \cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|} \) का उपयोग करते हैं। यह सूत्र दो वैक्टरों के बीच के कोण को उनके डॉट उत्पाद और परिमाण के माध्यम से बताता है।
पहले \( \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} \) की गणना करेंगे:
\( \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (3)(1) + (2)(2) + (6)(2) \)
\( = 3 + 4 + 12 \)
\( = 19 \)
अब \( |\vec{b_1}| \) की गणना करेंगे:
\( |\vec{b_1}| = \sqrt{3^2+2^2+6^2} \)
\( = \sqrt{9+4+36} \)
\( = \sqrt{49} \)
\( = 7 \)
और \( |\vec{b_2}| \) की गणना करेंगे:
\( |\vec{b_2}| = \sqrt{1^2+2^2+2^2} \)
\( = \sqrt{1+4+4} \)
\( = \sqrt{9} \)
\( = 3 \)
इन मानों को सूत्र में रखेंगे:
\( \cos \theta = \frac{19}{7 \times 3} \)
\( \implies \cos \theta = \frac{19}{21} \)
\( \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right) \)
In simple words: हमने दोनों रेखाओं की दिशा को दर्शाने वाले वैक्टरों को पहचाना. फिर, उनके डॉट उत्पाद और परिमाण का उपयोग करके, हमने कोण को \( \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right) \) के रूप में पाया.

🎯 Exam Tip: वेक्टर रूप में दी गई दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए हमेशा उनके दिशा वैक्टर (यानी \( \vec{b_1} \) और \( \vec{b_2} \)) पर ध्यान दें, न कि स्थिति वैक्टर (यानी \( \vec{a_1} \) और \( \vec{a_2} \)) पर।

प्रश्न 2. निम्नलिखित रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए : \( \frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1} \) और \( \frac{x-5}{4} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{8} \)
Answer: दी गई रेखाएँ कार्तीय रूप में हैं।
प्रथम रेखा के दिक्-अनुपात \( (a_1, b_1, c_1) = (2, 2, 1) \) हैं।
द्वितीय रेखा के दिक्-अनुपात \( (a_2, b_2, c_2) = (4, 1, 8) \) हैं।
दोनों रेखाओं के बीच का कोण \( \theta \) ज्ञात करने के लिए हम सूत्र \( \cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}} \) का उपयोग करते हैं। यह सूत्र कार्तीय निर्देशांकों में दो रेखाओं के बीच के कोण को खोजने के लिए उपयोगी है।
पहले \( a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 \) की गणना करेंगे:
\( a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = (2)(4) + (2)(1) + (1)(8) \)
\( = 8 + 2 + 8 \)
\( = 18 \)
अब प्रथम रेखा के दिक्-अनुपातों के वर्गों के योग का वर्गमूल ज्ञात करेंगे:
\( \sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} = \sqrt{2^2+2^2+1^2} \)
\( = \sqrt{4+4+1} \)
\( = \sqrt{9} \)
\( = 3 \)
अब द्वितीय रेखा के दिक्-अनुपातों के वर्गों के योग का वर्गमूल ज्ञात करेंगे:
\( \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2} = \sqrt{4^2+1^2+8^2} \)
\( = \sqrt{16+1+64} \)
\( = \sqrt{81} \)
\( = 9 \)
इन मानों को सूत्र में रखेंगे:
\( \cos \theta = \frac{18}{3 \times 9} \)
\( \implies \cos \theta = \frac{18}{27} \)
\( \implies \cos \theta = \frac{2}{3} \)
\( \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) \)
In simple words: हमने दोनों रेखाओं के दिक्-अनुपात निकाले. फिर, हमने एक विशेष सूत्र का उपयोग करके उनके बीच का कोण पता लगाया, जिससे हमें \( \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) \) मिला.

🎯 Exam Tip: कार्तीय रूप में दी गई रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि आप दिक्-अनुपातों (x, y, z के हर में संख्याएँ) को सही ढंग से पहचानें।

प्रश्न 3. दर्शाइए कि बिन्दुओं (1,-1, 2), (3, 4,-2) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा पर लम्ब है।
Answer: हमें यह दिखाना है कि दो रेखाएँ एक-दूसरे पर लम्बवत हैं। इसके लिए हम उनके दिक्-अनुपातों का गुणनफल शून्य सिद्ध करेंगे।
**प्रथम रेखा:** यह बिन्दुओं \( (x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 2) \) और \( (x_2, y_2, z_2) = (3, 4, -2) \) से होकर जाती है।
इसके दिक्-अनुपात \( (l_1, m_1, n_1) \) इस प्रकार हैं:
\( l_1 = x_2 - x_1 = 3 - 1 = 2 \)
\( m_1 = y_2 - y_1 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 \)
\( n_1 = z_2 - z_1 = -2 - 2 = -4 \)
तो, प्रथम रेखा के दिक्-अनुपात \( (l_1, m_1, n_1) = (2, 5, -4) \) हैं।
**द्वितीय रेखा:** यह बिन्दुओं \( (x_3, y_3, z_3) = (0, 3, 2) \) और \( (x_4, y_4, z_4) = (3, 5, 6) \) से होकर जाती है।
इसके दिक्-अनुपात \( (l_2, m_2, n_2) \) इस प्रकार हैं:
\( l_2 = x_4 - x_3 = 3 - 0 = 3 \)
\( m_2 = y_4 - y_3 = 5 - 3 = 2 \)
\( n_2 = z_4 - z_3 = 6 - 2 = 4 \)
तो, द्वितीय रेखा के दिक्-अनुपात \( (l_2, m_2, n_2) = (3, 2, 4) \) हैं।
दो रेखाएँ परस्पर लम्ब होती हैं यदि उनके दिक्-अनुपातों के गुणनफल का योग शून्य हो, यानी \( l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0 \)। यह लम्बवतता की मुख्य शर्त है।
हमारा गुणनफल योग है:
\( (2)(3) + (5)(2) + (-4)(4) \)
\( = 6 + 10 - 16 \)
\( = 16 - 16 \)
\( = 0 \)
चूंकि दिक्-अनुपातों के गुणनफल का योग शून्य है, अतः दोनों रेखाएँ परस्पर लम्ब हैं।
In simple words: हमने दोनों रेखाओं के लिए दिक्-अनुपात पता किए. फिर, यह देखने के लिए कि क्या वे लम्बवत हैं, हमने उनके दिक्-अनुपातों को गुणा करके जोड़ा. चूंकि कुल योग शून्य था, इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे पर लम्बवत हैं.

🎯 Exam Tip: यह सिद्ध करने के लिए कि दो रेखाएँ लम्बवत हैं, हमेशा उनके दिक्-अनुपातों के गुणनफल के योग को शून्य के बराबर सिद्ध करें। यदि वे समानांतर हों, तो उनके दिक्-अनुपात आनुपातिक होंगे।

प्रश्न 4. रेखाएँ \( \frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2k} = \frac{z-3}{2} \) और \( \frac{x-1}{3k} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-5} \) परस्पर लंब हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखाएँ कार्तीय रूप में हैं।
प्रथम रेखा के दिक्-अनुपात \( (l_1, m_1, n_1) = (-3, 2k, 2) \) हैं।
द्वितीय रेखा के दिक्-अनुपात \( (l_2, m_2, n_2) = (3k, 1, -5) \) हैं।
चूंकि दोनों रेखाएँ परस्पर लम्ब हैं, तो उनके दिक्-अनुपातों के गुणनफल का योग शून्य होगा:
\( l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0 \)
यह लम्बवत रेखाओं की एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय शर्त है।
मानों को सूत्र में रखने पर:
\( (-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0 \)
\( \implies -9k + 2k - 10 = 0 \)
\( \implies -7k - 10 = 0 \)
\( \implies -7k = 10 \)
\( \implies k = \frac{-10}{7} \)
In simple words: हमें दो रेखाएँ दी गई थीं जो एक-दूसरे पर सीधी (लम्ब) थीं. हमने उनके नीचे के नंबर्स (दिक्-अनुपात) लिए और उन्हें लम्बवत होने के नियम में रखा. इससे हमने 'k' का मान \( \frac{-10}{7} \) निकाला.

🎯 Exam Tip: जब रेखाएँ लम्बवत दी गई हों, तो हमेशा \( l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0 \) का उपयोग करें। यह समीकरण किसी भी अज्ञात मान को ज्ञात करने के लिए सीधा रास्ता प्रदान करता है।

प्रश्न 5. बिन्दु (1, 2, – 4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं \( \frac{x-8}{3} = \frac{y+19}{-16} = \frac{z-10}{7} \) और \( \frac{x-15}{3} = \frac{y-29}{8} = \frac{z-5}{-5} \) पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: माना अभीष्ट रेखा बिन्दु \( (1, 2, -4) \) से होकर जाती है, तो इसका स्थिति सदिश \( \vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k} \) होगा। यह रेखा एक सदिश \( \vec{b} = b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k} \) के समानांतर है, जो हमें ज्ञात करना है।
अतः रेखा का समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} = (\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}) + \lambda(b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}) \) होगा। (समीकरण 1)
प्रथम दी गई रेखा के दिक्-अनुपात \( (3, -16, 7) \) हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा पर लम्ब है, तो इनके दिक्-अनुपातों के गुणनफल का योग शून्य होगा:
\( 3b_1 - 16b_2 + 7b_3 = 0 \) (समीकरण 2)
द्वितीय दी गई रेखा के दिक्-अनुपात \( (3, 8, -5) \) हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा पर लम्ब है, तो इनके दिक्-अनुपातों के गुणनफल का योग शून्य होगा:
\( 3b_1 + 8b_2 - 5b_3 = 0 \) (समीकरण 3)
समीकरण 2 और 3 को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर, हम \( b_1, b_2, b_3 \) के मान प्राप्त कर सकते हैं। यह विधि दो रैखिक समीकरणों से तीन चरों के अनुपात ज्ञात करने में मदद करती है।
\( \frac{b_1}{(-16)(-5) - (7)(8)} = \frac{b_2}{(7)(3) - (3)(-5)} = \frac{b_3}{(3)(8) - (-16)(3)} \)
\( \implies \frac{b_1}{80 - 56} = \frac{b_2}{21 + 15} = \frac{b_3}{24 + 48} \)
\( \implies \frac{b_1}{24} = \frac{b_2}{36} = \frac{b_3}{72} \)
इन अनुपातों को सरल करने पर:
\( \frac{b_1}{2} = \frac{b_2}{3} = \frac{b_3}{6} \)
तो, हम \( b_1=2, b_2=3, b_3=6 \) ले सकते हैं।
इन मानों को समीकरण 1 में रखने पर, हमें अभीष्ट रेखा का सदिश समीकरण प्राप्त होता है:
\( \vec{r} = (\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}) + \lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}) \)
इस रेखा का कार्तीय समीकरण है: \( \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-(-4)}{6} \implies \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z+4}{6} \)
In simple words: हमने एक रेखा की समीकरण निकाली जो दिए गए बिंदु से गुजरती है और दो अन्य रेखाओं पर लम्ब है. हमने लम्बवत होने की शर्त का उपयोग करके रेखा के दिक्-अनुपात ज्ञात किए, और फिर समीकरण में मान रखकर अंतिम हल प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: जब कोई रेखा दो अन्य रेखाओं पर लम्ब हो, तो उसके दिक्-अनुपात उन दोनों रेखाओं के दिक्-अनुपातों के वज्र-गुणन से प्राप्त होते हैं। यह एक बहुत ही सामान्य प्रकार की समस्या है।

प्रश्न 6. उस रेखा का कार्तीय समीकरणे ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-2, 4,-5) से जाती है और रेखा \( \frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6} \) के समान्तर है।
Answer: हमें एक रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात करना है।
यह रेखा बिन्दु \( (x_1, y_1, z_1) = (-2, 4, -5) \) से होकर जाती है।
यह रेखा दी गई रेखा \( \frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6} \) के समानांतर है।
दी गई रेखा के दिक्-अनुपात \( (a, b, c) = (3, 5, 6) \) हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा के समानांतर है, इसलिए उसके दिक्-अनुपात भी समान होंगे, यानी \( (3, 5, 6) \)। समानांतर रेखाओं की दिशा हमेशा समान होती है।
किसी बिन्दु \( (x_1, y_1, z_1) \) से होकर जाने वाली और दिक्-अनुपातों \( (a, b, c) \) वाली रेखा का कार्तीय समीकरण इस प्रकार होता है:
\( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \)
दिए गए मानों को समीकरण में रखने पर:
\( \frac{x-(-2)}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z-(-5)}{6} \)
\( \implies \frac{x+2}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+5}{6} \)
यह अभीष्ट रेखा का कार्तीय समीकरण है।
In simple words: हमें एक बिंदु और एक समानांतर रेखा दी गई थी. क्योंकि रेखाएं समानांतर हैं, हमने दी गई रेखा के दिशा संख्याओं का उपयोग अपनी रेखा के लिए किया. फिर, बिंदु और दिशा संख्याओं का उपयोग करके हमने अपनी रेखा का कार्तीय समीकरण लिखा.

🎯 Exam Tip: जब दो रेखाएँ समानांतर होती हैं, तो उनके दिक्-अनुपात समान या आनुपातिक होते हैं। इस तथ्य का उपयोग करके आप समानांतर रेखा के समीकरण को आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।