RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Exercise 12.1

निम्नलिखित अवकल समीकरण की कोटि एवं घात ज्ञात कीजिए :

Question 1. \( \frac{dy}{dx} = \sin 2x + \cos 2x \)
Answer: दिए गए अवकल समीकरण में, उच्चतम कोटि का अवकलज \( \frac{dy}{dx} \) है। इसकी कोटि 1 है, क्योंकि यह पहला अवकलज है। इस अवकलज की उच्चतम घात भी 1 है। अवकल समीकरणों की कोटि और घात उनके गुणों को समझने में मदद करती है।
In simple words: इस समीकरण में सबसे बड़ा अवकलज \( \frac{dy}{dx} \) है। इसकी कोटि 1 है और इसकी घात भी 1 है।

🎯 Exam Tip: कोटि (order) ज्ञात करने के लिए, समीकरण में उच्चतम अवकलज (जैसे \( \frac{dy}{dx} \), \( \frac{d^2y}{dx^2} \)) को पहचानें। घात (degree) के लिए, उसी उच्चतम अवकलज की घात देखें, बशर्ते समीकरण अवकलजों में बहुपद हो।

Question 2. \( \frac{d^2y}{dx^2} = \sin x + \cos x \)
Answer: दिए गए अवकल समीकरण में, उच्चतम कोटि का अवकलज \( \frac{d^2y}{dx^2} \) है। इसकी कोटि 2 है, क्योंकि यह दूसरा अवकलज है। इस अवकलज की उच्चतम घात 1 है। अवकल समीकरणों की कोटि उनकी जटिलता को दर्शाती है और यह बताती है कि समीकरण में कितनी बार अवकलन किया गया है।
In simple words: इस समीकरण में सबसे बड़ा अवकलज \( \frac{d^2y}{dx^2} \) है। इसकी कोटि 2 है और इसकी घात भी 1 है।

🎯 Exam Tip: ध्यान रखें कि अवकल समीकरण की कोटि हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होती है और यह अवकलज की अधिकतम संख्या दर्शाती है।

Question 3. \( \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 0 \)
Answer: दिए गए अवकल समीकरण में, उच्चतम कोटि का अवकलज \( \frac{d^2y}{dx^2} \) है। इसकी कोटि 2 है। इस उच्चतम कोटि के अवकलज की घात 2 है। अवकल समीकरण का हल ढूंढने के लिए कोटि और घात महत्वपूर्ण होते हैं क्योंकि वे हल के संभावित स्वरूप को प्रभावित करते हैं।
In simple words: इस समीकरण में सबसे बड़ा अवकलज \( \frac{d^2y}{dx^2} \) है। इसकी कोटि 2 है और इसकी घात भी 2 है।

🎯 Exam Tip: यदि एक समीकरण में कई अवकलज हैं, तो हमेशा उच्चतम कोटि वाले अवकलज पर ध्यान दें। इसकी घात ही पूरे समीकरण की घात मानी जाती है, बशर्ते समीकरण एक बहुपद हो।

Question 4. \( \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = 2 \)
Answer: दिए गए अवकल समीकरण में, पहले इसे एक बहुपद रूप में बदलने के लिए, हम दोनों पक्षों को \( \frac{dy}{dx} \) से गुणा करते हैं। इससे \( \left(\frac{dy}{dx}\right)^4 + 1 = 2\left(\frac{dy}{dx}\right) \) प्राप्त होता है। इस बहुपद रूप में, उच्चतम कोटि का अवकलज \( \frac{dy}{dx} \) है, जिसकी कोटि 1 है। इस उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात 4 है। भिन्नात्मक घात या हर में अवकलज होने पर, पहले समीकरण को सरल करना आवश्यक है।
In simple words: पहले समीकरण को सरल करने के लिए, हम इसे \( \frac{dy}{dx} \) से गुणा करते हैं। फिर हमें \( \left(\frac{dy}{dx}\right)^4 + 1 = 2\left(\frac{dy}{dx}\right) \) मिलता है। इसमें सबसे बड़ा अवकलज \( \frac{dy}{dx} \) है, जिसकी कोटि 1 और घात 4 है।

🎯 Exam Tip: घात ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि अवकल समीकरण अवकलजों का एक बहुपद हो। यदि हर में अवकलज है, तो उसे हटाने के लिए उपयुक्त पद से गुणा करें।

Question 5. \( a \frac{d^2y}{dx^2} = \left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{3/2} \)
Answer: दिए गए अवकल समीकरण में, भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए हम दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं। वर्ग करने पर समीकरण \( a^2 \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 = \left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^3 \) बन जाता है। इस बहुपद रूप में, उच्चतम कोटि का अवकलज \( \frac{d^2y}{dx^2} \) है। इसकी कोटि 2 है। इस उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात 2 है। समीकरण को हमेशा उसके सरलतम बहुपद रूप में लाना चाहिए।
In simple words: पहले हम समीकरण के दोनों ओर वर्ग करते हैं ताकि भिन्नात्मक घात हट जाए। हमें \( a^2 \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 = \left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^3 \) मिलता है। इसमें सबसे बड़ा अवकलज \( \frac{d^2y}{dx^2} \) है, जिसकी कोटि 2 और घात 2 है।

🎯 Exam Tip: जब अवकलज की घात भिन्नात्मक हो, तो घात ज्ञात करने से पहले दोनों पक्षों को उचित घात तक बढ़ाकर उसे एक पूर्णांक में बदलें।

Question 6. \( xdx + ydy = 0 \)
Answer: दिए गए समीकरण को अवकल समीकरण के मानक रूप में बदलने के लिए, हम इसे \( dx \) से विभाजित करते हैं, जिससे \( x + y \frac{dy}{dx} = 0 \) प्राप्त होता है। इस समीकरण में, उच्चतम कोटि का अवकलज \( \frac{dy}{dx} \) है, जिसकी कोटि 1 है। इस उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात 1 है। इस तरह के समीकरण अक्सर भौतिकी में गति या परिवर्तन का वर्णन करते हैं, जैसे कि एक कण का प्रक्षेपवक्र।
In simple words: पहले हम समीकरण को \( dx \) से भाग करके \( x + y \frac{dy}{dx} = 0 \) बनाते हैं। इसमें सबसे बड़ा अवकलज \( \frac{dy}{dx} \) है, जिसकी कोटि 1 और घात भी 1 है।

🎯 Exam Tip: यदि अवकल समीकरण प्रत्यक्ष रूप से \( \frac{dy}{dx} \) या \( \frac{dx}{dy} \) के रूप में नहीं है, तो इसे पहले उस मानक रूप में बदलें ताकि कोटि और घात स्पष्ट रूप से निर्धारित की जा सकें।

Question 7. \( x \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 + y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y^5 = 0 \)
Answer: दिए गए अवकल समीकरण में, उच्चतम कोटि का अवकलज \( \frac{d^2y}{dx^2} \) है। इसकी कोटि 2 है। इस उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात 3 है। ध्यान दें कि अन्य अवकलजों की घातें, जैसे कि \( \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \), अवकल समीकरण की कुल घात को प्रभावित नहीं करतीं।
In simple words: इस समीकरण में सबसे बड़ा अवकलज \( \frac{d^2y}{dx^2} \) है। इसकी कोटि 2 है और इसकी घात 3 है।

🎯 Exam Tip: घात हमेशा उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात होती है, न कि किसी अन्य अवकलज की। यह एक सामान्य गलती है जिसे छात्रों को टालना चाहिए।

Question 8. \( x \frac{dy}{dx} + \frac{3}{\frac{dy}{dx}} = y^2 \)
Answer: दिए गए अवकल समीकरण में, भिन्नात्मक पद को हटाने के लिए हम पूरे समीकरण को \( \frac{dy}{dx} \) से गुणा करते हैं। इससे \( x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 3 = y^2 \frac{dy}{dx} \) प्राप्त होता है, जिसे \( x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - y^2 \frac{dy}{dx} + 3 = 0 \) के रूप में लिखा जा सकता है। इस बहुपद रूप में, उच्चतम कोटि का अवकलज \( \frac{dy}{dx} \) है, जिसकी कोटि 1 है। इस उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात 2 है। अवकल समीकरणों का विश्लेषण करने के लिए यह एक महत्वपूर्ण प्रारंभिक कदम है।
In simple words: पहले हम समीकरण को \( \frac{dy}{dx} \) से गुणा करते हैं ताकि \( \frac{dy}{dx} \) हर में न रहे। हमें \( x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 3 = y^2 \frac{dy}{dx} \) मिलता है। इसमें सबसे बड़ा अवकलज \( \frac{dy}{dx} \) है, जिसकी कोटि 1 और घात 2 है।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि घात निर्धारित करने से पहले सभी अवकलज गुणांकों को हटा दिया गया है और समीकरण अवकलजों में एक बहुपद के रूप में लिखा गया है।