RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Exercise 12.2

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.2

Question 1. वक्र कुल \( y = ax + \frac {b}{x} \) के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र कुल है:
\( y = ax + \frac {b}{x} \) ...(i)
हम इसे \( y = ax + bx^{-1} \) भी लिख सकते हैं। इस समीकरण को x के सापेक्ष अवकलित करने पर:
\( \frac {dy}{dx} = a - bx^{-2} \)
\( \implies \frac {dy}{dx} = a - \frac {b}{x^2} \) ...(ii)
यह समीकरण बताता है कि \( \frac{dy}{dx} \) x पर कैसे निर्भर करता है। अब, समीकरण (ii) को फिर से x के सापेक्ष अवकलित करने पर:
\( \frac {d^2y}{dx^2} = 0 - b(-2)x^{-3} \)
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} = \frac {2b}{x^3} \) ...(iii)
यह समीकरण (iii) अभीष्ट अवकल समीकरण है।
In simple words: हमें दिए गए समीकरण को दो बार x के सापेक्ष अवकलित करना है. पहली बार अवकलित करने पर हमें \( \frac{dy}{dx} \) मिलता है, और दूसरी बार अवकलित करने पर \( \frac{d^2y}{dx^2} \) मिलता है, जो कि हमारा उत्तर है.

🎯 Exam Tip: जब भी अवकल समीकरण ज्ञात करना हो, तो दिए गए समीकरण को तब तक अवकलित करें जब तक कि सभी स्वेच्छ अचर (यहां a और b) समाप्त न हो जाएं।

Question 2. वक्र कुल \( x^2 + y^2 = a^2 \) के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र कुल है:
\( x^2 + y^2 = a^2 \)
यहाँ, 'a' एक स्वेच्छ अचर है। हमें इसे समीकरण से हटाना है। इस समीकरण को x के सापेक्ष अवकलित करने पर:
\( \frac {d}{dx}(x^2) + \frac {d}{dx}(y^2) = \frac {d}{dx}(a^2) \)
\( \implies 2x + 2y \frac {dy}{dx} = 0 \)
दोनों तरफ 2 से भाग देने पर:
\( \implies x + y \frac {dy}{dx} = 0 \)
यह समीकरण अभीष्ट अवकल समीकरण है, जिसमें स्वेच्छ अचर 'a' उपस्थित नहीं है। यह समीकरण एक वृत्त के परिवार को दर्शाता है जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है।
In simple words: दिए गए वृत्त के समीकरण को x के सापेक्ष एक बार अवकलित करें. \( a^2 \) एक स्थिर मान है, इसलिए उसका अवकलज शून्य होगा. ऐसा करने पर हमें \( x + y \frac {dy}{dx} = 0 \) मिलेगा, यही उत्तर है.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी भी अचर का अवकलज हमेशा शून्य होता है। यह अवकल समीकरणों को हल करने का एक महत्वपूर्ण नियम है।

Question 3. वक्र कुल \( y = Ae^{3x} + Be^{5x} \) का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र कुल है:
\( y = Ae^{3x} + Be^{5x} \) ...(i)
यहाँ 'A' और 'B' दो स्वेच्छ अचर हैं। इसलिए, हमें समीकरण को दो बार अवकलित करना होगा। समीकरण (i) को x के सापेक्ष अवकलित करने पर:
\( \frac {dy}{dx} = \frac {d}{dx}(Ae^{3x}) + \frac {d}{dx}(Be^{5x}) \)
\( \implies \frac {dy}{dx} = 3Ae^{3x} + 5Be^{5x} \) ...(ii)
यह हमें पहला अवकलज देता है। अब, समीकरण (ii) को फिर से x के सापेक्ष अवकलित करने पर:
\( \frac {d^2y}{dx^2} = \frac {d}{dx}(3Ae^{3x}) + \frac {d}{dx}(5Be^{5x}) \)
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} = 9Ae^{3x} + 25Be^{5x} \) ...(iii)
यह हमें दूसरा अवकलज देता है। अब हमें A और B को समीकरण (i), (ii) और (iii) से हटाना है।
समीकरण (iii) में से समीकरण (ii) का 8 गुना घटाने पर:
\( \frac {d^2y}{dx^2} - 8 \frac {dy}{dx} = (9Ae^{3x} + 25Be^{5x}) - 8(3Ae^{3x} + 5Be^{5x}) \)
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} - 8 \frac {dy}{dx} = 9Ae^{3x} + 25Be^{5x} - 24Ae^{3x} - 40Be^{5x} \)
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} - 8 \frac {dy}{dx} = -15Ae^{3x} - 15Be^{5x} \)
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} - 8 \frac {dy}{dx} = -15(Ae^{3x} + Be^{5x}) \)
समीकरण (i) से, \( y = Ae^{3x} + Be^{5x} \). इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} - 8 \frac {dy}{dx} = -15y \)
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} - 8 \frac {dy}{dx} + 15y = 0 \)
यह अभीष्ट अवकल समीकरण है। घातांकीय फलन \( e^{kx} \) के अवकलन से संबंधित ये गुणधर्म इस प्रकार के प्रश्नों में बहुत सहायक होते हैं।
In simple words: हमें दिए गए समीकरण को दो बार अवकलित करना है क्योंकि इसमें दो अचर (A और B) हैं. फिर, इन तीन समीकरणों (मूल और दो अवकलज) का उपयोग करके उन अचरों को खत्म करना है ताकि हमें सिर्फ \( y \), \( \frac{dy}{dx} \) और \( \frac{d^2y}{dx^2} \) के रूप में एक समीकरण मिले.

🎯 Exam Tip: दो स्वेच्छ अचर वाले अवकल समीकरणों में हमेशा द्वितीय क्रम का अवकलज शामिल होगा। उन्हें हटाने के लिए समीकरणों को जोड़ना या घटाना एक सामान्य विधि है।

Question 4. वक्र कुल \( y = e^x(A \cos x + B \sin x) \) के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र कुल है:
\( y = e^x(A \cos x + B \sin x) \) ...(i)
यहां 'A' और 'B' दो स्वेच्छ अचर हैं, इसलिए हमें इसे दो बार अवकलित करना होगा। समीकरण (i) को x के सापेक्ष अवकलित करने पर (गुणन नियम का उपयोग करके):
\( \frac {dy}{dx} = \frac {d}{dx}(e^x) (A \cos x + B \sin x) + e^x \frac {d}{dx}(A \cos x + B \sin x) \)
\( \implies \frac {dy}{dx} = e^x(A \cos x + B \sin x) + e^x(-A \sin x + B \cos x) \)
समीकरण (i) से, \( e^x(A \cos x + B \sin x) = y \). इसे प्रतिस्थापित करने पर:
\( \implies \frac {dy}{dx} = y + e^x(-A \sin x + B \cos x) \) ...(ii)
यह हमें पहला अवकलज देता है। अब, समीकरण (ii) को फिर से x के सापेक्ष अवकलित करने पर:
\( \frac {d^2y}{dx^2} = \frac {dy}{dx} + \frac {d}{dx}(e^x(-A \sin x + B \cos x)) \)
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} = \frac {dy}{dx} + e^x(-A \sin x + B \cos x) + e^x(-A \cos x - B \sin x) \)
समीकरण (ii) से, \( e^x(-A \sin x + B \cos x) = \frac {dy}{dx} - y \). इसे प्रतिस्थापित करने पर:
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} = \frac {dy}{dx} + (\frac {dy}{dx} - y) - e^x(A \cos x + B \sin x) \)
फिर से समीकरण (i) से, \( e^x(A \cos x + B \sin x) = y \). इसे अंतिम पद में प्रतिस्थापित करने पर:
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} = 2 \frac {dy}{dx} - y - y \)
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} = 2 \frac {dy}{dx} - 2y \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} - 2 \frac {dy}{dx} + 2y = 0 \)
यह अभीष्ट अवकल समीकरण है। यह एक महत्वपूर्ण उदाहरण है जहां अचरों को हटाने के लिए मूल समीकरण और उसके अवकलजों का बुद्धिमानी से उपयोग किया जाता है।
In simple words: दिए गए समीकरण को दो बार x के सापेक्ष अवकलित करें. हर बार अवकलित करने के बाद, मूल समीकरण और पहले अवकलित समीकरण का उपयोग करके अचरों A और B वाले पदों को \( y \) और \( \frac{dy}{dx} \) से बदलें. अंत में, आपको एक समीकरण मिलेगा जिसमें A और B नहीं होंगे, वही उत्तर है.

🎯 Exam Tip: \( e^x \) और त्रिकोणमितीय फलनों के गुणनफल वाले समीकरणों को अवकलित करते समय गुणन नियम (Product Rule) का सावधानी से उपयोग करें और समान पदों को प्रतिस्थापित करके सरलीकृत करें।

Question 5. वक्र कुल \( y = a \cos (x + b) \), जहाँ a और b स्वेच्छा अचर है, की अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र कुल है:
\( y = a \cos (x + b) \) ...(i)
यहाँ 'a' और 'b' दो स्वेच्छ अचर हैं, इसलिए हमें इसे दो बार अवकलित करना होगा। समीकरण (i) को x के सापेक्ष अवकलित करने पर:
\( \frac {dy}{dx} = \frac {d}{dx}(a \cos (x + b)) \)
\( \implies \frac {dy}{dx} = -a \sin (x + b) \) ...(ii)
यह हमें पहला अवकलज देता है। अब, समीकरण (ii) को फिर से x के सापेक्ष अवकलित करने पर:
\( \frac {d^2y}{dx^2} = \frac {d}{dx}(-a \sin (x + b)) \)
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} = -a \cos (x + b) \) ...(iii)
अब हमें समीकरण (i), (ii) और (iii) से अचर 'a' और 'b' को हटाना है।
समीकरण (i) और (iii) को ध्यान से देखने पर, हम देखते हैं कि दाहिने हाथ की तरफ के पद लगभग समान हैं।
समीकरण (i) से, \( y = a \cos (x + b) \)
समीकरण (iii) से, \( \frac {d^2y}{dx^2} = - (a \cos (x + b)) \)
इन दोनों की तुलना करने पर:
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} = -y \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( \implies \frac {d^2y}{dx^2} + y = 0 \)
यह अभीष्ट अवकल समीकरण है। त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज चक्रीय होते हैं, जिससे अचरों को हटाना आसान हो जाता है।
In simple words: दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण को दो बार x के सापेक्ष अवकलित करें. दूसरी बार अवकलित करने पर आपको मूल समीकरण जैसा ही पद मिलेगा, लेकिन एक ऋण चिह्न के साथ. इस संबंध का उपयोग करके अचरों को खत्म करें और अवकल समीकरण प्राप्त करें.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों वाले अवकल समीकरणों में, अक्सर \( \frac{d^2y}{dx^2} \) सीधे \( y \) के समानुपाती या बराबर आता है, जिससे समस्या को हल करना सरल हो जाता है।