RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 14 त्रि विमीयज्यामिति Exercise 14.1

प्रश्न 1. एक रेखा के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशाक्षों के साथ समान कोण बनाती हैं।
Answer: मान लीजिए कि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण \( \theta \) बनाती है। इसलिए, रेखा के दिक्-कोसाइन (direction cosines) \( l, m, n \) होंगे: \( l = \cos \theta \), \( m = \cos \theta \), और \( n = \cos \theta \).
हम जानते हैं कि दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग हमेशा 1 होता है:
\( l^2 + m^2 + n^2 = 1 \)
\( \implies \cos^2 \theta + \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)
\( \implies 3 \cos^2 \theta = 1 \)
\( \implies \cos^2 \theta = \frac{1}{3} \)
\( \implies \cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \)
इसलिए, रेखा के दिक्-कोसाइन \( \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \) हैं। ये दिक्-कोसाइन रेखा की दिशा बताते हैं।
In simple words: यदि एक रेखा सभी अक्षों से एक जैसा कोण बनाती है, तो उसके दिशा कोसाइन बराबर होते हैं। उनके वर्गों का जोड़ 1 होता है, जिससे हमें उनके मान \( \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \) मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी भी रेखा के दिक्-कोसाइन हमेशा \( \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma \) होते हैं, जहाँ \( \alpha, \beta, \gamma \) अक्षों के साथ बनाए गए कोण हैं, और \( \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \) होता है।

प्रश्न 2. दो बिन्दुओं (4, 2, 3) तथा (4, 5, 7) को मिलाने वाली सरल रेखा की दिक्-कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए बिंदु \( P(x_1, y_1, z_1) = (4, 2, 3) \) और \( Q(x_2, y_2, z_2) = (4, 5, 7) \) हैं।
सबसे पहले, हम इन दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी (PQ) ज्ञात करेंगे। दूरी का सूत्र है:
\( PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \)
मान रखने पर:
\( PQ = \sqrt{(4-4)^2 + (5-2)^2 + (7-3)^2} \)
\( \implies PQ = \sqrt{(0)^2 + (3)^2 + (4)^2} \)
\( \implies PQ = \sqrt{0 + 9 + 16} \)
\( \implies PQ = \sqrt{25} \)
\( \implies PQ = 5 \)
अब, रेखा के दिक्-कोसाइन \( \left( \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} \right) \) होंगे:
\( l = \frac{4-4}{5} = \frac{0}{5} = 0 \)
\( m = \frac{5-2}{5} = \frac{3}{5} \)
\( n = \frac{7-3}{5} = \frac{4}{5} \)
तो, दिए गए बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा की दिक्-कोज्याएँ \( 0, \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \) हैं। ये दिक्-कोसाइन दर्शाते हैं कि रेखा अंतरिक्ष में किस दिशा में झुकी हुई है।
In simple words: पहले दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालो। फिर, हर निर्देशांक के अंतर को उस दूरी से भाग दो। इससे तुम्हें रेखा के दिशा कोसाइन मिल जाएंगे।

🎯 Exam Tip: दूरी सूत्र और दिक्-कोसाइन के सूत्रों को सही ढंग से याद रखना महत्वपूर्ण है, खासकर जब ऋण चिह्नों (negative signs) से काम कर रहे हों।

प्रश्न 3. यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात 2, -1, -2 हैं, तो इसकी दिक्-कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए दिक्-अनुपात (direction ratios) हैं: \( a = 2, b = -1, c = -2 \).
दिक्-कोज्याएँ (l, m, n) ज्ञात करने के लिए, हमें पहले \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \) की गणना करनी होगी:
\( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} \)
\( = \sqrt{4 + 1 + 4} \)
\( = \sqrt{9} \)
\( = 3 \)
अब, दिक्-कोज्याएँ इस प्रकार होंगी:
\( l = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{2}{3} \)
\( m = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{-1}{3} \)
\( n = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{-2}{3} \)
इसलिए, रेखा की दिक्-कोज्याएँ \( \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3} \) हैं। दिक्-कोज्याएँ हमेशा एक इकाई सदिश के घटक होते हैं जो रेखा की दिशा में होता है।
In simple words: दिक्-अनुपातों से दिक्-कोज्याएँ निकालने के लिए, पहले सभी दिक्-अनुपातों के वर्गों का जोड़ करके उसका वर्गमूल निकालो। फिर, हर दिक्-अनुपात को इस वर्गमूल से भाग दे दो।

🎯 Exam Tip: दिक्-अनुपात किसी भी संख्या से गुणा होने पर भी रेखा की दिशा समान रहती है, लेकिन दिक्-कोज्याएँ एक विशिष्ट मान होती हैं जो केवल रेखा की दिशा को बताती हैं।

प्रश्न 4. एक सदिश \( \vec {r} \), X, Y तथा Z-अक्षों के साथ क्रमशः 45°, 60°, 120° के कोण बनाता है। यदि सदिश \( \vec {r} \) का परिमाण 2 इकाई है तो \( \vec {r} \) ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि सदिश \( \vec {r} \) निर्देशांक अक्षों के साथ निम्नलिखित कोण बनाता है:
\( \alpha = 45^\circ \), \( \beta = 60^\circ \), \( \gamma = 120^\circ \)
सदिश \( \vec {r} \) का परिमाण (magnitude) \( |\vec {r}| = 2 \) इकाई है।
सबसे पहले, हम दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) ज्ञात करेंगे:
\( \cos \alpha = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \cos \beta = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \cos \gamma = \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \)
अब, इकाई सदिश (unit vector) \( \hat{r} \) जो \( \vec {r} \) की दिशा में है, वह इन दिक्-कोज्याओं से बनाया जा सकता है:
\( \hat{r} = (\cos \alpha) \hat{i} + (\cos \beta) \hat{j} + (\cos \gamma) \hat{k} \)
\( \implies \hat{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} - \frac{1}{2} \hat{k} \)
सदिश \( \vec {r} \) उसके परिमाण और इकाई सदिश के गुणनफल के बराबर होता है:
\( \vec {r} = |\vec {r}| \hat{r} \)
\( \implies \vec {r} = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} - \frac{1}{2} \hat{k} \right) \)
\( \implies \vec {r} = \frac{2}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{2}{2} \hat{j} - \frac{2}{2} \hat{k} \)
\( \implies \vec {r} = \sqrt{2} \hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \)
इस प्रकार, सदिश \( \vec {r} = \sqrt{2} \hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \) है। एक सदिश को उसके परिमाण और दिशा-कोज्याओं का उपयोग करके आसानी से परिभाषित किया जा सकता है।
In simple words: पहले उन कोणों का cos मान निकालो जो सदिश अक्षों के साथ बनाता है। ये उसके दिशा कोसाइन होते हैं। फिर, इन दिशा कोसाइन को इकाई सदिश \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) के साथ जोड़कर इकाई सदिश बनाओ। अंत में, इस इकाई सदिश को सदिश के दिए गए परिमाण से गुणा करो।

🎯 Exam Tip: सदिश को उसके परिमाण और दिशा-कोज्याओं के रूप में लिखने का सूत्र \( \vec{r} = |\vec{r}| (\cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k}) \) याद रखें। कोणों के त्रिकोणमितीय मानों को सटीकता से याद करना भी महत्वपूर्ण है।