RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Exercise 13.4

प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए कि
(i) \( [i \ j \ k]+[i \ k \ j]=0 \)
(ii) \( [2i \ j \ k]+[i \ k \ j]+[k \ j \ 2i]=-1 \)
Answer:
(i) हमें \( [i \ j \ k]+[i \ k \ j] = 0 \) सिद्ध करना है।
बायाँ पक्ष (L.H.S.): \( [i \ j \ k]+[i \ k \ j] \)
हम जानते हैं कि \( [a \ b \ c] = a \cdot (b \times c) \).
तो, \( [i \ j \ k] = i \cdot (j \times k) = i \cdot i = 1 \)
और, \( [i \ k \ j] = i \cdot (k \times j) = i \cdot (-i) = -1 \)
अब, L.H.S. \( = 1 + (-1) = 1-1 = 0 \)
इसलिए, \( [i \ j \ k]+[i \ k \ j] = 0 \). यह दाएँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है, जो हमें सिद्ध करना था।
(ii) हमें \( [2i \ j \ k]+[i \ k \ j]+[k \ j \ 2i]=-1 \) सिद्ध करना है।
बायाँ पक्ष (L.H.S.): \( [2i \ j \ k]+[i \ k \ j]+[k \ j \ 2i] \)
पहले प्रत्येक पद का मान निकालते हैं:
\( [2i \ j \ k] = 2i \cdot (j \times k) = 2i \cdot i = 2(1) = 2 \)
\( [i \ k \ j] = i \cdot (k \times j) = i \cdot (-i) = -1 \)
\( [k \ j \ 2i] = k \cdot (j \times 2i) = k \cdot (2(j \times i)) = k \cdot (2(-k)) = k \cdot (-2k) = -2 \)
अब, L.H.S. \( = 2 + (-1) + (-2) = 2 - 1 - 2 = -1 \)
यह दाएँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है, जो हमें सिद्ध करना था।
In simple words: हमने बॉक्स प्रोडक्ट के नियमों का उपयोग करके दोनों भागों को सिद्ध किया है। बॉक्स प्रोडक्ट तीन सदिशों का अदिश त्रिगुणफल होता है। सदिशों को सही क्रम में रखकर और उनका क्रॉस और डॉट प्रोडक्ट लेकर, हमने दिखाए गए परिणाम प्राप्त किए।

🎯 Exam Tip: बॉक्स प्रोडक्ट की साइक्लिक प्रॉपर्टी \( [a \ b \ c] = [b \ c \ a] = [c \ a \ b] \) और एंटी-साइक्लिक प्रॉपर्टी \( [a \ b \ c] = -[a \ c \ b] \) को याद रखना ऐसे सवालों को हल करने में मदद करता है।

प्रश्न 2. यदि \( \vec{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k} \), \( \vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k} \) तथा \( \vec{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k} \) हो तो \( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए सदिश हैं:
\( \vec{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k} \)
\( \vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k} \)
\( \vec{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k} \)
अदिश त्रिगुणफल (बॉक्स प्रोडक्ट) \( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] \) को इन सदिशों के गुणांकों के सारणिक (determinant) के रूप में ज्ञात किया जा सकता है। यह तीन सदिशों द्वारा बनने वाले समानांतर षट्फलक का आयतन भी दर्शाता है।
\( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} \)
सारणिक का मान ज्ञात करते हैं:
\( = 2( (2)(2) - (-1)(-1) ) - (-3)( (1)(2) - (-1)(3) ) + 4( (1)(-1) - (2)(3) ) \)
\( = 2(4-1) + 3(2+3) + 4(-1-6) \)
\( = 2(3) + 3(5) + 4(-7) \)
\( = 6 + 15 - 28 \)
\( = 21 - 28 \)
\( = -7 \)
अतः, \( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = -7 \).
In simple words: हमने दिए गए तीन सदिशों के गुणांकों का उपयोग करके एक सारणिक बनाया। फिर, हमने उस सारणिक को हल किया ताकि तीन सदिशों के बॉक्स प्रोडक्ट का मान मिल सके। यह मान बताता है कि उन सदिशों से बनने वाले समानांतर षट्फलक का आयतन कितना है, लेकिन आयतन हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए हम इसके निरपेक्ष मान का उपयोग करते हैं।

🎯 Exam Tip: अदिश त्रिगुणफल \( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] \) का मान ऋणात्मक आ सकता है, लेकिन यदि यह आयतन को दर्शाता है, तो हमें उसके निरपेक्ष मान \( |[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}]| \) पर विचार करना चाहिए।

प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए कि सदिश \( -2\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k} \), \( -2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k} \) तथा \( 4\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k} \) समतलीय है।
Answer:
दिए गए सदिशों को \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) मान लेते हैं:
\( \vec{a} = -2\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k} \)
\( \vec{b} = -2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k} \)
\( \vec{c} = 4\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k} \)
तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिगुणफल (बॉक्स प्रोडक्ट) शून्य हो, यानी \( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0 \).
हम सारणिक का मान ज्ञात करेंगे:
\( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = \begin{vmatrix} -2 & -2 & 4 \\ -2 & 4 & -2 \\ 4 & -2 & -2 \end{vmatrix} \)
सारणिक का मान ज्ञात करते हैं:
\( = -2( (4)(-2) - (-2)(-2) ) - (-2)( (-2)(-2) - (-2)(4) ) + 4( (-2)(-2) - (4)(4) ) \)
\( = -2(-8-4) + 2(4+8) + 4(4-16) \)
\( = -2(-12) + 2(12) + 4(-12) \)
\( = 24 + 24 - 48 \)
\( = 48 - 48 \)
\( = 0 \)
चूंकि \( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0 \) है, अतः दिए गए तीनों सदिश समतलीय हैं। समतलीय होने का अर्थ है कि वे एक ही तल में स्थित हैं।
In simple words: तीन सदिशों को समतलीय कहा जाता है अगर वे सभी एक ही समतल में हों। गणित में, इसका मतलब है कि उनके अदिश त्रिगुणफल का मान शून्य होना चाहिए। हमने सदिशों के गुणांकों का उपयोग करके एक सारणिक बनाया और दिखाया कि इसका मान शून्य है, जिससे सिद्ध होता है कि वे समतलीय हैं।

🎯 Exam Tip: यदि सदिशों का बॉक्स प्रोडक्ट शून्य आता है, तो वे समतलीय होते हैं। यदि यह एक बिंदु से होकर जाने वाले चार बिंदुओं के लिए कहा गया है, तो उन बिंदुओं से बनने वाले तीन सदिशों का बॉक्स प्रोडक्ट शून्य होना चाहिए।

प्रश्न 4. \( \lambda \) के किस मान के लिये, निम्म्रलिखित सदिश समतलीय होंगे
(i) \( \vec{a} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \), \( \vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k} \) तथा \( \vec{c}=3\hat{i}+\lambda\hat{j}+5\hat{k} \)
(ii) \( \vec{a} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \), \( \vec{b} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \) तथा \( \vec{c}=\lambda\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k} \)
Answer:
(i) दिए गए सदिश हैं:
\( \vec{a} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \)
\( \vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k} \)
\( \vec{c} = 3\hat{i}+\lambda\hat{j}+5\hat{k} \)
सदिश समतलीय होंगे यदि उनका अदिश त्रिगुणफल शून्य हो, यानी \( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0 \).
\( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0 \)
सारणिक का मान ज्ञात करते हैं:
\( 2( (2)(5) - (-3)(\lambda) ) - (-1)( (1)(5) - (-3)(3) ) + 1( (1)(\lambda) - (2)(3) ) = 0 \)
\( 2(10+3\lambda) + 1(5+9) + 1(\lambda-6) = 0 \)
\( 20+6\lambda + 14+\lambda-6 = 0 \)
\( 7\lambda + 28 = 0 \)
\( 7\lambda = -28 \)
\( \lambda = -4 \)
अतः, \( \lambda = -4 \) के लिए दिए गए सदिश समतलीय होंगे।

(ii) दिए गए सदिश हैं:
\( \vec{a} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \)
\( \vec{b} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \)
\( \vec{c} = \lambda\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k} \)
सदिश समतलीय होंगे यदि उनका अदिश त्रिगुणफल शून्य हो, यानी \( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0 \).
\( [\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ \lambda & -1 & \lambda \end{vmatrix} = 0 \)
सारणिक का मान ज्ञात करते हैं:
\( 1( (1)(\lambda) - (-1)(-1) ) - (-1)( (2)(\lambda) - (-1)(\lambda) ) + 1( (2)(-1) - (1)(\lambda) ) = 0 \)
\( 1(\lambda-1) + 1(2\lambda+\lambda) + 1(-2-\lambda) = 0 \)
\( \lambda-1 + 3\lambda - 2 - \lambda = 0 \)
\( 3\lambda - 3 = 0 \)
\( 3\lambda = 3 \)
\( \lambda = 1 \)
अतः, \( \lambda = 1 \) के लिए दिए गए सदिश समतलीय होंगे।
In simple words: हमने प्रत्येक भाग में सदिशों के अदिश त्रिगुणफल को शून्य के बराबर सेट किया है क्योंकि समतलीय होने की शर्त यही है। फिर, हमने \( \lambda \) का मान निकालने के लिए सारणिक को हल किया। यह मान बताता है कि \( \lambda \) के किस विशेष मान पर सदिश एक ही तल में रहेंगे।

🎯 Exam Tip: \( \lambda \) के मान वाले प्रश्नों में गणना करते समय संकेतों (signs) का ध्यान रखें, खासकर जब नकारात्मक संख्याओं से गुणा किया जाता है। एक छोटी सी गलती पूरे उत्तर को गलत कर सकती है।

प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित चारों बिन्दु उत्तर समतलीय है।
Answer:
(i) दिए गए चार बिंदु हैं। हम इन्हें A, B, C, D मान लेते हैं और उनके स्थिति सदिशों को \( \vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}, \vec{OD} \) से दर्शाते हैं।
मान लीजिए स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
\( \vec{OA} = \hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k} \)
\( \vec{OB} = 3\hat{i}+2\hat{j}-5\hat{k} \)
\( \vec{OC} = -3\hat{i}+8\hat{j}-5\hat{k} \)
\( \vec{OD} = -3\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k} \)
चार बिंदु समतलीय होते हैं यदि उनमें से किन्हीं एक बिंदु से बनने वाले तीन सदिश समतलीय हों। हम सदिश \( \vec{BA}, \vec{BC}, \vec{BD} \) बनाते हैं और दिखाते हैं कि वे समतलीय हैं।
\( \vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = (\hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}) - (3\hat{i}+2\hat{j}-5\hat{k}) \)
\( \vec{BA} = (1-3)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (-3-(-5))\hat{k} = -2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k} \)

\( \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (-3\hat{i}+8\hat{j}-5\hat{k}) - (3\hat{i}+2\hat{j}-5\hat{k}) \)
\( \vec{BC} = (-3-3)\hat{i} + (8-2)\hat{j} + (-5-(-5))\hat{k} = -6\hat{i}+6\hat{j}+0\hat{k} \)

\( \vec{BD} = \vec{OD} - \vec{OB} = (-3\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) - (3\hat{i}+2\hat{j}-5\hat{k}) \)
\( \vec{BD} = (-3-3)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (1-(-5))\hat{k} = -6\hat{i}+0\hat{j}+6\hat{k} \)
अब, हमें यह जांचना है कि सदिश \( \vec{BA}, \vec{BC}, \vec{BD} \) समतलीय हैं या नहीं। इसके लिए, हम उनका अदिश त्रिगुणफल \( [\vec{BA} \ \vec{BC} \ \vec{BD}] \) ज्ञात करते हैं। यदि यह शून्य हो, तो सदिश समतलीय हैं, और इसलिए बिंदु भी समतलीय हैं।
\( [\vec{BA} \ \vec{BC} \ \vec{BD}] = \begin{vmatrix} -2 & 2 & 2 \\ -6 & 6 & 0 \\ -6 & 0 & 6 \end{vmatrix} \)
सारणिक का मान ज्ञात करते हैं:
\( = -2( (6)(6) - (0)(0) ) - 2( (-6)(6) - (0)(-6) ) + 2( (-6)(0) - (6)(-6) ) \)
\( = -2(36) - 2(-36) + 2(36) \)
\( = -72 + 72 + 72 \)
\( = 72 \)
यहाँ, सारणिक का मान \( 72 \) है, जो शून्य के बराबर नहीं है। इसका मतलब है कि दिए गए बिंदु समतलीय नहीं हैं। स्रोत सामग्री में उत्तर के लिए "0" दिखाया गया है, जो एक विसंगति है। गणना के आधार पर, वे समतलीय नहीं हैं।
(ii) दिए गए बिंदु A(0, -1, 0), B(2, 1, -1), C(1, 1, 1) तथा D(3, 3, 0) हैं।
इन बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं:
\( \vec{OA} = 0\hat{i}-\hat{j}+0\hat{k} = -\hat{j} \)
\( \vec{OB} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \)
\( \vec{OC} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k} \)
\( \vec{OD} = 3\hat{i}+3\hat{j}+0\hat{k} = 3\hat{i}+3\hat{j} \)
एक बिंदु से बनने वाले तीन सदिशों को लेते हैं, जैसे \( \vec{BA}, \vec{BC}, \vec{BD} \).
\( \vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = (-\hat{j}) - (2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = -2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k} \)

\( \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - (2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = (1-2)\hat{i}+(1-1)\hat{j}+(1-(-1))\hat{k} = -\hat{i}+0\hat{j}+2\hat{k} \)

\( \vec{BD} = \vec{OD} - \vec{OB} = (3\hat{i}+3\hat{j}) - (2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = (3-2)\hat{i}+(3-1)\hat{j}+(0-(-1))\hat{k} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k} \)
अब, हम सदिश \( \vec{BA}, \vec{BC}, \vec{BD} \) का अदिश त्रिगुणफल ज्ञात करते हैं।
\( [\vec{BA} \ \vec{BC} \ \vec{BD}] = \begin{vmatrix} -2 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} \)
सारणिक का मान ज्ञात करते हैं:
\( = -2( (0)(1) - (2)(2) ) - (-2)( (-1)(1) - (2)(1) ) + 1( (-1)(2) - (0)(1) ) \)
\( = -2(0-4) + 2(-1-2) + 1(-2-0) \)
\( = -2(-4) + 2(-3) + 1(-2) \)
\( = 8 - 6 - 2 \)
\( = 0 \)
चूंकि \( [\vec{BA} \ \vec{BC} \ \vec{BD}] = 0 \) है, अतः दिए गए चार बिंदु समतलीय हैं।
In simple words: चार बिंदुओं को समतलीय कहा जाता है यदि उनमें से किसी एक बिंदु से बनाए गए तीन सदिश (जैसे \( \vec{BA}, \vec{BC}, \vec{BD} \)) एक ही तल में स्थित हों। यह जांचने के लिए कि वे समतलीय हैं, हमने इन तीन सदिशों का बॉक्स प्रोडक्ट निकाला है। यदि बॉक्स प्रोडक्ट का मान शून्य आता है, तो वे समतलीय होते हैं।

🎯 Exam Tip: चार बिंदुओं की समतलीयता सिद्ध करने के लिए, किसी एक बिंदु को मूल बिंदु मानकर उससे अन्य तीन बिंदुओं तक सदिश बनाएं और उनका अदिश त्रिगुणफल ज्ञात करें। यदि यह शून्य आता है, तो बिंदु समतलीय हैं।

प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए कि \( \vec{a}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \), \( \vec{b} = \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k} \) तथा \( \vec{c}=3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k} \) एक समकोण त्रिभुज की सदिश भुजाएं हैं।
Answer:
दिए गए सदिश हैं:
\( \vec{a}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \)
\( \vec{b}=\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k} \)
\( \vec{c}=3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k} \)
एक त्रिभुज की भुजाएँ होने के लिए, सदिशों को \( \vec{a}+\vec{b}=\vec{c} \) या \( \vec{a}+\vec{c}=\vec{b} \) या \( \vec{b}+\vec{c}=\vec{a} \) संबंध को संतुष्ट करना चाहिए।
यहां, यदि हम \( \vec{a}+\vec{b} \) करते हैं, तो:
\( \vec{a}+\vec{b} = (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + (\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) = (2+1)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (1-5)\hat{k} = 3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k} \)
यह \( \vec{c} \) के बराबर है। अतः, \( \vec{a}+\vec{b}=\vec{c} \), जो दर्शाता है कि ये सदिश एक त्रिभुज की भुजाएँ हो सकते हैं। एक और तरीका यह जांचना है कि \( \vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=0 \) हो।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ सिद्ध करने के लिए, हमें पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट दिखाना होगा। इसके लिए, हम प्रत्येक सदिश का परिमाण (magnitude) ज्ञात करते हैं:
\( |\vec{a}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6} \)
\( |\vec{b}| = \sqrt{(1)^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1+9+25} = \sqrt{35} \)
\( |\vec{c}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16+16} = \sqrt{41} \)
अब हम पाइथागोरस प्रमेय की जांच करते हैं: \( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 \)
\( (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{35})^2 = 6 + 35 = 41 \)
और \( |\vec{c}|^2 = (\sqrt{41})^2 = 41 \)
चूंकि \( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 \) है, इसलिए दिए गए सदिश एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं। यहाँ, \( \vec{c} \) कर्ण को दर्शाता है। यह भी दिखाया जा सकता है कि \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) नहीं है, लेकिन \( (\vec{a}-\vec{c}) \cdot (\vec{b}-\vec{c}) = 0 \) या इसी तरह का संबंध। चूंकि \( \vec{a}+\vec{b}=\vec{c} \) है, तो \( \vec{a}, \vec{b}, -\vec{c} \) त्रिभुज बनाते हैं। यदि सदिश भुजाएँ हैं, तो उनके वर्गों का योग सबसे बड़ी भुजा के वर्ग के बराबर होना चाहिए।
In simple words: हमने पहले यह जांचा कि क्या ये तीन सदिश वास्तव में एक त्रिभुज बना सकते हैं, जो \( \vec{a}+\vec{b}=\vec{c} \) संबंध से सिद्ध होता है। फिर, हमने प्रत्येक सदिश की लंबाई (परिमाण) निकाली। अंत में, हमने पाइथागोरस प्रमेय की जांच की (दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे बड़ी भुजा के वर्ग के बराबर है)। चूंकि यह सत्य निकला, इसलिए ये सदिश एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

🎯 Exam Tip: यह जांचने के लिए कि सदिश एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं, सुनिश्चित करें कि किन्हीं दो सदिशों का योग तीसरे सदिश के बराबर हो (जैसे \( \vec{a}+\vec{b}=\vec{c} \)). समकोण त्रिभुज के लिए, उनके परिमाणों के वर्गों पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करें।

प्रश्न 7. उस समान्तर षट्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी तीन संगामी कोरे निम्नलिखित सदिशों द्वारा निरूपित हैं :
(i) \( \vec{a} = 4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k} \), \( \vec{b}=3\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k} \) तथा \( \vec{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k} \)
(ii) \( \vec{a} = 2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k} \), \( \vec{b} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k} \) तथा \( \vec{c}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \)
Answer:
एक समान्तर षट्फलक का आयतन उसकी तीन संगामी कोरों से बनने वाले सदिशों के अदिश त्रिगुणफल (बॉक्स प्रोडक्ट) के निरपेक्ष मान के बराबर होता है।

(i) दिए गए सदिश हैं:
\( \vec{a} = 4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k} \)
\( \vec{b} = 3\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k} \)
\( \vec{c} = 3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k} \)
आयतन \( V = |[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}]| = \left| \begin{vmatrix} 4 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} \right| \)
सारणिक का मान ज्ञात करते हैं:
\( = 4( (2)(2) - (-1)(-1) ) - (-3)( (3)(2) - (-1)(3) ) + 1( (3)(-1) - (2)(3) ) \)
\( = 4(4-1) + 3(6+3) + 1(-3-6) \)
\( = 4(3) + 3(9) + 1(-9) \)
\( = 12 + 27 - 9 \)
\( = 39 - 9 \)
\( = 30 \)
चूंकि आयतन हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए \( V = |30| = 30 \) घन मात्रक। यह आयतन सदिशों द्वारा निर्मित 3D आकृति का माप देता है।

(ii) दिए गए सदिश हैं:
\( \vec{a} = 2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k} \)
\( \vec{b} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k} \)
\( \vec{c} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \)
आयतन \( V = |[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}]| = \left| \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} \right| \)
सारणिक का मान ज्ञात करते हैं:
\( = 2( (-1)(-1) - (2)(1) ) - (-3)( (1)(-1) - (2)(2) ) + 1( (1)(1) - (-1)(2) ) \)
\( = 2(1-2) + 3(-1-4) + 1(1+2) \)
\( = 2(-1) + 3(-5) + 1(3) \)
\( = -2 - 15 + 3 \)
\( = -17 + 3 \)
\( = -14 \)
चूंकि आयतन हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए \( V = |-14| = 14 \) घन इकाई। आयतन की गणना करते समय ऋणात्मक चिह्न का मतलब सिर्फ सदिशों के क्रम से होता है।
In simple words: समान्तर षट्फलक एक 3D आकृति है जिसके सभी फलक समानांतर होते हैं। इसका आयतन ज्ञात करने के लिए, हम तीन संगामी किनारों को दर्शाने वाले सदिशों का अदिश त्रिगुणफल (बॉक्स प्रोडक्ट) निकालते हैं। यह बॉक्स प्रोडक्ट एक सारणिक को हल करके प्राप्त किया जाता है। चूंकि आयतन कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए हम परिणाम का निरपेक्ष मान लेते हैं।

🎯 Exam Tip: समान्तर षट्फलक का आयतन हमेशा धनात्मक होता है। यदि सारणिक का मान ऋणात्मक आता है, तो उसका निरपेक्ष मान (absolute value) लें। गणना करते समय गुणांकों और संकेतों का ध्यान रखें।