RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 14 त्रि विमीयज्यामिति Exercise 14.7

Question 1. निम्न समतलों के मध्य कोण ज्ञात कीजिए
(i) \( \vec{r} \cdot (2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}) = 6 \) तथा \( \vec{r} \cdot (3\vec{i}+6\vec{j}-2\vec{k}) = 9 \)
(ii) \( \vec{r} \cdot (2\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}) = 5 \) तथा \( \vec{r} \cdot (\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}) = 9 \)
(iii) \( \vec{r} \cdot (\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}) = 5 \) तथा \( \vec{r} \cdot (2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}) = 6 \)
Answer:
(i) समतल \( \vec{r} \cdot (2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}) = 6 \) का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n_1} = 2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k} \) है।
समतल \( \vec{r} \cdot (3\vec{i}+6\vec{j}-2\vec{k}) = 9 \) का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n_2} = 3\vec{i}+6\vec{j}-2\vec{k} \) है।
दोनों समतलों के बीच का कोण \( \theta \) ज्ञात करने के लिए:
\( \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \)

\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(3) + (-1)(6) + (2)(-2) = 6 - 6 - 4 = -4 \)

\( |\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3 \)

\( |\vec{n_2}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9+36+4} = \sqrt{49} = 7 \)

\( \cos \theta = \frac{-4}{3 \times 7} = \frac{-4}{21} \)

\( \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-4}{21}\right) \)

(ii) समतल \( \vec{r} \cdot (2\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}) = 5 \) का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n_1} = 2\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k} \) है।
समतल \( \vec{r} \cdot (\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}) = 9 \) का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n_2} = \vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k} \) है।
दोनों समतलों के बीच का कोण \( \theta \) ज्ञात करने के लिए:
\( \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \)

\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (3)(-2) + (-6)(2) = 2 - 6 - 12 = -16 \)

\( |\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7 \)

\( |\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3 \)

\( \cos \theta = \frac{-16}{7 \times 3} = \frac{-16}{21} \)

\( \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-16}{21}\right) \)

(iii) समतल \( \vec{r} \cdot (\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}) = 5 \) का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n_1} = \vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} \) है।
समतल \( \vec{r} \cdot (2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}) = 6 \) का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n_2} = 2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k} \) है।
दोनों समतलों के बीच का कोण \( \theta \) ज्ञात करने के लिए:
\( \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \)

\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (1)(-1) + (2)(2) = 2 - 1 + 4 = 5 \)

\( |\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6} \)

\( |\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3 \)

\( \cos \theta = \frac{5}{\sqrt{6} \times 3} = \frac{5}{3\sqrt{6}} \)

\( \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{3\sqrt{6}}\right) \)
In simple words: दो समतलों के बीच का कोण निकालने के लिए, पहले उनके अभिलम्ब सदिश (normal vectors) निकालें. फिर इन सदिशों के डॉट प्रोडक्ट (dot product) को उनकी लम्बाई (magnitude) के गुणनफल से भाग दें. यही कोण का कोसाइन (cosine) होगा.

🎯 Exam Tip: ध्यान रखें कि दो समतलों के बीच का कोण हमेशा उनके अभिलम्ब सदिशों के बीच के कोण के बराबर या संपूरक (supplementary) होता है। यदि सूत्र में ऋणात्मक मान आता है, तो वह अधिक कोण (obtuse angle) दर्शाता है।

Question 2. (ii) \( 2x - y + z = 4 \) तथा \( x + y + 2z = 3 \) में
Answer: समतल \( 2x - y + z = 4 \) का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n_1} = 2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} \) है।
समतल \( x + y + 2z = 3 \) का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n_2} = \vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} \) है।
इन समतलों के बीच का कोण \( \theta \) इस प्रकार है:
\( \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \)

\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3 \)

\( |\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6} \)

\( |\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6} \)

\( \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

\( \implies \cos \theta = \cos 60^\circ \)

\( \implies \theta = 60^\circ \) या \( \frac{\pi}{3} \) रेडियन
In simple words: दिए गए दो समतलों के लिए, उनके अभिलम्ब सदिशों के बीच का कोण \( 60^\circ \) है. यह कोण उनकी दिशाओं के बीच का संबंध दिखाता है.

🎯 Exam Tip: कार्तीय रूप (Cartesian form) में दिए गए समतलों के लिए अभिलम्ब सदिश \( Ax+By+Cz=D \) से सीधे \( A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k} \) के रूप में निकालें।

Question 3. (iii) \( x + y - 2z = 3 \) तथा \( 2x - 2y + z = 5 \) में
Answer: समतल \( x + y - 2z = 3 \) का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n_1} = \vec{i}+\vec{j}-2\vec{k} \) है।
समतल \( 2x - 2y + z = 5 \) का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n_2} = 2\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k} \) है।
इन समतलों के बीच का कोण \( \theta \) इस प्रकार है:
\( \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \)

\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (1)(-2) + (-2)(1) = 2 - 2 - 2 = -2 \)

\( |\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6} \)

\( |\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3 \)

\( \cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{6} \times 3} = \frac{-2}{3\sqrt{6}} \)

\( \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-2}{3\sqrt{6}}\right) \)
In simple words: इन समतलों के अभिलम्ब सदिशों के बीच का कोण \( \theta \) है, जिसे \( \cos^{-1}\left(\frac{-2}{3\sqrt{6}}\right) \) से दर्शाया गया है. यह दर्शाता है कि समतल एक दूसरे के सापेक्ष किस कोण पर स्थित हैं.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप कार्तीय निर्देशांकों से सदिशों को सही ढंग से निकालते हैं, खासकर जब नकारात्मक चिन्ह हों।

Question 4. (ii) \( \vec{r} \cdot (2\vec{i} – \vec{j} + \vec{k}) = 4 \) ओर \( \vec{r} \cdot ( - \vec{i} – \vec{j} + \vec{k}) = 3 \)
Answer: समतल \( \vec{r} \cdot (2\vec{i} – \vec{j} + \vec{k}) = 4 \) का अभिलम्ब सदिश \( \vec{m_1} = 2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} \) है।
समतल \( \vec{r} \cdot ( - \vec{i} – \vec{j} + \vec{k}) = 3 \) का अभिलम्ब सदिश \( \vec{m_2} = -\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} \) है।
दो समतल परस्पर लम्बवत् होते हैं यदि उनके अभिलम्ब सदिशों का डॉट प्रोडक्ट शून्य हो, अर्थात \( \vec{m_1} \cdot \vec{m_2} = 0 \)।
यहाँ, \( \vec{m_1} \cdot \vec{m_2} = (2)(-1) + (-1)(-1) + (1)(1) = -2 + 1 + 1 = 0 \)
चूंकि \( \vec{m_1} \cdot \vec{m_2} = 0 \), अतः दिए गए समतल परस्पर लम्बवत् हैं।
In simple words: दो समतल तभी एक-दूसरे के लम्बवत् होते हैं जब उनके अभिलम्ब सदिशों का आपस में गुणा (डॉट प्रोडक्ट) करने पर शून्य आता है. इस सवाल में, गुणा शून्य आया, इसलिए समतल लम्बवत् हैं.

🎯 Exam Tip: लम्बवत् स्थिति के लिए हमेशा \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \) की शर्त को याद रखें और लागू करें। यह एक महत्वपूर्ण शर्त है।

Question 5. प्रश्न 4. यदि निम्न समतल परस्पर लम्बवत हो, तो \( \lambda \) का मान ज्ञात कीजिए
Answer:
(i) दिए गए समतल \( \vec{r} \cdot (2\vec{i} – \vec{j} + \lambda \vec{k}) \) और \( \vec{r} \cdot (3\vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k}) = 4 \) हैं।
इनके अभिलम्ब सदिश हैं: \( \vec{n_1} = 2\vec{i} – \vec{j} + \lambda \vec{k} \) तथा \( \vec{n_2} = 3\vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k} \)।
चूँकि समतल परस्पर लम्बवत् हैं, इसलिए उनके अभिलम्ब सदिशों का डॉट प्रोडक्ट शून्य होगा:
\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \)

\( \implies (2)(3) + (-1)(2) + (\lambda)(2) = 0 \)

\( \implies 6 - 2 + 2\lambda = 0 \)

\( \implies 4 + 2\lambda = 0 \)

\( \implies 2\lambda = -4 \)

\( \implies \lambda = -2 \)

(ii) दिए गए समतल \( 2x - 4y + 3z = 5 \) तथा \( x + 2y + z = 5 \) हैं।
इनके अभिलम्ब सदिश हैं: \( \vec{n_1} = 2\vec{i} - 4\vec{j} + 3\vec{k} \) तथा \( \vec{n_2} = \vec{i} + 2\vec{j} + \lambda \vec{k} \)। (यहाँ \( c_2 = \lambda \) मान लिया गया है, जैसा कि गणना में दर्शाया गया है)
चूँकि समतल परस्पर लम्बवत् हैं, इसलिए उनके अभिलम्ब सदिशों का डॉट प्रोडक्ट शून्य होगा:
\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \)

\( \implies (2)(1) + (-4)(2) + (3)(\lambda) = 0 \)

\( \implies 2 - 8 + 3\lambda = 0 \)

\( \implies -6 + 3\lambda = 0 \)

\( \implies 3\lambda = 6 \)

\( \implies \lambda = 2 \)
In simple words: जब दो समतल एक दूसरे के लम्बवत् होते हैं, तो उनके अभिलम्ब सदिशों का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) हमेशा शून्य होता है. इसी नियम का उपयोग करके हम \( \lambda \) का मान ज्ञात करते हैं, जिससे यह शर्त पूरी हो सके.

🎯 Exam Tip: कार्तीय रूप में, दो समतल \( A_1x+B_1y+C_1z=D_1 \) और \( A_2x+B_2y+C_2z=D_2 \) लम्बवत् होते हैं यदि \( A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0 \)।

Question 6. प्रश्न 5. रेखा \( \frac{x+1}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{4} \) और समतल \( 2x + y - 3z + 4 = 0 \) के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखा है \( \frac{x+1}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{4} \)।
रेखा का दिशा सदिश \( \vec{b} = 3\vec{i} + 2\vec{j} + 4\vec{k} \) है।
दिया गया समतल है \( 2x + y - 3z + 4 = 0 \)।
समतल का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n} = 2\vec{i} + \vec{j} - 3\vec{k} \) है।
यदि समतल और सरल रेखा के बीच का कोण \( \theta \) हो, तो सूत्र इस प्रकार है:
\( \sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{b}|}{|\vec{n}| |\vec{b}|} \)

\( \vec{n} \cdot \vec{b} = (2)(3) + (1)(2) + (-3)(4) = 6 + 2 - 12 = -4 \)

\( |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14} \)

\( |\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{9+4+16} = \sqrt{29} \)

\( \sin \theta = \frac{|-4|}{\sqrt{14} \times \sqrt{29}} = \frac{4}{\sqrt{406}} \)

\( \implies \theta = \sin^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{406}}\right) \)
In simple words: एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण निकालने के लिए, रेखा की दिशा के सदिश और समतल के अभिलम्ब सदिश का उपयोग करते हैं. उनके डॉट प्रोडक्ट को उनकी लम्बाई के गुणनफल से भाग देने पर कोण का साइन मान मिलता है.

🎯 Exam Tip: रेखा और समतल के बीच कोण के लिए \( \sin \theta \) सूत्र का उपयोग करें, न कि \( \cos \theta \) का, क्योंकि अभिलम्ब सदिश और रेखा के बीच का कोण \( 90^\circ - \theta \) होता है।

Question 7. प्रश्न 6. रेखा \( \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-3}{2} \) और समतल \( 3x + 4y + z + 5 = 0 \) के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखा है \( \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-3}{2} \)।
रेखा का दिशा सदिश \( \vec{b} = 3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k} \) है।
दिया गया समतल है \( 3x + 4y + z + 5 = 0 \)।
समतल का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k} \) है।
यदि समतल और सरल रेखा के बीच का कोण \( \theta \) हो, तो सूत्र इस प्रकार है:
\( \sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{b}|}{|\vec{n}| |\vec{b}|} \)

\( \vec{n} \cdot \vec{b} = (3)(3) + (4)(-1) + (1)(2) = 9 - 4 + 2 = 7 \)

\( |\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{9+16+1} = \sqrt{26} \)

\( |\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14} \)

\( \sin \theta = \frac{7}{\sqrt{26} \times \sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{364}} \)

\( \implies \theta = \sin^{-1}\left(\frac{7}{\sqrt{364}}\right) \)
In simple words: रेखा और समतल के बीच का कोण \( \theta \) है, जिसे \( \sin^{-1}\left(\frac{7}{\sqrt{364}}\right) \) के रूप में व्यक्त किया गया है. यह रेखा और समतल के स्थानिक संबंध को दर्शाता है.

🎯 Exam Tip: गणना में \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \) गुणधर्म का उपयोग करके वर्गमूलों को गुणा करना सरल होता है।

Question 8. प्रश्न 7. रेखा \( \vec{r} = (\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}) + \lambda(\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}) \) और समतल \( \vec{r} \cdot (2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}) = 4 \) के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखा है \( \vec{r} = (\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}) + \lambda(\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}) \)।
रेखा का दिशा सदिश \( \vec{b} = \vec{i}-\vec{j}+\vec{k} \) है।
दिया गया समतल है \( \vec{r} \cdot (2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}) = 4 \)।
समतल का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n} = 2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} \) है।
यदि रेखा और समतल के बीच का कोण \( \theta \) हो, तो सूत्र इस प्रकार है:
\( \sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{b}|}{|\vec{n}| |\vec{b}|} \)

\( \vec{n} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (-1)(-1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4 \)

\( |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6} \)

\( |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3} \)

\( \sin \theta = \frac{4}{\sqrt{6} \times \sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} \)

\( \implies \sin \theta = \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)

\( \implies \theta = \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \)
In simple words: रेखा और समतल के बीच का कोण \( \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \) है. यह मान रेखा की दिशा और समतल के अभिलम्ब के सापेक्ष स्थिति को दर्शाता है.

🎯 Exam Tip: सदिश रूप में रेखा \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) से दिशा सदिश \( \vec{b} \) और समतल \( \vec{r} \cdot \vec{n} = d \) से अभिलम्ब सदिश \( \vec{n} \) को सीधे पहचानें।

Question 9. प्रश्न 8. रेखा \( \vec{r} = (2\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}) + \lambda(\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}) \) और समतल \( \vec{r} \cdot (2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}) = 4 \) के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखा है \( \vec{r} = (2\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}) + \lambda(\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}) \)।
रेखा का दिशा सदिश \( \vec{b} = \vec{i}+2\vec{j}-\vec{k} \) है।
दिया गया समतल है \( \vec{r} \cdot (2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}) = 4 \)।
समतल का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n} = 2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} \) है।
यदि रेखा और समतल के बीच का कोण \( \theta \) हो, तो सूत्र इस प्रकार है:
\( \sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{b}|}{|\vec{n}| |\vec{b}|} \)

\( \vec{n} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (-1)(2) + (1)(-1) = 2 - 2 - 1 = -1 \)

\( |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6} \)

\( |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6} \)

\( \sin \theta = \frac{|-1|}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{1}{6} \)

\( \implies \theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{6}\right) \)
In simple words: रेखा और समतल के बीच का कोण \( \sin^{-1}\left(\frac{1}{6}\right) \) है. यह कोण दोनों के बीच के झुकाव को दर्शाता है, जहाँ रेखा और समतल एक-दूसरे को काटते हैं.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप \( |\vec{n} \cdot \vec{b}| \) में निरपेक्ष मान (absolute value) का उपयोग करें ताकि परिणाम एक तीव्र कोण (acute angle) हो, जो कि रेखा और समतल के बीच का सामान्य कोण है।

Question 10. प्रश्न 9. यदि रेखा \( \vec{r} =(\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k})+\lambda(2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}) \) समतल \( \vec{r} \cdot (3\vec{i}-2\vec{j}+m\vec{k}) =3 \) के समान्तर हो तो m का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखा है \( \vec{r} =(\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k})+\lambda(2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}) \)।
रेखा का दिशा सदिश \( \vec{b} = 2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} \) है।
दिया गया समतल है \( \vec{r} \cdot (3\vec{i}-2\vec{j}+m\vec{k}) =3 \)।
समतल का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n} = 3\vec{i}-2\vec{j}+m\vec{k} \) है।
यदि रेखा समतल के समान्तर हो, तो रेखा का दिशा सदिश समतल के अभिलम्ब सदिश के लम्बवत् होगा, अर्थात \( \vec{b} \cdot \vec{n} = 0 \)।
\( (2)(3) + (1)(-2) + (2)(m) = 0 \)

\( \implies 6 - 2 + 2m = 0 \)

\( \implies 4 + 2m = 0 \)

\( \implies 2m = -4 \)

\( \implies m = -2 \)
In simple words: जब एक रेखा एक समतल के समान्तर होती है, तो उस रेखा की दिशा का सदिश और समतल का अभिलम्ब सदिश एक दूसरे के लम्बवत् होते हैं. इसका मतलब है कि उनका डॉट प्रोडक्ट शून्य होना चाहिए, जिससे हमें \( m \) का मान मिलता है.

🎯 Exam Tip: रेखा और समतल के समान्तर होने की स्थिति में \( \vec{b} \cdot \vec{n} = 0 \) का प्रयोग करें, जहाँ \( \vec{b} \) रेखा का दिशा सदिश है और \( \vec{n} \) समतल का अभिलम्ब सदिश है।

Question 11. प्रश्न 10. यदि रेखा \( \vec{r} = \vec{i} + \lambda(2\vec{i}-m\vec{j}-3\vec{k}) \) समतल \( \vec{r} \cdot (m\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}) = 4 \) के समान्तर हो तो m का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखा है \( \vec{r} = \vec{i} + \lambda(2\vec{i}-m\vec{j}-3\vec{k}) \)।
रेखा का दिशा सदिश \( \vec{b} = 2\vec{i}-m\vec{j}-3\vec{k} \) है।
दिया गया समतल है \( \vec{r} \cdot (m\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}) = 4 \)।
समतल का अभिलम्ब सदिश \( \vec{n} = m\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k} \) है।
यदि रेखा समतल के समान्तर हो, तो रेखा का दिशा सदिश समतल के अभिलम्ब सदिश के लम्बवत् होगा, अर्थात \( \vec{b} \cdot \vec{n} = 0 \)।
\( (2)(m) + (-m)(3) + (-3)(1) = 0 \)

\( \implies 2m - 3m - 3 = 0 \)

\( \implies -m - 3 = 0 \)

\( \implies -m = 3 \)

\( \implies m = -3 \)
In simple words: रेखा और समतल को समान्तर होने के लिए, रेखा की दिशा और समतल के अभिलम्ब सदिश एक-दूसरे के लम्बवत् होने चाहिए, जिसका अर्थ है कि उनका डॉट प्रोडक्ट शून्य होगा. इस नियम से हम अज्ञात मान \( m \) को पाते हैं.

🎯 Exam Tip: रेखा के दिशा सदिश और समतल के अभिलम्ब सदिश के गुणांकों को सही ढंग से पहचानना इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।