RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 14 त्रि विमीयज्यामिति Exercise 14.2

 

Question 1. बिन्दु (5, 7, 9) से गुजरने वाली उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्न अक्षों के समान्तर है :
(i) X-अक्ष
(ii) Y-अक्ष
(iii) Z-अक्ष
Answer:
दिए गए बिंदु का स्थिति सदिश \( \vec{a} = 5\hat{i}+7\hat{j}+9\hat{k} \) है। एक रेखा जो बिंदु \( \vec{a} \) से होकर गुजरती है और सदिश \( \vec{b} \) के समान्तर है, उसका सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) होता है। यहाँ \( \lambda \) एक अदिश गुणांक है जो रेखा पर बिंदुओं की स्थिति को दर्शाता है।

(i) X-अक्ष के समान्तर रेखा:
X-अक्ष की दिशा में सदिश \( \vec{b} = 1\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k} = \hat{i} \)
सदिश समीकरण:
\( \vec{r} = (5\hat{i}+7\hat{j}+9\hat{k}) + \lambda (\hat{i}) \)
\( \implies \vec{r} = (5+\lambda)\hat{i}+7\hat{j}+9\hat{k} \)

कार्तीय समीकरण:
\( x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} = (5+\lambda)\hat{i}+7\hat{j}+9\hat{k} \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( x = 5+\lambda \implies \frac{x-5}{1} = \lambda \)
\( y = 7 \implies \frac{y-7}{0} = \lambda \)
\( z = 9 \implies \frac{z-9}{0} = \lambda \)
अतः, कार्तीय समीकरण है:
\( \frac{x-5}{1} = \frac{y-7}{0} = \frac{z-9}{0} \)

(ii) Y-अक्ष के समान्तर रेखा:
Y-अक्ष की दिशा में सदिश \( \vec{b} = 0\hat{i}+1\hat{j}+0\hat{k} = \hat{j} \)
सदिश समीकरण:
\( \vec{r} = (5\hat{i}+7\hat{j}+9\hat{k}) + \lambda (\hat{j}) \)
\( \implies \vec{r} = 5\hat{i}+(7+\lambda)\hat{j}+9\hat{k} \)

कार्तीय समीकरण:
\( x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} = 5\hat{i}+(7+\lambda)\hat{j}+9\hat{k} \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( x = 5 \implies \frac{x-5}{0} = \lambda \)
\( y = 7+\lambda \implies \frac{y-7}{1} = \lambda \)
\( z = 9 \implies \frac{z-9}{0} = \lambda \)
अतः, कार्तीय समीकरण है:
\( \frac{x-5}{0} = \frac{y-7}{1} = \frac{z-9}{0} \)

(iii) Z-अक्ष के समान्तर रेखा:
Z-अक्ष की दिशा में सदिश \( \vec{b} = 0\hat{i}+0\hat{j}+1\hat{k} = \hat{k} \)
सदिश समीकरण:
\( \vec{r} = (5\hat{i}+7\hat{j}+9\hat{k}) + \lambda (\hat{k}) \)
\( \implies \vec{r} = 5\hat{i}+7\hat{j}+(9+\lambda)\hat{k} \)

कार्तीय समीकरण:
\( x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} = 5\hat{i}+7\hat{j}+(9+\lambda)\hat{k} \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( x = 5 \implies \frac{x-5}{0} = \lambda \)
\( y = 7 \implies \frac{y-7}{0} = \lambda \)
\( z = 9+\lambda \implies \frac{z-9}{1} = \lambda \)
अतः, कार्तीय समीकरण है:
\( \frac{x-5}{0} = \frac{y-7}{0} = \frac{z-9}{1} \)
In simple words: हमने एक बिंदु से गुजरने वाली और अक्षों के समान्तर रेखाओं के समीकरण निकाले। सदिश समीकरण में एक बिंदु और दिशा सदिश को जोड़ा जाता है, जबकि कार्तीय समीकरण में x, y, z निर्देशांकों का उपयोग करके समानुपातिक संबंध दिखाया जाता है। एक रेखा की दिशा उसके अक्ष के समान्तर होने पर सरल हो जाती है।

🎯 Exam Tip: जब कोई रेखा किसी अक्ष के समान्तर होती है, तो उसके दिशा अनुपात (direction ratios) उस अक्ष के इकाई सदिश के अनुपात में होते हैं (जैसे X-अक्ष के लिए (1,0,0), Y-अक्ष के लिए (0,1,0), Z-अक्ष के लिए (0,0,1))।

 

Question 2. सरल रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो एक बिन्दु जिसका स्थिति सदिश \( 2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k} \) है, से गुजरती है तथा सदिश \( 3\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k} \) के समान्तर है। इसका कार्तीय रूप में रूपान्तरण भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई जानकारी के अनुसार:
रेखा जिस बिंदु से गुजरती है, उसका स्थिति सदिश \( \vec{a} = 2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k} \)
रेखा जिस सदिश के समान्तर है (दिशा सदिश), \( \vec{b} = 3\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k} \)
रेखा का सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) होता है, जहाँ \( \lambda \) एक अदिश गुणांक है जो रेखा पर किसी भी बिंदु की स्थिति को दर्शाता है।

सदिश समीकरण:
\( \vec{r} = (2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}) + \lambda (3\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}) \)
\( \implies \vec{r} = (2+3\lambda)\hat{i} + (-3+4\lambda)\hat{j} + (4-5\lambda)\hat{k} \)

अब इस सदिश समीकरण को कार्तीय रूप में बदलते हैं। हम जानते हैं कि \( \vec{r} = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} \)।
\( x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} = (2+3\lambda)\hat{i} + (-3+4\lambda)\hat{j} + (4-5\lambda)\hat{k} \)
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
\( x = 2+3\lambda \implies \frac{x-2}{3} = \lambda \)
\( y = -3+4\lambda \implies \frac{y+3}{4} = \lambda \)
\( z = 4-5\lambda \implies \frac{z-4}{-5} = \lambda \)
चूँकि सभी \( \lambda \) के बराबर हैं, तो कार्तीय समीकरण होगा:
\( \frac{x-2}{3} = \frac{y+3}{4} = \frac{z-4}{-5} \)
In simple words: हमने एक बिंदु और एक दिशा सदिश का उपयोग करके पहले रेखा का सदिश समीकरण बनाया। फिर, हमने सदिश समीकरण के प्रत्येक भाग को x, y, z के लिए अलग-अलग करके कार्तीय समीकरण निकाला। सदिश समीकरण रेखा पर सभी बिंदुओं का पता लगाता है, जबकि कार्तीय समीकरण उनके निर्देशांकों के बीच संबंध दिखाता है।

🎯 Exam Tip: सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) में, \( \vec{a} \) वह बिंदु है जहाँ से रेखा गुजरती है और \( \vec{b} \) रेखा की दिशा बताता है। कार्तीय रूप में, \( \frac{x-x_1}{a_x} = \frac{y-y_1}{a_y} = \frac{z-z_1}{a_z} \) होता है, जहाँ \( (x_1, y_1, z_1) \) बिंदु है और \( (a_x, a_y, a_z) \) दिशा अनुपात हैं।

 

Question 3. सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश \( 2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k} \) के समान्तर है और बिन्दु (5,-2, 4) से गुजरती है।
Answer:
दिए गए बिंदु का स्थिति सदिश \( \vec{a} = 5\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k} \) है।
रेखा जिस सदिश के समान्तर है (दिशा सदिश), \( \vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k} \) है।
एक रेखा जो बिंदु \( \vec{a} \) से होकर गुजरती है और सदिश \( \vec{b} \) के समान्तर है, उसका सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) होता है, जहाँ \( \lambda \) एक अदिश गुणांक है।

सदिश समीकरण:
\( \vec{r} = (5\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}) + \lambda (2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}) \)
\( \implies \vec{r} = (5+2\lambda)\hat{i} + (-2-\lambda)\hat{j} + (4+3\lambda)\hat{k} \)

कार्तीय समीकरण के लिए, हम \( \vec{r} = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} \) मानते हैं।
\( x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} = (5+2\lambda)\hat{i} + (-2-\lambda)\hat{j} + (4+3\lambda)\hat{k} \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( x = 5+2\lambda \implies \frac{x-5}{2} = \lambda \)
\( y = -2-\lambda \implies \frac{y+2}{-1} = \lambda \)
\( z = 4+3\lambda \implies \frac{z-4}{3} = \lambda \)
अतः, कार्तीय समीकरण है:
\( \frac{x-5}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z-4}{3} \)
In simple words: हमने एक बिंदु और एक दिशा सदिश का उपयोग करके रेखा का समीकरण ज्ञात किया। पहले सदिश रूप में, फिर कार्तीय रूप में। यह दो तरह से रेखा की स्थिति को व्यक्त करने का तरीका है, जो ज्यामिति में उपयोगी है।

🎯 Exam Tip: कार्तीय समीकरण में, अंश में \( (x-x_1), (y-y_1), (z-z_1) \) होते हैं जहाँ \( (x_1, y_1, z_1) \) वह बिंदु है जिससे रेखा गुजरती है। हर में \( (a,b,c) \) दिशा अनुपात होते हैं।

 

Question 4. उस रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2,-1, 1) से गुजरती है तथा रेखा \( \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{7} = \frac{z-2}{-3} \) के समान्तर है।
Answer:
दिए गए बिंदु का स्थिति सदिश \( \vec{a} = 2\hat{i}-1\hat{j}+1\hat{k} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \) है।
रेखा जिस रेखा के समान्तर है, वह है \( \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{7} = \frac{z-2}{-3} \)
समान्तर रेखाओं के दिशा अनुपात समान होते हैं। इसलिए, वांछित रेखा का दिशा सदिश (direction vector) वही होगा जो दी गई रेखा का है।
दी गई रेखा के दिशा अनुपात 2, 7, -3 हैं।
अतः, दिशा सदिश \( \vec{b} = 2\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k} \) होगा।
रेखा का सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) है, जहाँ \( \lambda \) एक अदिश गुणांक है। यह समीकरण अंतरिक्ष में रेखा के हर बिंदु को दर्शाता है।

सदिश समीकरण:
\( \vec{r} = (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + \lambda (2\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}) \)
In simple words: हमने उस रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात किया जो एक दिए गए बिंदु से गुजरती है और एक दूसरी रेखा के समान्तर है। चूंकि रेखाएं समान्तर हैं, हमने दूसरी रेखा के दिशा सदिश का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: जब दो रेखाएँ समान्तर होती हैं, तो उनके दिशा सदिश (या दिशा अनुपात) समान या समानुपातिक होते हैं। इस गुण का उपयोग करके आप एक रेखा का दिशा सदिश आसानी से ज्ञात कर सकते हैं यदि वह किसी अन्य समान्तर रेखा के बारे में दी गई हो।

 

Question 5. उस रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (5,-4,6) से होकर जाती है तथा रेखा \( \frac{x-5}{3} = \frac{y+4}{7} = \frac{z-6}{2} \) के समान्तर है, इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए बिंदु का स्थिति सदिश \( \vec{a} = 5\hat{i}-4\hat{j}+6\hat{k} \) है।
रेखा जिस रेखा के समान्तर है, वह है \( \frac{x-5}{3} = \frac{y+4}{7} = \frac{z-6}{2} \)
चूँकि दो रेखाएँ समान्तर हैं, उनके दिशा अनुपात समान होते हैं।
दी गई रेखा के दिशा अनुपात 3, 7, 2 हैं।
अतः, वांछित रेखा का दिशा सदिश \( \vec{b} = 3\hat{i}+7\hat{j}+2\hat{k} \) होगा।
एक रेखा का सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) होता है, जहाँ \( \lambda \) एक अदिश प्राचल है। यह समीकरण उस रेखा पर मौजूद सभी बिंदुओं की स्थिति को गणितीय रूप में दर्शाता है।

सदिश समीकरण:
\( \vec{r} = (5\hat{i}-4\hat{j}+6\hat{k}) + \lambda (3\hat{i}+7\hat{j}+2\hat{k}) \)
In simple words: हमने एक बिंदु और एक समान्तर रेखा के दिशा सदिश का उपयोग करके नई रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात किया। समान्तर रेखाओं के दिशा सदिश समान होते हैं, जिससे समस्या सरल हो जाती है।

🎯 Exam Tip: जब भी कोई रेखा किसी दूसरी रेखा के समान्तर दी जाती है, तो आप दूसरी रेखा के हर (denominators) से सीधे दिशा अनुपात प्राप्त कर सकते हैं, बशर्ते वह कार्तीय रूप में मानक \( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \) में हो।

 

Question 6. उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो (1,2,3) से जाती है तथा रेखा \( \frac{-x-2}{1} = \frac{y+3}{7} = \frac{2z-6}{3} \) के समान्तर है।
Answer:
दी गई रेखा \( \frac{-x-2}{1} = \frac{y+3}{7} = \frac{2z-6}{3} \) को मानक कार्तीय रूप में बदलने पर:
\( \frac{-(x+2)}{1} = \frac{y+3}{7} = \frac{2(z-3)}{3} \)
\( \implies \frac{x+2}{-1} = \frac{y+3}{7} = \frac{z-3}{3/2} \)
इस रेखा के दिशा अनुपात \( (-1, 7, 3/2) \) हैं। इन्हें 2 से गुणा करके \( (-2, 14, 3) \) भी लिख सकते हैं, जो अधिक सुविधाजनक है।
चूँकि वांछित रेखा दी गई रेखा के समान्तर है, तो उसके दिशा अनुपात भी \( (-2, 14, 3) \) होंगे।
रेखा जिस बिंदु से गुजरती है, वह \( (x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3) \) है।
रेखा का कार्तीय समीकरण होता है: \( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \)
मान रखने पर:
\( \frac{x-1}{-2} = \frac{y-2}{14} = \frac{z-3}{3} \)
In simple words: हमने पहले दी गई रेखा को सही रूप में लिखा ताकि उसके दिशा अनुपात पता चल सकें। क्योंकि नई रेखा पुरानी रेखा के समान्तर थी, हमने उन्हीं दिशा अनुपातों का इस्तेमाल किया। फिर, दिए गए बिंदु और इन दिशा अनुपातों से नई रेखा का कार्तीय समीकरण बनाया।

🎯 Exam Tip: रेखा के कार्तीय समीकरण में \( (x-x_1) \), \( (y-y_1) \), \( (z-z_1) \) होना चाहिए। यदि \( (-x-x_1) \) या \( (2z-z_1) \) जैसा कुछ है, तो अंश को \( -(x+x_1) \) या \( 2(z-z_1/2) \) के रूप में लिखें और हर को तदनुसार समायोजित करें।

 

Question 7. समान्तर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्षों के निर्देशांक A(4, 5, 10), B(2, 3, 4) और C (1,2,- 1) हैं। AB और BC के सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए। D के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहले, हम मूलबिंदु O मान लेते हैं। फिर, A, B, C और D बिंदुओं के स्थिति सदिश लिखते हैं।
बिंदुओं A, B और C के स्थिति सदिश:
\( \vec{a} = 4\hat{i}+5\hat{j}+10\hat{k} \)
\( \vec{b} = 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k} \)
\( \vec{c} = 1\hat{i}+2\hat{j}-1\hat{k} = \hat{i}+2\hat{j}-\hat{k} \)

(i) रेखा AB का समीकरण:
रेखा AB बिंदु A से गुजरती है और \( \vec{AB} = \vec{b}-\vec{a} \) की दिशा में है।
दिशा सदिश \( \vec{b}-\vec{a} = (2-4)\hat{i} + (3-5)\hat{j} + (4-10)\hat{k} = -2\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k} \)

सदिश समीकरण:
\( \vec{r} = \vec{a} + \lambda (\vec{b}-\vec{a}) \)
\( \implies \vec{r} = (4\hat{i}+5\hat{j}+10\hat{k}) + \lambda (-2\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}) \)
\( \implies \vec{r} = (4-2\lambda)\hat{i} + (5-2\lambda)\hat{j} + (10-6\lambda)\hat{k} \)

कार्तीय समीकरण:
\( x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} = (4-2\lambda)\hat{i} + (5-2\lambda)\hat{j} + (10-6\lambda)\hat{k} \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( x = 4-2\lambda \implies \frac{x-4}{-2} = \lambda \)
\( y = 5-2\lambda \implies \frac{y-5}{-2} = \lambda \)
\( z = 10-6\lambda \implies \frac{z-10}{-6} = \lambda \)
अतः, कार्तीय समीकरण है:
\( \frac{x-4}{-2} = \frac{y-5}{-2} = \frac{z-10}{-6} \)
इसे सरल करने पर:
\( \frac{x-4}{1} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-10}{3} \)

(ii) रेखा BC का समीकरण:
रेखा BC बिंदु B से गुजरती है और \( \vec{BC} = \vec{c}-\vec{b} \) की दिशा में है।
दिशा सदिश \( \vec{c}-\vec{b} = (1-2)\hat{i} + (2-3)\hat{j} + (-1-4)\hat{k} = -\hat{i}-\hat{j}-5\hat{k} \)

सदिश समीकरण:
\( \vec{r} = \vec{b} + \mu (\vec{c}-\vec{b}) \)
\( \implies \vec{r} = (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) + \mu (-\hat{i}-\hat{j}-5\hat{k}) \)
\( \implies \vec{r} = (2-\mu)\hat{i} + (3-\mu)\hat{j} + (4-5\mu)\hat{k} \)

कार्तीय समीकरण:
\( x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} = (2-\mu)\hat{i} + (3-\mu)\hat{j} + (4-5\mu)\hat{k} \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
\( x = 2-\mu \implies \frac{x-2}{-1} = \mu \)
\( y = 3-\mu \implies \frac{y-3}{-1} = \mu \)
\( z = 4-5\mu \implies \frac{z-4}{-5} = \mu \)
अतः, कार्तीय समीकरण है:
\( \frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-4}{-5} \)
इसे सरल करने पर:
\( \frac{x-2}{1} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-4}{5} \)

(iii) बिंदु D के निर्देशांक:
माना बिंदु D के निर्देशांक \( (x_1, y_1, z_1) \) हैं। समान्तर चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसका मतलब है कि AC और BD का मध्य-बिंदु समान होगा।

AC का मध्य-बिंदु \( P = \left( \frac{4+1}{2}, \frac{5+2}{2}, \frac{10-1}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{9}{2} \right) \)

BD का मध्य-बिंदु \( Q = \left( \frac{2+x_1}{2}, \frac{3+y_1}{2}, \frac{4+z_1}{2} \right) \)

चूँकि P और Q समान हैं:
\( \frac{2+x_1}{2} = \frac{5}{2} \implies 2+x_1 = 5 \implies x_1 = 3 \)
\( \frac{3+y_1}{2} = \frac{7}{2} \implies 3+y_1 = 7 \implies y_1 = 4 \)
\( \frac{4+z_1}{2} = \frac{9}{2} \implies 4+z_1 = 9 \implies z_1 = 5 \)
अतः, बिंदु D के निर्देशांक \( (3, 4, 5) \) हैं।
In simple words: हमने तीन दिए गए शीर्षों A, B, C का उपयोग करके समान्तर चतुर्भुज ABCD की रेखाओं AB और BC के सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात किए। इसके बाद, हमने समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य-बिंदुओं के गुण का उपयोग करके चौथे शीर्ष D के निर्देशांक निकाले।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज के प्रश्नों में, विकर्णों के मध्य-बिंदु का गुण एक महत्वपूर्ण उपकरण है जिसका उपयोग अज्ञात शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है। रेखा के समीकरणों के लिए, दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का सूत्र \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda (\vec{b}-\vec{a}) \) याद रखें।

 

Question 8. एक रेखा का कार्तीय समीकरण \( 3x+1=6y-2=1-z \) है। वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जहाँ से यह गुजरती है, साथ ही इसके दिक्-अनुपात तथा सदिश समीकरण भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई रेखा का कार्तीय समीकरण है: \( 3x+1=6y-2=1-z \)
मानक कार्तीय रूप \( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \) में बदलने के लिए:
प्रत्येक भाग को उपयुक्त संख्याओं से विभाजित करते हैं:
\( \frac{3x+1}{1} = \frac{6y-2}{1} = \frac{1-z}{1} \)
\( \implies \frac{3(x+1/3)}{1} = \frac{6(y-2/6)}{1} = \frac{-(z-1)}{1} \)
\( \implies \frac{x+1/3}{1/3} = \frac{y-1/3}{1/6} = \frac{z-1}{-1} \)

जिस बिंदु से रेखा गुजरती है, उसके निर्देशांक \( (-1/3, 1/3, 1) \) हैं। यह \( (x_1, y_1, z_1) \) से प्राप्त होता है।
रेखा के दिक्-अनुपात \( (a, b, c) \) हैं, जो हर में दिए गए हैं: \( (1/3, 1/6, -1) \)।
इन दिक्-अनुपातों को सरल करने के लिए, हम इन्हें 6 से गुणा कर सकते हैं (क्योंकि 6, 3 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य है):
\( (1/3 \times 6, 1/6 \times 6, -1 \times 6) = (2, 1, -6) \)
अतः, रेखा के दिक्-अनुपात 2, 1, -6 हैं।

अब, सदिश समीकरण ज्ञात करते हैं:
बिंदु का स्थिति सदिश \( \vec{a} = -\frac{1}{3}\hat{i}+\frac{1}{3}\hat{j}+\hat{k} \)
दिशा सदिश \( \vec{b} = 2\hat{i}+1\hat{j}-6\hat{k} = 2\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k} \)
सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) होता है, जहाँ \( \lambda \) एक अदिश प्राचल है।
\( \vec{r} = \left(-\frac{1}{3}\hat{i}+\frac{1}{3}\hat{j}+\hat{k}\right) + \lambda (2\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k}) \)
In simple words: हमने दिए गए कार्तीय समीकरण को एक मानक रूप में बदला। इससे हमें वह बिंदु मिला जहाँ से रेखा गुजरती है और उसके दिशा अनुपात भी मिल गए। अंत में, हमने इन मानों का उपयोग करके रेखा का सदिश समीकरण बनाया।

🎯 Exam Tip: कार्तीय समीकरण को मानक रूप में बदलने के लिए, अंश को हमेशा \( (x-x_1) \), \( (y-y_1) \), \( (z-z_1) \) के रूप में लिखें। यदि गुणांक हैं, तो उन्हें हर में विभाजित करके समायोजित करें।

 

Question 9. बिन्दु (1, 2, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश \( 3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k} \) के समान्तर हैं।
Answer:
दिए गए बिंदु का स्थिति सदिश \( \vec{a} = 1\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k} \) है।
रेखा जिस सदिश के समान्तर है (दिशा सदिश), \( \vec{b} = 3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k} \) है।
यह दिशा सदिश रेखा की ढलान और अभिविन्यास को परिभाषित करता है।

सदिश समीकरण:
एक रेखा का सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) होता है, जहाँ \( \lambda \) एक अदिश गुणांक है।
\( \vec{r} = (\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) + \lambda (3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}) \)
\( \implies \vec{r} = (1+3\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (3-2\lambda)\hat{k} \)

कार्तीय समीकरण:
दिशा सदिश के घटक \( (3, 2, -2) \) ही रेखा के दिशा अनुपात \( (a,b,c) \) हैं।
गुजरने वाला बिंदु \( (x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3) \) है।
रेखा का कार्तीय समीकरण होता है: \( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \)
मान रखने पर:
\( \frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{-2} \)
In simple words: हमने एक बिंदु और एक दिशा सदिश का उपयोग करके रेखा के सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात किए। सदिश समीकरण में, दिशा सदिश को बिंदु के साथ जोड़ा जाता है, जबकि कार्तीय समीकरण में, दिशा अनुपात हर में होते हैं।

🎯 Exam Tip: यह एक सीधा प्रश्न है जहाँ रेखा के समीकरण के मूल सूत्रों का उपयोग होता है। सुनिश्चित करें कि आप सदिश और कार्तीय दोनों रूपों को सही ढंग से लिखें, क्योंकि अक्सर दोनों पूछे जाते हैं।

 

Question 10. बिन्दु जिसका स्थिति सदिश \( 2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k} \) है, से गुजरने व सदिश \( \hat{i}+2\hat{j}-\hat{k} \) की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई जानकारी के अनुसार:
रेखा जिस बिंदु से गुजरती है, उसका स्थिति सदिश \( \vec{a} = 2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k} \) है।
रेखा की दिशा में सदिश (दिशा सदिश) \( \vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}-\hat{k} \) है।
एक रेखा जो बिंदु \( \vec{a} \) से होकर गुजरती है और सदिश \( \vec{b} \) के समान्तर है, उसका सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) होता है, जहाँ \( \lambda \) एक अदिश प्राचल है।

सदिश समीकरण:
\( \vec{r} = (2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}) + \lambda (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) \)
\( \implies \vec{r} = (2+\lambda)\hat{i} + (-1+2\lambda)\hat{j} + (4-\lambda)\hat{k} \)

कार्तीय समीकरण के लिए, हम \( \vec{r} = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} \) मानते हैं।
\( x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} = (2+\lambda)\hat{i} + (-1+2\lambda)\hat{j} + (4-\lambda)\hat{k} \)
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
\( x = 2+\lambda \implies \frac{x-2}{1} = \lambda \)
\( y = -1+2\lambda \implies \frac{y+1}{2} = \lambda \)
\( z = 4-\lambda \implies \frac{z-4}{-1} = \lambda \)
चूँकि सभी \( \lambda \) के बराबर हैं, तो कार्तीय समीकरण होगा:
\( \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-4}{-1} \)
In simple words: हमने एक बिंदु और एक दिशा सदिश का उपयोग करके रेखा का सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात किया। सदिश रूप रेखा पर सभी बिंदुओं को दर्शाता है, जबकि कार्तीय रूप उनके निर्देशांकों के बीच एक संबंध दिखाता है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि कार्तीय समीकरण लिखते समय हर में दिए गए दिशा अनुपात शून्य न हों। यदि कोई दिशा अनुपात शून्य है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाता है (जैसे \( x-x_1 = 0 \)) और शेष भाग अनुपात में होते हैं।

 

Question 11. उस रेखा का सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (-2, 4, 5) से गुजरती है तथा रेखा \( \frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6} \) के समान्तर है।
Answer:
दिए गए बिंदु का स्थिति सदिश \( \vec{a} = -2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k} \) है।
रेखा जिस रेखा के समान्तर है, वह है \( \frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6} \)
समान्तर रेखाओं के दिशा अनुपात समान होते हैं। इसलिए, वांछित रेखा का दिशा सदिश वही होगा जो दी गई रेखा का है।
दी गई रेखा के दिशा अनुपात 3, 5, 6 हैं।
अतः, दिशा सदिश \( \vec{b} = 3\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k} \) होगा। यह सदिश रेखा की दिशा निर्धारित करता है।

सदिश समीकरण:
रेखा का सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) है, जहाँ \( \lambda \) एक अदिश गुणांक है।
\( \vec{r} = (-2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}) + \lambda (3\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}) \)
\( \implies \vec{r} = (-2+3\lambda)\hat{i} + (4+5\lambda)\hat{j} + (5+6\lambda)\hat{k} \)

कार्तीय समीकरण:
गुजरने वाला बिंदु \( (x_1, y_1, z_1) = (-2, 4, 5) \) है।
दिशा अनुपात \( (a, b, c) = (3, 5, 6) \) हैं।
रेखा का कार्तीय समीकरण होता है: \( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \)
मान रखने पर:
\( \frac{x-(-2)}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z-5}{6} \)
\( \implies \frac{x+2}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z-5}{6} \)
In simple words: हमने एक बिंदु और एक समान्तर रेखा के दिशा सदिश का उपयोग करके नई रेखा के सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात किए। समान्तर रेखाओं के दिशा सदिश समान होते हैं, जो इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने में मदद करते हैं।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि कार्तीय समीकरण लिखते समय अंश में \( x-(-2) \) को \( x+2 \) लिखा जाए। छोटे-मोटे चिह्न की गलतियाँ उत्तर को गलत कर सकती हैं।

 

Question 12. एक रेखा का कार्तीय समीकरण \( \frac{x-5}{3} = \frac{y+4}{7} = \frac{z-6}{2} \) है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई रेखा का कार्तीय समीकरण है: \( \frac{x-5}{3} = \frac{y+4}{7} = \frac{z-6}{2} \)
इस समीकरण की तुलना मानक कार्तीय समीकरण \( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \) से करने पर:
रेखा जिस बिंदु से गुजरती है, उसके निर्देशांक \( (x_1, y_1, z_1) = (5, -4, 6) \) हैं।
अतः, इस बिंदु का स्थिति सदिश \( \vec{a} = 5\hat{i}-4\hat{j}+6\hat{k} \) होगा।

रेखा के दिशा अनुपात \( (a, b, c) = (3, 7, 2) \) हैं।
अतः, दिशा सदिश \( \vec{b} = 3\hat{i}+7\hat{j}+2\hat{k} \) होगा। यह सदिश रेखा के ढलान को दर्शाता है।

एक रेखा का सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) होता है, जहाँ \( \lambda \) एक अदिश प्राचल है।
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \vec{r} = (5\hat{i}-4\hat{j}+6\hat{k}) + \lambda (3\hat{i}+7\hat{j}+2\hat{k}) \)
In simple words: हमने दिए गए कार्तीय समीकरण से गुजरने वाला बिंदु और दिशा सदिश की पहचान की। फिर, इन मानों का उपयोग करके रेखा का सदिश समीकरण बनाया।

🎯 Exam Tip: कार्तीय समीकरण से सदिश समीकरण में बदलते समय, \( x_1, y_1, z_1 \) बिंदु के निर्देशांक होते हैं और \( a, b, c \) दिशा अनुपात होते हैं। सुनिश्चित करें कि \( y+4 \) जैसे पदों को \( y-(-4) \) के रूप में देखा जाए ताकि बिंदु के निर्देशांक सही से प्राप्त हों।

 

Question 13. उस रेखा का सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूलबिन्दु O(0, 0, 0) से होकर जाती है तथा जिसके दिक्-अनुपात 5, -2, 3 हैं।
Answer:
दिए गए बिंदु का स्थिति सदिश (मूलबिंदु) \( \vec{a} = 0\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k} = \vec{0} \) है।
रेखा के दिक्-अनुपात 5, -2, 3 हैं।
अतः, दिशा सदिश \( \vec{b} = 5\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k} \) होगा। यह सदिश रेखा की दिशा को परिभाषित करता है।

सदिश समीकरण:
एक रेखा का सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) होता है, जहाँ \( \lambda \) एक अदिश प्राचल है।
\( \vec{r} = \vec{0} + \lambda (5\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) \)
\( \implies \vec{r} = \lambda (5\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) \)

कार्तीय समीकरण:
गुजरने वाला बिंदु \( (x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0) \) है।
दिशा अनुपात \( (a, b, c) = (5, -2, 3) \) हैं।
रेखा का कार्तीय समीकरण होता है: \( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \)
मान रखने पर:
\( \frac{x-0}{5} = \frac{y-0}{-2} = \frac{z-0}{3} \)
\( \implies \frac{x}{5} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{3} \)
In simple words: हमने मूलबिंदु और दिए गए दिशा अनुपातों का उपयोग करके रेखा का सदिश और कार्तीय समीकरण बनाया। जब रेखा मूलबिंदु से गुजरती है, तो समीकरण सरल हो जाते हैं।

🎯 Exam Tip: यदि कोई रेखा मूलबिंदु से गुजरती है, तो उसके सदिश समीकरण में बिंदु वाला हिस्सा \( \vec{0} \) हो जाता है, और कार्तीय समीकरण में \( x_1, y_1, z_1 \) सभी शून्य हो जाते हैं।

 

Question 14. बिन्दुओं (3, -2, - 5) और (3,-2, 6) से गुजरने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए दो बिंदु हैं: \( A(3, -2, -5) \) और \( B(3, -2, 6) \)
बिंदु A का स्थिति सदिश \( \vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-5\hat{k} \) है।
बिंदु B का स्थिति सदिश \( \vec{b} = 3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k} \) है।

दिशा सदिश \( \vec{AB} = \vec{b}-\vec{a} \) होता है।
\( \vec{AB} = (3-3)\hat{i} + (-2-(-2))\hat{j} + (6-(-5))\hat{k} \)
\( \implies \vec{AB} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 11\hat{k} = 11\hat{k} \)
यह दिशा सदिश रेखा का झुकाव बताता है।

सदिश समीकरण:
एक रेखा जो बिंदु \( \vec{a} \) से गुजरती है और सदिश \( \vec{AB} \) के समान्तर है, उसका समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{AB} \) होता है, जहाँ \( \lambda \) एक अदिश प्राचल है।
\( \vec{r} = (3\hat{i}-2\hat{j}-5\hat{k}) + \lambda (11\hat{k}) \)
\( \implies \vec{r} = 3\hat{i}-2\hat{j} + (-5+11\lambda)\hat{k} \)

कार्तीय समीकरण:
गुजरने वाला बिंदु \( (x_1, y_1, z_1) = (3, -2, -5) \) है।
दिशा अनुपात \( (a, b, c) = (0, 0, 11) \) हैं।
रेखा का कार्तीय समीकरण होता है: \( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \)
मान रखने पर:
\( \frac{x-3}{0} = \frac{y-(-2)}{0} = \frac{z-(-5)}{11} \)
\( \implies \frac{x-3}{0} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+5}{11} \)
In simple words: हमने दो बिंदुओं का उपयोग करके रेखा के सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात किए। पहले, हमने उन दो बिंदुओं के बीच का सदिश निकाला, जो रेखा की दिशा बताता है। फिर, इस दिशा सदिश और एक बिंदु का उपयोग करके दोनों समीकरणों को लिखा।

🎯 Exam Tip: जब दिशा अनुपात में शून्य होते हैं (जैसे \( (0, 0, 11) \)), तो संबंधित \( (x-x_1) \) या \( (y-y_1) \) भाग भी शून्य होते हैं। यह दर्शाता है कि रेखा z-अक्ष के समान्तर है और x-y तल में एक बिंदु पर स्थिर है।

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