RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Exercise 13.3

प्रश्न 1. सदिशों \( 3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \) तथा \( 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k} \) का सदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए सदिशों का सदिश गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम एक सारणिक बनाते हैं जिसमें \( \hat{i} \), \( \hat{j} \) और \( \hat{k} \) के गुणांकों का उपयोग किया जाता है। माना \( \vec{a} = 3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \) तथा \( \vec{b} = 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k} \)
\( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(1 \times 1 - 3 \times (-1)) - \hat{j}(3 \times 1 - 2 \times (-1)) + \hat{k}(3 \times 3 - 2 \times 1) \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(1+3) - \hat{j}(3+2) + \hat{k}(9-2) \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} = 4\hat{i} - 5\hat{j} + 7\hat{k} \) यह दिए गए सदिशों का सदिश गुणनफल है।
In simple words: दिए गए दो सदिशों का गुणनफल निकालने के लिए, हम उनके गुणांकों का उपयोग करके एक सारणिक (डिटरमिनेंट) बनाते हैं। इसे हल करने पर हमें एक नया सदिश मिलता है जो दोनों मूल सदिशों पर लंबवत होता है।

🎯 Exam Tip: सदिश गुणनफल ज्ञात करते समय सारणिक को सही ढंग से विस्तारित करना और चिन्हों का ध्यान रखना महत्वपूर्ण है। \( \hat{j} \) पद के लिए ऋणात्मक चिन्ह अक्सर गलतियों का कारण बनता है, इसलिए इसे याद रखें.

प्रश्न 2. सदिशों \( \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k} \) तथा \( 2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k} \) के लम्ब इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए सदिशों के लंबवत इकाई सदिश ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले हम उनका सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट) निकालते हैं, और फिर उस परिणामी सदिश का इकाई सदिश ज्ञात करते हैं। माना \( \vec{a} = \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k} \) तथा \( \vec{b} = 2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k} \)
पहले, \( \vec{a} \times \vec{b} \) ज्ञात कीजिए:
\( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}((-2) \times (-3) - 1 \times 1) - \hat{j}(1 \times (-3) - 2 \times 1) + \hat{k}(1 \times 1 - 2 \times (-2)) \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(-3-2) + \hat{k}(1+4) \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} = 5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k} \)
अब, \( |\vec{a} \times \vec{b}| \) का परिमाण ज्ञात कीजिए:
\( |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(5)^2 + (5)^2 + (5)^2} \)
\( \implies |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{25+25+25} \)
\( \implies |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \)
अतः, \( \vec{a} \) तथा \( \vec{b} \) के लंबवत इकाई सदिश \( \hat{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} \) है:
\( \hat{n} = \frac{5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}} \)
\( \implies \hat{n} = \frac{5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{5\sqrt{3}} \)
\( \implies \hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}} \)
यह इकाई सदिश दोनों दिए गए सदिशों पर लंबवत है।
In simple words: पहले दो सदिशों का क्रॉस प्रोडक्ट निकालो. फिर उस नए सदिश की लंबाई (परिमाण) निकालो. आखिर में, क्रॉस प्रोडक्ट सदिश को उसकी लंबाई से भाग दे दो. यही लंबवत इकाई सदिश है.

🎯 Exam Tip: इकाई सदिश हमेशा दो संभावित दिशाओं में हो सकता है (\( \hat{n} \) और \( -\hat{n} \)), इसलिए \( \pm \) चिन्ह का उपयोग करना सुनिश्चित करें यदि प्रश्न दोनों दिशाओं की अनुमति देता है, हालांकि यहाँ केवल एक दिशा पूछी गई है।

प्रश्न 3. सदिश \( \vec {a} \) और \( \vec {b} \) के लिए सिद्ध कीजिए कि \( |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = \begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{b} \end{vmatrix} \)
Answer: हम इस सर्वसमिका को दो सदिशों के अदिश गुणनफल और सदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करके सिद्ध कर सकते हैं। माना सदिशों \( \vec{a} \) तथा \( \vec{b} \) के बीच का कोण \( \theta \) है।
सदिश गुणनफल के परिमाण का वर्ग:
\( |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta)^2 \)
\( \implies |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta \)
\( \implies |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (1 - \cos^2 \theta) \) (क्योंकि \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \))
\( \implies |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta \)
अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) के अनुसार: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \)
तो, \( (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta)^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta \)
इसे समीकरण में रखने पर:
\( \implies |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \)
अब, दाहिने पक्ष (R.H.S.) में दिए गए सारणिक को हल कीजिए:
\( \begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{b} \end{vmatrix} = (\vec{a} \cdot \vec{a})(\vec{b} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{b}) \)
हम जानते हैं कि \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \) और \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 \).
\( \implies \begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{b} \end{vmatrix} = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \)
चूंकि बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष दोनों \( |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \) के बराबर हैं, इसलिए यह सिद्ध होता है कि \( |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = \begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{b} \end{vmatrix} \) इति सिद्धम्
In simple words: इस सवाल में हमें यह दिखाना है कि दो सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट का वर्ग (स्क्वायर) उनके डॉट प्रोडक्ट से बने एक खास टेबल (सारणिक) के बराबर होता है. हम जानते हैं कि क्रॉस प्रोडक्ट का वर्ग `sin` कोण पर और डॉट प्रोडक्ट `cos` कोण पर निर्भर करता है. इन दोनों सूत्रों को बदलकर, हम देख सकते हैं कि वे एक ही चीज़ के बराबर हैं.

🎯 Exam Tip: यह सर्वसमिका सदिशों के अदिश और सदिश गुणनफल के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध दर्शाती है। इसे Lagrange's identity भी कहते हैं। सिद्ध करते समय \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग करना याद रखें।

प्रश्न 4. सिद्ध कीजिए : \( \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} + \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \). इसकी ज्यामितीय व्याख्या भी कीजिए।
Answer: हम सदिश गुणनफल के वितरण नियम और कुछ मूल गुणों का उपयोग करके इसे सिद्ध कर सकते हैं।
बायाँ पक्ष (L.H.S.) लीजिए:
\( (\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})) + (\vec{b} \times (\vec{c} + \vec{a})) + (\vec{c} \times (\vec{a} + \vec{b})) \)
सदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करने पर (\( \vec{X} \times (\vec{Y} + \vec{Z}) = \vec{X} \times \vec{Y} + \vec{X} \times \vec{Z} \)):
\( \implies (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}) + (\vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a}) + (\vec{c} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{b}) \)
अब, हम जानते हैं कि \( \vec{X} \times \vec{Y} = -(\vec{Y} \times \vec{X}) \). इसका उपयोग करके हम पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} - (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{c}) - (\vec{b} \times \vec{c}) \)
सभी पद एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं:
\( \implies (\vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c}) + (\vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c}) \)
\( \implies 0 + 0 + 0 = 0 \)
दायाँ पक्ष (R.H.S.) = 0. अतः यह सिद्ध हुआ।

ज्यामितीय व्याख्या:
यदि हम एक समांतर चतुर्भुज ABCD पर विचार करें, जहाँ \( \vec{AB} = \vec{a} \) और \( \vec{AD} = \vec{b} \) हैं, तो इसके विकर्ण \( \vec{AC} = \vec{a} + \vec{b} \) और \( \vec{DB} = \vec{a} - \vec{b} \) होंगे।

हम जानते हैं कि \( (\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{b}) = 2(\vec{a} \times \vec{b}) \)।
मान लीजिए एक नया समांतर चतुर्भुज उन विकर्णों (\( \vec{a}+\vec{b} \) और \( \vec{a}-\vec{b} \)) को अपनी आसन्न भुजाओं के रूप में बनाता है। इस नए समांतर चतुर्भुज का सदिश क्षेत्रफल `\( (\vec{a}+\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}) \)` होगा।
इसकी गणना करने पर, हमें मिलता है:
\( (\vec{a}+\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b} \)
\( \implies (\vec{a}+\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}) = 0 - \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{b} - 0 \) (क्योंकि \( \vec{X} \times \vec{X} = 0 \) और \( \vec{b} \times \vec{a} = -\vec{a} \times \vec{b} \))
\( \implies (\vec{a}+\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}) = -2(\vec{a} \times \vec{b}) \)
तो, \( |(\vec{a}+\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b})| = |-2(\vec{a} \times \vec{b})| = 2|\vec{a} \times \vec{b}| \)।
ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ है कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को आसन्न भुजाओं के रूप में लेकर बनाए गए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, मूल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का दोगुना होता है।
पहले भाग में दी गई सर्वसमिका यह दर्शाती है कि सदिश गुणनफल के वितरण नियम के कारण सभी पद एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं, जिससे परिणाम शून्य आता है। यह दर्शाता है कि सदिश गुणनफल में चक्रीय क्रम बनाए रखने से योग शून्य हो जाता है।
In simple words: पहला हिस्सा दिखाता है कि अगर आप तीन सदिशों को खास तरीके से क्रॉस प्रोडक्ट करते हैं, तो सब कट जाएगा और जवाब ज़ीरो आएगा. दूसरा हिस्सा समझाता है कि अगर आप एक समांतर चतुर्भुज के दो विकर्णों को लेकर एक नया समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, तो नए वाले का क्षेत्रफल पहले वाले से दुगना होगा.

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय प्रमाण के लिए, वितरण नियम और \( \vec{X} \times \vec{X} = 0 \) तथा \( \vec{X} \times \vec{Y} = -\vec{Y} \times \vec{X} \) गुणों का सही उपयोग महत्वपूर्ण है। ज्यामितीय व्याख्या के लिए, समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को सदिशों के योग और अंतर के रूप में दर्शाना याद रखें।

प्रश्न 5. यदि \( \vec {a},\vec {b},\vec {c} \) इस प्रकार के इकाई सदिश हैं कि \( \vec {a} \cdot \vec {b} =\vec {a} \cdot \vec {c} \) तथा \( \vec {b} \) और \( \vec { c } \) के मध्य का कोण \( \frac {\pi }{6} \) है, तब सिद्ध कीजिए कि \( \vec {a}=\pm2(\vec{b} \times \vec{c}) \)
Answer: हमें दिया गया है कि \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) इकाई सदिश हैं, जिसका अर्थ है कि \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1 \)।
यह भी दिया गया है कि \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} \)।
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \)
\( \implies \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0 \)
इसका मतलब है कि सदिश \( \vec{a} \) सदिश \( (\vec{b} - \vec{c}) \) के लंबवत है।
अब, \( \vec{b} \times \vec{c} \) पर विचार कीजिए। सदिश \( \vec{b} \times \vec{c} \) दोनों \( \vec{b} \) और \( \vec{c} \) के लंबवत होता है, और इसलिए यह सदिश \( (\vec{b} - \vec{c}) \) के लंबवत नहीं होगा (जब तक कि \( \vec{b} - \vec{c} \) शून्य न हो)।
इसके बजाय, यदि \( \vec{a} \) सदिश \( \vec{b} - \vec{c} \) के लंबवत है, तो \( \vec{a} \) उस समतल में स्थित होगा जिसमें \( \vec{b} \) और \( \vec{c} \) हैं, या \( \vec{a} \) सदिश \( \vec{b} \times \vec{c} \) के समांतर होगा। यदि \( \vec{a} \) सदिश \( \vec{b} \times \vec{c} \) के समांतर है, तो हम लिख सकते हैं:
\( \vec{a} = \lambda (\vec{b} \times \vec{c}) \), जहाँ \( \lambda \) एक अदिश (स्केलर) है।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर:
\( |\vec{a}| = |\lambda| |\vec{b} \times \vec{c}| \)
हमें पता है \( |\vec{a}| = 1 \)।
अब, \( |\vec{b} \times \vec{c}| \) की गणना कीजिए। \( \vec{b} \) और \( \vec{c} \) के बीच का कोण \( \frac{\pi}{6} \) है।
\( |\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}| |\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) \)
चूँकि \( |\vec{b}|=1 \) और \( |\vec{c}|=1 \) और \( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \):
\( |\vec{b} \times \vec{c}| = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \)
अब इस मान को \( |\vec{a}| = |\lambda| |\vec{b} \times \vec{c}| \) में रखिए:
\( 1 = |\lambda| (\frac{1}{2}) \)
\( \implies |\lambda| = 2 \)
\( \implies \lambda = \pm 2 \)
इसलिए, \( \vec{a} = \pm 2 (\vec{b} \times \vec{c}) \)
इति सिद्धम्
In simple words: हमें तीन इकाई सदिश दिए गए हैं, मतलब उनकी लंबाई 1 है. हमें यह भी बताया गया है कि `a` का `b` के साथ डॉट प्रोडक्ट, `a` का `c` के साथ डॉट प्रोडक्ट के बराबर है. इसका मतलब है कि सदिश `a` सदिश `b-c` पर लंबवत है. साथ ही, `b` और `c` के बीच का कोण दिया गया है. इन सभी जानकारियों का इस्तेमाल करके हम गणितीय सूत्रों से यह सिद्ध कर सकते हैं कि सदिश `a` हमेशा `b` और `c` के क्रॉस प्रोडक्ट के दो गुने (`+2` या `-2`) के बराबर होता है.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रमाण में इकाई सदिशों के गुणों (`|\vec{a}|=1`), अदिश गुणनफल की व्याख्या (`\vec{a} \cdot \vec{X} = 0` का अर्थ \( \vec{a} \perp \vec{X} \)), और सदिश गुणनफल के परिमाण के सूत्र का सही उपयोग करना महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 6. \( |\vec{a} \times \vec{b}| \) का मान ज्ञात कीजिए, यदि \( |\vec{a}| = 10, |\vec{b}| = 2 \) तथा \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 12 \).
Answer: हम सदिशों के अदिश गुणनफल और सदिश गुणनफल के परिमाण के बीच के संबंध का उपयोग करके \( |\vec{a} \times \vec{b}| \) का मान ज्ञात कर सकते हैं।
दिया है:
\( |\vec{a}| = 10 \)
\( |\vec{b}| = 2 \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 12 \)
हम जानते हैं कि अदिश गुणनफल का सूत्र \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \) होता है।
\( 12 = (10)(2) \cos \theta \)
\( 12 = 20 \cos \theta \)
\( \implies \cos \theta = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \)
अब, हम \( \sin \theta \) का मान ज्ञात कर सकते हैं, क्योंकि \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \):
\( \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \)
\( \implies \sin^2 \theta = 1 - (\frac{3}{5})^2 \)
\( \implies \sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} \)
\( \implies \sin^2 \theta = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25} \)
\( \implies \sin \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \) (चूँकि \( \theta \) दो सदिशों के बीच का कोण है, \( 0 \le \theta \le \pi \), तो \( \sin \theta \ge 0 \))
अंत में, सदिश गुणनफल के परिमाण का सूत्र है \( |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta \)।
\( |\vec{a} \times \vec{b}| = (10)(2)(\frac{4}{5}) \)
\( \implies |\vec{a} \times \vec{b}| = 20 \times \frac{4}{5} \)
\( \implies |\vec{a} \times \vec{b}| = 4 \times 4 \)
\( \implies |\vec{a} \times \vec{b}| = 16 \)
अतः, \( |\vec{a} \times \vec{b}| \) का मान 16 है।
In simple words: हमें दो सदिशों की लंबाई और उनका डॉट प्रोडक्ट दिया गया है. सबसे पहले, डॉट प्रोडक्ट के सूत्र का उपयोग करके उनके बीच का कोण (`cos \theta`) ज्ञात करें. फिर, `sin^2 \theta + cos^2 \theta = 1` सूत्र का उपयोग करके `sin \theta` ज्ञात करें. आखिर में, क्रॉस प्रोडक्ट की लंबाई निकालने के सूत्र (`|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta`) में सभी मान रखकर जवाब पाएं.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए, सदिश गुणनफल और अदिश गुणनफल के परिमाण के सूत्रों को याद रखना महत्वपूर्ण है। साथ ही, \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) सर्वसमिका का उपयोग करके \( \sin \theta \) ज्ञात करना एक सामान्य और कुशल तरीका है।

प्रश्न 7. सदिशों \( \vec{a} = 4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k} \) तथा \( \vec{b} = -2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} \) के लम्बवत् 9 इकाई परिमाण वाला सदिश ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दो सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) पर लंबवत एक सदिश ज्ञात करना है जिसका परिमाण 9 इकाई हो।
कोई भी सदिश जो दो सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) पर लंबवत होता है, वह उनके सदिश गुणनफल \( \vec{a} \times \vec{b} \) के समांतर होता है।
पहले \( \vec{a} \times \vec{b} \) ज्ञात कीजिए:
माना \( \vec{a} = 4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k} \) तथा \( \vec{b} = -2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} \)
\( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}((-1) \times (-2) - 1 \times 3) - \hat{j}(4 \times (-2) - (-2) \times 3) + \hat{k}(4 \times 1 - (-2) \times (-1)) \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(2-3) - \hat{j}(-8+6) + \hat{k}(4-2) \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} \)
अब, \( \vec{a} \times \vec{b} \) का परिमाण ज्ञात कीजिए:
\( |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2 + (2)^2} \)
\( \implies |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3 \)
सदिश \( \vec{a} \times \vec{b} \) की दिशा में इकाई सदिश \( \hat{n} \) है:
\( \hat{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{3} \)
हमें 9 इकाई परिमाण वाला सदिश ज्ञात करना है, जो \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) पर लंबवत हो। यह सदिश \( \pm 9\hat{n} \) होगा।
अतः, आवश्यक सदिश \( = \pm 9 \times \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{3} \)
\( \implies = \pm 3(-\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \)
\( \implies = \pm (-3\hat{i} + 6\hat{j} + 6\hat{k}) \)
यह वह सदिश है जिसका परिमाण 9 इकाई है और यह दिए गए दोनों सदिशों पर लंबवत है।
In simple words: सबसे पहले, दोनों दिए गए सदिशों का क्रॉस प्रोडक्ट निकालें. इससे आपको एक नया सदिश मिलेगा जो उन दोनों पर लंबवत है. फिर, इस नए सदिश की लंबाई निकालें और इसे इसकी लंबाई से भाग देकर एक इकाई सदिश प्राप्त करें. आखिर में, उस इकाई सदिश को 9 से गुणा करें, क्योंकि हमें 9 इकाई परिमाण वाला सदिश चाहिए. `+` और `-` दोनों दिशाओं को दिखाएं.

🎯 Exam Tip: जब भी दो सदिशों पर लंबवत सदिश ज्ञात करने को कहा जाए, तो हमेशा उनके सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट) का उपयोग करें। इकाई सदिश ज्ञात करने के बाद, दिए गए परिमाण से गुणा करना न भूलें, और \( \pm \) चिन्ह का उपयोग करें क्योंकि दो दिशाएं संभव हैं।

प्रश्न 8. प्रदर्शित कीजिए कि \( (\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b}) = 2(\vec{a} \times \vec{b}) \). इसकी ज्यामितीय व्याख्या भी कीजिए।
Answer: हम इस समीकरण को सदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करके सिद्ध कर सकते हैं।
बायाँ पक्ष (L.H.S.) लीजिए:
\( (\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b}) \)
वितरण नियम का उपयोग करके:
\( \implies \vec{a} \times (\vec{a}+\vec{b}) - \vec{b} \times (\vec{a}+\vec{b}) \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b} \)
हम जानते हैं कि \( \vec{X} \times \vec{X} = 0 \) और \( \vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b}) \)।
\( \implies 0 + \vec{a} \times \vec{b} - (-(\vec{a} \times \vec{b})) - 0 \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} \)
\( \implies 2(\vec{a} \times \vec{b}) \)
यह दायाँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है। अतः, \( (\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b}) = 2(\vec{a} \times \vec{b}) \) सिद्ध हुआ।

ज्यामितीय व्याख्या:
माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें \( \vec{AB} = \vec{a} \) और \( \vec{AD} = \vec{b} \) उसकी आसन्न भुजाएँ हैं।
तब, इसके विकर्ण \( \vec{AC} \) और \( \vec{DB} \) होंगे।
त्रिभुज नियम से:
\( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b} \)
\( \vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB} = -\vec{AD} + \vec{AB} = -\vec{b} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{b} \)
तो, हमारे पास \( \vec{a}+\vec{b} \) और \( \vec{a}-\vec{b} \) क्रमशः समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिनिधित्व करते हैं।


हम जानते हैं कि किसी समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं के सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है, अर्थात् \( |\vec{a} \times \vec{b}| \)।
यहाँ, समीकरण \( (\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b}) = 2(\vec{a} \times \vec{b}) \) यह दर्शाता है कि एक समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण \( (\vec{a}-\vec{b}) \) और \( (\vec{a}+\vec{b}) \) आसन्न भुजाएँ हैं, उसका सदिश क्षेत्रफल, मूल समांतर चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
यह इस निष्कर्ष पर पहुँचता है कि यदि हम किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को आसन्न भुजाएँ मानकर एक नया समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, तो नए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल मूल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का दो गुना होता है।
In simple words: बीजगणित से, अगर आप दो सदिशों के अंतर और योग का क्रॉस प्रोडक्ट लेते हैं, तो यह उनके मूल क्रॉस प्रोडक्ट का दुगुना होता है. ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को अगर नए समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ मान लिया जाए, तो नए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल पहले वाले से दुगुना होगा.

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय प्रमाण के लिए, सदिश गुणनफल के वितरण नियम और \( \vec{X} \times \vec{X} = 0 \) तथा \( \vec{X} \times \vec{Y} = -\vec{Y} \times \vec{X} \) गुणों को याद रखना महत्वपूर्ण है। ज्यामितीय व्याख्या में, समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को \( \vec{a}+\vec{b} \) और \( \vec{a}-\vec{b} \) के रूप में दर्शाना और क्षेत्रफल के संबंध को स्पष्ट करना आवश्यक है।

प्रश्न 9. किसी भी सदिश \( \vec {a} \) के लिए सिद्ध कीजिए कि \( |\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = 2 |\vec{a}|^2 \).
Answer: इस सर्वसमिका को सिद्ध करने के लिए, हम सदिश \( \vec{a} \) को उसके घटकों में विघटित करेंगे और सदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करेंगे।
माना सदिश \( \vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k} \) है।
तब, \( |\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \)।

पहले \( |\vec{a} \times \hat{i}|^2 \) ज्ञात कीजिए:
\( \vec{a} \times \hat{i} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \times \hat{i} \)
\( \implies = a_1(\hat{i} \times \hat{i}) + a_2(\hat{j} \times \hat{i}) + a_3(\hat{k} \times \hat{i}) \)
हम जानते हैं कि \( \hat{i} \times \hat{i} = 0 \), \( \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k} \) और \( \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j} \)।
\( \implies = a_1(0) + a_2(-\hat{k}) + a_3(\hat{j}) \)
\( \implies = a_3\hat{j} - a_2\hat{k} \)
अब, इसका परिमाण का वर्ग:
\( |\vec{a} \times \hat{i}|^2 = (a_3)^2 + (-a_2)^2 = a_3^2 + a_2^2 \)

इसी प्रकार, \( |\vec{a} \times \hat{j}|^2 \) ज्ञात कीजिए:
\( \vec{a} \times \hat{j} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \times \hat{j} \)
\( \implies = a_1(\hat{i} \times \hat{j}) + a_2(\hat{j} \times \hat{j}) + a_3(\hat{k} \times \hat{j}) \)
हम जानते हैं कि \( \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k} \), \( \hat{j} \times \hat{j} = 0 \) और \( \hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i} \)।
\( \implies = a_1(\hat{k}) + a_2(0) + a_3(-\hat{i}) \)
\( \implies = -a_3\hat{i} + a_1\hat{k} \)
अब, इसका परिमाण का वर्ग:
\( |\vec{a} \times \hat{j}|^2 = (-a_3)^2 + (a_1)^2 = a_3^2 + a_1^2 \)

और, \( |\vec{a} \times \hat{k}|^2 \) ज्ञात कीजिए:
\( \vec{a} \times \hat{k} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \times \hat{k} \)
\( \implies = a_1(\hat{i} \times \hat{k}) + a_2(\hat{j} \times \hat{k}) + a_3(\hat{k} \times \hat{k}) \)
हम जानते हैं कि \( \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j} \), \( \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i} \) और \( \hat{k} \times \hat{k} = 0 \)।
\( \implies = a_1(-\hat{j}) + a_2(\hat{i}) + a_3(0) \)
\( \implies = a_2\hat{i} - a_1\hat{j} \)
अब, इसका परिमाण का वर्ग:
\( |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = (a_2)^2 + (-a_1)^2 = a_2^2 + a_1^2 \)

बायाँ पक्ष (L.H.S.) में इन सभी मानों को जोड़ने पर:
\( |\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 \)
\( \implies = (a_3^2 + a_2^2) + (a_3^2 + a_1^2) + (a_2^2 + a_1^2) \)
\( \implies = 2a_1^2 + 2a_2^2 + 2a_3^2 \)
\( \implies = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) \)
जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, \( |\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \)।
इसलिए, \( \implies = 2|\vec{a}|^2 \)
यह दायाँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है।
अतः, \( |\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = 2|\vec{a}|^2 \) सिद्ध हुआ।
In simple words: हमें यह दिखाना है कि एक सदिश `a` का इकाई सदिशों `i`, `j`, `k` के साथ क्रॉस प्रोडक्ट के वर्गों का योग, उस सदिश `a` की लंबाई के वर्ग का दुगुना होता है. इसके लिए, हम सदिश `a` को उसके हिस्सों (`a1i + a2j + a3k`) में तोड़ते हैं. फिर, हर हिस्से का क्रॉस प्रोडक्ट और उसकी लंबाई का वर्ग निकालते हैं. सभी वर्गों को जोड़ने पर, हमें `2` गुना `a` की लंबाई का वर्ग मिलता है, जिससे यह सिद्ध हो जाता है.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रमाण के लिए, इकाई सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट गुणों (`\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}`, आदि) को याद रखना और सदिश \( \vec{a} \) को उसके घटक रूप \( a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k} \) में व्यक्त करना महत्वपूर्ण है। प्रत्येक पद को सावधानी से गणना करें।

प्रश्न 10. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ सदिश \( \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k} \) तथा \( 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k} \) से निरूपित हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि एक त्रिभुज की दो आसन्न भुजाएँ सदिशों \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) द्वारा निरूपित की जाती हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| \) होता है।
यहां, दिए गए सदिश हैं:
माना \( \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} \)
माना \( \vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \)
पहले, \( \vec{a} \times \vec{b} \) ज्ञात कीजिए:
\( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(2 \times 1 - (-2) \times 2) - \hat{j}(1 \times 1 - 3 \times 2) + \hat{k}(1 \times (-2) - 3 \times 2) \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(2 - (-4)) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-2 - 6) \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(2+4) - \hat{j}(-5) + \hat{k}(-8) \)
\( \implies \vec{a} \times \vec{b} = 6\hat{i} + 5\hat{j} - 8\hat{k} \)
अब, सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात कीजिए:
\( |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(6)^2 + (5)^2 + (-8)^2} \)
\( \implies |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{36 + 25 + 64} \)
\( \implies |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{125} \)
\( \implies |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5} \)
अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| \)
\( \implies = \frac{1}{2} (5\sqrt{5}) \)
\( \implies = \frac{5\sqrt{5}}{2} \) वर्ग इकाई।
In simple words: त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए, पहले दी गई दो भुजाओं के सदिशों का क्रॉस प्रोडक्ट निकालें. फिर उस क्रॉस प्रोडक्ट सदिश की लंबाई (परिमाण) ज्ञात करें. आखिर में, उस लंबाई को 2 से भाग दे दें. यही त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा.

🎯 Exam Tip: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय \( \frac{1}{2} \) कारक को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है। साथ ही, सदिश गुणनफल की गणना में चिन्हों और घटकों की सही पहचान सुनिश्चित करें।