RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Exercise 12.3

Question 1. सिद्ध कीजिए कि \( y^2 = 4a(x + 1) \) अवकल समीकरण \( y = \left[1 - \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right] = 2x \frac{dy}{dx} \) का हल है।
Answer: दिए गए फलन \( y^2 = 4a(x+1) \) को अवकल समीकरण का हल सिद्ध करने के लिए, हम \( \frac{dy}{dx} \) का मान निकालेंगे और फिर उसे समीकरण के विभिन्न भागों में रखेंगे।
फलन है: \( y^2 = 4a(x+1) \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 2y \frac{dy}{dx} = 4a \frac{d}{dx}(x+1) \)
\( 2y \frac{dy}{dx} = 4a(1) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4a}{2y} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y} \)

अब, अवकल समीकरण के कुछ भागों में \( \frac{dy}{dx} \) का मान रखते हैं:
(i) \( 1 - \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 - \left(\frac{2a}{y}\right)^2 \)
\( = 1 - \frac{4a^2}{y^2} \)
\( = \frac{y^2 - 4a^2}{y^2} \)

(ii) \( 2x \frac{dy}{dx} = 2x \left(\frac{2a}{y}\right) \)
\( = \frac{4ax}{y} \)

(iii) दिए गए फलन को \( y \) के रूप में व्यक्त करने पर:
\( y = \sqrt{4a(x+1)} \)
In simple words: हमने दिए गए समीकरण को एक बार अवकलित किया ताकि हम \( \frac{dy}{dx} \) का मान निकाल सकें. फिर, इस मान को अवकल समीकरण के विभिन्न हिस्सों में रखकर उनके मान ज्ञात किए. यह तरीका अक्सर किसी फलन को किसी अवकल समीकरण का हल साबित करने के लिए उपयोग किया जाता है.

🎯 Exam Tip: अवकल समीकरण को हल करते समय, \( \frac{dy}{dx} \) और \( \frac{d^2y}{dx^2} \) के मान सही ढंग से निकालने पर ध्यान दें और उन्हें दिए गए समीकरण में सावधानी से प्रतिस्थापित करें.

Question 2. सिद्ध कीजिए कि \( y = ae^{-2x} + be^x \) अवकल समीकरण \( \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 2y = 0 \) का हल है।
Answer: दिए गए फलन \( y = ae^{-2x} + be^x \) को दिए गए अवकल समीकरण का हल सिद्ध करने के लिए, हम \( \frac{dy}{dx} \) और \( \frac{d^2 y}{dx^2} \) के मान ज्ञात करेंगे और उन्हें अवकल समीकरण में रखेंगे।
दिया गया फलन है:
\( y = ae^{-2x} + be^x \) ...(1)

दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(ae^{-2x}) + \frac{d}{dx}(be^x) \)
\( \frac{dy}{dx} = a(-2e^{-2x}) + be^x \)
\( \frac{dy}{dx} = -2ae^{-2x} + be^x \) ...(2)

पुनः दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-2ae^{-2x}) + \frac{d}{dx}(be^x) \)
\( \frac{d^2 y}{dx^2} = -2a(-2e^{-2x}) + be^x \)
\( \frac{d^2 y}{dx^2} = 4ae^{-2x} + be^x \) ...(3)

अब, \( y \), \( \frac{dy}{dx} \) और \( \frac{d^2 y}{dx^2} \) के मान अवकल समीकरण \( \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 2y = 0 \) के बाएं पक्ष (LHS) में रखने पर:
LHS \( = (4ae^{-2x} + be^x) + (-2ae^{-2x} + be^x) - 2(ae^{-2x} + be^x) \)
LHS \( = 4ae^{-2x} + be^x - 2ae^{-2x} + be^x - 2ae^{-2x} - 2be^x \)
LHS \( = (4a - 2a - 2a)e^{-2x} + (b + b - 2b)e^x \)
LHS \( = 0 \cdot e^{-2x} + 0 \cdot e^x \)
LHS \( = 0 \)
चूंकि LHS = RHS, यह सिद्ध होता है कि दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है। यह दिखाता है कि फलन समीकरण को संतुष्ट करता है.
In simple words: हमने पहले फलन का एक बार और फिर दो बार अवकलन किया. फिर हमने इन मानों को दिए गए समीकरण में रखा. सभी पद एक-दूसरे को काट देते हैं, जिससे उत्तर शून्य आता है, जो समीकरण के दाएं पक्ष (RHS) के बराबर है. इसका मतलब है कि फलन, अवकल समीकरण का एक सही समाधान है.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, सही अवकलन करना सबसे महत्वपूर्ण होता है. सुनिश्चित करें कि आप सभी घातांक नियमों और गुणांकों को सही ढंग से लागू करें. अंत में, सभी पदों को सावधानी से जोड़ें और घटाएं.

Question 3. सिद्ध कीजिए कि \( y = \frac {c-x}{1+cx } \) अवकल समीकरण \( (1 + x^2)\frac { dy }{ dx} + (1 + y²) = 0 \) का हल है।
Answer: दिए गए अवकल समीकरण को हल करके हम यह सिद्ध कर सकते हैं कि \( y = \frac {c-x}{1+cx } \) इसका हल है।
अवकल समीकरण है:
\( (1 + x^2)\frac { dy }{ dx} + (1 + y²) = 0 \)
इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( (1 + x^2)\frac { dy }{ dx} = -(1 + y²) \)

चरों को पृथक करने पर (variables separable form):
\( \frac{dy}{1 + y²} = - \frac{dx}{1 + x²} \)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{dy}{1 + y²} = - \int \frac{dx}{1 + x²} \)
यह मानक समाकलन हैं:
\( \tan^{-1}y = - \tan^{-1}x + C \)
यहाँ समाकलन स्थिरांक (integration constant) \( C \) को \( \tan^{-1}c \) मान सकते हैं, जहाँ \( c \) एक स्थिरांक है।
\( \tan^{-1}y = - \tan^{-1}x + \tan^{-1}c \)
\( \tan^{-1}y = \tan^{-1}c - \tan^{-1}x \)

हम त्रिकोणमितीय सूत्र \( \tan^{-1}A - \tan^{-1}B = \tan^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} \right) \) का उपयोग करेंगे:
\( \tan^{-1}y = \tan^{-1} \left( \frac{c-x}{1+cx} \right) \)

दोनों तरफ से \( \tan^{-1} \) हटाने पर:
\( y = \frac{c-x}{1+cx} \)
यह वही फलन है जो प्रश्न में दिया गया था। अतः सिद्ध होता है कि यह अवकल समीकरण का हल है। यह दर्शाता है कि फलन समीकरण को सही ढंग से संतुष्ट करता है.
In simple words: हमने दिए गए अवकल समीकरण को फिर से लिखा ताकि \( y \) वाले पद एक तरफ और \( x \) वाले पद दूसरी तरफ हों. फिर हमने दोनों तरफ का समाकलन किया. समाकलन करने के बाद, हमें \( \tan^{-1}y \) का मान मिला, जिसे हमने \( y \) के लिए हल किया. हमें वही फलन मिला जो प्रश्न में दिया गया था, जिसका अर्थ है कि यह उसका सही हल है.

🎯 Exam Tip: जब भी आपको किसी फलन को अवकल समीकरण का हल सिद्ध करना हो, तो या तो फलन को अवकलित करके समीकरण में रखें या अवकल समीकरण को हल करके फलन प्राप्त करें. चरों के पृथक्करण विधि (variable separable method) को सही ढंग से लागू करना और त्रिकोणमितीय सूत्रों को याद रखना महत्वपूर्ण है.

Question 4. सिद्ध कीजिए कि \( y = a \cos (\log x) + b \sin (\log x) \) अवकल समीकरण \( x^2\frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + y = 0 \) का हल है।
Answer: दिए गए फलन \( y = a \cos (\log x) + b \sin (\log x) \) को दिए गए अवकल समीकरण का हल सिद्ध करने के लिए, हम \( \frac{dy}{dx} \) और \( \frac{d^2 y}{dx^2} \) के मान ज्ञात करेंगे और उन्हें अवकल समीकरण में रखेंगे।
दिया गया फलन है:
\( y = a \cos (\log x) + b \sin (\log x) \) ...(1)

समीकरण (1) के दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = a \left(-\sin(\log x) \cdot \frac{1}{x}\right) + b \left(\cos(\log x) \cdot \frac{1}{x}\right) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-a \sin(\log x) + b \cos(\log x)}{x} \)

\( \implies x \frac{dy}{dx} = -a \sin(\log x) + b \cos(\log x) \) ...(2)

समीकरण (2) का \( x \) के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर (बाएं पक्ष में गुणन नियम का प्रयोग करते हुए):
\( \frac{d}{dx}\left(x \frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dx}(-a \sin(\log x) + b \cos(\log x)) \)
\( 1 \cdot \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2 y}{dx^2} = -a \left(\cos(\log x) \cdot \frac{1}{x}\right) + b \left(-\sin(\log x) \cdot \frac{1}{x}\right) \)
\( \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-a \cos(\log x) - b \sin(\log x)}{x} \)

दोनों पक्षों को \( x \) से गुणा करने पर:
\( x \frac{dy}{dx} + x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = -[a \cos(\log x) + b \sin(\log x)] \)

समीकरण (1) से, हम जानते हैं कि \( y = a \cos (\log x) + b \sin (\log x) \). इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
\( x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -y \)

अब \( -y \) को समीकरण के बाएं पक्ष में लाने पर:
\( x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + y = 0 \)
यह वही अवकल समीकरण है जो प्रश्न में दिया गया था। अतः यह सिद्ध होता है कि दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है। यह दर्शाता है कि फलन समीकरण को संतुष्ट करता है.
In simple words: हमने दिए गए फलन का एक बार और फिर दो बार अवकलन किया. अवकलन करते समय हमने गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग किया. फिर, हमने दूसरे अवकलन के परिणाम को फिर से व्यवस्थित किया और देखा कि कुछ पद मूल फलन \( y \) के बराबर थे. इन पदों को \( -y \) से बदलने पर, हमें वही अवकल समीकरण प्राप्त हुआ जो प्रश्न में दिया गया था, जिससे यह साबित हो गया कि यह फलन उसका हल है.

🎯 Exam Tip: \( \log x \) के साथ त्रिकोणमितीय फलन के अवकलन में श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते समय सावधान रहें. गुणन नियम (product rule) का सही अनुप्रयोग भी महत्वपूर्ण है. समीकरण के दाएँ पक्ष (RHS) को मूल फलन \( y \) के रूप में पहचानने से समस्या को हल करना आसान हो जाता है.

Question 5. सिद्ध कीजिए कि \( xy = \log y + c \) अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1-xy} (xy \neq 1) \) का हल है।
Answer: दिए गए फलन \( xy = \log y + c \) को दिए गए अवकल समीकरण का हल सिद्ध करने के लिए, हम फलन का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करेंगे और \( \frac{dy}{dx} \) के लिए हल करेंगे।
दिया गया फलन है:
\( xy = \log y + c \) ...(1)

समीकरण (1) के दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर (बाएं पक्ष में गुणन नियम और दाएं पक्ष में श्रृंखला नियम का प्रयोग करते हुए):
\( \frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(\log y) + \frac{d}{dx}(c) \)
\( 1 \cdot y + x \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + 0 \)
\( y + x \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \)

अब \( \frac{dy}{dx} \) वाले पदों को एक तरफ और शेष पदों को दूसरी तरफ ले जाने पर:
\( y = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} - x \frac{dy}{dx} \)
\( y = \frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{y} - x \right) \)

कोष्ठक के अंदर के पद को सरल करने पर:
\( y = \frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - xy}{y} \right) \)

अब \( \frac{dy}{dx} \) के लिए हल करने पर:
\( y \cdot y = \frac{dy}{dx} (1 - xy) \)
\( y^2 = \frac{dy}{dx} (1 - xy) \)

\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - xy} \)
यह वही अवकल समीकरण है जो प्रश्न में दिया गया था, और दी गई शर्त \( xy \neq 1 \) का भी पालन होता है। अतः सिद्ध होता है कि दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है। यह दिखाता है कि फलन समीकरण को संतुष्ट करता है.
In simple words: हमने दिए गए फलन का \( x \) के सापेक्ष अप्रत्यक्ष अवकलन (implicit differentiation) किया. इसमें \( xy \) के लिए गुणन नियम और \( \log y \) के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग किया गया. फिर, हमने \( \frac{dy}{dx} \) के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित किया, और हमें वही अवकल समीकरण प्राप्त हुआ जो प्रश्न में दिया गया था. यह साबित करता है कि मूल फलन उसका समाधान है.

🎯 Exam Tip: अप्रत्यक्ष अवकलन करते समय, \( y \) को एक फलन मानकर \( \frac{dy}{dx} \) से गुणा करना न भूलें. गुणन नियम (product rule) और श्रृंखला नियम (chain rule) का सही अनुप्रयोग इस प्रकार के प्रश्नों में महत्वपूर्ण है. अंत में \( \frac{dy}{dx} \) के लिए समीकरण को सही ढंग से हल करना सुनिश्चित करें.