RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग क्षेत्रकलन Exercise 11.2

Question 1. वक्रों \( y^2 = 2x \) तथा \( x^2 + y^2 = 8 \) के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: अभीष्ट क्षेत्रफल चित्र में दिखाया गया है। हम इसे x-अक्ष के सापेक्ष समाकलित करेंगे। पहले हम वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। \( y^2 = 2x \) को \( x^2 + y^2 = 8 \) में रखने पर: \( x^2 + 2x = 8 \implies x^2 + 2x - 8 = 0 \implies (x+4)(x-2) = 0 \)। चूंकि \( y^2 = 2x \) के लिए x ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए \( x = 2 \)। इस प्रकार, प्रतिच्छेदन बिंदु \( (2, \pm 2) \) हैं। वृत्त की त्रिज्या \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) है, इसलिए x-अक्ष पर इसका प्रतिच्छेदन बिंदु \( (2\sqrt{2}, 0) \) है।
अभीष्ट क्षेत्रफल, समरूपता के कारण, x-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल का दुगुना होगा।
यह क्षेत्रफल दो भागों में बांटा गया है: \( x=0 \) से \( x=2 \) तक परवलय \( y = \sqrt{2x} \) के अधीन क्षेत्रफल, और \( x=2 \) से \( x=2\sqrt{2} \) तक वृत्त \( y = \sqrt{8-x^2} \) के अधीन क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल \( = 2 \left[ \int_0^2 \sqrt{2x} \, dx + \int_2^{2\sqrt{2}} \sqrt{8-x^2} \, dx \right] \)
\( = 2 \left[ \sqrt{2} \int_0^2 x^{1/2} \, dx + \int_2^{2\sqrt{2}} \sqrt{(2\sqrt{2})^2-x^2} \, dx \right] \)
\( = 2 \left[ \sqrt{2} \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} \right)_0^2 + \left( \frac{x}{2}\sqrt{8-x^2} + \frac{8}{2}\sin^{-1}\frac{x}{2\sqrt{2}} \right)_2^{2\sqrt{2}} \right] \)
\( = 2 \left[ \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} (2^{3/2} - 0) + \left( \frac{2\sqrt{2}}{2}\sqrt{8-(2\sqrt{2})^2} + 4\sin^{-1}\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \right) - \left( \frac{2}{2}\sqrt{8-2^2} + 4\sin^{-1}\frac{2}{2\sqrt{2}} \right) \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{2\sqrt{2}}{3} (2\sqrt{2}) + \left( 0 + 4\sin^{-1}(1) \right) - \left( \sqrt{4} + 4\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{8}{3} + \left( 4 \cdot \frac{\pi}{2} \right) - \left( 2 + 4 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{8}{3} + 2\pi - (2 + \pi) \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{8}{3} + 2\pi - 2 - \pi \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{8}{3} - 2 + \pi \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{8-6}{3} + \pi \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{2}{3} + \pi \right] \)
\( = \left( \frac{4}{3} + 2\pi \right) \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमने दो वक्रों (एक परवलय और एक वृत्त) के बीच का क्षेत्रफल निकालने के लिए समाकलन का उपयोग किया। हमने पहले यह पता लगाया कि ये वक्र कहाँ मिलते हैं। फिर, x-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल को दो टुकड़ों में बाँटा और उनका समाकलन किया। अंत में, हमने कुल क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए इसे दोगुना कर दिया।

🎯 Exam Tip: जब दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल निकालना हो, तो पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। फिर, देखें कि कौन सा वक्र किस अंतराल में ऊपर है, और समाकलन को उन अंतरालों के अनुसार विभाजित करें।

Question 2. परवलय \( 4y = 3x^2 \) का रेखा \( 3x - 2y + 12 = 0 \) के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए परवलय का समीकरण \( 4y = 3x^2 \) है, जिससे \( y = \frac{3x^2}{4} \) प्राप्त होता है। रेखा का समीकरण \( 3x - 2y + 12 = 0 \) है, जिससे \( y = \frac{3x+12}{2} \) प्राप्त होता है।
हम इन दोनों वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। \( y \) के मानों को बराबर करने पर:
\( \frac{3x^2}{4} = \frac{3x+12}{2} \)
\( \implies 3x^2 = 2(3x+12) \)
\( \implies 3x^2 = 6x+24 \)
\( \implies 3x^2 - 6x - 24 = 0 \)
\( \implies x^2 - 2x - 8 = 0 \)
\( \implies (x-4)(x+2) = 0 \)
\( \implies x = -2 \) या \( x = 4 \)
जब \( x = -2 \), तो \( y = \frac{3(-2)^2}{4} = \frac{3 \times 4}{4} = 3 \)। बिंदु \( A(-2, 3) \)।
जब \( x = 4 \), तो \( y = \frac{3(4)^2}{4} = \frac{3 \times 16}{4} = 12 \)। बिंदु \( B(4, 12) \)।
अभीष्ट क्षेत्रफल रेखा \( y = \frac{3x+12}{2} \) और परवलय \( y = \frac{3x^2}{4} \) के बीच का क्षेत्रफल है, जो \( x=-2 \) से \( x=4 \) तक है।
क्षेत्रफल \( = \int_{-2}^4 \left( \frac{3x+12}{2} - \frac{3x^2}{4} \right) dx \)
\( = \left[ \frac{3x^2}{4} + \frac{12x}{2} - \frac{3x^3}{12} \right]_{-2}^4 \)
\( = \left[ \frac{3x^2}{4} + 6x - \frac{x^3}{4} \right]_{-2}^4 \)
\( = \left( \frac{3(4)^2}{4} + 6(4) - \frac{(4)^3}{4} \right) - \left( \frac{3(-2)^2}{4} + 6(-2) - \frac{(-2)^3}{4} \right) \)
\( = \left( \frac{3 \times 16}{4} + 24 - \frac{64}{4} \right) - \left( \frac{3 \times 4}{4} - 12 - \frac{-8}{4} \right) \)
\( = (12 + 24 - 16) - (3 - 12 + 2) \)
\( = (20) - (-7) \)
\( = 20 + 7 \)
\( = 27 \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमने एक परवलय और एक सीधी रेखा से घिरा हुआ क्षेत्रफल निकाला। सबसे पहले, हमने देखा कि वे कहाँ एक-दूसरे को काटते हैं। फिर, हमने रेखा के क्षेत्रफल में से परवलय के क्षेत्रफल को घटाकर कुल क्षेत्रफल निकालने के लिए समाकलन का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: परवलय और रेखा जैसे दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप सही ऊपरी और निचली सीमाएँ निर्धारित करें और उचित समाकलन विधि का उपयोग करें।

Question 3. वक्र \( y = \sqrt{4-x^2} \); \( x = \sqrt{3}y \) तथा x-अक्ष के मध्य घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र \( y = \sqrt{4-x^2} \) वृत्त \( x^2+y^2=4 \) का ऊपरी आधा भाग है, जिसका केंद्र मूल बिंदु \( (0,0) \) और त्रिज्या 2 है।
दूसरी रेखा \( x = \sqrt{3}y \) है, जिसे \( y = \frac{x}{\sqrt{3}} \) के रूप में लिखा जा सकता है।
हम वृत्त \( y = \sqrt{4-x^2} \) और रेखा \( y = \frac{x}{\sqrt{3}} \) का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
\( x^2 + y^2 = 4 \) में \( y = \frac{x}{\sqrt{3}} \) रखने पर:
\( x^2 + \left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right)^2 = 4 \)
\( x^2 + \frac{x^2}{3} = 4 \)
\( 3x^2 + x^2 = 12 \)
\( 4x^2 = 12 \)
\( x^2 = 3 \)
\( x = \sqrt{3} \) (चूंकि हम प्रथम चतुर्थांश में हैं, x धनात्मक है)
जब \( x = \sqrt{3} \), तो \( y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1 \)। प्रतिच्छेदन बिंदु \( (\sqrt{3}, 1) \) है।
अभीष्ट क्षेत्रफल x-अक्ष, रेखा \( y = \frac{x}{\sqrt{3}} \) (जो \( x=0 \) से \( x=\sqrt{3} \) तक है), और वृत्त \( y = \sqrt{4-x^2} \) (जो \( x=\sqrt{3} \) से \( x=2 \) तक है) द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल \( = \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{3}} \, dx + \int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4-x^2} \, dx \)
\( = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\sqrt{3}} + \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\frac{x}{2} \right]_{\sqrt{3}}^2 \)
\( = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{(\sqrt{3})^2}{2} - 0 \right] + \left[ \left( \frac{2}{2}\sqrt{4-2^2} + 2\sin^{-1}\frac{2}{2} \right) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4-(\sqrt{3})^2} + 2\sin^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right] \)
\( = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{3}{2} \right] + \left[ \left( 0 + 2\sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4-3} + 2\sin^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right] \)
\( = \frac{3}{2\sqrt{3}} + \left[ \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + 2 \cdot \frac{\pi}{3} \right) \right] \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2} + \left[ \pi - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3} \right) \right] \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} \)
\( = \pi - \frac{2\pi}{3} \)
\( = \frac{\pi}{3} \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमने एक वृत्त, एक सीधी रेखा और x-अक्ष से घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल निकाला। हमने पहले देखा कि रेखा और वृत्त कहाँ मिलते हैं। फिर, हमने क्षेत्रफल को दो हिस्सों में बाँटा और दोनों हिस्सों का समाकलन करके कुल क्षेत्रफल प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए वृत्त के समाकलन को ध्यान से हल करें और कोणों के सही मानों को याद रखें।

Question 4. वृत्त \( x^2 + y^2 = 16 \) व रेखा \( y = x \) तथा x अक्ष के मध्यवर्ती प्रथम चतुर्थाश में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए वृत्त का समीकरण \( x^2 + y^2 = 16 \) है। इसका केंद्र मूल बिंदु \( (0,0) \) पर है और त्रिज्या 4 इकाई है। रेखा का समीकरण \( y = x \) है, जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है।
हम वृत्त \( x^2 + y^2 = 16 \) और रेखा \( y = x \) के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
\( x^2 + x^2 = 16 \)
\( 2x^2 = 16 \)
\( x^2 = 8 \)
\( x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \)
चूंकि हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल ज्ञात कर रहे हैं, इसलिए \( x = 2\sqrt{2} \)।
जब \( x = 2\sqrt{2} \), तब \( y = 2\sqrt{2} \)। प्रतिच्छेदन बिंदु \( A(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \) है।
अभीष्ट क्षेत्रफल x-अक्ष, रेखा \( y=x \) (जो \( x=0 \) से \( x=2\sqrt{2} \) तक है), और वृत्त \( y = \sqrt{16-x^2} \) (जो \( x=2\sqrt{2} \) से \( x=4 \) तक है) द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल \( = \int_0^{2\sqrt{2}} y_{\text{रेखा}} \, dx + \int_{2\sqrt{2}}^4 y_{\text{वृत्त}} \, dx \)
\( = \int_0^{2\sqrt{2}} x \, dx + \int_{2\sqrt{2}}^4 \sqrt{16-x^2} \, dx \)
\( = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{2\sqrt{2}} + \left[ \frac{x}{2}\sqrt{16-x^2} + \frac{16}{2}\sin^{-1}\frac{x}{4} \right]_{2\sqrt{2}}^4 \)
\( = \left( \frac{(2\sqrt{2})^2}{2} - 0 \right) + \left[ \left( \frac{4}{2}\sqrt{16-4^2} + 8\sin^{-1}\frac{4}{4} \right) - \left( \frac{2\sqrt{2}}{2}\sqrt{16-(2\sqrt{2})^2} + 8\sin^{-1}\frac{2\sqrt{2}}{4} \right) \right] \)
\( = \left( \frac{8}{2} \right) + \left[ \left( 0 + 8\sin^{-1}(1) \right) - \left( \sqrt{2}\sqrt{16-8} + 8\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right] \)
\( = 4 + \left[ \left( 8 \cdot \frac{\pi}{2} \right) - \left( \sqrt{2}\sqrt{8} + 8 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \right] \)
\( = 4 + \left[ 4\pi - \left( \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} + 2\pi \right) \right] \)
\( = 4 + \left[ 4\pi - (4 + 2\pi) \right] \)
\( = 4 + 4\pi - 4 - 2\pi \)
\( = 2\pi \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमने प्रथम चतुर्थांश में एक वृत्त, एक रेखा और x-अक्ष से घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल निकाला। हमने रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात किए, फिर क्षेत्रफल को दो भागों में बांटा और प्रत्येक भाग का समाकलन करके कुल क्षेत्रफल प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, प्रथम चतुर्थांश जैसी विशिष्ट शर्तों पर ध्यान दें। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को सटीक रूप से निकालना और फिर समाकलन की सीमाएं सही ढंग से सेट करना महत्वपूर्ण है।

Question 5. परवलयों \( y^2 = 4x \) तथा \( x^2 = 4y \) के मध्यवर्ती उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए परवलय के समीकरण हैं:
1. \( y^2 = 4x \)
2. \( x^2 = 4y \)
हम इन परवलयों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
समीकरण (2) से \( y = \frac{x^2}{4} \) को समीकरण (1) में रखने पर:
\( \left( \frac{x^2}{4} \right)^2 = 4x \)
\( \frac{x^4}{16} = 4x \)
\( x^4 = 64x \)
\( x^4 - 64x = 0 \)
\( x(x^3 - 64) = 0 \)
\( x(x-4)(x^2+4x+16) = 0 \)
\( x = 0 \) या \( x = 4 \) (दूसरा द्विघात समीकरण वास्तविक मूल नहीं देता)
जब \( x = 0 \), तो \( y = \frac{0^2}{4} = 0 \)। बिंदु \( (0,0) \)।
जब \( x = 4 \), तो \( y = \frac{4^2}{4} = \frac{16}{4} = 4 \)। बिंदु \( (4,4) \)।
अभीष्ट क्षेत्रफल इन दो परवलयों द्वारा घिरा हुआ उभयनिष्ठ क्षेत्र है। \( y^2 = 4x \) से \( y = \sqrt{4x} = 2\sqrt{x} \) (ऊपरी भाग)। \( x^2 = 4y \) से \( y = \frac{x^2}{4} \)।
अतः, क्षेत्रफल \( = \int_0^4 (y_1 - y_2) \, dx \) जहाँ \( y_1 = 2\sqrt{x} \) (ऊपरी वक्र) और \( y_2 = \frac{x^2}{4} \) (निचला वक्र)।
क्षेत्रफल \( = \int_0^4 \left( 2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4} \right) dx \)
\( = \left[ 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_0^4 \)
\( = \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_0^4 \)
\( = \left( \frac{4}{3} (4)^{3/2} - \frac{(4)^3}{12} \right) - (0 - 0) \)
\( = \frac{4}{3} (8) - \frac{64}{12} \)
\( = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} \)
\( = \frac{16}{3} \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमने दो परवलयों से घिरे हुए क्षेत्रफल को ज्ञात किया। हमने पहले उनके मिलने के बिंदुओं को पता लगाया। फिर, हमने ऊपर वाले परवलय के क्षेत्रफल में से नीचे वाले परवलय के क्षेत्रफल को घटाया और समाकलन करके कुल क्षेत्रफल निकाला।

🎯 Exam Tip: जब दो परवलयों के बीच का क्षेत्रफल निकालना हो, तो यह पहचानना महत्वपूर्ण है कि कौन सा परवलय ऊपरी वक्र बनाता है और कौन सा निचला, और तदनुसार समाकलन सेटअप करें।

Question 6. वक्र \( x^2 + y^2 = 1 \) व \( x + y = 1 \) के मध्यवर्ती प्रथम चतुर्थाश में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र \( x^2 + y^2 = 1 \) एक वृत्त है जिसका केंद्र मूल बिंदु \( (0,0) \) पर है और त्रिज्या 1 इकाई है।
दी गई रेखा \( x + y = 1 \) है, जिसे \( y = 1-x \) के रूप में लिखा जा सकता है। यह रेखा x-अक्ष को \( (1,0) \) पर और y-अक्ष को \( (0,1) \) पर काटती है। ये बिंदु वृत्त पर भी स्थित हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल वृत्त के चाप \( y = \sqrt{1-x^2} \) और रेखा \( y = 1-x \) के बीच का है, जो \( x=0 \) से \( x=1 \) तक प्रथम चतुर्थांश में है।
क्षेत्रफल \( = \int_0^1 (y_{\text{वृत्त}} - y_{\text{रेखा}}) \, dx \)
\( = \int_0^1 (\sqrt{1-x^2} - (1-x)) \, dx \)
\( = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}x - x + \frac{x^2}{2} \right]_0^1 \)
\( = \left( \frac{1}{2}\sqrt{1-1^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1) - 1 + \frac{1^2}{2} \right) - \left( 0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(0) - 0 + 0 \right) \)
\( = \left( 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - 1 + \frac{1}{2} \right) - (0) \)
\( = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \)
\( = \frac{\pi - 2}{4} \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमने प्रथम चतुर्थांश में एक वृत्त के अंदर लेकिन एक सीधी रेखा के बाहर का क्षेत्रफल निकाला। हमने वृत्त के क्षेत्रफल में से रेखा के क्षेत्रफल को घटाने के लिए समाकलन का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: जब एक वृत्त और एक रेखा के बीच का क्षेत्रफल निकालना हो, तो हमेशा यह पहचानें कि कौन सा वक्र ऊपरी सीमा बनाता है और कौन सा निचली सीमा, ताकि आप सही से घटा सकें।

Question 7. वक्र \( y^2 = 4ax \), रेखा \( y = 2a \) एवं y-अक्ष के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र एक परवलय \( y^2 = 4ax \) है, जिसे \( x = \frac{y^2}{4a} \) के रूप में लिखा जा सकता है। दी गई रेखा \( y = 2a \) है और तीसरी सीमा y-अक्ष \( (x=0) \) है।
अभीष्ट क्षेत्रफल y-अक्ष, परवलय \( x = \frac{y^2}{4a} \) और रेखा \( y = 2a \) से घिरा हुआ है। हम इसे y के सापेक्ष समाकलित करेंगे।
समाकलन की सीमाएँ \( y=0 \) से \( y=2a \) तक होंगी।
क्षेत्रफल \( = \int_0^{2a} x \, dy \)
\( = \int_0^{2a} \frac{y^2}{4a} \, dy \)
\( = \frac{1}{4a} \int_0^{2a} y^2 \, dy \)
\( = \frac{1}{4a} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^{2a} \)
\( = \frac{1}{4a} \left( \frac{(2a)^3}{3} - 0 \right) \)
\( = \frac{1}{4a} \cdot \frac{8a^3}{3} \)
\( = \frac{2a^2}{3} \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमने एक परवलय, एक सीधी रेखा और y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल निकाला। चूंकि वक्र को y के फलन के रूप में लिखना आसान था, इसलिए हमने y के सापेक्ष समाकलन किया।

🎯 Exam Tip: जब भी संभव हो, समाकलन को उस चर के सापेक्ष करें जिसके लिए समीकरण को हल करना आसान हो (या x या y)। यह गणनाओं को सरल बनाता है।

Question 8. वृत्त \( x^2+y^2=16 \) के अंदर लेकिन परवलय \( y^2=6x \) के बाहर स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए वक्र हैं:
1. वृत्त \( x^2+y^2=16 \), जिसका केंद्र \( (0,0) \) पर है और त्रिज्या 4 है।
2. परवलय \( y^2=6x \)।
हम इन वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। \( y^2 = 6x \) को \( x^2+y^2=16 \) में रखने पर:
\( x^2 + 6x = 16 \)
\( x^2 + 6x - 16 = 0 \)
\( (x+8)(x-2) = 0 \)
\( x = -8 \) या \( x = 2 \)।
चूंकि परवलय \( y^2=6x \) के लिए x का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए हम \( x=2 \) लेते हैं।
जब \( x=2 \), तो \( y^2 = 6(2) = 12 \implies y = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \)।
प्रतिच्छेदन बिंदु \( (2, 2\sqrt{3}) \) और \( (2, -2\sqrt{3}) \) हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल वह है जो वृत्त के अंदर है लेकिन परवलय के बाहर है।
यह क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल में से वृत्त और परवलय के उभयनिष्ठ क्षेत्र को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है।
वृत्त का कुल क्षेत्रफल \( = \pi r^2 = \pi (4^2) = 16\pi \) वर्ग इकाई।
उभयनिष्ठ क्षेत्र (चित्र में छायांकित क्षेत्र) समरूपता के कारण x-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र का दुगुना होगा।
उभयनिष्ठ क्षेत्र \( = 2 \left[ \int_0^2 \sqrt{6x} \, dx + \int_2^4 \sqrt{16-x^2} \, dx \right] \)
\( = 2 \left[ \sqrt{6} \int_0^2 x^{1/2} \, dx + \int_2^4 \sqrt{4^2-x^2} \, dx \right] \)
\( = 2 \left[ \sqrt{6} \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} \right)_0^2 + \left( \frac{x}{2}\sqrt{16-x^2} + \frac{16}{2}\sin^{-1}\frac{x}{4} \right)_2^4 \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{2\sqrt{6}}{3} (2\sqrt{2}) + \left( \left( 0 + 8\sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{2}{2}\sqrt{16-4} + 8\sin^{-1}\frac{2}{4} \right) \right) \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{2\sqrt{12}}{3} \cdot 2 + \left( 8 \cdot \frac{\pi}{2} \right) - \left( \sqrt{12} + 8 \cdot \frac{\pi}{6} \right) \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{4 \cdot 2\sqrt{3}}{3} + 4\pi - \left( 2\sqrt{3} + \frac{4\pi}{3} \right) \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{8\sqrt{3}}{3} + 4\pi - 2\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3} \right] \)
\( = 2 \left[ \left( \frac{8\sqrt{3}-6\sqrt{3}}{3} \right) + \left( \frac{12\pi-4\pi}{3} \right) \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{8\pi}{3} \right] \)
\( = \frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{16\pi}{3} \) वर्ग इकाई। (यह वृत्त और परवलय का उभयनिष्ठ क्षेत्र है)
अभीष्ट क्षेत्रफल (वृत्त के अंदर लेकिन परवलय के बाहर) \( = \) (वृत्त का कुल क्षेत्रफल) \( - \) (उभयनिष्ठ क्षेत्र)
\( = 16\pi - \left( \frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{16\pi}{3} \right) \)
\( = 16\pi - \frac{16\pi}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} \)
\( = \frac{48\pi - 16\pi}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} \)
\( = \frac{32\pi}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} \)
\( = \frac{4}{3}(8\pi-\sqrt{3}) \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमने वृत्त के उस हिस्से का क्षेत्रफल निकाला जो परवलय के बाहर है। इसके लिए, हमने पहले वृत्त का पूरा क्षेत्रफल निकाला। फिर, हमने वृत्त और परवलय के बीच का साझा क्षेत्रफल ज्ञात किया। अंत में, हमने कुल वृत्त के क्षेत्रफल में से साझा क्षेत्रफल को घटा दिया।

🎯 Exam Tip: जब 'के अंदर लेकिन के बाहर' क्षेत्र निकालना हो, तो कुल बड़े क्षेत्र में से उभयनिष्ठ या छोटे क्षेत्र को घटाएँ। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को हमेशा ध्यान से गणना करें।

Question 9. समाकलन विधि का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक A(2, 0), B(4, 5) एवं C(6, 3) हैं।
Answer: दिए गए त्रिभुज के शीर्ष A(2, 0), B(4, 5) और C(6, 3) हैं।
हम भुजाओं AB, BC और AC के समीकरण ज्ञात करते हैं।
भुजा AB का समीकरण (A(2,0) और B(4,5) से होकर गुजरने वाली रेखा):
\( y - 0 = \frac{5-0}{4-2}(x-2) \)
\( y = \frac{5}{2}(x-2) \)
भुजा BC का समीकरण (B(4,5) और C(6,3) से होकर गुजरने वाली रेखा):
\( y - 5 = \frac{3-5}{6-4}(x-4) \)
\( y - 5 = \frac{-2}{2}(x-4) \)
\( y - 5 = -(x-4) \)
\( y = -x+4+5 \)
\( y = -x+9 \)
भुजा AC का समीकरण (A(2,0) और C(6,3) से होकर गुजरने वाली रेखा):
\( y - 0 = \frac{3-0}{6-2}(x-2) \)
\( y = \frac{3}{4}(x-2) \)
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम x-अक्ष के सापेक्ष समाकलन करेंगे।
क्षेत्रफल \( = \int_2^4 y_{AB} \, dx + \int_4^6 y_{BC} \, dx - \int_2^6 y_{AC} \, dx \)
\( = \int_2^4 \frac{5}{2}(x-2) \, dx + \int_4^6 (-x+9) \, dx - \int_2^6 \frac{3}{4}(x-2) \, dx \)
\( = \frac{5}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_2^4 + \left[ -\frac{x^2}{2} + 9x \right]_4^6 - \frac{3}{4} \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_2^6 \)
\( = \frac{5}{2} \left[ \left( \frac{16}{2} - 8 \right) - \left( \frac{4}{2} - 4 \right) \right] + \left[ \left( -\frac{36}{2} + 54 \right) - \left( -\frac{16}{2} + 36 \right) \right] - \frac{3}{4} \left[ \left( \frac{36}{2} - 12 \right) - \left( \frac{4}{2} - 4 \right) \right] \)
\( = \frac{5}{2} \left[ (8 - 8) - (2 - 4) \right] + \left[ (-18 + 54) - (-8 + 36) \right] - \frac{3}{4} \left[ (18 - 12) - (2 - 4) \right] \)
\( = \frac{5}{2} [0 - (-2)] + [36 - 28] - \frac{3}{4} [6 - (-2)] \)
\( = \frac{5}{2} [2] + [8] - \frac{3}{4} [8] \)
\( = 5 + 8 - 6 \)
\( = 7 \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमने समाकलन का उपयोग करके एक त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाला। पहले, हमने त्रिभुज की तीनों भुजाओं की सीधी रेखा के समीकरणों को ज्ञात किया। फिर, हमने इन समीकरणों का उपयोग करके x-अक्ष के सापेक्ष समाकलन किया और क्षेत्रफल को तीन भागों में जोड़कर या घटाकर कुल क्षेत्रफल निकाला।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के शीर्षों से उसके क्षेत्रफल की गणना करते समय, समाकलन विधि में भुजाओं के समीकरणों और समाकलन की सीमाओं का सही निर्धारण महत्वपूर्ण है।

Question 10. समाकलन विधि का उपयोग करते हुए ऐसे त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये जिसकी भुजाओं के समीकरण \( 3x - 2y + 3 = 0 \), \( x + 2y - 7 = 0 \) एवं \( x – 2y + 1 = 0 \) हैं।
Answer: दिए गए भुजाओं के समीकरण हैं:
1. \( 3x - 2y + 3 = 0 \implies y = \frac{3x+3}{2} \)
2. \( x + 2y - 7 = 0 \implies y = \frac{-x+7}{2} \)
3. \( x - 2y + 1 = 0 \implies y = \frac{x+1}{2} \)
हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करके त्रिभुज के शीर्ष प्राप्त करते हैं:
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर (बिंदु A):
\( (3x - 2y + 3) + (x + 2y - 7) = 0 \)
\( 4x - 4 = 0 \implies x = 1 \)
\( 1 + 2y - 7 = 0 \implies 2y = 6 \implies y = 3 \)
शीर्ष \( A(1, 3) \)
समीकरण (2) और (3) को हल करने पर (बिंदु C):
\( (x + 2y - 7) - (x - 2y + 1) = 0 \)
\( 4y - 8 = 0 \implies y = 2 \)
\( x + 2(2) - 7 = 0 \implies x + 4 - 7 = 0 \implies x = 3 \)
शीर्ष \( C(3, 2) \)
समीकरण (3) और (1) को हल करने पर (बिंदु B):
\( (3x - 2y + 3) - (x - 2y + 1) = 0 \)
\( 2x + 2 = 0 \implies x = -1 \)
\( -1 - 2y + 1 = 0 \implies -2y = 0 \implies y = 0 \)
शीर्ष \( B(-1, 0) \)
अब हमें शीर्ष \( A(1,3) \), \( B(-1,0) \) और \( C(3,2) \) वाला त्रिभुज प्राप्त हुआ है।
क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम x-अक्ष के सापेक्ष समाकलन का उपयोग करते हैं:
क्षेत्रफल \( = \int_{-1}^1 (\text{line BC}) \, dx + \int_1^3 (\text{line AC}) \, dx - \int_{-1}^3 (\text{line AB}) \, dx \)
\( = \int_{-1}^1 \left( \frac{x+1}{2} \right) \, dx + \int_1^3 \left( \frac{-x+7}{2} \right) \, dx - \int_{-1}^3 \left( \frac{3x+3}{2} \right) \, dx \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^1 + \frac{1}{2} \left[ -\frac{x^2}{2} + 7x \right]_1^3 - \frac{3}{2} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^3 \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \right] + \frac{1}{2} \left[ \left( -\frac{9}{2} + 21 \right) - \left( -\frac{1}{2} + 7 \right) \right] - \frac{3}{2} \left[ \left( \frac{9}{2} + 3 \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \right] \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \frac{3}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) \right] + \frac{1}{2} \left[ \frac{33}{2} - \frac{13}{2} \right] - \frac{3}{2} \left[ \frac{15}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) \right] \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \frac{4}{2} \right] + \frac{1}{2} \left[ \frac{20}{2} \right] - \frac{3}{2} \left[ \frac{16}{2} \right] \)
\( = \frac{1}{2}(2) + \frac{1}{2}(10) - \frac{3}{2}(8) \)
\( = 1 + 5 - 12 \)
\( = 6 - 12 = -6 \)
चूंकि क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए क्षेत्रफल \( = 6 \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमने समाकलन का उपयोग करके एक त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल निकाला, जिसकी भुजाओं के समीकरण दिए गए थे। पहले, हमने समीकरणों को हल करके त्रिभुज के शीर्षों का पता लगाया। फिर, हमने इन शीर्षों का उपयोग करके x-अक्ष के सापेक्ष समाकलन किया और कुल क्षेत्रफल निकाला।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप समाकलन के लिए ऊपरी और निचली सीमाएँ सही ढंग से निर्धारित करें, और परिणामी क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होना चाहिए।