RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग क्षेत्रकलन Exercise 11.1

Question 1. परवलय \( y^2 = 4ax \) तथा उसके नाभिलम्ब से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: परवलय \( y^2 = 4ax \) का ग्राफ x-अक्ष के सममित होता है। इसका नाभिलम्ब \( x = a \) है, जो x-अक्ष पर लंबवत होता है। हमें नाभिलम्ब और परवलय के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। हम इसे x-अक्ष के सापेक्ष समाकलन करके निकाल सकते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = \( 2 \times \int_{0}^{a} y \, dx \)
यहां \( y = \sqrt{4ax} = 2\sqrt{a}\sqrt{x} \)
\( = 2 \int_{0}^{a} 2\sqrt{a}x^{1/2} \, dx \)
\( = 4\sqrt{a} \int_{0}^{a} x^{1/2} \, dx \)
\( = 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a} \)
\( = 4\sqrt{a} \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{a} \)
\( = \frac{8\sqrt{a}}{3} [(a)^{3/2} - (0)^{3/2}] \)
\( = \frac{8\sqrt{a}}{3} \times a^{3/2} \)
\( = \frac{8a^{2}}{3} \) वर्ग इकाई। एक परवलय और उसके नाभिलम्ब के बीच का क्षेत्र हमेशा \( \frac{8a^2}{3} \) होता है।
In simple words: हमें एक परवलय और उसकी नाभिलम्ब रेखा के बीच का क्षेत्रफल निकालना था। हमने समाकलन का उपयोग करके इस क्षेत्र की गणना की, और इसका क्षेत्रफल \( \frac{8a^2}{3} \) आया।

🎯 Exam Tip: जब भी परवलय \( y^2 = 4ax \) और उसके नाभिलम्ब से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालने को कहा जाए, तो यह हमेशा \( \frac{8a^2}{3} \) वर्ग इकाई होता है। इस सूत्र को याद रखने से समय बचता है, लेकिन इसे निकालने का तरीका भी समझ लें।

Question 2. वृत्त \( x^2 + y^2 = 4 \) का चित्र बनाकर इसमें y-अक्ष व \( x = 1 \) के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: वृत्त \( x^2 + y^2 = 4 \) का केंद्र मूल बिंदु \( (0,0) \) पर है और इसकी त्रिज्या \( r = \sqrt{4} = 2 \) इकाई है। हमें y-अक्ष (जो \( x=0 \) है) और रेखा \( x=1 \) के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। यह क्षेत्र x-अक्ष के ऊपर और नीचे दोनों तरफ फैला हुआ है, इसलिए हम केवल ऊपर वाले हिस्से का क्षेत्रफल निकालेंगे और उसे दोगुना कर देंगे।
वृत्त के समीकरण से \( y^2 = 4 - x^2 \implies y = \sqrt{4 - x^2} \) (ऊपरी अर्धवृत्त के लिए)
अभीष्ट क्षेत्रफल = \( 2 \int_{0}^{1} y \, dx \)
\( = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{4 - x^2} \, dx \)
सूत्र \( \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} \) का उपयोग करने पर (यहाँ \( a=2 \)):
\( = 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\frac{x}{2} \right]_{0}^{1} \)
\( = 2 \left[ \left( \frac{1}{2}\sqrt{4 - 1^2} + 2\sin^{-1}\frac{1}{2} \right) - \left( \frac{0}{2}\sqrt{4 - 0^2} + 2\sin^{-1}\frac{0}{2} \right) \right] \)
\( = 2 \left[ \left( \frac{1}{2}\sqrt{3} + 2 \times \frac{\pi}{6} \right) - (0 + 0) \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3} \right] \)
\( = \sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} \) वर्ग इकाई। यह गणना वृत्त के एक निश्चित भाग का क्षेत्रफल देती है।
In simple words: हमें एक वृत्त के अंदर, y-अक्ष (x=0) से लेकर x=1 तक का क्षेत्रफल निकालना था। हमने समाकलन सूत्र का इस्तेमाल किया और ऊपरी आधे हिस्से का क्षेत्रफल निकालकर उसे दोगुना कर दिया। कुल क्षेत्रफल \( \sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} \) आया।

🎯 Exam Tip: जब वृत्त या दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल की गणना हो, तो समरूपता का उपयोग करके केवल एक हिस्से का क्षेत्रफल निकालकर उसे दोगुना करना अक्सर गणना को आसान बना देता है।

Question 3. वक्र \( y = \sin x \) तथा x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जबकि \( 0 \leq x \leq 2\pi \).
Answer: वक्र \( y = \sin x \) का ग्राफ x-अक्ष के ऊपर और नीचे दोनों तरफ होता है। \( 0 \leq x \leq \pi \) के लिए \( \sin x \geq 0 \) होता है (ग्राफ x-अक्ष के ऊपर), और \( \pi \leq x \leq 2\pi \) के लिए \( \sin x \leq 0 \) होता है (ग्राफ x-अक्ष के नीचे)। कुल क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए हम दोनों क्षेत्रों को अलग-अलग समाकलित करके उनके निरपेक्ष मान को जोड़ेंगे।
अभीष्ट क्षेत्रफल = \( \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx + \left| \int_{\pi}^{2\pi} \sin x \, dx \right| \)
\( = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx - \int_{\pi}^{2\pi} \sin x \, dx \) (क्योंकि \( \int_{\pi}^{2\pi} \sin x \, dx \) नकारात्मक होगा)
\( = [-\cos x]_{0}^{\pi} - [-\cos x]_{\pi}^{2\pi} \)
\( = (-\cos \pi - (-\cos 0)) - (-\cos 2\pi - (-\cos \pi)) \)
\( = (-(-1) - (-1)) - (-(1) - (-(-1))) \)
\( = (1 + 1) - (-1 - 1) \)
\( = 2 - (-2) \)
\( = 2 + 2 \)
\( = 4 \) वर्ग इकाई। sin x वक्र की यह प्रकृति इसे दोहराने वाले पैटर्न के कारण महत्वपूर्ण बनाती है।
In simple words: हमें sin x वक्र और x-अक्ष के बीच \( 0 \) से \( 2\pi \) तक का कुल क्षेत्रफल निकालना था। चूंकि वक्र कुछ जगह x-अक्ष के ऊपर और कुछ जगह नीचे होता है, हमने दोनों हिस्सों का क्षेत्रफल अलग-अलग निकाला और उन्हें जोड़ दिया। कुल क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई आया।

🎯 Exam Tip: x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, यदि फलन x-अक्ष के ऊपर और नीचे दोनों तरफ हो, तो अलग-अलग अंतराल में समाकलन करके उनके निरपेक्ष मानों को जोड़ें ताकि कुल क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक रहे।

Question 4. वक्र \( y = 2\sqrt{x} \) तथा \( x = 0, x = 1 \) द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र \( y = 2\sqrt{x} \) है। यदि हम दोनों तरफ वर्ग करें, तो \( y^2 = (2\sqrt{x})^2 \implies y^2 = 4x \), जो एक परवलय का समीकरण है। यह परवलय x-अक्ष के सापेक्ष सममित है। हमें \( x = 0 \) (y-अक्ष) और \( x = 1 \) के बीच इस वक्र और x-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। चूंकि \( y = 2\sqrt{x} \) के लिए \( y \geq 0 \) है, वक्र केवल x-अक्ष के ऊपर स्थित है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = \( \int_{0}^{1} y \, dx \)
\( = \int_{0}^{1} 2\sqrt{x} \, dx \)
\( = 2 \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx \)
\( = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} \)
\( = 2 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1} \)
\( = \frac{4}{3} [(1)^{3/2} - (0)^{3/2}] \)
\( = \frac{4}{3} [1 - 0] \)
\( = \frac{4}{3} \) वर्ग इकाई। यह क्षेत्रफल वक्र के गुणों को दर्शाता है।
In simple words: हमें \( y = 2\sqrt{x} \) नाम के एक वक्र और x-अक्ष के बीच, x की वैल्यू 0 से 1 तक का क्षेत्रफल निकालना था। हमने समाकलन का उपयोग करके इस क्षेत्र की गणना की, और इसका क्षेत्रफल \( \frac{4}{3} \) वर्ग इकाई आया।

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल ज्ञात करते समय हमेशा फलन के ग्राफ की प्रकृति (जैसे कि यह x-अक्ष के ऊपर है या नीचे) का ध्यान रखें। यदि वक्र पूरी तरह से x-अक्ष के ऊपर है, तो समाकलन सीधा होगा।

Question 5. \( y = |x|, x = -3, x = 1 \) ये x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र \( y = |x| \) है। निरपेक्ष मान फलन की परिभाषा के अनुसार, जब \( x \geq 0 \) तो \( y = x \) होता है, और जब \( x < 0 \) तो \( y = -x \) होता है। हमें इस वक्र, रेखाओं \( x = -3 \) और \( x = 1 \), तथा x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। चूंकि \( y = |x| \) हमेशा \( \geq 0 \) होता है, पूरा वक्र x-अक्ष के ऊपर स्थित है। हमें दो अलग-अलग अंतरालों में समाकलन करना होगा: \( [-3, 0] \) और \( [0, 1] \).
अभीष्ट क्षेत्रफल = \( \int_{-3}^{1} |x| \, dx \)
\( = \int_{-3}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{1} x \, dx \)
\( = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-3}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \)
\( = \left( -\frac{(0)^2}{2} - \left(-\frac{(-3)^2}{2}\right) \right) + \left( \frac{(1)^2}{2} - \frac{(0)^2}{2} \right) \)
\( = \left( 0 - \left(-\frac{9}{2}\right) \right) + \left( \frac{1}{2} - 0 \right) \)
\( = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} \)
\( = \frac{10}{2} \)
\( = 5 \) वर्ग इकाई। यह परिणाम निरपेक्ष मान फलन के ग्राफ से स्पष्ट होता है।
In simple words: हमें \( y = |x| \) नाम के वक्र, x-अक्ष और x की वैल्यू -3 से 1 तक का कुल क्षेत्रफल निकालना था। चूंकि \( |x| \) दो हिस्सों में बदलता है (\( -x \) और \( x \)), हमने -3 से 0 और 0 से 1 तक अलग-अलग समाकलन किया और उन्हें जोड़ दिया। कुल क्षेत्रफल 5 वर्ग इकाई आया।

🎯 Exam Tip: \( |x| \) जैसे निरपेक्ष मान फलनों के साथ काम करते समय, हमेशा उस बिंदु पर अंतराल को विभाजित करें जहाँ फलन की परिभाषा बदलती है (जैसे \( x=0 \) पर), और प्रत्येक भाग के लिए उचित फलन का उपयोग करें।

Question 6. वक्र \( x^2 = 4ay \), x-अक्ष तथा रेखा \( x = 2 \) से परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र \( x^2 = 4ay \) है, जो एक परवलय का समीकरण है। यह परवलय y-अक्ष के सापेक्ष सममित है और इसका शीर्ष मूल बिंदु \( (0,0) \) पर है। हमें इस वक्र, x-अक्ष और रेखा \( x = 2 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। समीकरण से, \( y = \frac{x^2}{4a} \) होता है। चूंकि \( x^2 \) हमेशा \( \geq 0 \) होता है, और हम मान रहे हैं कि \( a > 0 \), तो \( y \geq 0 \) होगा, जिसका अर्थ है कि वक्र x-अक्ष के ऊपर स्थित है। हम \( x = 0 \) से \( x = 2 \) तक समाकलन करेंगे।
अभीष्ट क्षेत्रफल = \( \int_{0}^{2} y \, dx \)
\( = \int_{0}^{2} \frac{x^2}{4a} \, dx \)
\( = \frac{1}{4a} \int_{0}^{2} x^2 \, dx \)
\( = \frac{1}{4a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \)
\( = \frac{1}{4a} \left( \frac{(2)^3}{3} - \frac{(0)^3}{3} \right) \)
\( = \frac{1}{4a} \left( \frac{8}{3} - 0 \right) \)
\( = \frac{8}{12a} \)
\( = \frac{2}{3a} \) वर्ग इकाई। यह क्षेत्रफल परवलयिक क्षेत्र की विशिष्टता को दर्शाता है।
In simple words: हमें \( x^2 = 4ay \) नाम के एक परवलय, x-अक्ष और x=2 रेखा के बीच का क्षेत्रफल निकालना था। हमने y के लिए समीकरण को हल किया, और फिर x की वैल्यू 0 से 2 तक समाकलन करके क्षेत्रफल की गणना की। कुल क्षेत्रफल \( \frac{2}{3a} \) वर्ग इकाई आया।

🎯 Exam Tip: परवलय के समीकरण को \( y = f(x) \) के रूप में व्यक्त करना अक्सर क्षेत्रफल की गणना के लिए समाकलन स्थापित करने में मदद करता है। सीमाएं सही ढंग से निर्धारित करना महत्वपूर्ण है।

Question 7. दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \) से परिबद्ध तथा x-अक्ष से ऊपर की ओर स्थित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया दीर्घवृत्त का समीकरण \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \) है। इसे \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) से तुलना करने पर, \( a^2 = 4 \implies a = 2 \) और \( b^2 = 9 \implies b = 3 \) मिलता है। हमें x-अक्ष से ऊपर दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। चूँकि दीर्घवृत्त x-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है, हम \( x=0 \) से \( x=a \) तक के ऊपरी आधे हिस्से का क्षेत्रफल ज्ञात करके उसे दोगुना कर सकते हैं।
दीर्घवृत्त के समीकरण से, \( \frac{y^2}{9} = 1 - \frac{x^2}{4} = \frac{4 - x^2}{4} \)
\( y^2 = \frac{9}{4}(4 - x^2) \implies y = \frac{3}{2}\sqrt{4 - x^2} \) (x-अक्ष के ऊपर वाले हिस्से के लिए)
अभीष्ट क्षेत्रफल = \( 2 \int_{0}^{2} y \, dx \)
\( = 2 \int_{0}^{2} \frac{3}{2}\sqrt{4 - x^2} \, dx \)
\( = 3 \int_{0}^{2} \sqrt{2^2 - x^2} \, dx \)
सूत्र \( \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} \) का उपयोग करने पर (यहाँ \( a=2 \)):
\( = 3 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\frac{x}{2} \right]_{0}^{2} \)
\( = 3 \left[ \left( \frac{2}{2}\sqrt{4 - 2^2} + 2\sin^{-1}\frac{2}{2} \right) - \left( \frac{0}{2}\sqrt{4 - 0^2} + 2\sin^{-1}\frac{0}{2} \right) \right] \)
\( = 3 \left[ (0 + 2\sin^{-1}1) - (0 + 2\sin^{-1}0) \right] \)
\( = 3 \left[ 2 \times \frac{\pi}{2} - 0 \right] \)
\( = 3\pi \) वर्ग इकाई। दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे हिस्से का क्षेत्रफल \( 3\pi \) होता है।
In simple words: हमें एक दीर्घवृत्त के x-अक्ष के ऊपर के हिस्से का क्षेत्रफल निकालना था। हमने दीर्घवृत्त के समीकरण से y की वैल्यू निकाली और फिर x की वैल्यू 0 से 2 तक समाकलन किया। चूंकि दीर्घवृत्त x-अक्ष के सममित होता है, हमने केवल एक चौथाई हिस्से का क्षेत्रफल निकाला और उसे दोगुना किया। कुल क्षेत्रफल \( 3\pi \) वर्ग इकाई आया।

🎯 Exam Tip: दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल की गणना करते समय, \( y \) को \( x \) के फलन के रूप में व्यक्त करना महत्वपूर्ण है। मानक समाकलन सूत्र \( \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx \) को याद रखना बहुत उपयोगी होता है।

Question 8. दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) का सम्पूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दीर्घवृत्त का समीकरण \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) है। दीर्घवृत्त x-अक्ष और y-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित होता है। इसलिए, हम प्रथम चतुर्थांश में स्थित दीर्घवृत्त के भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करके उसे चार गुना कर सकते हैं।
समीकरण से \( \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{x^2}{a^2} = \frac{a^2 - x^2}{a^2} \)
\( y^2 = \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x^2) \implies y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \) (प्रथम चतुर्थांश में \( y \geq 0 \) के लिए)
दीर्घवृत्त का सम्पूर्ण क्षेत्रफल = \( 4 \times \int_{0}^{a} y \, dx \)
\( = 4 \int_{0}^{a} \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \)
\( = \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx \)
सूत्र \( \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} \) का उपयोग करने पर:
\( = \frac{4b}{a} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} \right]_{0}^{a} \)
\( = \frac{4b}{a} \left[ \left( \frac{a}{2}\sqrt{a^2 - a^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{a}{a} \right) - \left( \frac{0}{2}\sqrt{a^2 - 0^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{0}{a} \right) \right] \)
\( = \frac{4b}{a} \left[ (0 + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}1) - (0 + 0) \right] \)
\( = \frac{4b}{a} \left[ \frac{a^2}{2} \times \frac{\pi}{2} \right] \)
\( = \frac{4b}{a} \times \frac{a^2\pi}{4} \)
\( = \pi ab \) वर्ग इकाई। यह दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल का एक प्रसिद्ध सूत्र है।
In simple words: हमें एक दीर्घवृत्त का कुल क्षेत्रफल निकालना था। हमने y के लिए समीकरण को हल किया और फिर x की वैल्यू 0 से a तक समाकलन किया। चूंकि दीर्घवृत्त x और y अक्ष दोनों के सममित होता है, हमने केवल प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल निकाला और उसे चार गुना कर दिया। कुल क्षेत्रफल \( \pi ab \) वर्ग इकाई आया।

🎯 Exam Tip: दीर्घवृत्त का कुल क्षेत्रफल हमेशा \( \pi ab \) होता है, जहाँ \( a \) और \( b \) क्रमशः अर्ध-दीर्घ अक्ष और अर्ध-लघु अक्ष की लंबाई होते हैं। यह सूत्र बहुत महत्वपूर्ण है और इसे याद रखना चाहिए।

Question 9. निर्देशी अक्षों व रेखा \( \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 2 \) से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखा का समीकरण \( \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 2 \) है। हम इसे अंतःखंड रूप में लिख सकते हैं। x-अक्ष पर अंतःखंड ज्ञात करने के लिए \( y = 0 \) रखें: \( \frac{x}{a} = 2 \implies x = 2a \)। y-अक्ष पर अंतःखंड ज्ञात करने के लिए \( x = 0 \) रखें: \( -\frac{y}{b} = 2 \implies y = -2b \)।
यह रेखा x-अक्ष को \( (2a, 0) \) पर और y-अक्ष को \( (0, -2b) \) पर काटती है। यह रेखा मूल बिंदु \( (0,0) \) के साथ एक त्रिभुज बनाती है, जो चौथे चतुर्थांश में स्थित है (यह मानते हुए कि \( a > 0 \) और \( b > 0 \))।
हमें इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
त्रिभुज के शीर्ष हैं: \( (0,0) \), \( (2a,0) \), और \( (0,-2b) \).
आधार की लंबाई (x-अक्ष पर) = \( |2a - 0| = 2a \)
ऊंचाई की लंबाई (y-अक्ष पर) = \( |-2b - 0| = 2b \) (क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए निरपेक्ष मान लिया जाता है)
अभीष्ट क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times 2a \times 2b \)
\( = 2ab \) वर्ग इकाई। यह सरल ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्र का एक सीधा उदाहरण है।
In simple words: हमें एक सीधी रेखा और x और y अक्षों के बीच का क्षेत्रफल निकालना था। रेखा x-अक्ष को \( (2a, 0) \) पर और y-अक्ष को \( (0, -2b) \) पर काटती है। इन बिंदुओं और मूल बिंदु \( (0,0) \) के साथ एक त्रिभुज बनता है। हमने इस त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} \) सूत्र का उपयोग करके निकाला, जो \( 2ab \) वर्ग इकाई आया।

🎯 Exam Tip: जब कोई रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ एक क्षेत्र बनाती है, तो x और y अंतःखंडों को ज्ञात करके एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के रूप में गणना करना सबसे आसान होता है। क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए यदि कोई अंतःखंड नकारात्मक हो तो उसका निरपेक्ष मान लें।

Question 10. रेखाओं \( x + 2y = 8, x = 2, x = 4 \) तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखा \( x + 2y = 8 \) है। इसे \( y \) के रूप में व्यक्त करने पर:
\( 2y = 8 - x \)
\( y = 4 - \frac{x}{2} \)
हमें इस रेखा, रेखाओं \( x = 2 \) और \( x = 4 \), तथा x-अक्ष के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। चूंकि \( x=2 \) से \( x=4 \) के अंतराल में \( y = 4 - \frac{x}{2} \) हमेशा धनात्मक रहता है (उदाहरण के लिए, \( x=2 \) पर \( y=3 \), \( x=4 \) पर \( y=2 \)), पूरा क्षेत्र x-अक्ष के ऊपर स्थित है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = \( \int_{2}^{4} y \, dx \)
\( = \int_{2}^{4} \left( 4 - \frac{x}{2} \right) \, dx \)
\( = \left[ 4x - \frac{x^2}{4} \right]_{2}^{4} \)
\( = \left( 4(4) - \frac{(4)^2}{4} \right) - \left( 4(2) - \frac{(2)^2}{4} \right) \)
\( = \left( 16 - \frac{16}{4} \right) - \left( 8 - \frac{4}{4} \right) \)
\( = (16 - 4) - (8 - 1) \)
\( = 12 - 7 \)
\( = 5 \) वर्ग इकाई। इस तरह के आयताकार या ट्रेपेज़ॉइडल क्षेत्र का समाकलन से सटीक मान मिलता है।
In simple words: हमें एक सीधी रेखा, x-अक्ष और दो खड़ी रेखाओं \( x=2 \) और \( x=4 \) के बीच का क्षेत्रफल निकालना था। हमने y के लिए रेखा के समीकरण को हल किया, और फिर x की वैल्यू 2 से 4 तक समाकलन किया। कुल क्षेत्रफल 5 वर्ग इकाई आया।

🎯 Exam Tip: विभिन्न रेखाओं और अक्षों से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, पहले आरेख बनाकर क्षेत्र की कल्पना करना और फिर समाकलन की सही सीमाएँ निर्धारित करना महत्वपूर्ण है।

Question 11. वक्र \( y = x^2 \), कोटियों \( x = 1, x = 2 \) एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र \( y = x^2 \) है, जो एक परवलय का समीकरण है। यह परवलय y-अक्ष के सापेक्ष सममित है और इसका शीर्ष मूल बिंदु \( (0,0) \) पर है। हमें इस वक्र, रेखाओं \( x = 1 \) और \( x = 2 \) (जिन्हें कोटियाँ भी कहते हैं), तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। चूंकि \( y = x^2 \) के लिए \( y \geq 0 \) होता है, वक्र x-अक्ष के ऊपर स्थित है। हम \( x = 1 \) से \( x = 2 \) तक समाकलन करेंगे।
अभीष्ट क्षेत्रफल = \( \int_{1}^{2} y \, dx \)
\( = \int_{1}^{2} x^2 \, dx \)
\( = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \)
\( = \frac{(2)^3}{3} - \frac{(1)^3}{3} \)
\( = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \)
\( = \frac{7}{3} \) वर्ग इकाई। परवलय के नीचे का यह क्षेत्र एक निश्चित मान देता है।
In simple words: हमें \( y = x^2 \) नाम के एक परवलय, x-अक्ष और दो खड़ी रेखाओं \( x=1 \) और \( x=2 \) के बीच का क्षेत्रफल निकालना था। हमने x की वैल्यू 1 से 2 तक परवलय के समीकरण का समाकलन किया। कुल क्षेत्रफल \( \frac{7}{3} \) वर्ग इकाई आया।

🎯 Exam Tip: \( y = x^n \) प्रकार के फलनों का समाकलन \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \) सूत्र का उपयोग करके सीधा होता है। सीमाओं को सही ढंग से लागू करना सुनिश्चित करें।

Question 12. प्रथम चतुर्थाश में स्थित एवं \( y = 4x^2, x = 0, y = 1 \) तथा \( y = 4 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र \( y = 4x^2 \) है। इसे \( x \) के रूप में व्यक्त करने पर:
\( x^2 = \frac{y}{4} \implies x = \sqrt{\frac{y}{4}} = \frac{\sqrt{y}}{2} \) (प्रथम चतुर्थांश के लिए, जहाँ \( x \geq 0 \))
हमें इस वक्र, y-अक्ष (\( x = 0 \)), और रेखाओं \( y = 1 \) तथा \( y = 4 \) से घिरे प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। यहाँ समाकलन y के सापेक्ष किया जाएगा।
अभीष्ट क्षेत्रफल = \( \int_{1}^{4} x \, dy \)
\( = \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy \)
\( = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{1}^{4} \)
\( = \frac{1}{3} [(4)^{3/2} - (1)^{3/2}] \)
\( = \frac{1}{3} [ (\sqrt{4})^3 - (\sqrt{1})^3 ] \)
\( = \frac{1}{3} [ (2)^3 - (1)^3 ] \)
\( = \frac{1}{3} [ 8 - 1 ] \)
\( = \frac{7}{3} \) वर्ग इकाई। y-अक्ष के साथ क्षेत्रफल की गणना में y के सापेक्ष समाकलन होता है।
In simple words: हमें \( y = 4x^2 \) नाम के वक्र, y-अक्ष और \( y=1 \) से \( y=4 \) तक की रेखाओं के बीच का क्षेत्रफल निकालना था। हमने x के लिए समीकरण को हल किया और फिर y की वैल्यू 1 से 4 तक समाकलन किया। कुल क्षेत्रफल \( \frac{7}{3} \) वर्ग इकाई आया।

🎯 Exam Tip: जब क्षेत्र y-अक्ष और \( y \) की सीमाओं से घिरा हो, तो \( x \) को \( y \) के फलन के रूप में व्यक्त करके \( \int x \, dy \) का उपयोग करके समाकलन करें। यह समझना महत्वपूर्ण है कि कब \( x \) के सापेक्ष समाकलन करना है और कब \( y \) के सापेक्ष।