RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Exercise 12.6

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:

Question 1. \( x^2ydx - (x^3 + y^3)dy = 0 \)
Answer: दिए गए अवकल समीकरण को ऐसे लिख सकते हैं:
\( x^2ydx = (x^3 + y^3)dy \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2y}{x^3 + y^3} \) ...(1)
यह समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण (homogeneous differential equation) है क्योंकि सभी पदों की घात एक जैसी है।
अब, हम \( y = vx \) रखते हैं, जिससे हमें \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \) मिलता है।
इन मानों को समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2(vx)}{x^3 + (vx)^3} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx^3}{x^3 + v^3x^3} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx^3}{x^3(1 + v^3)} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^3} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^3} - v \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{v - v(1 + v^3)}{1 + v^3} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{v - v - v^4}{1 + v^3} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{-v^4}{1 + v^3} \)
अब चरों को अलग करते हैं (separate variables):
\( \frac{1 + v^3}{-v^4} dv = \frac{dx}{x} \)
\( - \left(\frac{1}{v^4} + \frac{v^3}{v^4}\right) dv = \frac{dx}{x} \)
\( - \left(v^{-4} + \frac{1}{v}\right) dv = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( - \int \left(v^{-4} + \frac{1}{v}\right) dv = \int \frac{1}{x} dx \)
\( - \left(\frac{v^{-3}}{-3} + \ln|v|\right) = \ln|x| + C_1 \)
\( \frac{1}{3v^3} - \ln|v| = \ln|x| + C_1 \)
\( \frac{1}{3v^3} = \ln|x| + \ln|v| + C_1 \)
\( \frac{1}{3v^3} = \ln|xv| + C_1 \)
\( \frac{1}{3v^3} = \ln|C_2xv| \) (जहाँ \( C_1 = \ln|C_2| \))
\( e^{\frac{1}{3v^3}} = C_2xv \)
अब \( v = \frac{y}{x} \) का मान वापस रखने पर:
\( e^{\frac{1}{3(y/x)^3}} = C_2x \left(\frac{y}{x}\right) \)
\( e^{\frac{x^3}{3y^3}} = C_2y \)
\( y = \frac{1}{C_2} e^{\frac{x^3}{3y^3}} \)
हम \( C = \frac{1}{C_2} \) मान सकते हैं, तो:
\( y = C e^{\frac{x^3}{3y^3}} \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है। अवकल समीकरणों को हल करने से हमें चरों के बीच का संबंध पता चलता है।
In simple words: सबसे पहले, हमने समीकरण को \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में लिखा। फिर, हमने देखा कि यह एक समघातीय समीकरण है, इसलिए हमने \( y=vx \) बदला। इससे समीकरण सरल हो गया और हम चरों को अलग कर पाए। अंत में, हमने दोनों पक्षों का समाकलन करके और \( v \) का मान वापस रखकर हल प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: समघातीय अवकल समीकरणों को हल करते समय, \( y=vx \) या \( x=vy \) का सही प्रतिस्थापन करें और चरों को अलग करने के बाद समाकलन में कोई गलती न करें।

Question 2. \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sin \left(\frac{y}{x}\right) \)
Answer: दिया गया अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sin \left(\frac{y}{x}\right) \) ...(1)
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है क्योंकि \( f(x,y) = \frac{y}{x} + \sin \left(\frac{y}{x}\right) \) को \( f(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda y}{\lambda x} + \sin \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right) = \frac{y}{x} + \sin \left(\frac{y}{x}\right) = \lambda^0 f(x,y) \) के रूप में लिखा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यह शून्य घात का समघातीय फलन है।
अब, हम \( y = vx \) रखते हैं। इसका अर्थ है \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)।
इन मानों को समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = v + \sin v \)
\( x \frac{dv}{dx} = \sin v \)
अब चरों को अलग करते हैं:
\( \frac{dv}{\sin v} = \frac{dx}{x} \)
\( \operatorname{cosec} v \, dv = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \operatorname{cosec} v \, dv = \int \frac{1}{x} dx \)
\( \ln|\operatorname{cosec} v - \cot v| = \ln|x| + \ln|C| \)
\( \ln|\operatorname{cosec} v - \cot v| = \ln|Cx| \)
इसलिए,
\( \operatorname{cosec} v - \cot v = Cx \)
अब \( v = \frac{y}{x} \) का मान वापस रखने पर:
\( \operatorname{cosec} \left(\frac{y}{x}\right) - \cot \left(\frac{y}{x}\right) = Cx \)
इसे हम और सरल कर सकते हैं:
\( \frac{1}{\sin \left(\frac{y}{x}\right)} - \frac{\cos \left(\frac{y}{x}\right)}{\sin \left(\frac{y}{x}\right)} = Cx \)
\( \frac{1 - \cos \left(\frac{y}{x}\right)}{\sin \left(\frac{y}{x}\right)} = Cx \)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके \( 1 - \cos A = 2 \sin^2 \left(\frac{A}{2}\right) \) और \( \sin A = 2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right) \):
\( \frac{2 \sin^2 \left(\frac{y}{2x}\right)}{2 \sin \left(\frac{y}{2x}\right) \cos \left(\frac{y}{2x}\right)} = Cx \)
\( \tan \left(\frac{y}{2x}\right) = Cx \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है। त्रिकोणमिति का उपयोग अवकल समीकरणों को सरल बनाने में बहुत उपयोगी है।
In simple words: यह समीकरण \( \frac{y}{x} \) वाले पद दिखाता है, इसलिए यह समघातीय है। हमने \( y=vx \) रखा और \( v \) और \( x \) को अलग किया। फिर हमने दोनों तरफ समाकलन किया और \( v \) को वापस \( \frac{y}{x} \) में बदल दिया, जिससे हमें अंतिम हल मिला।

🎯 Exam Tip: समघातीय समीकरणों में, \( y=vx \) प्रतिस्थापन के बाद चरों को सावधानी से अलग करें और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का सही उपयोग करें।

Question 3. \( \frac{dy}{dx} = \frac{xy + y^2}{x^2} \)
Answer: दिया गया अवकल समीकरण है:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{xy + y^2}{x^2} \) ...(1)
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है क्योंकि अंश और हर में प्रत्येक पद की घात 2 है।
अब, हम \( y = vx \) रखते हैं, जिससे हमें \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \) मिलता है।
इन मानों को समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx) + (vx)^2}{x^2} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx^2 + v^2x^2}{x^2} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2(v + v^2)}{x^2} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = v + v^2 \)
\( x \frac{dv}{dx} = v^2 \)
अब चरों को अलग करते हैं:
\( \frac{dv}{v^2} = \frac{dx}{x} \)
\( v^{-2} dv = \frac{1}{x} dx \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx \)
\( \frac{v^{-1}}{-1} = \ln|x| + C \)
\( - \frac{1}{v} = \ln|x| + C \)
अब \( v = \frac{y}{x} \) का मान वापस रखने पर:
\( - \frac{1}{\left(\frac{y}{x}\right)} = \ln|x| + C \)
\( - \frac{x}{y} = \ln|x| + C \)
इसे हम ऐसे भी लिख सकते हैं:
\( \frac{x}{y} + \ln|x| + C = 0 \)
अथवा, \( x + y \ln|x| + Cy = 0 \)
या \( x + y \ln|x| = Cy \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है। समघातीय समीकरणों को हल करने की यह विधि बहुत व्यवस्थित होती है।
In simple words: हमने देखा कि समीकरण समघातीय है। हमने \( y=vx \) रखा और \( \frac{dy}{dx} \) को भी बदला। फिर हमने \( v \) और \( x \) वाले पदों को अलग-अलग किया और समाकलन किया। अंत में, \( v \) को \( \frac{y}{x} \) में बदलकर पूरा हल प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: चरों को अलग करने के बाद, \( v^{-2} \) जैसे पदों का समाकलन करते समय घात के नियमों का ध्यान रखें और समाकलन स्थिरांक \( C \) लगाना न भूलें।

Question 4. \( x \sin \left(\frac{y}{x}\right) \frac{dy}{dx} = y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x \)
Answer: दिया गया अवकल समीकरण है:
\( x \sin \left(\frac{y}{x}\right) \frac{dy}{dx} = y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x \)
इसे \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में लिखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x}{x \sin \left(\frac{y}{x}\right)} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) - 1}{\sin \left(\frac{y}{x}\right)} \) ...(1)
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है क्योंकि \( f(x,y) = \frac{\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) - 1}{\sin \left(\frac{y}{x}\right)} \) को \( f(\lambda x, \lambda y) = \frac{\frac{\lambda y}{\lambda x} \sin \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right) - 1}{\sin \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)} = \frac{\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) - 1}{\sin \left(\frac{y}{x}\right)} = \lambda^0 f(x,y) \) के रूप में लिखा जा सकता है।
अब, हम \( y = vx \) रखते हैं, जिससे \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \) प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \sin v - 1}{\sin v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{v \sin v - 1}{\sin v} - v \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{v \sin v - 1 - v \sin v}{\sin v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{-1}{\sin v} \)
अब चरों को अलग करते हैं:
\( \sin v \, dv = - \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \sin v \, dv = - \int \frac{1}{x} dx \)
\( - \cos v = - \ln|x| - \ln|C| \)
\( - \cos v = - (\ln|x| + \ln|C|) \)
\( - \cos v = - \ln|Cx| \)
\( \cos v = \ln|Cx| \)
अब \( v = \frac{y}{x} \) का मान वापस रखने पर:
\( \cos \left(\frac{y}{x}\right) = \ln|Cx| \)
इसे हम \( e^{\cos(y/x)} = Cx \) के रूप में भी लिख सकते हैं, या \( x = \frac{1}{C} e^{\cos(y/x)} \)।
माना \( \frac{1}{C} = C_1 \), तब \( x = C_1 e^{\cos(y/x)} \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल है। चर पृथक्करण विधि से हम जटिल समीकरणों को हल कर सकते हैं।
In simple words: पहले समीकरण को \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में लिखा गया। फिर हमने \( y=vx \) बदला और \( v \) और \( x \) वाले पदों को अलग किया। दोनों पक्षों का समाकलन करके और \( v \) का मान वापस रखकर, हमें अंतिम हल मिला।

🎯 Exam Tip: \( \sin v \, dv \) का समाकलन \( -\cos v \) होता है, और \( \frac{1}{x} dx \) का समाकलन \( \ln|x| \) होता है। समाकलन स्थिरांक \( C \) को \( \ln|C| \) के रूप में लिखने से हल सरल हो सकता है।

Question 5. \( xdy - ydx = \sqrt{x^2 + y^2} dx \)
Answer: दिया गया अवकल समीकरण है:
\( xdy - ydx = \sqrt{x^2 + y^2} dx \)
समीकरण को \( dy \) और \( dx \) पदों में व्यवस्थित करते हैं:
\( xdy = ydx + \sqrt{x^2 + y^2} dx \)
\( xdy = \left(y + \sqrt{x^2 + y^2}\right) dx \)
अब \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में लिखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} \) ...(1)
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है क्योंकि अंश और हर में प्रत्येक पद की घात 1 है (वर्गमूल के अंदर \( x^2 \) की घात 2 है, जिसका वर्गमूल 1 घात देता है)।
अब, हम \( y = vx \) रखते हैं, जिससे हमें \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \) मिलता है।
इन मानों को समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + (vx)^2}}{x} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + v^2x^2}}{x} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2(1 + v^2)}}{x} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + x\sqrt{1 + v^2}}{x} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = v + \sqrt{1 + v^2} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2} \)
अब चरों को अलग करते हैं:
\( \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{1}{x} dx \)
हमें पता है कि \( \int \frac{dz}{\sqrt{1 + z^2}} = \ln|z + \sqrt{1 + z^2}| \)
इसलिए,
\( \ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|x| + \ln|C| \)
\( \ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|Cx| \)
\( v + \sqrt{1 + v^2} = Cx \)
अब \( v = \frac{y}{x} \) का मान वापस रखने पर:
\( \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} = Cx \)
\( \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = Cx \)
\( \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x^2}} = Cx \)
\( \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x} = Cx \)
\( \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = Cx \)
\( y + \sqrt{x^2 + y^2} = Cx^2 \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है। समाकलन सूत्र का सही उपयोग करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमने दिए गए समीकरण को \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में लिखा और पाया कि यह समघातीय है। फिर हमने \( y=vx \) बदला और \( v \) और \( x \) वाले पदों को अलग किया। हमने दोनों तरफ समाकलन किया और \( v \) का मान वापस \( \frac{y}{x} \) में रखकर अंतिम हल प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{x^2+y^2} \) जैसे पदों को समघातीय समीकरण में बदलते समय, \( x \) को वर्गमूल से बाहर निकालना न भूलें, जैसे \( \sqrt{x^2(1+v^2)} = x\sqrt{1+v^2} \)।

Question 6. \( (x^2 + y^2) dx = 2xydy \)
Answer: दिया गया अवकल समीकरण है:
\( (x^2 + y^2) dx = 2xydy \)
इसे \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में लिखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2xy} \) ...(1)
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है क्योंकि अंश और हर में प्रत्येक पद की घात 2 है।
अब, हम \( y = vx \) रखते हैं, जिससे हमें \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \) मिलता है।
इन मानों को समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2x^2}{2vx^2} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2(1 + v^2)}{2vx^2} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{2v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{2v} - v \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2 - 2v^2}{2v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{1 - v^2}{2v} \)
अब चरों को अलग करते हैं:
\( \frac{2v}{1 - v^2} dv = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{2v}{1 - v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx \)
बाएं पक्ष के समाकलन के लिए, मान लीजिए \( u = 1 - v^2 \), तो \( du = -2v \, dv \)। इसलिए \( 2v \, dv = -du \)।
\( \int \frac{-du}{u} = \int \frac{1}{x} dx \)
\( - \ln|u| = \ln|x| + \ln|C| \)
\( - \ln|1 - v^2| = \ln|Cx| \)
\( \ln|(1 - v^2)^{-1}| = \ln|Cx| \)
\( \frac{1}{1 - v^2} = Cx \)
अब \( v = \frac{y}{x} \) का मान वापस रखने पर:
\( \frac{1}{1 - \left(\frac{y}{x}\right)^2} = Cx \)
\( \frac{1}{1 - \frac{y^2}{x^2}} = Cx \)
\( \frac{1}{\frac{x^2 - y^2}{x^2}} = Cx \)
\( \frac{x^2}{x^2 - y^2} = Cx \)
\( x^2 = Cx(x^2 - y^2) \)
दोनों तरफ \( x \) से भाग देने पर (यदि \( x \neq 0 \)):
\( x = C(x^2 - y^2) \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है। समाकलन में प्रतिस्थापन विधि का उपयोग यहाँ महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमने समीकरण को \( \frac{dy}{dx} \) रूप में बदलकर और \( y=vx \) प्रतिस्थापन का उपयोग करके इसे सरल किया। फिर, हमने \( v \) और \( x \) को अलग-अलग करके समाकलन किया। \( \int \frac{2v}{1-v^2} dv \) को हल करने के लिए हमने प्रतिस्थापन \( u=1-v^2 \) का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: जब समाकलन \( \int \frac{f'(v)}{f(v)} dv \) के रूप में हो, तो उसका परिणाम \( \ln|f(v)| \) होता है। यहाँ, \( \frac{2v}{1-v^2} \) के लिए, \( 1-v^2 \) का अवकलन \( -2v \) होता है, इसलिए यह \( - \int \frac{-2v}{1-v^2} dv = -\ln|1-v^2| \) बन जाता है।

Question 7. \( \left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + e^{\frac{x}{y}} \left(1-\frac{x}{y}\right) dy = 0 \)
Answer: दिया गया अवकल समीकरण है:
\( \left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + e^{\frac{x}{y}} \left(1-\frac{x}{y}\right) dy = 0 \)
इसे \( \frac{dx}{dy} \) के रूप में लिखते हैं क्योंकि समीकरण में \( \frac{x}{y} \) पद हैं, जो \( x = vy \) प्रतिस्थापन के लिए उपयुक्त होगा:
\( \left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx = - e^{\frac{x}{y}} \left(1-\frac{x}{y}\right) dy \)
\( \frac{dx}{dy} = - \frac{e^{\frac{x}{y}} \left(1-\frac{x}{y}\right)}{1+e^{\frac{x}{y}}} \) ...(1)
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
अब, हम \( x = vy \) रखते हैं, जिससे हमें \( \frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy} \) मिलता है।
इन मानों को समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + y \frac{dv}{dy} = - \frac{e^v (1-v)}{1+e^v} \)
\( y \frac{dv}{dy} = - \frac{e^v (1-v)}{1+e^v} - v \)
\( y \frac{dv}{dy} = \frac{-e^v + ve^v - v(1+e^v)}{1+e^v} \)
\( y \frac{dv}{dy} = \frac{-e^v + ve^v - v - ve^v}{1+e^v} \)
\( y \frac{dv}{dy} = \frac{-(v + e^v)}{1+e^v} \)
अब चरों को अलग करते हैं:
\( \frac{1+e^v}{v+e^v} dv = - \frac{dy}{y} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{1+e^v}{v+e^v} dv = - \int \frac{1}{y} dy \)
बाएं पक्ष के समाकलन के लिए, मान लीजिए \( u = v + e^v \), तो \( du = (1 + e^v) dv \)।
\( \int \frac{du}{u} = - \int \frac{1}{y} dy \)
\( \ln|u| = - \ln|y| + \ln|C| \)
\( \ln|v + e^v| = \ln|\frac{C}{y}| \)
\( v + e^v = \frac{C}{y} \)
\( y(v + e^v) = C \)
अब \( v = \frac{x}{y} \) का मान वापस रखने पर:
\( y\left(\frac{x}{y} + e^{\frac{x}{y}}\right) = C \)
\( x + y e^{\frac{x}{y}} = C \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है। समीकरण के रूप के आधार पर \( x=vy \) या \( y=vx \) चुनना महत्वपूर्ण है।
In simple words: समीकरण में \( \frac{x}{y} \) पद थे, इसलिए हमने \( x=vy \) का उपयोग किया। इससे समीकरण सरल हो गया और हम \( v \) और \( y \) को अलग कर पाए। फिर हमने दोनों पक्षों का समाकलन किया और \( v \) का मान वापस रखकर हल प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जब अवकल समीकरण में \( \frac{x}{y} \) पद हों, तो \( x=vy \) प्रतिस्थापन का उपयोग करें। यह \( \frac{dx}{dy} \) के लिए समीकरण को सरल बनाने में मदद करेगा।

Question 8. \( (3xy + y^2) dx + (x^2 + xy) dy = 0 \)
Answer: दिया गया अवकल समीकरण है:
\( (3xy + y^2) dx + (x^2 + xy) dy = 0 \)
इसे \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में लिखने पर:
\( (x^2 + xy) dy = - (3xy + y^2) dx \)
\( \frac{dy}{dx} = - \frac{3xy + y^2}{x^2 + xy} \) ...(1)
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है क्योंकि अंश और हर में प्रत्येक पद की घात 2 है।
अब, हम \( y = vx \) रखते हैं, जिससे हमें \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \) मिलता है।
इन मानों को समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = - \frac{3x(vx) + (vx)^2}{x^2 + x(vx)} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = - \frac{3vx^2 + v^2x^2}{x^2 + vx^2} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = - \frac{x^2(3v + v^2)}{x^2(1 + v)} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = - \frac{3v + v^2}{1 + v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = - \frac{3v + v^2}{1 + v} - v \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{-(3v + v^2) - v(1 + v)}{1 + v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{-3v - v^2 - v - v^2}{1 + v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{-4v - 2v^2}{1 + v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{-2v(2 + v)}{1 + v} \)
अब चरों को अलग करते हैं:
\( \frac{1 + v}{2v(2 + v)} dv = - \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{1 + v}{2v(2 + v)} dv = - \int \frac{1}{x} dx \)
बाएं पक्ष के समाकलन के लिए आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करते हैं:
\( \frac{1 + v}{2v(2 + v)} = \frac{A}{2v} + \frac{B}{2 + v} \)
\( 1 + v = A(2 + v) + B(2v) \)
\( v = 0 \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2} \)
\( v = -2 \Rightarrow 1 - 2 = B(2)(-2) \Rightarrow -1 = -4B \Rightarrow B = \frac{1}{4} \)
इसलिए, \( \int \left(\frac{1}{2(2v)} + \frac{1}{4(2 + v)}\right) dv = - \int \frac{1}{x} dx \)
\( \frac{1}{4} \int \frac{1}{v} dv + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 + v} dv = - \int \frac{1}{x} dx \)
\( \frac{1}{4} \ln|v| + \frac{1}{4} \ln|2 + v| = - \ln|x| + \ln|C_1| \)
\( \frac{1}{4} (\ln|v| + \ln|2 + v|) = \ln|\frac{C_1}{x}| \)
\( \ln|v(2 + v)|^{\frac{1}{4}} = \ln|\frac{C_1}{x}| \)
\( (v(2 + v))^{\frac{1}{4}} = \frac{C_1}{x} \)
दोनों पक्षों की घात 4 करने पर:
\( v(2 + v) = \left(\frac{C_1}{x}\right)^4 = \frac{C_1^4}{x^4} \)
माना \( C = C_1^4 \), तब \( v(2 + v) = \frac{C}{x^4} \)
अब \( v = \frac{y}{x} \) का मान वापस रखने पर:
\( \frac{y}{x} \left(2 + \frac{y}{x}\right) = \frac{C}{x^4} \)
\( \frac{y}{x} \left(\frac{2x + y}{x}\right) = \frac{C}{x^4} \)
\( \frac{y(2x + y)}{x^2} = \frac{C}{x^4} \)
\( y(2x + y) x^2 = C \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है। आंशिक भिन्न विधि का उपयोग जटिल समाकलनों को सरल बनाने में मदद करता है।
In simple words: हमने \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में समीकरण लिखा और \( y=vx \) प्रतिस्थापन किया। चरों को अलग करने के बाद, समाकलन के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग किया। फिर \( v \) को \( \frac{y}{x} \) में बदला और अंतिम हल प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: आंशिक भिन्न विघटन का उपयोग करके समाकलन करते समय, भिन्न को सही ढंग से विभाजित करना सुनिश्चित करें और समाकलन स्थिरांक को सही ढंग से जोड़ें।

Question 10. \( x(x - y) dy = y(x + y) dx \)
Answer: दिया गया अवकल समीकरण है:
\( x(x - y) dy = y(x + y) dx \)
इसे \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में लिखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{y(x + y)}{x(x - y)} \) ...(1)
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है क्योंकि अंश और हर में प्रत्येक पद की घात 2 है।
अब, हम \( y = vx \) रखते हैं, जिससे हमें \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \) मिलता है।
इन मानों को समीकरण (1) में रखने पर:
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx(x + vx)}{x(x - vx)} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx^2(1 + v)}{x^2(1 - v)} \)
\( v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v(1 + v)}{1 - v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{v(1 + v)}{1 - v} - v \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2 - v(1 - v)}{1 - v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2 - v + v^2}{1 - v} \)
\( x \frac{dv}{dx} = \frac{2v^2}{1 - v} \)
अब चरों को अलग करते हैं:
\( \frac{1 - v}{2v^2} dv = \frac{dx}{x} \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\( \int \frac{1 - v}{2v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx \)
\( \frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{v^2} - \frac{v}{v^2}\right) dv = \int \frac{1}{x} dx \)
\( \frac{1}{2} \int \left(v^{-2} - \frac{1}{v}\right) dv = \int \frac{1}{x} dx \)
\( \frac{1}{2} \left(\frac{v^{-1}}{-1} - \ln|v|\right) = \ln|x| + C_1 \)
\( \frac{1}{2} \left(- \frac{1}{v} - \ln|v|\right) = \ln|x| + C_1 \)
\( - \frac{1}{2v} - \frac{1}{2} \ln|v| = \ln|x| + C_1 \)
\( - \frac{1}{v} - \ln|v| = 2\ln|x| + 2C_1 \)
माना \( 2C_1 = \ln|C| \), तब:
\( - \frac{1}{v} - \ln|v| = \ln|x^2| + \ln|C| \)
\( - \frac{1}{v} - \ln|v| = \ln|Cx^2| \)
अब \( v = \frac{y}{x} \) का मान वापस रखने पर:
\( - \frac{1}{\left(\frac{y}{x}\right)} - \ln\left|\frac{y}{x}\right| = \ln|Cx^2| \)
\( - \frac{x}{y} - (\ln|y| - \ln|x|) = \ln|C| + 2\ln|x| \)
\( - \frac{x}{y} - \ln|y| + \ln|x| = \ln|C| + 2\ln|x| \)
\( - \frac{x}{y} - \ln|y| - \ln|x| = \ln|C| \)
\( - \frac{x}{y} - (\ln|y| + \ln|x|) = \ln|C| \)
\( - \frac{x}{y} - \ln|xy| = \ln|C| \)
\( \frac{x}{y} + \ln|xy| + \ln|C| = 0 \)
यह दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है। समीकरण को सरल रूप में लाना समाकलन को आसान बनाता है।
In simple words: हमने \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में समीकरण को फिर से लिखा और देखा कि यह समघातीय है। हमने \( y=vx \) बदला और \( v \) और \( x \) वाले पदों को अलग-अलग किया। दोनों पक्षों का समाकलन किया, जिसमें \( v^{-2} \) और \( \frac{1}{v} \) के समाकलन शामिल थे, और फिर \( v \) का मान वापस \( \frac{y}{x} \) में बदला।

🎯 Exam Tip: \( \int \frac{1-v}{2v^2} dv \) को \( \frac{1}{2} \int (\frac{1}{v^2} - \frac{1}{v}) dv \) में तोड़ना समाकलन को सरल बनाता है। समाकलन स्थिरांक को समीकरण के अंत में एक साथ रखना बेहतर है।