RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Exercise 12.4

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए

Question 1. \( (e^x + 1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0 \)
Answer: दिए गए अवकल समीकरण को ऐसे लिखा जा सकता है:
\( (e^x + 1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0 \)
पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है:
\( \frac{\cos x}{\sin x} \, dx + \frac{e^y}{e^y + 1} \, dy = 0 \)
अब, दोनों तरफ समाकलन करने पर, हमें यह समीकरण मिलता है:
\( \int \cot x \, dx + \int \frac{e^y}{e^y + 1} \, dy = 0 \)
\( \implies \log |\sin x| + \log |e^y + 1| = \log C \)
लॉग के नियमों का उपयोग करके, हम इसे सरल कर सकते हैं:
\( \implies \log |\sin x (e^y + 1)| = \log C \)
दोनों तरफ से लॉग हटाने पर, हमें अंतिम हल मिलता है:
\( \implies \sin x (e^y + 1) = C \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का आवश्यक व्यापक हल है, जहाँ C एक समाकलन स्थिरांक है।
In simple words: हमने समीकरण में x और y वाले पदों को अलग-अलग किया. फिर दोनों तरफ समाकलन किया और हल निकाल लिया. अंत में, हमने लॉग के नियमों का उपयोग करके उत्तर को सरल किया.

🎯 Exam Tip: अवकल समीकरणों को हल करते समय सबसे पहले चरों को अलग-अलग करना महत्वपूर्ण है। लॉग के नियमों को सही ढंग से लागू करने से समाकलन के बाद उत्तर को सरल करने में मदद मिलती है।

Question 3. \( (x + 1) \frac{dy}{dx} = 2xy \)
Answer: दिया गया अवकल समीकरण है:
\( (x + 1) \frac{dy}{dx} = 2xy \)
सबसे पहले, हम समीकरण में x और y वाले पदों को अलग करते हैं:
\( \frac{1}{y} \, dy = \frac{2x}{x + 1} \, dx \)
दायीं ओर वाले अंश को सरल करने के लिए, हम 2 जोड़ते और घटाते हैं:
\( \frac{1}{y} \, dy = \frac{2x + 2 - 2}{x + 1} \, dx \)
\( \implies \frac{1}{y} \, dy = \left( \frac{2(x + 1)}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} \right) \, dx \)
\( \implies \frac{1}{y} \, dy = \left( 2 - \frac{2}{x + 1} \right) \, dx \)
अब, दोनों तरफ समाकलन करने पर, हमें मिलता है:
\( \int \frac{1}{y} \, dy = \int \left( 2 - \frac{2}{x + 1} \right) \, dx \)
\( \implies \log |y| = 2x - 2 \log |x + 1| + C \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
In simple words: हमने x और y के पदों को अलग किया. फिर x वाले पद को सरल बनाया और दोनों तरफ समाकलन किया. इससे हमें समीकरण का हल मिल गया.

🎯 Exam Tip: आंशिक भिन्नों का उपयोग करके या अंश को हर के समान बनाकर भिन्नात्मक व्यंजकों को सरल करना समाकलन को आसान बनाता है। लॉग का सही उपयोग करना याद रखें।

Question 5. \( (\sin x + \cos x)dy + (\cos x - \sin x)dx = 0 \)
Answer: दिया गया अवकल समीकरण है:
\( (\sin x + \cos x)dy + (\cos x - \sin x)dx = 0 \)
पदों को व्यवस्थित करने पर, हम dy/dx के लिए हल कर सकते हैं:
\( (\sin x + \cos x)dy = -(\cos x - \sin x)dx \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = - \frac{(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)} \)
या
\( dy = - \frac{(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)} \, dx \)
दोनों तरफ समाकलन करने पर, हमें मिलता है:
\( \int dy = - \int \frac{(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)} \, dx \)
हम जानते हैं कि यदि \( f(x) = \sin x + \cos x \) है, तो \( f'(x) = \cos x - \sin x \) होगा।
इस प्रकार, समाकलन \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \log |f(x)| \) का उपयोग करते हुए:
\( \implies y = - \log |\sin x + \cos x| + \log C \)
लॉग के गुणों का उपयोग करते हुए, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( \implies y + \log |\sin x + \cos x| = \log C \)
हम y को भी लॉग के रूप में लिख सकते हैं: \( \log e^y \)
\( \implies \log e^y + \log |\sin x + \cos x| = \log C \)
लॉग के योग के नियम का उपयोग करते हुए:
\( \implies \log |e^y (\sin x + \cos x)| = \log C \)
दोनों तरफ से लॉग हटाने पर, हमें अंतिम हल मिलता है:
\( \implies e^y (\sin x + \cos x) = C \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का आवश्यक हल है।
In simple words: हमने dy और dx वाले पदों को अलग किया. फिर देखा कि दाहिने हिस्से में, अंश हर का अवकलज है. इससे समाकलन करना आसान हो गया. अंत में, लॉग के नियमों का उपयोग करके उत्तर को सरल किया.

🎯 Exam Tip: \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \log |f(x)| \) सूत्र को पहचानना और लागू करना ऐसे समाकलनों को बहुत सरल बना देता है। लॉग के गुणों को याद रखें।

Question 6. \( \frac{dy}{dx} = \frac{3e^{2x} + 3e^{4x}}{e^x + e^{-x}} \)
Answer: दिया गया अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{3e^{2x} + 3e^{4x}}{e^x + e^{-x}} \)
अंश में से \( 3e^{2x} \) उभयनिष्ठ लेने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{3e^{2x}(1 + e^{2x})}{e^x + e^{-x}} \)
हर को \( e^{-x}(e^{2x} + 1) \) के रूप में भी लिखा जा सकता है:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{3e^{2x}(1 + e^{2x})}{e^{-x}(e^{2x} + 1)} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3e^{2x}}{e^{-x}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = 3e^{2x - (-x)} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = 3e^{3x} \)
अब, चरों को अलग करने पर:
\( dy = 3e^{3x} \, dx \)
दोनों तरफ समाकलन करने पर, हमें मिलता है:
\( \int dy = \int 3e^{3x} \, dx \)
\( \implies y = 3 \frac{e^{3x}}{3} + C \)
\( \implies y = e^{3x} + C \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का आवश्यक व्यापक हल है। घातांकों के नियमों का उपयोग करके समीकरण को सरल करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमने समीकरण के अंश और हर को सरल किया. इससे \( \frac{dy}{dx} = 3e^{3x} \) मिला. फिर, हमने दोनों तरफ समाकलन करके हल प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: घातांकों के नियमों का उपयोग करके समीकरणों को सरल बनाने से समाकलन करना बहुत आसान हो जाता है। हमेशा जांचें कि क्या अंश या हर में कोई उभयनिष्ठ पद है जिसे रद्द किया जा सकता है।

Question 7. \( \sec^2 x \tan y \, dy + \sec^2 y \tan x \, dx = 0 \)
Answer: दिया गया अवकल समीकरण है:
\( \sec^2 x \tan y \, dy + \sec^2 y \tan x \, dx = 0 \)
हम पदों को अलग करने के लिए समीकरण को \( \tan y \tan x \) से भाग देते हैं:
\( \frac{\sec^2 x \tan y}{\tan y \tan x} \, dy + \frac{\sec^2 y \tan x}{\tan y \tan x} \, dx = 0 \)
\( \implies \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dy + \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dx = 0 \)
यह अभी भी पूरी तरह से अलग नहीं हुआ है। हमें x और y के पदों को एक साथ रखना होगा।
समीकरण को \( \tan y \sec^2 x \) से भाग देने पर:
\( \frac{\sec^2 x \tan y}{\tan y \sec^2 x} \, dy + \frac{\sec^2 y \tan x}{\tan y \sec^2 x} \, dx = 0 \)
\( \implies dy + \frac{\sec^2 y \tan x}{\tan y \sec^2 x} \, dx = 0 \)
यह गलत तरीका है। चरों को अलग करने के लिए, समीकरण को \( \tan x \tan y \) से भाग दें:
\( \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = 0 \)
दोनों तरफ समाकलन करने पर, हमें मिलता है:
\( \int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = \int 0 \, dx \)
हम जानते हैं कि यदि \( f(x) = \tan x \) है, तो \( f'(x) = \sec^2 x \) होगा। इसी तरह y के लिए।
इसलिए, समाकलन \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \log |f(x)| \) का उपयोग करते हुए:
\( \implies \log |\tan x| + \log |\tan y| = \log C \)
लॉग के योग के नियम का उपयोग करते हुए:
\( \implies \log |\tan x \tan y| = \log C \)
दोनों तरफ से लॉग हटाने पर, हमें अंतिम हल मिलता है:
\( \implies \tan x \tan y = C \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का आवश्यक व्यापक हल है।
In simple words: हमने x वाले पदों को dx के साथ और y वाले पदों को dy के साथ अलग किया. फिर, यह जानकर कि \( \sec^2 x \) \( \tan x \) का अवकलज है, हमने दोनों तरफ समाकलन किया. आखिर में, लॉग के नियमों का उपयोग करके उत्तर को सरल किया.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि चरों को अलग करते समय कोई भी पद गलत जगह पर न रहे। \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \log |f(x)| \) जैसे मानक समाकलन सूत्रों को पहचानने से समय बचता है।

Question 9. \( (1 + \cos x) dy = (1 - \cos x) dx \)
Answer: दिया गया अवकल समीकरण है:
\( (1 + \cos x) dy = (1 - \cos x) dx \)
सबसे पहले, हम dy/dx के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \)
अब, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके दाहिने हाथ के पद को सरल बनाते हैं: \( 1 - \cos x = 2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) \) और \( 1 + \cos x = 2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \tan^2 \left( \frac{x}{2} \right) \)
हम जानते हैं कि \( \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 \) होता है। इसलिए,
\( \implies \frac{dy}{dx} = \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) - 1 \)
अब, चरों को अलग करने पर:
\( dy = \left( \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) - 1 \right) \, dx \)
दोनों तरफ समाकलन करने पर, हमें मिलता है:
\( \int dy = \int \left( \sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) - 1 \right) \, dx \)
\( \implies y = \frac{\tan \left( \frac{x}{2} \right)}{\frac{1}{2}} - x + C \)
\( \implies y = 2 \tan \left( \frac{x}{2} \right) - x + C \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके समीकरण को सरल करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमने समीकरण में dy और dx वाले पदों को अलग किया. फिर, हमने त्रिकोणमिति के सूत्रों का उपयोग करके x वाले हिस्से को सरल बनाया. अंत में, हमने दोनों तरफ समाकलन करके उत्तर प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: \( 1 \pm \cos x \) वाले पदों को सरल करने के लिए आधे-कोण के सूत्रों \( (2\sin^2(x/2), 2\cos^2(x/2)) \) का उपयोग करना याद रखें। यह समाकलन को बहुत आसान बना देता है।

Question 10. \( \sqrt{1-x^6} \, dy = x^2 \, dx \)
Answer: दिया गया अवकल समीकरण है:
\( \sqrt{1-x^6} \, dy = x^2 \, dx \)
हम चरों को अलग करते हैं, जिससे y और x के पद अलग-अलग हो जाते हैं:
\( dy = \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}} \, dx \)
अब, हम दाहिने हाथ के पद को समाकलन के लिए तैयार करने के लिए उसे इस रूप में लिखते हैं: \( x^6 = (x^3)^2 \)
\( dy = \frac{x^2}{\sqrt{1-(x^3)^2}} \, dx \)
अब दोनों तरफ समाकलन करने पर:
\( \int dy = \int \frac{x^2}{\sqrt{1-(x^3)^2}} \, dx \)
दाहिनी तरफ के समाकलन को हल करने के लिए, हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। मान लीजिए \( t = x^3 \) है।
तब, \( dt = 3x^2 \, dx \) होगा, जिसका अर्थ है \( x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, dt \)।
समाकलन अब इस प्रकार बन जाता है:
\( y = \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \frac{1}{3} \, dt \)
\( \implies y = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt \)
हम जानते हैं कि \( \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt = \sin^{-1} (t) \) होता है।
\( \implies y = \frac{1}{3} \sin^{-1} (t) + C \)
अब t का मान वापस \( x^3 \) रखने पर, हमें अंतिम हल मिलता है:
\( \implies y = \frac{1}{3} \sin^{-1} (x^3) + C \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल है। इस प्रकार के समाकलन को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि बहुत उपयोगी होती है।
In simple words: हमने dy और dx वाले पदों को अलग किया. फिर, \( x^6 \) को \( (x^3)^2 \) के रूप में लिखकर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग किया. हमने \( x^3 \) को t माना और फिर सरल तरीके से समाकलन करके उत्तर प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{1-x^6} \) जैसे व्यंजकों को देखते समय, \( x^6 \) को \( (x^3)^2 \) के रूप में लिखना याद रखें ताकि \( \sin^{-1} \) प्रकार के समाकलन सूत्र का उपयोग किया जा सके। प्रतिस्थापन विधि सही ढंग से लागू करना महत्वपूर्ण है।