RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 1 संयुक्त फलत Exercise 1.1

Question 1. यदि f : R→R तथा g : R→R दो फलन निम्न प्रकार से परिभाषित हों, तो (fog)(x) तथा (gof)(x) ज्ञात कीजिए :
(i) f(x) = 2x + 3, g(x) = x² + 5
(ii) f(x) = x² + 8, g(x) = 3x³ + 1
(iii) f(x) = x, g(x) = |x|
(iv) f(x) = x² + 2x + 3, g(x) = 3x - 4
Answer:
(i) दिए गए फलन हैं: \(f(x) = 2x + 3\) और \(g(x) = x^2 + 5\)
\( (fog)(x) = f(g(x)) \)
\( \implies f(x^2 + 5) \)
\( \implies 2(x^2 + 5) + 3 \)
\( \implies 2x^2 + 10 + 3 \)
\( \implies 2x^2 + 13 \)
इसके बाद, हम \( (gof)(x) \) निकालेंगे:
\( (gof)(x) = g(f(x)) \)
\( \implies g(2x + 3) \)
\( \implies (2x + 3)^2 + 5 \)
\( \implies (4x^2 + 12x + 9) + 5 \)
\( \implies 4x^2 + 12x + 14 \)
(ii) दिए गए फलन हैं: \(f(x) = x^2 + 8\) और \(g(x) = 3x^3 + 1\)
\( (fog)(x) = f(g(x)) \)
\( \implies f(3x^3 + 1) \)
\( \implies (3x^3 + 1)^2 + 8 \)
\( \implies (9x^6 + 6x^3 + 1) + 8 \)
\( \implies 9x^6 + 6x^3 + 9 \)
इसके बाद, हम \( (gof)(x) \) निकालेंगे:
\( (gof)(x) = g(f(x)) \)
\( \implies g(x^2 + 8) \)
\( \implies 3(x^2 + 8)^3 + 1 \)
\( \implies 3((x^2)^3 + 3(x^2)^2(8) + 3(x^2)(8^2) + 8^3) + 1 \)
\( \implies 3(x^6 + 24x^4 + 192x^2 + 512) + 1 \)
\( \implies 3x^6 + 72x^4 + 576x^2 + 1536 + 1 \)
\( \implies 3x^6 + 72x^4 + 576x^2 + 1537 \)
(iii) दिए गए फलन हैं: \(f(x) = x\) और \(g(x) = |x|\)
\( (fog)(x) = f(g(x)) \)
\( \implies f(|x|) \)
\( \implies |x| \)
इसके बाद, हम \( (gof)(x) \) निकालेंगे:
\( (gof)(x) = g(f(x)) \)
\( \implies g(x) \)
\( \implies |x| \)
(iv) दिए गए फलन हैं: \(f(x) = x^2 + 2x + 3\) और \(g(x) = 3x - 4\)
\( (fog)(x) = f(g(x)) \)
\( \implies f(3x - 4) \)
\( \implies (3x - 4)^2 + 2(3x - 4) + 3 \)
\( \implies (9x^2 - 24x + 16) + (6x - 8) + 3 \)
\( \implies 9x^2 - 24x + 6x + 16 - 8 + 3 \)
\( \implies 9x^2 - 18x + 11 \)
इसके बाद, हम \( (gof)(x) \) निकालेंगे:
\( (gof)(x) = g(f(x)) \)
\( \implies g(x^2 + 2x + 3) \)
\( \implies 3(x^2 + 2x + 3) - 4 \)
\( \implies 3x^2 + 6x + 9 - 4 \)
\( \implies 3x^2 + 6x + 5 \)
In simple words: हम \( (fog)(x) \) को \( f(g(x)) \) के रूप में और \( (gof)(x) \) को \( g(f(x)) \) के रूप में ज्ञात करते हैं। इसका मतलब है कि एक फलन के आउटपुट को दूसरे फलन के इनपुट के रूप में उपयोग करना।

🎯 Exam Tip: फलन संयोजन (composition of functions) करते समय, हमेशा अंदर वाले फलन (जैसे \(g(x)\) for \(f(g(x))\)) को पहले हल करें, और फिर उसके परिणाम को बाहर वाले फलन में रखें।

Question 3. यदि f : R⁺ → R⁺ तथा g : R⁺ → R⁺ निम्न प्रकार परिभाषित हों कि f(x) = x² तथा g(x) = √x तो gof तथा fog ज्ञात कीजिए। क्या ये तुल्य फलन है?
Answer:
दिए गए फलन हैं: \(f: R^+ \rightarrow R^+\) और \(g: R^+ \rightarrow R^+\)
\(f(x) = x^2\)
\(g(x) = \sqrt{x}\)
सबसे पहले \( (gof)(x) \) ज्ञात करेंगे:
\( (gof)(x) = g(f(x)) \)
\( \implies g(x^2) \)
\( \implies \sqrt{x^2} \)
\( \implies x \) (क्योंकि \(x \in R^+\), इसलिए \(x\) धनात्मक है)
इसके बाद \( (fog)(x) \) ज्ञात करेंगे:
\( (fog)(x) = f(g(x)) \)
\( \implies f(\sqrt{x}) \)
\( \implies (\sqrt{x})^2 \)
\( \implies x \) (क्योंकि \(x \in R^+\), इसलिए \(x\) धनात्मक है)
उपरोक्त परिणामों से यह स्पष्ट है कि \( (fog)(x) = (gof)(x) = x \), सभी \(x \in R^+\) के लिए। इसलिए, \(fog\) और \(gof\) तुल्य फलन (equal functions) हैं। जब हम एक फलन और उसके व्युत्क्रम को संयोजित करते हैं तो हमें पहचान फलन मिलता है, जो यहाँ \(x\) है।
In simple words: हमने देखा कि \(f\) और \(g\) को किसी भी क्रम में जोड़ने पर हमें वही परिणाम \(x\) मिलता है। इसका मतलब है कि ये दोनों फलन एक दूसरे को कैंसिल कर देते हैं, ठीक वैसे ही जैसे जोड़ना और घटाना एक दूसरे को कैंसिल करते हैं।

🎯 Exam Tip: जब \(f(x)\) और \(g(x)\) एक-दूसरे के व्युत्क्रम फलन (inverse functions) होते हैं, तो उनका संयोजन \( (fog)(x) \) और \( (gof)(x) \) हमेशा पहचान फलन (\(x\)) के बराबर होता है।

Question 4. यदि f: R → R तथा g : R → R दो ऐसे फलन हैं कि f(x) = 3x + 4 तथा g(x) = \( \frac {1}{3}(x-4) \), तो (fog)(x) तथा (gof)(x) ज्ञात कीजिए। साथ ही (gog) (1) का मान भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए फलन हैं: \(f(x) = 3x + 4\) और \(g(x) = \frac{1}{3}(x - 4)\)
सबसे पहले \( (fog)(x) \) ज्ञात करेंगे:
\( (fog)(x) = f(g(x)) \)
\( \implies f\left(\frac{1}{3}(x - 4)\right) \)
\( \implies 3\left(\frac{1}{3}(x - 4)\right) + 4 \)
\( \implies (x - 4) + 4 \)
\( \implies x \)
इसके बाद \( (gof)(x) \) ज्ञात करेंगे:
\( (gof)(x) = g(f(x)) \)
\( \implies g(3x + 4) \)
\( \implies \frac{1}{3}((3x + 4) - 4) \)
\( \implies \frac{1}{3}(3x) \)
\( \implies x \)
अब, \( (gog)(1) \) का मान ज्ञात करेंगे:
पहले \( g(1) \) ज्ञात करें:
\( g(1) = \frac{1}{3}(1 - 4) \)
\( \implies \frac{1}{3}(-3) \)
\( \implies -1 \)
अब, \( g(g(1)) \) ज्ञात करें:
\( (gog)(1) = g(-1) \)
\( \implies \frac{1}{3}(-1 - 4) \)
\( \implies \frac{1}{3}(-5) \)
\( \implies -\frac{5}{3} \)
In simple words: हमने \(f(x)\) और \(g(x)\) को जोड़कर देखा, और दोनों ही तरीकों से हमें \(x\) मिला, जिसका मतलब है कि वे एक-दूसरे के व्युत्क्रम फलन हैं। फिर, हमने \(g\) को अपने आप से जोड़ा और \(x=1\) पर उसका मान निकाला, जो \(-\frac{5}{3}\) आया।

🎯 Exam Tip: फलन संयोजन करते समय, यह देखना महत्वपूर्ण है कि \( (fog)(x) \) और \( (gof)(x) \) हमेशा समान नहीं होते हैं, जब तक कि फलन एक-दूसरे के व्युत्क्रम न हों। \( (gog)(x) \) एक फलन का अपने आप से संयोजन होता है।

Question 5. यदि f, g, h तीन फलन R से R पर इस प्रकार परिभाषित हैं कि f(x) = x², g(x) = cos x एवं h(x) = 2x + 3, तो (ho(gof))√2π का मान लिखिये।
Answer:
दिए गए फलन हैं:
\(f(x) = x^2\)
\(g(x) = \cos x\)
\(h(x) = 2x + 3\)
हमें \( (ho(gof))(\sqrt{2}\pi) \) का मान ज्ञात करना है। सबसे पहले \( (ho(gof))(x) \) ज्ञात करेंगे:
\( (ho(gof))(x) = h(g(f(x))) \)
\( \implies h(g(x^2)) \)
\( \implies h(\cos x^2) \)
\( \implies 2(\cos x^2) + 3 \)
अब इस परिणाम में \(x\) की जगह \( \sqrt{2}\pi \) रखेंगे:
\( (ho(gof))(\sqrt{2}\pi) = 2\cos((\sqrt{2}\pi)^2) + 3 \)
\( \implies 2\cos(2\pi) + 3 \)
हम जानते हैं कि \( \cos(2\pi) = 1 \), क्योंकि \(2\pi\) एक पूर्ण चक्र है और cos फलन \(2\pi\) के बाद दोहराता है।
\( \implies 2(1) + 3 \)
\( \implies 2 + 3 \)
\( \implies 5 \)
In simple words: हमने तीन फलनों को एक साथ जोड़ा, एक के बाद एक। पहले \(f\) को, फिर \(g\) को और अंत में \(h\) को। फिर, हमने \(x\) की जगह \( \sqrt{2}\pi \) रखा और उसका मान \(5\) पाया।

🎯 Exam Tip: तीन फलनों का संयोजन करते समय, हमेशा सबसे अंदर वाले फलन से शुरू करें और एक-एक करके बाहर की ओर बढ़ें। त्रिकोणमितीय मानों को याद रखना भी महत्वपूर्ण है, जैसे \( \cos(2\pi) \)।

Question 6. यदि f तथा g निम्न प्रकार परिभाषित हों, तो (gof) (x) ज्ञात कीजिए
(i) f : R → R, f(x) = 2x + x²
(ii) g : R → R, g(x) = x⁴ + 2x + 4
Answer:
दिए गए फलन हैं:
\(f(x) = 2x + x^2\)
\(g(x) = x^4 + 2x + 4\)
हमें \( (gof)(x) \) ज्ञात करना है:
\( (gof)(x) = g(f(x)) \)
\( \implies g(2x + x^2) \)
अब, \(g(x)\) की परिभाषा में \(x\) की जगह \( (2x + x^2) \) रखेंगे:
\( \implies (2x + x^2)^4 + 2(2x + x^2) + 4 \)
यह इसका अंतिम सरलीकृत रूप है, जब तक कि आगे विस्तार की आवश्यकता न हो। यह बताता है कि कैसे \(f(x)\) का मान \(g(x)\) में इनपुट के रूप में काम करता है।
In simple words: हमने \(f(x)\) के पूरे मान को \(g(x)\) के अंदर \(x\) की जगह पर रखा। यह हमें \( (gof)(x) \) का मान देता है।

🎯 Exam Tip: फलन संयोजन में, \(f(x)\) को \(g(x)\) में प्रतिस्थापित करने का अर्थ है \(g\) के प्रत्येक \(x\) को \(f(x)\) के पूरे व्यंजक से बदलना। इसे हमेशा ध्यान से करें।

Question 7. यदि A = {1, 2, 3, 4}, f: R→ R, f(x) = x² + 3x + 1 g: R → R, g(x) = 2x – 3, तब तब ज्ञात कीजिए :
(i) (fog)(x)
(ii) (gof)(x)
(iii) (fof)(x)
(iv) (gog)(x)
Answer:
दिए गए फलन हैं:
\(f(x) = x^2 + 3x + 1\)
\(g(x) = 2x - 3\)
(i) \( (fog)(x) \) ज्ञात करें:
\( (fog)(x) = f(g(x)) \)
\( \implies f(2x - 3) \)
\( \implies (2x - 3)^2 + 3(2x - 3) + 1 \)
\( \implies (4x^2 - 12x + 9) + (6x - 9) + 1 \)
\( \implies 4x^2 - 12x + 6x + 9 - 9 + 1 \)
\( \implies 4x^2 - 6x + 1 \)
(ii) \( (gof)(x) \) ज्ञात करें:
\( (gof)(x) = g(f(x)) \)
\( \implies g(x^2 + 3x + 1) \)
\( \implies 2(x^2 + 3x + 1) - 3 \)
\( \implies 2x^2 + 6x + 2 - 3 \)
\( \implies 2x^2 + 6x - 1 \)
(iii) \( (fof)(x) \) ज्ञात करें:
\( (fof)(x) = f(f(x)) \)
\( \implies f(x^2 + 3x + 1) \)
\( \implies (x^2 + 3x + 1)^2 + 3(x^2 + 3x + 1) + 1 \)
\( \implies ( (x^2)^2 + (3x)^2 + 1^2 + 2(x^2)(3x) + 2(3x)(1) + 2(1)(x^2) ) + (3x^2 + 9x + 3) + 1 \)
\( \implies ( x^4 + 9x^2 + 1 + 6x^3 + 6x + 2x^2 ) + (3x^2 + 9x + 3) + 1 \)
\( \implies x^4 + 6x^3 + (9x^2 + 2x^2 + 3x^2) + (6x + 9x) + (1 + 3 + 1) \)
\( \implies x^4 + 6x^3 + 14x^2 + 15x + 5 \)
(iv) \( (gog)(x) \) ज्ञात करें:
\( (gog)(x) = g(g(x)) \)
\( \implies g(2x - 3) \)
\( \implies 2(2x - 3) - 3 \)
\( \implies 4x - 6 - 3 \)
\( \implies 4x - 9 \)
In simple words: हमने दिए गए फलनों \(f\) और \(g\) के अलग-अलग संयोजन (जैसे \(fog\), \(gof\), \(fof\), \(gog\)) निकाले। इसमें एक फलन के आउटपुट को दूसरे फलन के इनपुट के रूप में इस्तेमाल करते हुए नए फलन बनाए जाते हैं।

🎯 Exam Tip: फलन के संयोजन के सभी प्रकारों को समझना महत्वपूर्ण है, जैसे \(f\) और \(g\) का संयोजन, या एक फलन का अपने आप से संयोजन (\(fof\) या \(gog\))। प्रत्येक पद का सावधानी से विस्तार करें।