RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 1 संयुक्त फलत Exercise 1.2

Question 1. यदि A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d} हो, तो A से B में चार एकैकी आच्छादक फलन परिभाषित कीजिये तथा उनके प्रतिलोम फलन भी बताइए।
Answer:
दिए गए समुच्चय हैं: \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) और \( B = \{a, b, c, d\} \). हमें A से B में चार ऐसे फलन परिभाषित करने हैं जो एकैकी (one-to-one) और आच्छादक (onto) दोनों हों, और फिर उनके प्रतिलोम फलन भी बताने हैं। एकैकी और आच्छादक होने का अर्थ है कि हर अवयव का एक अनूठा आउटपुट हो और सह-डोमेन का हर अवयव किसी न किसी इनपुट से जुड़ा हो।
यहाँ चार ऐसे फलन और उनके प्रतिलोम दिए गए हैं:
(a) फलन \( f_1 \): \( f_1 = \{(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)\} \)
प्रतिलोम \( f_1^{-1} \): \( f_1^{-1} = \{(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)\} \)
(b) फलन \( f_2 \): \( f_2 = \{(1, a), (2, c), (3, b), (4, d)\} \)
प्रतिलोम \( f_2^{-1} \): \( f_2^{-1} = \{(a, 1), (c, 2), (b, 3), (d, 4)\} \)
(c) फलन \( f_3 \): \( f_3 = \{(1, b), (2, a), (3, 4), (4, b)\} \)
प्रतिलोम \( f_3^{-1} \): \( f_3^{-1} = \{(b, 1), (a, 2), (4, 3), (b, 4)\} \)
(d) फलन \( f_4 \): \( f_4 = \{(c, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 4)\} \)
प्रतिलोम \( f_4^{-1} \): \( f_4^{-1} = \{(c, 1), (a, z), (a, 3), (b, 4)\} \)
In simple words: हमें A और B सेट दिए गए हैं. हमें ऐसे चार तरीके खोजने हैं जिनसे A के हर नंबर को B के एक अक्षर से जोड़ा जा सके, ताकि कोई भी नंबर एक से ज़्यादा अक्षर से न जुड़े और कोई भी अक्षर छूट न जाए. फिर हमें यह भी बताना है कि उन जोड़ियों को उलटने पर क्या मिलेगा.

🎯 Exam Tip: एकैकी आच्छादक फलन (bijective function) का मतलब है कि फलन एक-से-एक (one-to-one) और ऊपरी (onto) दोनों होना चाहिए, जिससे उसका प्रतिलोम फलन (inverse function) मौजूद हो। प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए, फलन में दिए गए प्रत्येक क्रमित युग्म (ordered pair) में पहले और दूसरे अवयव को आपस में बदल दें।

Question 2. Verify if the function \( f: R \rightarrow R \), defined by \( f(x) = x^3 - 3 \), is one-to-one and onto, and find its inverse function.
Answer:
हमें फलन \( f: R \rightarrow R \), \( f(x) = x^3 - 3 \) दिया गया है।
फलन एकैकी है (One-to-one):
मान लीजिए \( a, b \in R \) हैं। यदि \( f(a) = f(b) \) है, तो हम दिखाएंगे कि \( a = b \):
\( f(a) = f(b) \)
\( a^3 - 3 = b^3 - 3 \)
\( \implies a^3 = b^3 \)
\( \implies a = b \)
चूँकि \( f(a) = f(b) \) से \( a = b \) निकलता है, फलन \( f \) एकैकी है।
फलन आच्छादक है (Onto):
मान लीजिए \( y \in R \) सह-डोमेन का कोई भी अवयव है। हमें एक \( x \in R \) डोमेन में खोजना है ताकि \( f(x) = y \) हो:
\( f(x) = y \)
\( x^3 - 3 = y \)
\( \implies x^3 = y + 3 \)
\( \implies x = (y + 3)^{1/3} \)
क्योंकि \( y \) एक वास्तविक संख्या है, \( (y + 3)^{1/3} \) भी हमेशा एक वास्तविक संख्या होगी। इसका मतलब है कि सह-डोमेन में प्रत्येक \( y \) के लिए डोमेन में एक पूर्व-छवि \( x \) मौजूद है, इसलिए फलन \( f \) आच्छादक है। एक घन मूल (cubic root) हमेशा एक अद्वितीय वास्तविक संख्या देता है।
चूँकि फलन \( f \) एकैकी और आच्छादक दोनों है, यह एक बाइजेक्टिव फलन है और इसका व्युत्क्रम (inverse) \( f^{-1}: R \rightarrow R \) मौजूद है।
व्युत्क्रम फलन ज्ञात करना (Finding the inverse function):
व्युत्क्रम फलन ज्ञात करने के लिए, हम \( f(x) = y \) से शुरू करते हैं और \( x \) को \( y \) के रूप में व्यक्त करते हैं:
\( f(x) = y \)
\( x^3 - 3 = y \)
\( \implies x = (y + 3)^{1/3} \)
इसलिए, व्युत्क्रम फलन \( f^{-1}(y) = (y + 3)^{1/3} \) है। इसे अक्सर \( x \) के रूप में लिखा जाता है:
\( f^{-1}(x) = (x + 3)^{1/3} \forall x \in R \)
उदाहरण के लिए, यदि हम \( f^{-1}(24) \) की गणना करते हैं, तो \( f^{-1}(24) = (24 + 3)^{1/3} = (27)^{1/3} = 3 \).
इसी तरह, \( f^{-1}(5) = (5 + 3)^{1/3} = (8)^{1/3} = 2 \).
In simple words: यह फलन हर नंबर का घन करके उसमें से 3 घटा देता है. हमने देखा कि यह फलन हर अलग इनपुट के लिए अलग आउटपुट देता है और हर आउटपुट के लिए एक इनपुट होता है. इसलिए इसका उल्टा फलन भी बनाया जा सकता है, जो किसी नंबर में 3 जोड़कर उसका घनमूल निकालेगा.

🎯 Exam Tip: एक फलन को एकैकी (one-to-one) सिद्ध करने के लिए, \( f(a) = f(b) \) मानकर चलें और \( a = b \) पर पहुँचें। आच्छादक (onto) सिद्ध करने के लिए, \( f(x) = y \) को \( x \) के लिए हल करें और दिखाएँ कि \( x \) हमेशा डोमेन में मौजूद रहता है। व्युत्क्रम फलन के लिए, \( y = f(x) \) को \( x \) के लिए हल करें, फिर \( x \) को \( f^{-1}(y) \) से बदलें।

Question 3. (i) Verify if the function \( f: R \rightarrow R \), defined by \( f(x) = 2x - 3 \), is one-to-one and onto, and find its inverse function.
Answer:
हमें फलन \( f: R \rightarrow R \), \( f(x) = 2x - 3 \) दिया गया है।
फलन एकैकी है (One-to-one):
मान लीजिए \( a, b \in R \) हैं। यदि \( f(a) = f(b) \) है, तो हम दिखाएंगे कि \( a = b \):
\( f(a) = f(b) \)
\( \implies 2a - 3 = 2b - 3 \)
\( \implies 2a = 2b \)
\( \implies a = b \)
चूँकि \( f(a) = f(b) \) से \( a = b \) निकलता है, फलन \( f \) एकैकी है। यह एक रैखिक फलन है, और रैखिक फलन अक्सर एकैकी होते हैं।
फलन आच्छादक है (Onto):
मान लीजिए \( y \in R \) सह-डोमेन का कोई भी अवयव है। हमें एक \( x \in R \) डोमेन में खोजना है ताकि \( f(x) = y \) हो:
\( f(x) = y \)
\( \implies 2x - 3 = y \)
\( \implies 2x = y + 3 \)
\( \implies x = \frac{y+3}{2} \)
क्योंकि \( y \) एक वास्तविक संख्या है, \( \frac{y+3}{2} \) भी हमेशा एक वास्तविक संख्या होगी। इसका मतलब है कि सह-डोमेन में प्रत्येक \( y \) के लिए डोमेन में एक पूर्व-छवि \( x \) मौजूद है, इसलिए फलन \( f \) आच्छादक है।
चूँकि फलन \( f \) एकैकी और आच्छादक दोनों है, यह एक बाइजेक्टिव फलन है और इसका व्युत्क्रम \( f^{-1}: R \rightarrow R \) मौजूद है।
व्युत्क्रम फलन ज्ञात करना (Finding the inverse function):
व्युत्क्रम फलन ज्ञात करने के लिए, हम \( f(x) = y \) से शुरू करते हैं और \( x \) को \( y \) के रूप में व्यक्त करते हैं:
\( f(x) = y \)
\( \implies 2x - 3 = y \)
\( \implies x = \frac{y+3}{2} \)
इसलिए, व्युत्क्रम फलन \( f^{-1}(y) = \frac{y+3}{2} \) है। इसे \( x \) के रूप में भी लिखा जा सकता है:
\( f^{-1}(x) = \frac{x+3}{2} \forall x \in R \)
In simple words: यह फलन एक नंबर को 2 से गुणा करके उसमें से 3 घटा देता है. हमने दिखाया कि हर अलग इनपुट के लिए अलग आउटपुट मिलता है और हर आउटपुट के लिए एक इनपुट मौजूद है. इसलिए इसका उल्टा फलन भी बनाया जा सकता है, जो किसी नंबर में 3 जोड़कर उसे 2 से भाग देगा.

🎯 Exam Tip: रैखिक फलन \( f(x) = mx + c \) (जहाँ \( m \neq 0 \)) हमेशा एकैकी और आच्छादक होते हैं। उनके प्रतिलोम फलन को \( y = mx + c \) से \( x = \frac{y-c}{m} \) करके आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।

Question 3. (ii) Verify if the function \( f: R \rightarrow R \), defined by \( f(x) = x^3 + 5 \), is one-to-one.
Answer:
हमें फलन \( f: R \rightarrow R \), \( f(x) = x^3 + 5 \) दिया गया है।
फलन एकैकी है (One-to-one):
मान लीजिए \( a, b \in R \) हैं। यदि \( f(a) = f(b) \) है, तो हम दिखाएंगे कि \( a = b \):
\( f(a) = f(b) \)
\( a^3 + 5 = b^3 + 5 \)
\( \implies a^3 = b^3 \)
\( \implies a = b \)
चूँकि \( f(a) = f(b) \) से \( a = b \) निकलता है, फलन \( f \) एकैकी है। एक घन फलन (cubic function) हमेशा एकैकी होता है क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या का घन अद्वितीय होता है।
In simple words: यह फलन किसी नंबर का घन करके उसमें 5 जोड़ता है. हमने साबित किया कि अगर दो इनपुट का आउटपुट एक ही है, तो वे इनपुट भी एक ही होंगे. इसका मतलब है कि यह फलन 'एक-से-एक' है.

🎯 Exam Tip: किसी फलन की एकैकी प्रकृति को अक्सर उसके व्युत्पन्न (derivative) को देखकर भी जांचा जा सकता है। यदि \( f'(x) \) हमेशा सकारात्मक या हमेशा नकारात्मक रहता है, तो फलन एकैकी होता है। \( f(x) = x^3 + 5 \) के लिए, \( f'(x) = 3x^2 \), जो \( x=0 \) को छोड़कर हमेशा सकारात्मक या शून्य होता है, यह दिखाता है कि फलन सख्ती से बढ़ रहा है।

Question 4. समुच्चय \( Z \) पर एक द्विचर संक्रिया \( * \) निम्न प्रकार परिभाषित है: \( a * b = a + b + 1 \). सत्यापित कीजिये कि \( * \) क्रम-विनिमेय और साहचर्य है। तत्समक अवयव तथा प्रतिलोम अवयव भी ज्ञात कीजिये।
Answer:
हमें पूर्णांकों के समुच्चय \( Z \) पर एक द्विचर संक्रिया \( * \) दी गई है, जो \( a * b = a + b + 1 \) के रूप में परिभाषित है।
क्रम-विनिमेयता (Commutativity):
किसी संक्रिया को क्रम-विनिमेय होने के लिए, \( a * b = b * a \) होना चाहिए।
\( a * b = a + b + 1 \)
चूँकि पूर्णांकों का योग क्रम-विनिमेय होता है, \( a + b = b + a \), इसलिए
\( a + b + 1 = b + a + 1 \)
\( \implies a * b = b * a \)
अतः, संक्रिया \( * \) क्रम-विनिमेय है।
साहचर्यता (Associativity):
किसी संक्रिया को साहचर्य होने के लिए, \( (a * b) * c = a * (b * c) \) होना चाहिए।
पहले \( (a * b) * c \) की गणना करते हैं:
\( (a * b) * c = (a + b + 1) * c \)
\( = (a + b + 1) + c + 1 \)
\( = a + b + c + 2 \)
अब \( a * (b * c) \) की गणना करते हैं:
\( a * (b * c) = a * (b + c + 1) \)
\( = a + (b + c + 1) + 1 \)
\( = a + b + c + 2 \)
चूँकि \( (a * b) * c = a * (b * c) \), संक्रिया \( * \) साहचर्य है। यह एक महत्वपूर्ण गुण है जो बताता है कि तीन संख्याओं को किस क्रम में संचालित किया जाता है, इससे परिणाम नहीं बदलता।
तत्समक अवयव (Identity Element):
एक अवयव \( e \in Z \) को तत्समक अवयव कहा जाता है यदि किसी भी \( a \in Z \) के लिए \( a * e = a \) और \( e * a = a \) हो।
\( a * e = a \)
\( \implies a + e + 1 = a \)
\( \implies e + 1 = 0 \)
\( \implies e = -1 \)
चूँकि \( -1 \in Z \), तत्समक अवयव \( -1 \) है।
प्रतिलोम अवयव (Inverse Element):
प्रत्येक \( a \in Z \) के लिए, एक अवयव \( x \in Z \) को \( a \) का प्रतिलोम कहा जाता है यदि \( a * x = e \) और \( x * a = e \) हो, जहाँ \( e \) तत्समक अवयव है (\( -1 \))।
\( a * x = -1 \)
\( \implies a + x + 1 = -1 \)
\( \implies x + 1 = -1 - a \)
\( \implies x = -a - 2 \)
चूँकि \( -(a+2) \) हमेशा एक पूर्णांक होता है यदि \( a \) एक पूर्णांक है, इसलिए प्रत्येक पूर्णांक \( a \) के लिए एक प्रतिलोम अवयव \( -(a+2) \) मौजूद है।
In simple words: हमें एक खास तरीका दिया गया है जिससे हम दो नंबरों को जोड़ते हैं: पहले उन्हें जोड़ो फिर उसमें 1 और जोड़ दो. हमने पाया कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि नंबर किस क्रम में हैं, या आप पहले किन दो नंबरों को जोड़ते हैं. इसमें एक खास नंबर (-1) ऐसा है जिसे किसी भी नंबर के साथ जोड़ने पर वही नंबर मिलता है. और हर नंबर का एक 'उल्टा' नंबर होता है जिसे इसके साथ जोड़ने पर -1 मिलता है.

🎯 Exam Tip: द्विचर संक्रियाओं के गुणों को सत्यापित करते समय, परिभाषाओं का ठीक से पालन करें। तत्समक अवयव के लिए \( a * e = a \) का उपयोग करें और प्रतिलोम अवयव के लिए \( a * x = e \) का उपयोग करें, जहाँ \( e \) पहले से ज्ञात तत्समक अवयव है।

Question 5. समुच्चय \( R_0 \) में चार फलन निम्न प्रकार परिभाषित हैं : \( f_1(x) = x, f_2(x) = -x, f_3(x) = \frac{1}{x}, f_4(x) = -\frac{1}{x} \). इन फलनों की संयुक्त संक्रिया के लिए \( f_1, f_2, f_3, f_4 \) की संक्रियता सारणी बनाइये। तत्समक अवयव तथा प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिये।
Answer:
दिए गए चार फलन समुच्चय \( R_0 \) (शून्य रहित वास्तविक संख्याएँ) पर परिभाषित हैं:
\( f_1(x) = x \)
\( f_2(x) = -x \)
\( f_3(x) = \frac{1}{x} \)
\( f_4(x) = -\frac{1}{x} \)
हम संयुक्त संक्रिया \( \circ \) के लिए इन फलनों की गणना करेंगे:
\( f_1 \circ f_1(x) = f_1(f_1(x)) = f_1(x) = x = f_1(x) \implies f_1 \circ f_1 = f_1 \)
\( f_1 \circ f_2(x) = f_1(f_2(x)) = f_1(-x) = -x = f_2(x) \implies f_1 \circ f_2 = f_2 \)
\( f_1 \circ f_3(x) = f_1(f_3(x)) = f_1\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} = f_3(x) \implies f_1 \circ f_3 = f_3 \)
\( f_1 \circ f_4(x) = f_1(f_4(x)) = f_1\left(-\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x} = f_4(x) \implies f_1 \circ f_4 = f_4 \)

\( f_2 \circ f_1(x) = f_2(f_1(x)) = f_2(x) = -x = f_2(x) \implies f_2 \circ f_1 = f_2 \)
\( f_2 \circ f_2(x) = f_2(f_2(x)) = f_2(-x) = -(-x) = x = f_1(x) \implies f_2 \circ f_2 = f_1 \)
\( f_2 \circ f_3(x) = f_2(f_3(x)) = f_2\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x} = f_4(x) \implies f_2 \circ f_3 = f_4 \)
\( f_2 \circ f_4(x) = f_2(f_4(x)) = f_2\left(-\frac{1}{x}\right) = -\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} = f_3(x) \implies f_2 \circ f_4 = f_3 \)

\( f_3 \circ f_1(x) = f_3(f_1(x)) = f_3(x) = \frac{1}{x} = f_3(x) \implies f_3 \circ f_1 = f_3 \)
\( f_3 \circ f_2(x) = f_3(f_2(x)) = f_3(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = f_4(x) \implies f_3 \circ f_2 = f_4 \)
\( f_3 \circ f_3(x) = f_3(f_3(x)) = f_3\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)} = x = f_1(x) \implies f_3 \circ f_3 = f_1 \)
\( f_3 \circ f_4(x) = f_3(f_4(x)) = f_3\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\left(-\frac{1}{x}\right)} = -x = f_2(x) \implies f_3 \circ f_4 = f_2 \)

\( f_4 \circ f_1(x) = f_4(f_1(x)) = f_4(x) = -\frac{1}{x} = f_4(x) \implies f_4 \circ f_1 = f_4 \)
\( f_4 \circ f_2(x) = f_4(f_2(x)) = f_4(-x) = -\frac{1}{-x} = \frac{1}{x} = f_3(x) \implies f_4 \circ f_2 = f_3 \)
\( f_4 \circ f_3(x) = f_4(f_3(x)) = f_4\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)} = -x = f_2(x) \implies f_4 \circ f_3 = f_2 \)
\( f_4 \circ f_4(x) = f_4(f_4(x)) = f_4\left(-\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{\left(-\frac{1}{x}\right)} = x = f_1(x) \implies f_4 \circ f_4 = f_1 \)

उपरोक्त संक्रियाओं के आधार पर सारणी इस प्रकार है:

सारणी से स्पष्ट है:
तत्समक अवयव (Identity Element): फलन \( f_1 \) तत्समक अवयव है, क्योंकि जब \( f_1 \) को किसी भी फलन से संयोजित किया जाता है, तो वही फलन वापस मिलता है। \( f_1 \circ f_x = f_x \).
प्रतिलोम अवयव (Inverse Element): प्रत्येक फलन स्वयं का प्रतिलोम है, क्योंकि जब किसी भी फलन को स्वयं के साथ संयोजित किया जाता है, तो परिणाम तत्समक अवयव \( f_1 \) होता है। उदाहरण के लिए, \( f_2 \circ f_2 = f_1 \), \( f_3 \circ f_3 = f_1 \), और \( f_4 \circ f_4 = f_1 \).
In simple words: हमें चार अलग-अलग तरीके दिए गए हैं जिनसे हम संख्याओं पर काम करते हैं. हमने देखा कि इन तरीकों को एक के बाद एक लगाने पर क्या होता है और उसे एक टेबल में लिख दिया. इस टेबल से पता चला कि \( f_1 \) एक 'खास' तरीका है, जिसे किसी भी दूसरे तरीके के साथ करने पर वह दूसरा तरीका नहीं बदलता. साथ ही, हर तरीके को खुद उसी तरीके से फिर से करने पर हमें \( f_1 \) वापस मिल जाता है, जिसका मतलब है कि हर तरीका खुद अपना 'उल्टा' भी है.

🎯 Exam Tip: फलन संयोजन सारणी बनाते समय, प्रत्येक संयोजन \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \) की सावधानीपूर्वक गणना करें। तत्समक अवयव वह होता है जो पंक्ति और स्तंभ दोनों में अपने फलन को दोहराता है। प्रतिलोम अवयव वे होते हैं जो संयोजन पर तत्समक अवयव देते हैं।