RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Exercise 12.5

निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल कीजिए:

Question 1. \( (x + y)² \frac{dy}{dx} = a² \)
Answer: दी गई अवकल समीकरण है: \[ (x + y)² \frac{dy}{dx} = a² \] यह समीकरण (1) है।
अब मान लीजिए \( x + y = u \).
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 1 + \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} \)

\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1 \)
इन मानों को समीकरण (1) में रखने पर:
\( u² \left( \frac{du}{dx} - 1 \right) = a² \)

\( \implies u² \frac{du}{dx} - u² = a² \)

\( \implies u² \frac{du}{dx} = a² + u² \)

\( \implies \frac{u²}{a² + u²} du = dx \)

\( \implies \frac{u² + a² - a²}{a² + u²} du = dx \)

\( \implies \left( 1 - \frac{a²}{a² + u²} \right) du = dx \)
दोनों तरफ समाकलन करने पर:
\( \int \left( 1 - \frac{a²}{a² + u²} \right) du = \int dx \)

\( \implies u - a² \cdot \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{u}{a} \right) = x + C \)

\( \implies u - a \tan^{-1} \left( \frac{u}{a} \right) = x + C \)
u का मान \( x+y \) वापस रखने पर:
\( x+y - a \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{a} \right) = x + C \)

\( \implies y - a \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{a} \right) = C \)

\( \implies y = C + a \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{a} \right) \)
यह समीकरण दर्शाता है कि \( y \) को \( x \) और एक स्थिरांक के साथ कैसे जोड़ा जाता है। हम इस हल को थोड़ा और बदल सकते हैं।

\( \implies y - C = a \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{a} \right) \)

\( \implies \frac{y-C}{a} = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{a} \right) \)

\( \implies \tan \left( \frac{y-C}{a} \right) = \frac{x+y}{a} \)

\( \implies a \tan \left( \frac{y-C}{a} \right) = x+y \)
इसलिए, अभीष्ट हल \( x + y = a \tan \left( \frac{y-C}{a} \right) \) है।
In simple words: हमने \( x+y \) को \( u \) मानकर समीकरण को सरल किया. फिर दोनों तरफ समाकलन करके \( u \) और \( x \) के बीच संबंध निकाला. अंत में, \( u \) की जगह वापस \( x+y \) रखकर हमें \( x \) और \( y \) के बीच का अंतिम संबंध मिल गया.

🎯 Exam Tip: जब समीकरण में \( (x+y) \) या \( (x-y) \) जैसे पद हों, तो उन्हें एक नया चर (जैसे \( u \) या \( v \)) मानकर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें। यह अक्सर समीकरण को हल करने में आसान बनाता है।

Question 2. \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1} \)
Answer: दी गई अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1} \)
मान लीजिए \( x+y+1 = t \).
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 1 + \frac{dy}{dx} + 0 = \frac{dt}{dx} \)

\( \implies 1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} \)

\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1 \)
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर:
\( \frac{dt}{dx} - 1 = \frac{1}{t} \)

\( \implies \frac{dt}{dx} = 1 + \frac{1}{t} \)

\( \implies \frac{dt}{dx} = \frac{t+1}{t} \)

\( \implies \frac{t}{t+1} dt = dx \)

\( \implies \left( 1 - \frac{1}{t+1} \right) dt = dx \)
दोनों तरफ समाकलन करने पर:
\( \int \left( 1 - \frac{1}{t+1} \right) dt = \int dx \)

\( \implies t - \log |t+1| = x + C_1 \)
अब \( t \) का मान \( x+y+1 \) वापस रखने पर:
\( (x+y+1) - \log |(x+y+1)+1| = x + C_1 \)

\( \implies x+y+1 - \log |x+y+2| = x + C_1 \)

\( \implies y+1 - \log |x+y+2| = C_1 \)

\( \implies y+1 - C_1 = \log |x+y+2| \)
मान लीजिए \( C_1' = 1 - C_1 \). तो \( y+C_1' = \log |x+y+2| \).
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
\( \log |x+y+2| = y + (1 - C_1) \)
मान लीजिए \( C_2 = 1 - C_1 \).
\( \log |x+y+2| = y + C_2 \)
दोनों तरफ e की घात लेने पर:
\( e^{\log|x+y+2|} = e^{y+C_2} \)

\( \implies x+y+2 = e^y \cdot e^{C_2} \)
मान लीजिए \( C = e^{C_2} \). यह एक नया स्थिरांक है।
अतः, अभीष्ट हल \( x+y+2 = Ce^y \) है। यह समीकरण \( x \) और \( y \) के बीच का संबंध दर्शाता है।
In simple words: हमने \( x+y+1 \) को \( t \) मानकर समीकरण को सरल किया. फिर \( t \) को \( x \) और \( y \) के पदों में वापस रखा. अंत में, हमें \( x \) और \( y \) के लिए एक सरल समीकरण मिल गया जिसमें एक स्थिरांक \( C \) शामिल है.

🎯 Exam Tip: प्रतिस्थापन के बाद चरों को अलग करने का प्रयास करें ताकि \( dt \) पद \( t \) के फलन के साथ और \( dx \) पद \( x \) के फलन के साथ हों। यह समाकलन को बहुत आसान बना देता है।

Question 3. \( \cos (x + y)dy = dx \)
Answer: दी गई अवकल समीकरण है:
\( \cos (x + y)dy = dx \)
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
\( \frac{dx}{dy} = \cos (x+y) \)
मान लीजिए \( x+y = v \).
दोनों तरफ y के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{dy} + 1 = \frac{dv}{dy} \)

\( \implies \frac{dx}{dy} = \frac{dv}{dy} - 1 \)
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर:
\( \frac{dv}{dy} - 1 = \cos v \)

\( \implies \frac{dv}{dy} = 1 + \cos v \)

\( \implies \frac{dv}{1 + \cos v} = dy \)
अब, हम \( 1 + \cos v \) को \( 2\cos^2 \frac{v}{2} \) के रूप में त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके सरल कर सकते हैं। यह एक मानक पहचान है जो गणितीय समस्याओं को सरल बनाने में मदद करती है।
\( \implies \frac{dv}{2\cos^2 \frac{v}{2}} = dy \)

\( \implies \frac{1}{2} \sec^2 \frac{v}{2} dv = dy \)
दोनों तरफ समाकलन करने पर:
\( \int \frac{1}{2} \sec^2 \frac{v}{2} dv = \int dy \)
यहाँ, \( \int \sec^2 (ax) dx = \frac{1}{a} \tan (ax) \).
इसलिए, \( \int \frac{1}{2} \sec^2 \frac{v}{2} dv = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(1/2)} \tan \frac{v}{2} + C' \)
\( \implies \tan \frac{v}{2} = y + C \)
अब \( v \) का मान \( x+y \) वापस रखने पर:
\( \tan \left( \frac{x+y}{2} \right) = y + C \)
यह अभीष्ट हल है।
In simple words: हमने \( x+y \) को \( v \) मानकर समीकरण को सरल बनाया. फिर इसे \( y \) के सापेक्ष अवकलित किया और चरों को अलग किया. अंत में, हमने दोनों तरफ समाकलन किया और \( v \) की जगह \( x+y \) वापस रखकर अंतिम हल प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय पहचानों को याद रखें, खासकर \( 1 + \cos \theta = 2\cos^2 \frac{\theta}{2} \) और \( 1 - \cos \theta = 2\sin^2 \frac{\theta}{2} \)। ये अक्सर ऐसी अवकल समीकरणों को सरल बनाने में मदद करती हैं।

Question 4. \( e^{x + y} = 1 + \frac{dy}{dx} \)
Answer: दी गई अवकल समीकरण है:
\( e^{x + y} = 1 + \frac{dy}{dx} \)
मान लीजिए \( x+y = v \).
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} \)

\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1 \)
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर:
\( e^v = 1 + \left( \frac{dv}{dx} - 1 \right) \)

\( \implies e^v = \frac{dv}{dx} \)

\( \implies \frac{dv}{e^v} = dx \)

\( \implies e^{-v} dv = dx \)
दोनों तरफ समाकलन करने पर:
\( \int e^{-v} dv = \int dx \)

\( \implies -e^{-v} = x + C_1 \)

\( \implies -e^{-v} - x = C_1 \)

\( \implies x + e^{-v} = -C_1 \)
मान लीजिए \( C = -C_1 \). यह एक नया स्थिरांक है। \( e^{-v} \) में ऋणात्मक घात का मतलब है कि यह \( 1/e^v \) के बराबर है, जो गणित में एक सामान्य परिवर्तन है।
अब \( v \) का मान \( x+y \) वापस रखने पर:
\( x + e^{-(x+y)} = C \)
यह अभीष्ट हल है।
In simple words: हमने \( x+y \) को \( v \) मानकर समीकरण को आसान बनाया. इससे \( e^v = \frac{dv}{dx} \) बना. फिर हमने \( e^{-v} \) को समाकलित किया और \( v \) की जगह \( x+y \) वापस रख दिया, जिससे हमें अंतिम उत्तर मिला.

🎯 Exam Tip: जब समीकरण में \( e^{x+y} \) जैसा पद हो, तो \( x+y \) को एक नए चर से प्रतिस्थापित करना अक्सर सबसे प्रभावी तरीका होता है। हमेशा स्थिरांकों को सही ढंग से संयोजित करना याद रखें।

Question 5. \( (x + y) (dx - dy) = dx + dy \)
Answer: दी गई अवकल समीकरण है:
\( (x + y) (dx - dy) = dx + dy \)
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( (x + y)dx - (x + y)dy = dx + dy \)
dy पदों को एक तरफ और dx पदों को दूसरी तरफ ले जाने पर:
\( (x + y)dx - dx = dy + (x + y)dy \)

\( \implies (x + y - 1)dx = (1 + x + y)dy \)

\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x+y-1}{x+y+1} \)
मान लीजिए \( x+y = v \).
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} \)

\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1 \)
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर:
\( \frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v-1}{v+1} \)

\( \implies \frac{dv}{dx} = 1 + \frac{v-1}{v+1} \)

\( \implies \frac{dv}{dx} = \frac{v+1+v-1}{v+1} \)

\( \implies \frac{dv}{dx} = \frac{2v}{v+1} \)

\( \implies \frac{v+1}{2v} dv = dx \)

\( \implies \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2v} \right) dv = dx \)
दोनों तरफ समाकलन करने पर:
\( \int \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2v} \right) dv = \int dx \)

\( \implies \frac{1}{2} v + \frac{1}{2} \log |v| = x + C_1 \)
यह समीकरण एक रेखीय रूप में है, जिसे \( \frac{1}{2} \) से गुणा करने पर हम इसे आगे हल कर सकते हैं।

\( \implies v + \log |v| = 2x + 2C_1 \)
अब \( v \) का मान \( x+y \) वापस रखने पर:
\( (x+y) + \log |x+y| = 2x + 2C_1 \)

\( \implies \log |x+y| = 2x - x - y + 2C_1 \)

\( \implies \log |x+y| = x - y + 2C_1 \)
मान लीजिए \( C = 2C_1 \).
अतः, अभीष्ट हल \( x - y + C = \log |x+y| \) है।
In simple words: हमने समीकरण को \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में लिखा. फिर \( x+y \) को \( v \) मानकर इसे सरल किया. हमने चरों को अलग किया और दोनों तरफ समाकलन किया. अंत में, \( v \) की जगह \( x+y \) वापस रखकर हमें \( x \) और \( y \) के बीच का संबंध मिल गया.

🎯 Exam Tip: \( \frac{1}{2}v + \frac{1}{2}\log|v| = x + C_1 \) के बाद \( 2C_1 \) को एक नए स्थिरांक \( C \) से बदलना आम है। यह उत्तर को सरल दिखाता है, लेकिन दोनों रूप सही हैं।

Question 6. \( \frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y} \)
Answer: दी गई अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y} \)
मान लीजिए \( x+y = v \).
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} \)

\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1 \)
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर:
\( \frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v+1}{v} \)

\( \implies \frac{dv}{dx} = 1 + \frac{v+1}{v} \)

\( \implies \frac{dv}{dx} = \frac{v+v+1}{v} \)

\( \implies \frac{dv}{dx} = \frac{2v+1}{v} \)

\( \implies \frac{v}{2v+1} dv = dx \)
अब, हम इस पद को समाकलित करने के लिए थोड़ा पुनर्व्यवस्थित करते हैं। ऐसा करने से हमें भिन्नों को अलग करने में मदद मिलती है, जिससे समाकलन आसान हो जाता है।
\( \implies \frac{1}{2} \left( \frac{2v}{2v+1} \right) dv = dx \)

\( \implies \frac{1}{2} \left( \frac{2v+1-1}{2v+1} \right) dv = dx \)

\( \implies \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2v+1} \right) dv = dx \)
दोनों तरफ समाकलन करने पर:
\( \int \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2v+1} \right) dv = \int dx \)

\( \implies \frac{1}{2} \left( v - \frac{1}{2} \log |2v+1| \right) = x + C_1 \)

\( \implies v - \frac{1}{2} \log |2v+1| = 2x + 2C_1 \)
अब \( v \) का मान \( x+y \) वापस रखने पर:
\( (x+y) - \frac{1}{2} \log |2(x+y)+1| = 2x + 2C_1 \)

\( \implies x+y - \frac{1}{2} \log |2x+2y+1| = 2x + 2C_1 \)

\( \implies y - \frac{1}{2} \log |2x+2y+1| = x + 2C_1 \)
यह अभीष्ट हल है। हम इसे \( 2C_1 \) को एक नए स्थिरांक \( C \) से बदलकर भी लिख सकते हैं।
In simple words: हमने \( x+y \) को \( v \) मानकर समीकरण को आसान बनाया. फिर चरों को अलग करके दोनों तरफ समाकलन किया. अंत में, \( v \) को वापस \( x+y \) से बदलकर \( x \) और \( y \) के बीच का संबंध प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: जब समाकलन \( \int \frac{v}{2v+1} dv \) जैसा हो, तो अंश को हर जैसा बनाने के लिए \( \frac{1}{2}(2v) = \frac{1}{2}(2v+1-1) \) जैसी चालों का उपयोग करना याद रखें। इससे समाकलन सरल हो जाता है।

Question 7. \( x+y = \sin^{-1} \left(\frac{dy}{dx}\right) \)
Answer: दी गई अवकल समीकरण है:
\( x+y = \sin^{-1} \left(\frac{dy}{dx}\right) \)
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
\( \sin(x+y) = \frac{dy}{dx} \)
मान लीजिए \( x+y = u \).
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 1 + \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} \)

\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1 \)
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर:
\( \sin u = \frac{du}{dx} - 1 \)

\( \implies \frac{du}{dx} = 1 + \sin u \)

\( \implies \frac{du}{1 + \sin u} = dx \)
अब, हम \( \frac{1}{1 + \sin u} \) को समाकलित करने के लिए इसे सरल करते हैं। अंश और हर को \( 1 - \sin u \) से गुणा करने पर यह आसान हो जाता है।
\( \implies \frac{1}{1 + \sin u} \cdot \frac{1 - \sin u}{1 - \sin u} du = dx \)

\( \implies \frac{1 - \sin u}{1 - \sin² u} du = dx \)

\( \implies \frac{1 - \sin u}{\cos² u} du = dx \)

\( \implies \left( \frac{1}{\cos² u} - \frac{\sin u}{\cos² u} \right) du = dx \)

\( \implies (\sec² u - \tan u \sec u) du = dx \)
दोनों तरफ समाकलन करने पर:
\( \int (\sec² u - \tan u \sec u) du = \int dx \)

\( \implies \int \sec² u du - \int \tan u \sec u du = x + C_1 \)

\( \implies \tan u - \sec u = x + C_1 \)
अब \( u \) का मान \( x+y \) वापस रखने पर:
\( \tan (x+y) - \sec (x+y) = x + C_1 \)
इसे \( x = \tan(x+y) - \sec(x+y) - C_1 \) भी लिख सकते हैं।
मान लीजिए \( C = -C_1 \).
अतः, अभीष्ट हल \( x = \tan(x+y) - \sec(x+y) + C \) है।
In simple words: हमने \( x+y \) को \( u \) मानकर समीकरण को सरल किया. फिर \( \sin u = \frac{du}{dx} - 1 \) मिला. हमने \( \frac{1}{1+\sin u} \) को \( \sec^2 u - \tan u \sec u \) में बदलकर समाकलित किया. अंत में, \( u \) की जगह \( x+y \) वापस रखकर उत्तर प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: \( \sin^{-1} \left(\frac{dy}{dx}\right) \) वाले पदों को \( \frac{dy}{dx} = \sin(...) \) में बदलना पहला और महत्वपूर्ण कदम है। फिर त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करके समाकलनीय रूप में लाना बहुत आवश्यक है।

Question 8. \( \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{x-y} \)
Answer: दी गई अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{x-y} \)
मान लीजिए \( x-y = v \).
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 1 - \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} \)

\( \implies \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx} \)
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर:
\( 1 - \frac{dv}{dx} = 1 + \frac{1}{v} \)

\( \implies - \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} \)

\( \implies -v dv = dx \)
दोनों तरफ समाकलन करने पर:
\( \int -v dv = \int dx \)

\( \implies -\frac{v²}{2} = x + C_1 \)
यह समीकरण एक परवलयिक संबंध दर्शाता है जो \( x \) और \( v \) के बीच मौजूद है, जहाँ \( v \) वास्तव में \( x \) और \( y \) से बना है।

\( \implies -\frac{v²}{2} - x = C_1 \)

\( \implies x + \frac{v²}{2} = -C_1 \)
मान लीजिए \( C = -C_1 \).
अब \( v \) का मान \( x-y \) वापस रखने पर:
\( x + \frac{(x-y)²}{2} = C \)
इस समीकरण को सरल करने पर:
\( 2x + (x-y)² = 2C \)
मान लीजिए \( C' = 2C \).
अतः, अभीष्ट हल \( 2x + (x-y)² = C' \) है।
In simple words: हमने \( x-y \) को \( v \) मानकर समीकरण को सरल किया. फिर \( \frac{dy}{dx} \) को \( v \) और \( \frac{dv}{dx} \) के पदों में व्यक्त किया. चरों को अलग करके दोनों तरफ समाकलन किया. अंत में, \( v \) को \( x-y \) से बदलकर अंतिम हल प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: जब \( \frac{dy}{dx} \) को \( x-y \) या \( x+y \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो प्रतिस्थापन विधि (substituting \( v=x-y \) या \( v=x+y \)) अक्सर सबसे कुशल तरीका होता है।

Question 10. \( \frac{dy}{dx} = \frac{(x-y)+3}{2(x-y)+5} \)
Answer: दी गई अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{(x-y)+3}{2(x-y)+5} \)
मान लीजिए \( x-y = v \).
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 1 - \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} \)

\( \implies \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx} \)
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर:
\( 1 - \frac{dv}{dx} = \frac{v+3}{2v+5} \)

\( \implies \frac{dv}{dx} = 1 - \frac{v+3}{2v+5} \)

\( \implies \frac{dv}{dx} = \frac{2v+5-(v+3)}{2v+5} \)

\( \implies \frac{dv}{dx} = \frac{2v+5-v-3}{2v+5} \)

\( \implies \frac{dv}{dx} = \frac{v+2}{2v+5} \)

\( \implies \frac{2v+5}{v+2} dv = dx \)
अब, हम \( \frac{2v+5}{v+2} \) को समाकलित करने के लिए इसे सरल करते हैं। यह भागफल को \( (2(v+2) + 1)/(v+2) \) के रूप में लिखकर किया जा सकता है, जो समाकलन को आसान बना देता है।
\( \implies \frac{2(v+2)+1}{v+2} dv = dx \)

\( \implies \left( 2 + \frac{1}{v+2} \right) dv = dx \)
दोनों तरफ समाकलन करने पर:
\( \int \left( 2 + \frac{1}{v+2} \right) dv = \int dx \)

\( \implies 2v + \log |v+2| = x + C \)
अब \( v \) का मान \( x-y \) वापस रखने पर:
\( 2(x-y) + \log |(x-y)+2| = x + C \)

\( \implies 2x - 2y + \log |x-y+2| = x + C \)

\( \implies x - 2y + \log |x-y+2| = C \)
अतः, अभीष्ट हल \( x - 2y + \log |x-y+2| = C \) है।
In simple words: हमने \( x-y \) को \( v \) मानकर समीकरण को सरल किया. फिर \( \frac{dv}{dx} \) को \( v \) के पदों में व्यक्त किया. चरों को अलग करके दोनों तरफ समाकलन किया, जिसमें हमने \( \frac{2v+5}{v+2} \) को \( 2 + \frac{1}{v+2} \) के रूप में सरल किया. अंत में, \( v \) को \( x-y \) से बदलकर अंतिम हल प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: अंश को हर के गुणज में व्यक्त करके भिन्न को सरल करना एक महत्वपूर्ण तकनीक है। जैसे \( \frac{2v+5}{v+2} \) को \( \frac{2(v+2)+1}{v+2} \) में बदलना, जो \( 2 + \frac{1}{v+2} \) हो जाता है। यह समाकलन को बहुत आसान बना देता है।