RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग क्षेत्रकलन Miscellaneous

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोगः क्षेत्रकलन Miscellaneous Exercise

Question 1. वक्र \( y = \sqrt{x} \) तथा \( y = x \) से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल
(a) 1 वर्ग इकाई
(b) \( \frac{1}{3} \) वर्ग इकाई
(c) \( \frac{1}{6} \) वर्ग इकाई
(d) \( \frac{2}{3} \) वर्ग इकाई
Answer: (c) \( \frac{1}{6} \) वर्ग इकाई
In simple words: हमें \( y = \sqrt{x} \) (जो कि एक परवलय है) और \( y = x \) (जो कि एक सीधी रेखा है) के बीच का क्षेत्रफल निकालना है। ये दोनों वक्र \( (0,0) \) और \( (1,1) \) पर एक-दूसरे को काटते हैं।

🎯 Exam Tip: जब भी दो वक्रों से घिरा क्षेत्रफल निकालना हो, तो पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें और फिर सही सीमाओं के साथ समाकलन का उपयोग करें।

Question 2. \( y^2 = x \) तथा \( x^2 = y \) से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है :
(a) \( \frac{1}{3} \) वर्ग इकाई
(b) 1 वर्ग इकाई
(c) \( \frac{2}{3} \) वर्ग इकाई
(d) 2 वर्ग इकाई
Answer: (a) \( \frac{1}{3} \) वर्ग इकाई
In simple words: हमें \( y^2 = x \) (एक परवलय जो x-अक्ष के सममित है) और \( x^2 = y \) (एक परवलय जो y-अक्ष के सममित है) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। ये दोनों वक्र मूल बिंदु \( (0,0) \) और \( (1,1) \) पर मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, वक्रों को समझना और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को सही ढंग से खोजना महत्वपूर्ण है ताकि समाकलन की सीमाएँ सटीक हों।

Question 3. परवलय \( x^2 = 4y \) तथा इसकी नाभिलम्ब से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
(a) \( \frac{8}{3} \) वर्ग इकाई
(b) \( \frac{4}{3} \) वर्ग इकाई
(c) \( \frac{5}{3} \) वर्ग इकाई
(d) \( \frac{2}{3} \) वर्ग इकाई
Answer: (a) \( \frac{8}{3} \) वर्ग इकाई
In simple words: हमें परवलय \( x^2 = 4y \) और उसकी नाभिलम्ब रेखा के बीच का क्षेत्रफल निकालना है। इस परवलय के लिए नाभिलम्ब \( y=1 \) है।

🎯 Exam Tip: परवलय के मानक समीकरणों और उनके नाभिलम्ब के समीकरणों को याद रखना इस तरह के प्रश्नों को हल करने के लिए आवश्यक है।

Question 4. \( y = \sin x \), \( \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} \) तथा x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
(a) 1 वर्ग इकाई
(b) 2 वर्ग इकाई
(c) \( \frac{3}{2} \) वर्ग इकाई
(d) 4 वर्ग इकाई
Answer: (b) 2 वर्ग इकाई
In simple words: हमें \( y = \sin x \) वक्र, x-अक्ष और सीमाओं \( x = \frac{\pi}{2} \) से \( x = \frac{3\pi}{2} \) के बीच का कुल क्षेत्रफल निकालना है। चूंकि \( \sin x \) इस अंतराल में x-अक्ष के ऊपर और नीचे दोनों होता है, इसलिए हमें निरपेक्ष मान का उपयोग करना होगा।

🎯 Exam Tip: जब वक्र x-अक्ष के दोनों ओर हो, तो क्षेत्रफल हमेशा निरपेक्ष मान में लें, जिसका अर्थ है कि x-अक्ष के नीचे के भाग का समाकलन करके उसे धनात्मक बनाएँ और फिर जोड़ें।

Question 5. \( y^2 = 2x \) तथा वृत्त \( x^2 + y^2 = 8 \) से परिबद्ध का क्षेत्रफल
(a) \( \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{3} \right) \) वर्ग इकाई
(b) \( \left( \pi + \frac{2}{3} \right) \) वर्ग इकाई
(c) \( \left( 4\pi + \frac{4}{3} \right) \) वर्ग इकाई
(d) \( \left( \pi + \frac{4}{3} \right) \) वर्ग इकाई
Answer: (d) \( \left( \pi + \frac{4}{3} \right) \) वर्ग इकाई
In simple words: हमें एक परवलय \( y^2 = 2x \) और एक वृत्त \( x^2 + y^2 = 8 \) के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। सबसे पहले, इन दो वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, आपको अक्सर क्षेत्र को छोटे-छोटे हिस्सों में तोड़ना पड़ता है, जैसे कि एक भाग परवलय के नीचे और दूसरा भाग वृत्त के नीचे, और फिर उन्हें जोड़ना होता है।

Question 6. परवलय \( y^2 = x \) तथा रेखा \( x + y = 2 \) के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए परवलय का समीकरण \( y^2 = x \) है।
दी गई रेखा का समीकरण \( x + y = 2 \) है।
हम इन दोनों समीकरणों को हल करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करेंगे।
रेखा के समीकरण से, \( x = 2 - y \)।
इसे परवलय के समीकरण में रखने पर:
\( y^2 = 2 - y \)
\( y^2 + y - 2 = 0 \)
\( y^2 + 2y - y - 2 = 0 \)
\( y(y + 2) - 1(y + 2) = 0 \)
\( (y - 1)(y + 2) = 0 \)
तो, \( y = 1 \) या \( y = -2 \)।
जब \( y = 1 \), तब \( x = 2 - 1 = 1 \)।
जब \( y = -2 \), तब \( x = 2 - (-2) = 4 \)।
इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु \( (1,1) \) और \( (4,-2) \) हैं।
क्षेत्रफल को \( x \) के सापेक्ष या \( y \) के सापेक्ष समाकलित करके ज्ञात किया जा सकता है।
\( y \) के सापेक्ष समाकलन करना आसान होगा क्योंकि रेखा \( x = 2 - y \) और परवलय \( x = y^2 \) दोनों \( y \) के फलन हैं।
अभिष्ट क्षेत्रफल \( = \int_{-2}^{1} (x_{\text{रेखा}} - x_{\text{परवलय}}) dy \)
\( = \int_{-2}^{1} ((2 - y) - y^2) dy \)
\( = \int_{-2}^{1} (2 - y - y^2) dy \)
\( = \left[ 2y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_{-2}^{1} \)
\( = \left( 2(1) - \frac{(1)^2}{2} - \frac{(1)^3}{3} \right) - \left( 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} \right) \)
\( = \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( -4 - \frac{4}{2} - \frac{-8}{3} \right) \)
\( = \left( \frac{12 - 3 - 2}{6} \right) - \left( -4 - 2 + \frac{8}{3} \right) \)
\( = \left( \frac{7}{6} \right) - \left( -6 + \frac{8}{3} \right) \)
\( = \frac{7}{6} - \left( \frac{-18 + 8}{3} \right) \)
\( = \frac{7}{6} - \left( \frac{-10}{3} \right) \)
\( = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} \)
\( = \frac{7 + 20}{6} \)
\( = \frac{27}{6} \)
\( = \frac{9}{2} \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमें परवलय \( y^2 = x \) और रेखा \( x+y=2 \) से घिरा क्षेत्र खोजना है। हमने पहले उन बिंदुओं को ढूँढा जहाँ ये दोनों मिलते हैं। फिर हमने \( y \) के हिसाब से समाकलन किया, जिससे हमें \( \frac{9}{2} \) वर्ग इकाई का क्षेत्रफल मिला।

🎯 Exam Tip: प्रतिच्छेदन बिंदुओं को सही ढंग से ज्ञात करना और यह तय करना कि \( x \) या \( y \) के संबंध में समाकलन करना है, इस प्रकार के प्रश्नों में महत्वपूर्ण है। जिस चर के फलन सरल हों, उसी के संबंध में समाकलन करें।

Question 8. परवलय \( y^2 = 2ax - x^2 \) तथा \( y^2 = ax \) के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: परवलय \( y^2 = 2ax - x^2 \) को हम ऐसे लिख सकते हैं:
\( y^2 = -(x^2 - 2ax) \)
\( y^2 = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) \)
\( y^2 = -( (x - a)^2 - a^2 ) \)
\( y^2 = a^2 - (x - a)^2 \)
\( (x - a)^2 + y^2 = a^2 \)
यह समीकरण एक वृत्त का है जिसका केंद्र \( (a, 0) \) पर है और त्रिज्या \( a \) है।
दूसरा वक्र परवलय \( y^2 = ax \) है।
इन दोनों वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम \( y^2 = ax \) को वृत्त के समीकरण में रखेंगे:
\( (x - a)^2 + ax = a^2 \)
\( x^2 - 2ax + a^2 + ax = a^2 \)
\( x^2 - ax = 0 \)
\( x(x - a) = 0 \)
इसलिए, \( x = 0 \) या \( x = a \)।
जब \( x = 0 \), तब \( y^2 = a(0) = 0 \implies y = 0 \)। पहला प्रतिच्छेदन बिंदु \( (0,0) \) है।
जब \( x = a \), तब \( y^2 = a(a) = a^2 \implies y = \pm a \)। दूसरे प्रतिच्छेदन बिंदु \( (a,a) \) और \( (a,-a) \) हैं।
चूंकि दोनों वक्र x-अक्ष के सममित हैं, हम x-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और उसे 2 से गुणा करेंगे।
अभिष्ट क्षेत्रफल \( = 2 \int_{0}^{a} (y_{\text{वृत्त}} - y_{\text{परवलय}}) dx \)
यहां, \( y_{\text{वृत्त}} = \sqrt{a^2 - (x - a)^2} \) और \( y_{\text{परवलय}} = \sqrt{ax} \)।
इसलिए,
अभिष्ट क्षेत्रफल \( = 2 \int_{0}^{a} (\sqrt{a^2 - (x - a)^2} - \sqrt{ax}) dx \)
\( = 2 \left[ \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - (x - a)^2} dx - \sqrt{a} \int_{0}^{a} \sqrt{x} dx \right] \)
पहले समाकलन के लिए, \( u = x - a \implies du = dx \)। जब \( x=0, u=-a \)। जब \( x=a, u=0 \)।
\( \int_{-a}^{0} \sqrt{a^2 - u^2} du \)
यह वृत्त के एक-चौथाई क्षेत्र का समाकलन है।
\( = \frac{1}{4} \pi a^2 \). [यह \( (x-a)^2 + y^2 = a^2 \) वृत्त के \( x=0 \) से \( x=a \) तक x-अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल है, जो वृत्त के एक-चौथाई भाग का क्षेत्रफल है।]
दूसरे समाकलन के लिए,
\( \sqrt{a} \int_{0}^{a} x^{1/2} dx = \sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a} = \sqrt{a} \frac{2}{3} [a^{3/2} - 0] = \frac{2}{3} a^2 \).
अब, कुल क्षेत्रफल
\( = 2 \left[ \frac{1}{4} \pi a^2 - \frac{2}{3} a^2 \right] \)
\( = \frac{1}{2} \pi a^2 - \frac{4}{3} a^2 \)
\( = a^2 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3} \right) \)
\( = a^2 \left( \frac{3\pi - 8}{6} \right) \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमें \( (x-a)^2 + y^2 = a^2 \) वृत्त और \( y^2 = ax \) परवलय के बीच का क्षेत्रफल निकालना है। हमने प्रतिच्छेदन बिंदु \( (0,0), (a,a) \) और \( (a,-a) \) ढूँढे। फिर हमने x-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र का समाकलन किया और इसे 2 से गुणा किया, जिससे हमें कुल क्षेत्रफल मिला।

🎯 Exam Tip: जटिल वक्रों से घिरे क्षेत्रफल को हल करते समय, उन्हें सरल ज्यामितीय आकृतियों में पहचानना (जैसे वृत्त का भाग) समाकलन को बहुत आसान बना सकता है।

Question 9. वृत्त \( x^2 + y^2 = 16 \) तथा परवलय \( y^2 = 6x \) के मध्यवर्ती उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए वक्र हैं:
वृत्त: \( x^2 + y^2 = 16 \) ...(1)
परवलय: \( y^2 = 6x \) ...(2)
हम इन दोनों समीकरणों को हल करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करेंगे। समीकरण (2) से \( y^2 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( x^2 + 6x = 16 \)
\( x^2 + 6x - 16 = 0 \)
\( x^2 + 8x - 2x - 16 = 0 \)
\( x(x + 8) - 2(x + 8) = 0 \)
\( (x - 2)(x + 8) = 0 \)
इसलिए, \( x = 2 \) या \( x = -8 \)।
यदि \( x = -8 \), तो समीकरण (2) से \( y^2 = 6(-8) = -48 \)। यह संभव नहीं है क्योंकि \( y^2 \) ऋणात्मक नहीं हो सकता (काल्पनिक मान)।
इसलिए, हम \( x = 2 \) लेंगे।
जब \( x = 2 \), तब समीकरण (2) से \( y^2 = 6(2) = 12 \implies y = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \)।
अतः प्रतिच्छेदन बिंदु \( (2, 2\sqrt{3}) \) और \( (2, -2\sqrt{3}) \) हैं।
दोनों वक्र x-अक्ष के सममित हैं। इसलिए, हम x-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करके उसे 2 से गुणा करेंगे।
अभिष्ट क्षेत्रफल \( = 2 \times (\text{परवलय के नीचे का क्षेत्रफल} + \text{वृत्त के नीचे का क्षेत्रफल}) \)
\( = 2 \left[ \int_{0}^{2} \sqrt{6x} dx + \int_{2}^{4} \sqrt{16 - x^2} dx \right] \)
पहला समाकलन: \( \int_{0}^{2} \sqrt{6x} dx = \sqrt{6} \int_{0}^{2} x^{1/2} dx \)
\( = \sqrt{6} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{2} = \sqrt{6} \frac{2}{3} (2^{3/2} - 0) = \frac{2\sqrt{6}}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{8\sqrt{3}}{3} \)
दूसरा समाकलन: \( \int_{2}^{4} \sqrt{16 - x^2} dx \) (यह \( \sqrt{a^2 - x^2} \) के रूप का है)
\( = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{16 - x^2} + \frac{16}{2} \sin^{-1} \frac{x}{4} \right]_{2}^{4} \)
\( = \left( \frac{4}{2}\sqrt{16 - 4^2} + 8 \sin^{-1} \frac{4}{4} \right) - \left( \frac{2}{2}\sqrt{16 - 2^2} + 8 \sin^{-1} \frac{2}{4} \right) \)
\( = \left( 2\sqrt{0} + 8 \sin^{-1} 1 \right) - \left( 1\sqrt{12} + 8 \sin^{-1} \frac{1}{2} \right) \)
\( = \left( 0 + 8 \times \frac{\pi}{2} \right) - \left( 2\sqrt{3} + 8 \times \frac{\pi}{6} \right) \)
\( = 4\pi - 2\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3} \)
\( = \frac{12\pi - 4\pi}{3} - 2\sqrt{3} = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3} \)
अब, कुल क्षेत्रफल \( = 2 \left[ \frac{8\sqrt{3}}{3} + \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3} \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{8\sqrt{3} - 6\sqrt{3}}{3} + \frac{8\pi}{3} \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{8\pi}{3} \right] \)
\( = \frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{16\pi}{3} \)
\( = \frac{4}{3} ( \sqrt{3} + 4\pi ) \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमें वृत्त \( x^2 + y^2 = 16 \) और परवलय \( y^2 = 6x \) के बीच का क्षेत्रफल निकालना था। हमने पहले पता लगाया कि वे कहाँ मिलते हैं, जो \( x=2 \) पर होता है। फिर हमने इस क्षेत्र को दो भागों में बांटा: \( x=0 \) से \( x=2 \) तक परवलय के नीचे का क्षेत्र और \( x=2 \) से \( x=4 \) तक वृत्त के नीचे का क्षेत्र। दोनों हिस्सों का क्षेत्रफल निकालकर जोड़ा और फिर उसे 2 से गुणा किया क्योंकि यह x-अक्ष के ऊपर और नीचे समान है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को सटीक रूप से ज्ञात करें। यदि आकृति x-अक्ष या y-अक्ष के सममित है, तो केवल आधे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करके उसे 2 से गुणा करें ताकि गणनाएँ सरल हो जाएँ।

Question 10. वक्र \( x^2 + y^2 = 1 \) तथा \( x + y \geq 1 \) से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र एक वृत्त है: \( x^2 + y^2 = 1 \) जिसका केंद्र \( (0,0) \) पर है और त्रिज्या \( r=1 \) है।
दी गई असमिका \( x + y \geq 1 \) है, जिसे हम रेखा \( x + y = 1 \) के रूप में लिख सकते हैं। यह रेखा \( (1,0) \) और \( (0,1) \) से होकर गुजरती है।
असमिका \( x + y \geq 1 \) का अर्थ है कि हमें रेखा \( x + y = 1 \) के ऊपर या दाईं ओर का क्षेत्र चाहिए।
हमें वृत्त \( x^2 + y^2 = 1 \) और रेखा \( x + y = 1 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
अभिष्ट क्षेत्रफल, वृत्त के क्षेत्रफल के एक चौथाई भाग में से त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल घटाकर प्राप्त किया जा सकता है।
वृत्त \( x^2 + y^2 = 1 \) का एक चौथाई भाग प्रथम चतुर्थांश में है।
त्रिभुज OAB के शीर्ष \( (0,0), (1,0) \) और \( (0,1) \) हैं।
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} \) वर्ग इकाई।
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{4} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4} \) वर्ग इकाई।
अभिष्ट क्षेत्रफल \( = (\text{प्रथम चतुर्थांश में वृत्त का क्षेत्रफल}) - (\text{त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल}) \)
\( = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \)
\( = \frac{\pi - 2}{4} \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमें वृत्त \( x^2 + y^2 = 1 \) और रेखा \( x + y = 1 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालना था, जहाँ क्षेत्र रेखा के ऊपर है। हमने पहले वृत्त के एक-चौथाई क्षेत्र का पता लगाया और उसमें से रेखा द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल घटा दिया।

🎯 Exam Tip: असमिकाओं वाले क्षेत्रफल के प्रश्नों में, पहले संबंधित समीकरणों को ग्राफ़ पर दर्शाएँ। फिर निर्धारित करें कि कौन सा क्षेत्र असमिका को संतुष्ट करता है और उस क्षेत्र का समाकलन करें। सरल आकृतियों के लिए ज्यामितीय सूत्रों का उपयोग करना समाकलन से अधिक कुशल हो सकता है।

Question 11. समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष \( (-1, 0), (1, 3) \) एवं \( (3, 2) \) हैं।
Answer: त्रिभुज के शीर्ष \( A(-1, 0) \), \( B(1, 3) \) और \( C(3, 2) \) हैं।
हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए रेखा खंडों AB, BC और CA के समीकरण ज्ञात करेंगे और फिर समाकलन का उपयोग करेंगे।

1. रेखा AB का समीकरण:
बिंदु \( A(-1, 0) \) और \( B(1, 3) \) हैं।
दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण \( y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \) है।
\( y - 0 = \frac{3 - 0}{1 - (-1)} (x - (-1)) \)
\( y = \frac{3}{2} (x + 1) \) ...(1)

2. रेखा BC का समीकरण:
बिंदु \( B(1, 3) \) और \( C(3, 2) \) हैं।
\( y - 3 = \frac{2 - 3}{3 - 1} (x - 1) \)
\( y - 3 = \frac{-1}{2} (x - 1) \)
\( y = -\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} + 3 \)
\( y = -\frac{1}{2} x + \frac{7}{2} \) ...(2)

3. रेखा CA का समीकरण:
बिंदु \( C(3, 2) \) और \( A(-1, 0) \) हैं।
\( y - 2 = \frac{0 - 2}{-1 - 3} (x - 3) \)
\( y - 2 = \frac{-2}{-4} (x - 3) \)
\( y - 2 = \frac{1}{2} (x - 3) \)
\( y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2} + 2 \)
\( y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \) ...(3)

अब त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल \( = (\text{रेखा AB के नीचे का क्षेत्रफल}) + (\text{रेखा BC के नीचे का क्षेत्रफल}) - (\text{रेखा CA के नीचे का क्षेत्रफल}) \)
\( = \int_{-1}^{1} \left( \frac{3}{2} (x + 1) \right) dx + \int_{1}^{3} \left( -\frac{1}{2} x + \frac{7}{2} \right) dx - \int_{-1}^{3} \left( \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \right) dx \)

क्षेत्रफल AB के नीचे:
\( \int_{-1}^{1} \left( \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \right) dx = \left[ \frac{3x^2}{4} + \frac{3}{2} x \right]_{-1}^{1} \)
\( = \left( \frac{3(1)^2}{4} + \frac{3}{2}(1) \right) - \left( \frac{3(-1)^2}{4} + \frac{3}{2}(-1) \right) \)
\( = \left( \frac{3}{4} + \frac{3}{2} \right) - \left( \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \right) \)
\( = \frac{3}{4} + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3 \) वर्ग इकाई।

क्षेत्रफल BC के नीचे:
\( \int_{1}^{3} \left( -\frac{1}{2} x + \frac{7}{2} \right) dx = \left[ -\frac{x^2}{4} + \frac{7}{2} x \right]_{1}^{3} \)
\( = \left( -\frac{(3)^2}{4} + \frac{7}{2}(3) \right) - \left( -\frac{(1)^2}{4} + \frac{7}{2}(1) \right) \)
\( = \left( -\frac{9}{4} + \frac{21}{2} \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{7}{2} \right) \)
\( = \left( \frac{-9 + 42}{4} \right) - \left( \frac{-1 + 14}{4} \right) \)
\( = \frac{33}{4} - \frac{13}{4} = \frac{20}{4} = 5 \) वर्ग इकाई।

क्षेत्रफल CA के नीचे:
\( \int_{-1}^{3} \left( \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \right) dx = \left[ \frac{x^2}{4} + \frac{1}{2} x \right]_{-1}^{3} \)
\( = \left( \frac{(3)^2}{4} + \frac{1}{2}(3) \right) - \left( \frac{(-1)^2}{4} + \frac{1}{2}(-1) \right) \)
\( = \left( \frac{9}{4} + \frac{3}{2} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) \)
\( = \left( \frac{9 + 6}{4} \right) - \left( \frac{1 - 2}{4} \right) \)
\( = \frac{15}{4} - \frac{-1}{4} = \frac{15 + 1}{4} = \frac{16}{4} = 4 \) वर्ग इकाई।

कुल त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = 3 + 5 - 4 = 4 \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमें दिए गए तीन बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालना था। हमने हर रेखा का समीकरण ज्ञात किया, फिर हर रेखा के नीचे के क्षेत्र का समाकलन किया। त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए, हमने AB और BC के नीचे के क्षेत्र को जोड़ा और CA के नीचे के क्षेत्र को घटाया।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के शीर्षों का उपयोग करके प्रत्येक भुजा का समीकरण ज्ञात करें। फिर, क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उचित समाकलन सीमाओं के साथ सूत्र \( \int_{a}^{b} y \, dx \) का उपयोग करें, यह ध्यान रखते हुए कि कौन सा क्षेत्र जोड़ा या घटाया जाएगा।

Question 12. रेखा \( y = 3x + 2 \), x-अक्ष एवं कोटियों \( x = -1 \) तथा \( x = 1 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें रेखा \( y = 3x + 2 \), x-अक्ष और कोटियों \( x = -1 \) तथा \( x = 1 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
रेखा \( y = 3x + 2 \) x-अक्ष को तब काटती है जब \( y = 0 \), यानी \( 3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3} \)।
हमारा समाकलन अंतराल \( [-1, 1] \) है, और \( x = -\frac{2}{3} \) इस अंतराल के अंदर आता है। इसका मतलब है कि रेखा x-अक्ष के ऊपर और नीचे दोनों ओर होगी।
इसलिए, हमें क्षेत्रफल को दो भागों में विभाजित करना होगा:
भाग 1: \( x = -1 \) से \( x = -\frac{2}{3} \) तक। इस अंतराल में \( y = 3x + 2 \) ऋणात्मक होगा (x-अक्ष के नीचे)।
भाग 2: \( x = -\frac{2}{3} \) से \( x = 1 \) तक। इस अंतराल में \( y = 3x + 2 \) धनात्मक होगा (x-अक्ष के ऊपर)।
अभिष्ट क्षेत्रफल \( = \int_{-1}^{-2/3} |3x + 2| dx + \int_{-2/3}^{1} |3x + 2| dx \)
चूंकि \( 3x + 2 \) अंतराल \( [-1, -2/3] \) में ऋणात्मक है, \( |3x + 2| = -(3x + 2) \)।
और अंतराल \( [-2/3, 1] \) में धनात्मक है, \( |3x + 2| = (3x + 2) \)।
अभिष्ट क्षेत्रफल \( = \int_{-1}^{-2/3} -(3x + 2) dx + \int_{-2/3}^{1} (3x + 2) dx \)
\( = \left[ -\frac{3x^2}{2} - 2x \right]_{-1}^{-2/3} + \left[ \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-2/3}^{1} \)

पहला भाग:
\( \left( -\frac{3(-2/3)^2}{2} - 2(-2/3) \right) - \left( -\frac{3(-1)^2}{2} - 2(-1) \right) \)
\( = \left( -\frac{3(4/9)}{2} + \frac{4}{3} \right) - \left( -\frac{3}{2} + 2 \right) \)
\( = \left( -\frac{2}{3} + \frac{4}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} \right) \)
\( = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6} \)

दूसरा भाग:
\( \left( \frac{3(1)^2}{2} + 2(1) \right) - \left( \frac{3(-2/3)^2}{2} + 2(-2/3) \right) \)
\( = \left( \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{3(4/9)}{2} - \frac{4}{3} \right) \)
\( = \left( \frac{7}{2} \right) - \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \right) \)
\( = \frac{7}{2} - \left( -\frac{2}{3} \right) \)
\( = \frac{7}{2} + \frac{2}{3} = \frac{21 + 4}{6} = \frac{25}{6} \)

कुल क्षेत्रफल \( = \frac{1}{6} + \frac{25}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमें रेखा \( y = 3x + 2 \) और x-अक्ष के बीच \( x = -1 \) से \( x = 1 \) तक का क्षेत्रफल निकालना था। चूंकि रेखा इस अंतराल में x-अक्ष को पार करती है, हमने क्षेत्र को दो हिस्सों में बांटा: जहाँ रेखा x-अक्ष के नीचे है और जहाँ वह ऊपर है। हमने हर हिस्से का क्षेत्रफल अलग-अलग निकाला और उन्हें जोड़ा।

🎯 Exam Tip: जब फलन समाकलन अंतराल में x-अक्ष को पार करता है, तो क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए प्रत्येक उप-अंतराल के लिए अलग-अलग समाकलन करें और उनके निरपेक्ष मानों को जोड़ें। यह सुनिश्चित करता है कि x-अक्ष के नीचे के क्षेत्र भी धनात्मक हों।

Question 12. रेखा y = 3x + 2, x-अक्ष एवं कोटियों x = -1 तथा x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: रेखा \( y = 3x + 2 \) का x-अक्ष के साथ घिरा हुआ क्षेत्र और \( x = -1 \) तथा \( x = 1 \) के बीच का क्षेत्रफल निकालना है। सबसे पहले, हम उस बिंदु को ज्ञात करते हैं जहाँ रेखा x-अक्ष को काटती है, जो \( x = -\frac{2}{3} \) है। फिर हम क्षेत्रफल को दो भागों में विभाजित करते हैं: एक \( x = -1 \) से \( x = -\frac{2}{3} \) तक और दूसरा \( x = -\frac{2}{3} \) से \( x = 1 \) तक। इन दोनों क्षेत्रों का समाकलन करके योग करने पर कुल क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई आता है। इस विधि में, हम रेखा के नीचे के क्षेत्रफल की गणना करते हैं, और यदि रेखा x-अक्ष के नीचे आती है, तो हम निरपेक्ष मान लेते हैं ताकि क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक रहे। \[ \text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = \int_{-1}^{-2/3} (3x+2) \, dx + \int_{-2/3}^{1} (3x+2) \, dx \]
\( \implies \) समाकलन करने पर: \[ = \left[ \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{-2/3} + \left[ \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-2/3}^{1} \]
\( \implies \) सीमाएँ रखने पर: \[ = \left\{ \left( \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) \right) \right\} \] \[ + \left\{ \left( \frac{3}{2} \cdot (1)^2 + 2 \cdot (1) \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \right) \right\} \]
\( \implies = \left\{ \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} - \frac{4}{3} \right) - \left( \frac{3}{2} - 2 \right) \right\} + \left\{ \left( \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} - \frac{4}{3} \right) \right\} \]
\( \implies = \left\{ \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \right) - \left( -\frac{1}{2} \right) \right\} + \left\{ \left( \frac{7}{2} \right) - \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \right) \right\} \]
\( \implies = \left( -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{7}{2} - (-\frac{2}{3}) \right) \]
\( \implies = -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{7}{2} + \frac{2}{3} \]
\( \implies = \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ वर्ग इकाई} \] In simple words: हमें एक सीधी रेखा और x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल \( x = -1 \) और \( x = 1 \) के बीच निकालना है। हम पहले रेखा के x-अक्ष को छूने का बिंदु पाते हैं। फिर, हम दो छोटे क्षेत्रों का पता लगाते हैं और उन्हें जोड़ते हैं, जिससे कुल क्षेत्रफल 4 आता है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, x-अक्ष पर वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदु को पहचानना महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह समाकलन के लिए अंतराल को विभाजित करता है।

Question 13. y² = 2x, y = 4x - 1 व y ≥ 0 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें परवलय \( y^2 = 2x \) और रेखा \( y = 4x - 1 \) के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, जहाँ \( y \ge 0 \) है। पहले हम परवलय और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। इन समीकरणों को हल करने पर हमें बिंदु \( (\frac{1}{2}, 1) \) मिलता है क्योंकि \( y \) धनात्मक होना चाहिए। फिर हम इस क्षेत्र के क्षेत्रफल को \( y \) के सापेक्ष समाकलन करके निकालते हैं। रेखा से परवलय के \( x \)-मान को घटाकर \( y=0 \) से \( y=1 \) तक समाकलित करते हैं। \[ \text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{1} \left( \frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2} \right) \, dy \]
\( \implies \) हम समाकलन करते हैं: \[ = \left[ \frac{y^2}{8} + \frac{y}{4} - \frac{y^3}{6} \right]_{0}^{1} \]
\( \implies \) सीमाएँ रखने पर: \[ = \frac{1^2}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1^3}{6} - \left( \frac{0^2}{8} + \frac{0}{4} - \frac{0^3}{6} \right) \]
\( \implies = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \]
\( \implies \) लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 24 लेने पर: \[ = \frac{3}{24} + \frac{6}{24} - \frac{4}{24} \]
\( \implies = \frac{3+6-4}{24} = \frac{5}{24} \text{ वर्ग इकाई} \] यह गणना परवलय और रेखा के बीच के वास्तविक क्षेत्रफल को दर्शाती है। In simple words: हम एक घुमावदार रेखा (परवलय) और एक सीधी रेखा के बीच का क्षेत्रफल निकालते हैं, जहाँ \( y \) मान शून्य से बड़ा या बराबर है। हम इन रेखाओं के मिलने वाले बिंदुओं को ढूंढते हैं और फिर \( y \) के अनुसार उन बिंदुओं के बीच के क्षेत्रफल को मापते हैं। अंत में, हमें \( \frac{5}{24} \) वर्ग इकाई का क्षेत्रफल मिलता है।

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल गणना के प्रश्नों में हमेशा दो वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को सही ढंग से ज्ञात करें, और ध्यान दें कि समाकलन किस अक्ष के सापेक्ष किया जा रहा है (यहां, y-अक्ष के सापेक्ष)।

Question 14. वक्र y² = 4x, y-अक्ष एवं रेखा y = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है।
Answer: हमें परवलय \( y^2 = 4x \), y-अक्ष, और सीधी रेखा \( y = 3 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। परवलय का शीर्ष मूल बिंदु पर है और यह दाईं ओर खुलता है। y-अक्ष \( x=0 \) है। क्षेत्रफल को मापने के लिए, हम \( x \) को \( y \) के फलन के रूप में लिखते हैं, जो \( x = \frac{y^2}{4} \) है। फिर हम इस फलन को \( y=0 \) से \( y=3 \) तक समाकलित करते हैं। \[ \text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy \]
\( \implies \) समाकलन करने पर: \[ = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3} \]
\( \implies \) सीमाएँ रखने पर: \[ = \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) \]
\( \implies = \frac{1}{4} \left( \frac{27}{3} \right) \]
\( \implies = \frac{1}{4} \times 9 = \frac{9}{4} \text{ वर्ग इकाई} \] इस तरह, हमें परवलय और रेखाओं के बीच का कुल क्षेत्रफल \( \frac{9}{4} \) वर्ग इकाई मिलता है। In simple words: हमें एक घुमावदार रेखा (परवलय), सीधी खड़ी रेखा (y-अक्ष) और एक सीधी आड़ी रेखा (y=3) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालना है। हम परवलय के समीकरण को बदलते हैं ताकि \( x \) का मान \( y \) के रूप में मिल जाए। फिर हम \( y=0 \) से \( y=3 \) तक छोटे-छोटे हिस्सों को जोड़कर कुल क्षेत्रफल निकालते हैं, जो \( \frac{9}{4} \) वर्ग इकाई आता है।

🎯 Exam Tip: जब y-अक्ष से घिरा क्षेत्र पूछा जाए, तो \( x \) को \( y \) के फलन के रूप में व्यक्त करके \( dy \) के सापेक्ष समाकलन करना अक्सर आसान होता है।

Question 10. वक्र x² + y² = 1 तथा x + y ≥ 1 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें वृत्त \( x^2 + y^2 = 1 \) और रेखा \( x + y \ge 1 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। यह वृत्त मूल बिंदु पर केंद्रित है और इसकी त्रिज्या 1 इकाई है। रेखा \( x + y = 1 \) वृत्त को \( (1,0) \) और \( (0,1) \) पर काटती है। क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम चतुर्थांश वृत्त (क्वार्टर सर्कल) के क्षेत्रफल में से रेखा और अक्षों द्वारा बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाते हैं। \[ \text{वृत्त का क्षेत्रफल} = \pi r^2 = \pi (1)^2 = \pi \]
\( \implies \) चतुर्थांश वृत्त का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{4} \pi \)
रेखा \( x+y=1 \) से घिरा त्रिभुज का क्षेत्रफल (अक्षों के साथ) \( = \int_{0}^{1} (1-x) \, dx \]
\( \implies = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \]
\( \implies = \left( 1 - \frac{1^2}{2} \right) - (0 - 0) \)
\( \implies = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
\( \implies \) अभीष्ट क्षेत्रफल \( = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \]
\( \implies = \frac{\pi - 2}{4} \text{ वर्ग इकाई} \) यह क्षेत्रफल वृत्त के उस हिस्से को दर्शाता है जो रेखा के ऊपर या दाईं ओर है। In simple words: हमें एक गोल आकृति (वृत्त) और एक सीधी रेखा \( x+y=1 \) के बीच का क्षेत्रफल खोजना है, जहाँ \( x+y \) का मान 1 से बड़ा या बराबर है। इसका मतलब है कि हमें वृत्त के उस टुकड़े का क्षेत्रफल निकालना है जो रेखा के 'ऊपर' है। हम वृत्त के एक चौथाई हिस्से का क्षेत्रफल लेते हैं और उसमें से रेखा और किनारों से बनने वाले छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल घटा देते हैं, जिससे हमें \( \frac{\pi - 2}{4} \) वर्ग इकाई मिलता है।

🎯 Exam Tip: वृत्त और रेखा से घिरे क्षेत्र के प्रश्नों में, हमेशा रेखा के समीकरण को \( y \) के रूप में व्यक्त करें और समाकलन की सीमाएँ सही ढंग से पहचानें। यदि संभव हो, तो ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफलों को घटाकर भी हल किया जा सकता है।