RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Exercise 13.5

Question 1. \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \) का मान ज्ञात कीजिए यदि
(i) \( \vec{a} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}, \vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k} \) तथा \( \vec{c} = -\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k} \)
(ii) \( \vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}, \vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) तथा \( \vec{c} = -\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k} \)
Answer:
हमें ज्ञात है कि \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \)
(i) दिया है :
\( \vec{a} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{c} = -\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k} \)
अब
\( \vec{a} \cdot \vec{c} = (3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \cdot (-\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) \)
\( = (3)(-1) + (-1)(1) + (1)(3) \)
\( = -3 - 1 + 3 \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = -1 \)
पुनः
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \)
\( = (3)(1) + (-1)(3) + (1)(-1) \)
\( = 3 - 3 - 1 \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = -1 \)
अब \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \)
\( \implies \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (-1)(\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) - (-1)(-\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) \)
\( = -\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k} + (-\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) \)
\( = -2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k} \)
(ii) दिया है :
\( \vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k} \)
\( \vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{c} = -\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k} \)
अब
\( \vec{a} \cdot \vec{c} = (2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (-\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}) \)
\( = (2)(-1) + (1)(1) + (-3)(-4) \)
\( = -2 + 1 + 12 \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = 11 \)
पुनः
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \)
\( = (2)(1) + (1)(-2) + (-3)(1) \)
\( = 2 - 2 - 3 \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = -3 \)
अब \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \)
\( \implies \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 11(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) - (-3)(-\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}) \)
\( = 11\hat{i} - 22\hat{j} + 11\hat{k} + (-3\hat{i} + 3\hat{j} - 12\hat{k}) \)
\( = 8\hat{i} - 19\hat{j} - \hat{k} \)
In simple words: हमने दिए गए सदिशों के डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद के सूत्र का उपयोग करके \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \) का मान ज्ञात किया है। यह सूत्र एक सदिश को अन्य दो सदिशों के डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद के रूप में व्यक्त करता है।

🎯 Exam Tip: सदिशों के डॉट और क्रॉस उत्पाद के सूत्रों को ध्यान से लागू करें, विशेष रूप से जब कई सदिश शामिल हों, क्योंकि चिन्हों की गलती सामान्य है।

Question 2. सिद्ध कीजिए कि \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \) यदि
(i) \( \vec{a} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}, \vec{b} = -3\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}, \vec{c} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k} \)
(ii) \( \vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}, \vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}, \vec{c} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + \sqrt{3}\hat{k} \)
Answer:
(i) दिया है :
\( \vec{a} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k} \)
\( \vec{b} = -3\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{c} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k} \)
पहले \( \vec{a} \cdot \vec{b}, \vec{b} \cdot \vec{c}, \vec{a} \cdot \vec{c} \) ज्ञात करते हैं।
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}) \cdot (-3\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) \)
\( = (2)(-3) + (5)(4) + (-7)(1) \)
\( = -6 + 20 - 7 = 7 \)
\( \vec{b} \cdot \vec{c} = (-3\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) \cdot (-\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) \)
\( = (-3)(-1) + (4)(-2) + (1)(-3) \)
\( = 3 - 8 - 3 = -8 \)
\( \vec{a} \cdot \vec{c} = (2\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}) \cdot (-\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) \)
\( = (2)(-1) + (5)(-2) + (-7)(-3) \)
\( = -2 - 10 + 21 = 9 \)
अब, \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \)
\( = 9(-3\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) - 7(-\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) \)
\( = -27\hat{i} + 36\hat{j} + 9\hat{k} + 7\hat{i} + 14\hat{j} + 21\hat{k} \)
\( = -20\hat{i} + 50\hat{j} + 30\hat{k} \) ... (1)
पुनः, \( (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} \)
\( = 9(-\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) - (-8)(2\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}) \)
\( = -9\hat{i} - 18\hat{j} - 27\hat{k} + 16\hat{i} + 40\hat{j} - 56\hat{k} \)
\( = -11\hat{i} + 76\hat{j} - 47\hat{k} \) ... (2)
समीकरण (1) व (2) से, \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \)
(ii) दिया है :
\( \vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k} \)
\( \vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k} \)
\( \vec{c} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + \sqrt{3}\hat{k} \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}) \cdot (-\hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) \)
\( = (2)(-1) + (3)(1) + (-5)(\sqrt{2}) \)
\( = -2 + 3 - 5\sqrt{2} = 1 - 5\sqrt{2} \)
\( \vec{b} \cdot \vec{c} = (-\hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) \cdot (4\hat{i} - 2\hat{j} + \sqrt{3}\hat{k}) \)
\( = (-1)(4) + (1)(-2) + (\sqrt{2})(\sqrt{3}) \)
\( = -4 - 2 + \sqrt{6} = -6 + \sqrt{6} \)
\( \vec{a} \cdot \vec{c} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}) \cdot (4\hat{i} - 2\hat{j} + \sqrt{3}\hat{k}) \)
\( = (2)(4) + (3)(-2) + (-5)(\sqrt{3}) \)
\( = 8 - 6 - 5\sqrt{3} = 2 - 5\sqrt{3} \)
अब, \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \)
\( = (2 - 5\sqrt{3})(-\hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) - (1 - 5\sqrt{2})(4\hat{i} - 2\hat{j} + \sqrt{3}\hat{k}) \)
\( = (-2 + 5\sqrt{3})\hat{i} + (2 - 5\sqrt{3})\hat{j} + (2\sqrt{2} - 5\sqrt{6})\hat{k} - (4 - 20\sqrt{2})\hat{i} - (-2 + 10\sqrt{2})\hat{j} - (\sqrt{3} - 5\sqrt{6})\hat{k} \)
\( = (-2 + 5\sqrt{3} - 4 + 20\sqrt{2})\hat{i} + (2 - 5\sqrt{3} + 2 - 10\sqrt{2})\hat{j} + (2\sqrt{2} - 5\sqrt{6} - \sqrt{3} + 5\sqrt{6})\hat{k} \)
\( = (-6 + 5\sqrt{3} + 20\sqrt{2})\hat{i} + (4 - 5\sqrt{3} - 10\sqrt{2})\hat{j} + (2\sqrt{2} - \sqrt{3})\hat{k} \) ... (1)
पुनः, \( (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} \)
\( = (2 - 5\sqrt{3})(-\hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) - (-6 + \sqrt{6})(2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}) \)
\( = (-2 + 5\sqrt{3})\hat{i} + (2 - 5\sqrt{3})\hat{j} + (2\sqrt{2} - 5\sqrt{6})\hat{k} - (-12 + 2\sqrt{6})\hat{i} - (-18 + 3\sqrt{6})\hat{j} - (30 - 5\sqrt{6})\hat{k} \)
\( = (-2 + 5\sqrt{3} + 12 - 2\sqrt{6})\hat{i} + (2 - 5\sqrt{3} + 18 - 3\sqrt{6})\hat{j} + (2\sqrt{2} - 5\sqrt{6} + 30 - 5\sqrt{6})\hat{k} \)
\( = (10 + 5\sqrt{3} - 2\sqrt{6})\hat{i} + (20 - 5\sqrt{3} - 3\sqrt{6})\hat{j} + (2\sqrt{2} + 30 - 10\sqrt{6})\hat{k} \) ... (2)
समीकरण (1) व (2) से, \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \)
In simple words: हमने दो अलग-अलग व्यंजकों \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \) और \( (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \) के मानों की गणना की। गणना से पता चला कि ये दोनों व्यंजक बराबर नहीं हैं, जो यह सिद्ध करता है कि सदिश ट्रिपल प्रोडक्ट साहचर्य (associative) नहीं होता है।

🎯 Exam Tip: यह दिखावा करते समय कि दो सदिश व्यंजक असमान हैं, हमेशा दोनों पक्षों की गणना अलग-अलग करें और उनके अंतिम परिणाम की तुलना करें।

Question 3. सूत्र \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \) का सत्यापन कीजिए, जबकि
(i) \( \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}, \vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}, \vec{c} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k} \)
(ii) \( \vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}, \vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}, \vec{c} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k} \)
Answer:
(i) दिया है :
\( \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} \)
\( \vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{c} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k} \)
L.H.S.: \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \)
पहले \( \vec{b} \times \vec{c} \) ज्ञात करते हैं।
\[ \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} \]
\( = \hat{i}((-1)(-1) - (1)(3)) - \hat{j}((2)(-1) - (1)(1)) + \hat{k}((2)(3) - (-1)(1)) \)
\( = \hat{i}(1 - 3) - \hat{j}(-2 - 1) + \hat{k}(6 + 1) \)
\( = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k} \)
अब \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \)
\[ = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ -2 & 3 & 7 \end{vmatrix} \]
\( = \hat{i}((1)(7) - (-2)(3)) - \hat{j}((1)(7) - (-2)(-2)) + \hat{k}((1)(3) - (1)(-2)) \)
\( = \hat{i}(7 + 6) - \hat{j}(7 - 4) + \hat{k}(3 + 2) \)
\( = 13\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k} \) ... (1)
R.H.S.: \( (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \)
पहले \( \vec{a} \cdot \vec{c} \) और \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) ज्ञात करते हैं।
\( \vec{a} \cdot \vec{c} = (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \)
\( = (1)(1) + (1)(3) + (-2)(-1) \)
\( = 1 + 3 + 2 = 6 \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \)
\( = (1)(2) + (1)(-1) + (-2)(1) \)
\( = 2 - 1 - 2 = -1 \)
अब \( (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \)
\( = 6(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (-1)(\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \)
\( = 12\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k} + \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k} \)
\( = 13\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k} \) ... (2)
समीकरण (1) व (2) से सत्यापित होता है कि \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \)
(ii) दिया है :
\( \vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \)
\( \vec{c} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k} \)
L.H.S.: \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \)
पहले \( \vec{b} \times \vec{c} \) ज्ञात करते हैं।
\[ \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{vmatrix} \]
\( = \hat{i}((1)(2) - (-1)(5)) - \hat{j}((2)(2) - (-1)(3)) + \hat{k}((2)(5) - (1)(3)) \)
\( = \hat{i}(2 + 5) - \hat{j}(4 + 3) + \hat{k}(10 - 3) \)
\( = 7\hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k} \)
अब \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \)
\[ = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 7 & -7 & 7 \end{vmatrix} \]
\( = \hat{i}((-2)(7) - (1)(-7)) - \hat{j}((1)(7) - (1)(7)) + \hat{k}((1)(-7) - (-2)(7)) \)
\( = \hat{i}(-14 + 7) - \hat{j}(7 - 7) + \hat{k}(-7 + 14) \)
\( = -7\hat{i} + 7\hat{k} \) ... (1)
R.H.S.: \( (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \)
पहले \( \vec{a} \cdot \vec{c} \) और \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) ज्ञात करते हैं।
\( \vec{a} \cdot \vec{c} = (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}) \)
\( = (1)(3) + (-2)(5) + (1)(2) \)
\( = 3 - 10 + 2 = -5 \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \)
\( = (1)(2) + (-2)(1) + (1)(-1) \)
\( = 2 - 2 - 1 = -1 \)
अब \( (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \)
\( = -5(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) - (-1)(3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}) \)
\( = -10\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k} + 3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k} \)
\( = -7\hat{i} + 7\hat{k} \) ... (2)
समीकरण (1) व (2) से सत्यापित होता है कि \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \)
In simple words: हमने दिए गए सदिशों का उपयोग करके सूत्र \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \) के दोनों पक्षों की गणना की। दोनों पक्षों के परिणाम समान होने से सूत्र सत्यापित होता है।

🎯 Exam Tip: सदिश ट्रिपल प्रोडक्ट की पहचान को सत्यापित करते समय, लेफ्ट हैंड साइड (LHS) और राइट हैंड साइड (RHS) को अलग-अलग हल करें और दिखाएं कि वे एक ही परिणाम देते हैं।

Question 4. सिद्ध कीजिए कि \( \sum \hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) = 2\vec{a} \)
Answer:
हम जानते हैं कि सदिश ट्रिपल प्रोडक्ट का सूत्र है: \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \)
इस सूत्र का उपयोग करते हुए, हम \( \hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) \) को लिख सकते हैं:
\( \hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) = (\hat{i} \cdot \hat{i})\vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} \)
हम जानते हैं कि \( \hat{i} \cdot \hat{i} = 1 \)। इसलिए,
\( \hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) = (1)\vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} \)
इसी प्रकार,
\( \hat{j} \times (\vec{a} \times \hat{j}) = (\hat{j} \cdot \hat{j})\vec{a} - (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j} = \vec{a} - (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j} \)
और
\( \hat{k} \times (\vec{a} \times \hat{k}) = (\hat{k} \cdot \hat{k})\vec{a} - (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k} = \vec{a} - (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k} \)
उक्त तीनों व्यंजकों को जोड़ने पर,
\( \hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) + \hat{j} \times (\vec{a} \times \hat{j}) + \hat{k} \times (\vec{a} \times \hat{k}) \)
\( = \vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} + \vec{a} - (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j} + \vec{a} - (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k} \)
\( = 3\vec{a} - \{(\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} + (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j} + (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k}\} \)
माना \( \vec{a} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k} \), तब
\( \hat{i} \cdot \vec{a} = \hat{i} \cdot (l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}) = l(\hat{i} \cdot \hat{i}) + m(\hat{i} \cdot \hat{j}) + n(\hat{i} \cdot \hat{k}) = l(1) + m(0) + n(0) = l \)
इसी प्रकार, \( \hat{j} \cdot \vec{a} = m \) तथा \( \hat{k} \cdot \vec{a} = n \)
इस प्रकार, \( (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} + (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j} + (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k} = \vec{a} \)
अतः,
\( \hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) + \hat{j} \times (\vec{a} \times \hat{j}) + \hat{k} \times (\vec{a} \times \hat{k}) = 3\vec{a} - \vec{a} = 2\vec{a} \)
In simple words: हमने सदिश ट्रिपल प्रोडक्ट के सूत्र का उपयोग करके \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) के साथ व्यक्तिगत पदों का विस्तार किया। फिर हमने इन सभी पदों को जोड़ा और पाया कि उनका योग \( 2\vec{a} \) के बराबर है। यह दर्शाता है कि किसी सदिश के अक्षों पर प्रक्षेपणों के साथ क्रॉस उत्पाद का योग मूल सदिश का दोगुना होता है।

🎯 Exam Tip: मानक आधार सदिशों \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) के गुणों, जैसे कि \( \hat{i} \cdot \hat{i} = 1 \) और \( \hat{i} \cdot \hat{j} = 0 \), को याद रखना ऐसे सदिश पहचानों को हल करने में बहुत मददगार होता है।

Question 5. सिद्ध कीजिए कि \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{0} \)
Answer:
L.H.S.: \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) \)
हम सदिश ट्रिपल प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करेंगे: \( \vec{X} \times (\vec{Y} \times \vec{Z}) = (\vec{X} \cdot \vec{Z})\vec{Y} - (\vec{X} \cdot \vec{Y})\vec{Z} \)
पहले पद को विस्तार करें:
\( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \)
दूसरे पद को विस्तार करें:
\( \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} \)
तीसरे पद को विस्तार करें:
\( \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} \)
अब इन तीनों विस्तारित पदों को जोड़ें:
L.H.S. \( = [(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}] + [(\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}] + [(\vec{c} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b}] \)
पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:
\( = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} + (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} + (\vec{c} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} \)
हम जानते हैं कि डॉट प्रोडक्ट क्रमविनिमेय (commutative) होता है, यानी \( \vec{X} \cdot \vec{Y} = \vec{Y} \cdot \vec{X} \)। इसलिए:
\( \vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b} \)
\( \vec{c} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} \)
\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{c} \)
इन समानताओं का उपयोग करके व्यंजक को सरल करें:
\( = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} + (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} + (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} \)
अब, सभी पद एक दूसरे को रद्द कर देंगे:
\( = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} + (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} + (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} \)
\( = \vec{0} \)
यह R.H.S. के बराबर है।
अतः \( \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{0} \) इति सिद्धम्।
In simple words: हमने सदिशों के ट्रिपल प्रोडक्ट के सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक भाग का विस्तार किया। फिर हमने सभी पदों को एक साथ जोड़ा और डॉट प्रोडक्ट के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके उन्हें सरल किया। अंत में, सभी पद एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, जिससे परिणाम शून्य सदिश प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: यह पहचान, जिसे जैकोबी पहचान (Jacobi identity) के नाम से जाना जाता है, सदिश बीजगणित में एक महत्वपूर्ण परिणाम है। इसे सिद्ध करने के लिए व्यवस्थित रूप से प्रत्येक पद का विस्तार करें और डॉट प्रोडक्ट के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करें।

Question 6. सिद्ध कीजिए कि \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) समतलीय हैं, यदि और केवल यदि \( \vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a} \) समतलीय हैं।
Answer:
हमें ज्ञात है कि तीन सदिश \( \vec{X}, \vec{Y}, \vec{Z} \) समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट शून्य हो, अर्थात \( [\vec{X} \vec{Y} \vec{Z}] = 0 \)।
हमें सिद्ध करना है कि \( [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0 \Leftrightarrow [\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}] = 0 \)।
पहले, हम \( [\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}] \) का मान ज्ञात करेंगे।
माना \( \vec{X} = \vec{a} \times \vec{b} \), \( \vec{Y} = \vec{b} \times \vec{c} \), \( \vec{Z} = \vec{c} \times \vec{a} \)
तब \( [\vec{X} \vec{Y} \vec{Z}] = \vec{X} \cdot (\vec{Y} \times \vec{Z}) \)
\( = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot ((\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a})) \)
हम जानते हैं कि \( (\vec{P} \times \vec{Q}) \times (\vec{R} \times \vec{S}) = [\vec{P} \vec{Q} \vec{S}]\vec{R} - [\vec{P} \vec{Q} \vec{R}]\vec{S} \)
यहाँ \( \vec{P} = \vec{b}, \vec{Q} = \vec{c}, \vec{R} = \vec{c}, \vec{S} = \vec{a} \) है।
तो, \( (\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}]\vec{c} - [\vec{b} \vec{c} \vec{c}]\vec{a} \)
चूंकि \( [\vec{b} \vec{c} \vec{c}] = 0 \) (स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट में दो सदिश समान होने पर),
\( (\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}]\vec{c} - 0 \cdot \vec{a} = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}]\vec{c} \)
हम यह भी जानते हैं कि \( [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \)
तो, \( (\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{c} \)
अब इसे वापस मूल समीकरण में रखते हैं:
\( [\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot ([\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{c}) \)
\( = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \)
\( = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \)
\( = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 \)
अतः, \( [\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 \)
अब हम सिद्ध करेंगे:
(i) यदि \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) समतलीय हैं, तो \( \vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a} \) समतलीय हैं।
यदि \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) समतलीय हैं, तो \( [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0 \)।
तब, \( [\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 0^2 = 0 \)
चूंकि स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट शून्य है, इसलिए \( \vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a} \) समतलीय हैं।
(ii) यदि \( \vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a} \) समतलीय हैं, तो \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) समतलीय हैं।
यदि \( \vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a} \) समतलीय हैं, तो \( [\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}] = 0 \)।
तब, \( [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 0 \)
\( \implies [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0 \)
चूंकि स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट शून्य है, इसलिए \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) समतलीय हैं।
दोनों स्थितियाँ सत्य हैं, इसलिए सिद्ध होता है कि \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) समतलीय हैं, यदि और केवल यदि \( \vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a} \) समतलीय हैं। इति सिद्धम्।
In simple words: हमने दिखाया कि तीन सदिशों का स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट शून्य होता है यदि वे समतलीय हों। फिर हमने यह साबित किया कि \( \vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a} \) का स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट \( [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 \) के बराबर होता है। इस संबंध से, यदि एक समूह समतलीय है (जिसका अर्थ है कि उसका STP शून्य है), तो दूसरा समूह भी समतलीय होगा और इसके विपरीत भी।

🎯 Exam Tip: यह सिद्ध करने के लिए कि सदिश समतलीय हैं, हमेशा स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट \( [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \) का उपयोग करें। इस प्रश्न में, \( [\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 \) पहचान महत्वपूर्ण है।

Question 7. सिद्ध कीजिए कि \( (\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c} \times \vec{d}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{d}]\vec{c} - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d} \)
Answer:
L.H.S.: \( (\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c} \times \vec{d}) \)
हम सदिश ट्रिपल प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करेंगे: \( \vec{X} \times (\vec{Y} \times \vec{Z}) = (\vec{X} \cdot \vec{Z})\vec{Y} - (\vec{X} \cdot \vec{Y})\vec{Z} \)
यहाँ, \( \vec{X} = (\vec{a} \times \vec{b}) \), \( \vec{Y} = \vec{c} \), \( \vec{Z} = \vec{d} \)
तो,
\( (\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c} \times \vec{d}) = ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{d})\vec{c} - ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})\vec{d} \)
हम जानते हैं कि \( (\vec{P} \times \vec{Q}) \cdot \vec{R} \) स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट \( [\vec{P} \vec{Q} \vec{R}] \) के बराबर होता है।
इसलिए,
\( ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{d})\vec{c} = [\vec{a} \vec{b} \vec{d}]\vec{c} \)
और
\( ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})\vec{d} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d} \)
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
\( (\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c} \times \vec{d}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{d}]\vec{c} - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d} \)
यह R.H.S. के बराबर है। इति सिद्धम्।
In simple words: हमने एक सदिश ट्रिपल प्रोडक्ट के रूप में दिए गए व्यंजक को हल करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग किया। फिर हमने परिणाम को स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के रूप में फिर से लिखा। इससे यह पहचान सिद्ध होती है।

🎯 Exam Tip: यह पहचान सदिश बीजगणित में बहुत उपयोगी है। इसे सिद्ध करने के लिए एक बार में एक ट्रिपल प्रोडक्ट को खोलना शुरू करें और फिर स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के साथ डॉट प्रोडक्ट को बदलें।

Question 8. दो सदिशों \( \vec{a} \) तथा \( \vec{b} \) के परिमाण क्रमशः \( \sqrt{3} \) एवं \( 2 \) हैं और \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{6} \) है, तो \( \vec{a} \) तथा \( \vec{b} \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है :
\( |\vec{a}| = \sqrt{3} \)
\( |\vec{b}| = 2 \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{6} \)
माना \( \vec{a} \) तथा \( \vec{b} \) के बीच का कोण \( \theta \) है।
हम जानते हैं कि दो सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करने का सूत्र है:
\( \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \)
दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
\( \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{(\sqrt{3})(2)} \)
\( \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} \)
\( \cos \theta = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \)
\( \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
हम जानते हैं कि \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \implies \theta = \frac{\pi}{4} \)
अतः, सदिशों \( \vec{a} \) तथा \( \vec{b} \) के बीच का कोण \( \frac{\pi}{4} \) है। एक सदिश के परिमाण और उनके डॉट उत्पाद का उपयोग करके, हम सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कर सकते हैं।
In simple words: हमने दो सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग किया। दिए गए परिमाण और डॉट प्रोडक्ट को सूत्र में रखने पर, हमें \( \cos \theta \) का मान \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) मिला, जिसका अर्थ है कि कोण \( \frac{\pi}{4} \) है।

🎯 Exam Tip: जब दो सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करना हो, तो हमेशा सूत्र \( \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \) का उपयोग करें। यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणना सही है, वर्गमूलों को सही ढंग से सरल करें।

Question 9. सदिशों \( \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \) और \( 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना \( \vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \) और \( \vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \)।
हमें ज्ञात है कि दो सदिशों के बीच का कोण \( \theta \) निम्न सूत्र से दिया जाता है:
\( \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \)
पहले \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) ज्ञात करते हैं:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \)
\( = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(1) \)
\( = 3 + 4 + 3 = 10 \)
अब \( |\vec{a}| \) और \( |\vec{b}| \) के परिमाण ज्ञात करते हैं:
\( |\vec{a}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (3)^2} \)
\( = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \)
\( |\vec{b}| = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2 + (1)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \)
इन मानों को कोण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
\( \cos \theta = \frac{10}{(\sqrt{14})(\sqrt{14})} \)
\( \cos \theta = \frac{10}{14} \)
\( \cos \theta = \frac{5}{7} \)
\( \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{7}\right) \)
अतः, सदिशों के बीच का कोण \( \cos^{-1}\left(\frac{5}{7}\right) \) है। सदिशों के घटकों का उपयोग करके उनके बीच के कोण को संख्यात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है।
In simple words: हमने दो सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग किया। हमने सदिशों का डॉट प्रोडक्ट और उनके परिमाण ज्ञात किए, फिर उन्हें सूत्र में रखा जिससे \( \cos \theta = \frac{5}{7} \) प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आप सही ढंग से गणना करें, डॉट प्रोडक्ट \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) और सदिश परिमाण \( |\vec{a}| \) और \( |\vec{b}| \) को ध्यान से ज्ञात करें।

Question 10. सदिश \( \hat {i} +\hat {j} \) पर सदिश \( \hat {i} -\hat {j} \) का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
Answer: सदिश \( \vec{b} = \hat{i} - \hat{j} \) का सदिश \( \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} \) पर प्रक्षेप (projection) का सूत्र \( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} \) होता है।
पहले हम \( \vec{b} \cdot \vec{a} \) की गणना करेंगे:
\( \vec{b} \cdot \vec{a} = (\hat{i} - \hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = (1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 = 0 \)
इसके बाद, हम \( \vec{a} \) का परिमाण (magnitude) ज्ञात करेंगे:
\( |\vec{a}| = |\hat{i} + \hat{j}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)
अब प्रक्षेप के सूत्र में मान रखने पर:
प्रक्षेप \( = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0 \)
इस प्रकार, सदिश \( \hat {i} -\hat {j} \) का सदिश \( \hat {i} +\hat {j} \) पर प्रक्षेप 0 है। जब प्रक्षेप शून्य होता है, तो इसका मतलब है कि दोनों सदिश एक दूसरे के लम्बवत (perpendicular) हैं।
In simple words: हमें \( \hat{i} - \hat{j} \) का \( \hat{i} + \hat{j} \) पर प्रक्षेप निकालना है। हमने दोनों सदिशों का डॉट प्रोडक्ट निकाला, जो 0 आया। जब डॉट प्रोडक्ट 0 होता है, तो प्रक्षेप भी 0 होता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि यदि दो सदिशों का डॉट प्रोडक्ट शून्य है, तो वे एक दूसरे के लम्बवत होते हैं, और एक का दूसरे पर प्रक्षेप भी शून्य होगा।

Question 11. सदिश \( \hat {i} +3\hat {j} +7\hat {k} \) का सदिश \( 7\hat {i} -\hat {j} +8\hat {k} \) पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
Answer: माना \( \vec{a} = \hat{i} +3\hat{j} +7\hat{k} \) और \( \vec{b} = 7\hat{i} -\hat{j} +8\hat{k} \)।
सदिश \( \vec{a} \) का सदिश \( \vec{b} \) पर प्रक्षेप का सूत्र \( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \) होता है।
सबसे पहले, हम \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) की गणना करेंगे:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (\hat{i} +3\hat{j} +7\hat{k}) \cdot (7\hat{i} -\hat{j} +8\hat{k}) \)
\( = (1)(7) + (3)(-1) + (7)(8) \)
\( = 7 - 3 + 56 \)
\( = 60 \)
अब, हम सदिश \( \vec{b} \) का परिमाण \( |\vec{b}| \) ज्ञात करेंगे:
\( |\vec{b}| = |7\hat{i} -\hat{j} +8\hat{k}| = \sqrt{7^2 + (-1)^2 + 8^2} \)
\( = \sqrt{49 + 1 + 64} = \sqrt{114} \)
अंत में, प्रक्षेप के सूत्र में इन मानों को रखेंगे:
प्रक्षेप \( = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{60}{\sqrt{114}} \)
यह दर्शाता है कि सदिश \( \hat{i} +3\hat{j} +7\hat{k} \) का सदिश \( 7\hat{i} -\hat{j} +8\hat{k} \) पर प्रक्षेप \( \frac{60}{\sqrt{114}} \) है। यह मान हमें बताता है कि सदिश \( \vec{a} \) कितना सदिश \( \vec{b} \) की दिशा में है।
In simple words: हमें \( \hat{i} +3\hat{j} +7\hat{k} \) का \( 7\hat{i} -\hat{j} +8\hat{k} \) पर प्रक्षेप निकालना है। इसके लिए, हमने पहले दोनों सदिशों का डॉट प्रोडक्ट निकाला और फिर दूसरे सदिश का परिमाण। फिर इन दोनों मानों को सूत्र में डालकर प्रक्षेप का मान \( \frac{60}{\sqrt{114}} \) ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: प्रक्षेप के प्रश्नों में, आपको हमेशा पहले डॉट प्रोडक्ट और फिर जिस सदिश पर प्रक्षेप ज्ञात करना है, उसका परिमाण निकालना चाहिए। गणनाओं में सावधानी बरतें।

Question 12. \( (3\vec {a} -5\vec {b}).(2\vec {a} +7\vec {b}) \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम दिए गए व्यंजक \( (3\vec {a} -5\vec {b}).(2\vec {a} +7\vec {b}) \) का मान ज्ञात करने के लिए डॉट प्रोडक्ट के वितरण नियम का उपयोग करेंगे:
\( (3\vec {a} -5\vec {b}).(2\vec {a} +7\vec {b}) \)
\( = 3\vec {a} \cdot (2\vec {a} +7\vec {b}) - 5\vec {b} \cdot (2\vec {a} +7\vec {b}) \)
\( = (3\vec {a} \cdot 2\vec {a}) + (3\vec {a} \cdot 7\vec {b}) - (5\vec {b} \cdot 2\vec {a}) - (5\vec {b} \cdot 7\vec {b}) \)
\( = 6(\vec {a} \cdot \vec {a}) + 21(\vec {a} \cdot \vec {b}) - 10(\vec {b} \cdot \vec {a}) - 35(\vec {b} \cdot \vec {b}) \)
हम जानते हैं कि \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \) और \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 \)। साथ ही, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \) होता है।
तो, व्यंजक इस प्रकार बन जाता है:
\( = 6|\vec{a}|^2 + 21(\vec {a} \cdot \vec {b}) - 10(\vec {a} \cdot \vec {b}) - 35|\vec{b}|^2 \)
\( = 6|\vec{a}|^2 + (21 - 10)(\vec {a} \cdot \vec {b}) - 35|\vec{b}|^2 \)
\( = 6|\vec{a}|^2 + 11(\vec {a} \cdot \vec {b}) - 35|\vec{b}|^2 \)
यह इस तरह के डॉट प्रोडक्ट का सरलीकृत रूप है। यह हमें सिखाता है कि सदिशों के डॉट प्रोडक्ट को बीजगणितीय व्यंजकों की तरह कैसे गुणा किया जा सकता है।
In simple words: हमने दिए गए दो ब्रैकेट वाले सदिशों का डॉट प्रोडक्ट निकाला। इसमें हमने पहले हर पद को एक-दूसरे से गुणा किया। फिर \( \vec{a} \cdot \vec{a} \) को \( |\vec{a}|^2 \) और \( \vec{b} \cdot \vec{b} \) को \( |\vec{b}|^2 \) लिखा। \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) और \( \vec{b} \cdot \vec{a} \) एक ही होते हैं, इसलिए हमने उन्हें एक साथ करके उत्तर \( 6|\vec{a}|^2 + 11(\vec {a} \cdot \vec {b}) - 35|\vec{b}|^2 \) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: डॉट प्रोडक्ट के वितरण गुणधर्म को याद रखना महत्वपूर्ण है, और यह भी कि \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \) और \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \) होता है। इससे जटिल गणनाएं सरल हो जाती हैं।

Question 13. दो सदिशों \( \vec {a} \) और \( \vec {b} \) के परिमाण ज्ञात कीजिए, यदि इनके परिमाण समान हैं और इनके बीच का कोण 60° है तथा \( \vec {a} \cdot \vec {b} = \frac {1}{2} \).
Answer: हम जानते हैं कि दो सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के बीच के कोण के लिए डॉट प्रोडक्ट का सूत्र है:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \)
प्रश्न में दिया गया है कि सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के परिमाण समान हैं, तो हम मान लेते हैं कि \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = k \)।
हमें यह भी दिया गया है कि उनके बीच का कोण \( \theta = 60^\circ \) है और उनका डॉट प्रोडक्ट \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \) है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \frac{1}{2} = (k)(k) \cos 60^\circ \)
हम जानते हैं कि \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)।
इसलिए,
\( \frac{1}{2} = k^2 \left(\frac{1}{2}\right) \)
दोनों तरफ \( \frac{1}{2} \) से भाग देने पर:
\( 1 = k^2 \)
\( k = \sqrt{1} \)
\( k = \pm 1 \)
चूंकि परिमाण हमेशा धनात्मक (positive) होता है, हम \( k=1 \) लेते हैं।
अतः, सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) का परिमाण 1 है। यह परिणाम दिखाता है कि कैसे सदिशों के बीच के कोण और उनके डॉट प्रोडक्ट का उपयोग करके उनके परिमाण ज्ञात किए जा सकते हैं।
In simple words: हमें दो सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) का परिमाण पता करना है। हमें बताया गया है कि दोनों के परिमाण एक जैसे हैं, उनके बीच का कोण 60° है, और उनका डॉट प्रोडक्ट \( \frac{1}{2} \) है। हमने डॉट प्रोडक्ट का सूत्र लगाया: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \)। सारे मान रखने के बाद, हमें \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 \) मिला।

🎯 Exam Tip: सदिशों के परिमाण हमेशा धनात्मक होते हैं, इसलिए \( k^2 = 1 \) के बाद \( k=1 \) ही चुनें। डॉट प्रोडक्ट के सूत्र को अच्छी तरह याद रखें।

Question 14. यदि एक मात्रक सदिश \( \vec {a} \) के लिए \( (\vec {x} -\vec {a}).(\vec {x} +\vec {a}) = 12 \) हो, तो \( |\vec {x}| \) ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि \( (\vec {x} -\vec {a}).(\vec {x} +\vec {a}) = 12 \)।
हम डॉट प्रोडक्ट के वितरण नियम का उपयोग करके इस व्यंजक को खोलेंगे, जैसा कि \( (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 \) होता है, उसी प्रकार सदिशों में:
\( \vec {x} \cdot \vec {x} + \vec {x} \cdot \vec {a} - \vec {a} \cdot \vec {x} - \vec {a} \cdot \vec {a} = 12 \)
हम जानते हैं कि \( \vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2 \) और \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \)।
साथ ही, \( \vec{x} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{x} \) होता है, इसलिए \( \vec {x} \cdot \vec {a} - \vec {a} \cdot \vec {x} \) का मान 0 हो जाता है।
तो, व्यंजक सरल होकर बनता है:
\( |\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 12 \)
प्रश्न में दिया गया है कि \( \vec{a} \) एक मात्रक सदिश (unit vector) है। इसका मतलब है कि इसका परिमाण 1 होता है, यानी \( |\vec{a}| = 1 \)।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
\( |\vec{x}|^2 - (1)^2 = 12 \)
\( |\vec{x}|^2 - 1 = 12 \)
अब \( -1 \) को दूसरी तरफ ले जाने पर:
\( |\vec{x}|^2 = 12 + 1 \)
\( |\vec{x}|^2 = 13 \)
दोनों तरफ वर्गमूल (square root) लेने पर:
\( |\vec{x}| = \sqrt{13} \)
चूंकि परिमाण हमेशा धनात्मक होता है, हम केवल धनात्मक वर्गमूल लेते हैं। यह हमें दिखाता है कि मात्रक सदिश की अवधारणा का उपयोग करके कैसे अज्ञात सदिश के परिमाण का पता लगाया जा सकता है।
In simple words: हमें \( |\vec{x}| \) निकालना है। एक मात्रक सदिश \( \vec{a} \) के लिए, \( |\vec{a}| \) का मान 1 होता है। दिया गया समीकरण \( (\vec {x} -\vec {a}).(\vec {x} +\vec {a}) = 12 \) को खोलने पर \( |\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 12 \) मिला। \( |\vec{a}| = 1 \) रखने पर, \( |\vec{x}|^2 - 1 = 12 \) आया। इसे हल करने पर \( |\vec{x}| = \sqrt{13} \) मिला।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि \( (\vec{A}-\vec{B}) \cdot (\vec{A}+\vec{B}) = |\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2 \) होता है। मात्रक सदिश का परिमाण हमेशा 1 होता है। इन दो नियमों को याद रखने से ऐसे प्रश्न आसानी से हल हो जाते हैं।

Question 15. यदि \( \vec {a} = 2\hat {i} +2\hat {j} +3\hat {k} \), \( \vec {b} = -\hat {i} +2\hat {j} +\hat {k} \) और \( \vec {c} = 3\hat {i} +\hat {j} \) इस प्रकार हैं कि \( \vec {a} +\lambda \vec {b} \) सदिश \( \vec {c} \) पर लम्ब है तो \( \lambda \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि सदिश \( \vec {a} +\lambda \vec {b} \) सदिश \( \vec {c} \) पर लम्ब है।
जब दो सदिश एक दूसरे पर लम्ब होते हैं, तो उनका डॉट प्रोडक्ट (अदिश गुणनफल) शून्य होता है।
तो, \( (\vec {a} +\lambda \vec {b}) \cdot \vec {c} = 0 \)
सबसे पहले, हम \( \vec {a} +\lambda \vec {b} \) की गणना करेंगे:
\( \vec {a} +\lambda \vec {b} = (2\hat {i} +2\hat {j} +3\hat {k}) + \lambda (-\hat {i} +2\hat {j} +\hat {k}) \)
\( = (2 - \lambda)\hat {i} + (2 + 2\lambda)\hat {j} + (3 + \lambda)\hat {k} \)
अब, इसका डॉट प्रोडक्ट \( \vec {c} = 3\hat {i} +\hat {j} \) के साथ लेने पर:
\( [(2 - \lambda)\hat {i} + (2 + 2\lambda)\hat {j} + (3 + \lambda)\hat {k}] \cdot (3\hat {i} +\hat {j} + 0\hat{k}) = 0 \)
\( (2 - \lambda)(3) + (2 + 2\lambda)(1) + (3 + \lambda)(0) = 0 \)
\( 6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda + 0 = 0 \)
अब हम इसे \( \lambda \) के लिए हल करेंगे:
\( 8 - \lambda = 0 \)
\( \lambda = 8 \)
अतः, \( \lambda \) का मान 8 है। इस मान पर ही सदिश \( \vec {a} +\lambda \vec {b} \) सदिश \( \vec {c} \) पर लम्ब होगा।
In simple words: हमें \( \lambda \) का मान निकालना है। हमें बताया गया है कि सदिश \( \vec {a} +\lambda \vec {b} \) और सदिश \( \vec {c} \) एक-दूसरे पर लम्ब हैं। जब सदिश लम्ब होते हैं, तो उनका डॉट प्रोडक्ट (गुणा) शून्य होता है। हमने पहले \( \vec {a} +\lambda \vec {b} \) को जोड़ा, फिर इसका \( \vec {c} \) से डॉट प्रोडक्ट लिया और उसे 0 के बराबर रखा। इससे हमें \( \lambda = 8 \) मिला।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि यदि दो सदिश लम्बवत हों, तो उनका अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) हमेशा शून्य होता है। इस नियम का उपयोग ऐसे प्रश्नों में \( \lambda \) या किसी अन्य अज्ञात मान को ज्ञात करने के लिए किया जाता है।