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प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं के लघुगणक के पूर्णाश ज्ञात कीजिए
(i) 1270
(ii) 20.125
(iii) 7.985
(iv) 431.5
(v) 0.02
(vi) 0.02539
(vii) 70
(viii) 0.000287
(ix) 0.005
(x) 0.00003208
(xi) 0.000485
(xii) 0.007
Answer:
(vi) संख्या 0.02539 में, दशमलव बिंदु और पहले गैर-शून्य अंक (2) के बीच एक शून्य है। इसलिए, इसका पूर्णांश \( -(1 + 1) = -2 \), जिसे \( \overline{2} \) लिखा जाता है, होगा।
(vii) संख्या 70 में 2 अंक हैं। इसलिए, इसका पूर्णांश \( (2 - 1) = 1 \) होगा।
(viii) संख्या 0.000287 में, दशमलव बिंदु और पहले गैर-शून्य अंक (2) के बीच तीन शून्य हैं। इसलिए, इसका पूर्णांश \( -(3 + 1) = -4 \), जिसे \( \overline{4} \) लिखा जाता है, होगा।
(ix) संख्या 0.005 में, दशमलव बिंदु और पहले गैर-शून्य अंक (5) के बीच दो शून्य हैं। इसलिए, इसका पूर्णांश \( -(2 + 1) = -3 \), जिसे \( \overline{3} \) लिखा जाता है, होगा।
(x) संख्या 0.00003208 में, दशमलव बिंदु और पहले गैर-शून्य अंक (3) के बीच चार शून्य हैं। इसलिए, इसका पूर्णांश \( -(4 + 1) = -5 \), जिसे \( \overline{5} \) लिखा जाता है, होगा।
(xi) संख्या 0.000485 में, दशमलव बिंदु और पहले गैर-शून्य अंक (4) के बीच तीन शून्य हैं। इसलिए, इसका पूर्णांश \( -(3 + 1) = -4 \), जिसे \( \overline{4} \) लिखा जाता है, होगा।
(xii) संख्या 0.007 में, दशमलव बिंदु और पहले गैर-शून्य अंक (7) के बीच दो शून्य हैं। इसलिए, इसका पूर्णांश \( -(2 + 1) = -3 \), जिसे \( \overline{3} \) लिखा जाता है, होगा।
In simple words: किसी संख्या में दशमलव और पहले गैर-शून्य अंक के बीच शून्यों की संख्या देखकर या अंकों की कुल संख्या देखकर पूर्णांश तय करते हैं।
🎯 Exam Tip: नकारात्मक पूर्णांश (characteristic) के लिए, दशमलव बिंदु और पहले सार्थक अंक के बीच शून्यों की संख्या को गिनें और उसमें 1 जोड़कर नकारात्मक चिह्न के साथ लिखें (या बार नोटेशन का उपयोग करें)। सकारात्मक पूर्णांश के लिए, संख्या में कुल अंकों से 1 घटा दें।
प्रश्न 2. लघुगणक सारणी का प्रयोग कर निम्नलिखित संख्याओं के लघुगणक ज्ञात कीजिए-
(i) 2813
(ii) 400
(iii) 27.28
(iv) 9
(v) 0.678
(vi) 0.0035
(vii) 0.08403
(viii) 0.000287
(ix) 1.234
(x) 0.00003258
(xi) 0.000125
(xii) 0.00003208
Answer:
(i) संख्या 2813 में 4 अंक हैं, इसलिए पूर्णांश \( = 4 - 1 = 3 \)। लघुगणक सारणी से भिन्नांश 0.4492 है। अतः, \( \log 2813 = 3.4492 \)।
(iii) संख्या 27.28 में 2 अंक हैं, इसलिए पूर्णांश \( = 2 - 1 = 1 \)। लघुगणक सारणी से भिन्नांश 0.4358 है। अतः, \( \log 27.28 = 1.4358 \)।
(iv) संख्या 9 में 1 अंक है, इसलिए पूर्णांश \( = 1 - 1 = 0 \)। लघुगणक सारणी से भिन्नांश 0.9542 है। अतः, \( \log 9 = 0.9542 \)।
(v) संख्या 0.678 में, दशमलव बिंदु और पहले गैर-शून्य अंक (6) के बीच कोई शून्य नहीं है। इसलिए, पूर्णांश \( = -(0 + 1) = -1 \)। लघुगणक सारणी से भिन्नांश 0.8312 है। अतः, \( \log 0.678 = -1 + 0.8312 = \overline{1}.8312 \)।
(vi) संख्या 0.0035 में, दशमलव बिंदु और पहले गैर-शून्य अंक (3) के बीच दो शून्य हैं। इसलिए, पूर्णांश \( = -(2 + 1) = -3 \)। लघुगणक सारणी से भिन्नांश 0.5441 है। अतः, \( \log 0.0035 = \overline{3}.5441 \)।
(vii) संख्या 0.08403 में, दशमलव बिंदु और पहले गैर-शून्य अंक (8) के बीच एक शून्य है। इसलिए, पूर्णांश \( = -(1 + 1) = -2 \)। लघुगणक सारणी से भिन्नांश 0.9245 है। अतः, \( \log 0.08403 = \overline{2}.9245 \)।
(viii) संख्या 0.000287 में, दशमलव बिंदु और पहले गैर-शून्य अंक (2) के बीच तीन शून्य हैं। इसलिए, पूर्णांश \( = -(3 + 1) = -4 \)। लघुगणक सारणी से भिन्नांश 0.4579 है। अतः, \( \log 0.000287 = \overline{4}.4579 \)।
(ix) संख्या 1.234 में 1 अंक है, इसलिए पूर्णांश \( = 1 - 1 = 0 \)। लघुगणक सारणी से भिन्नांश 0.0913 है। अतः, \( \log 1.234 = 0.0913 \)।
(x) संख्या 0.00003258 में, दशमलव बिंदु और पहले गैर-शून्य अंक (3) के बीच चार शून्य हैं। इसलिए, पूर्णांश \( = -(4 + 1) = -5 \)। लघुगणक सारणी से भिन्नांश 0.5130 है। अतः, \( \log 0.00003258 = \overline{5}.5130 \)।
(xi) संख्या 0.000125 में, दशमलव बिंदु और पहले गैर-शून्य अंक (1) के बीच चार शून्य हैं। इसलिए, पूर्णांश \( = -(4 + 1) = -4 \)। लघुगणक सारणी से भिन्नांश 0.0969 है। अतः, \( \log 0.000125 = \overline{4}.0969 \)।
(xii) संख्या 0.00003208 में, दशमलव बिंदु और पहले गैर-शून्य अंक (3) के बीच चार शून्य हैं। इसलिए, पूर्णांश \( = -(4 + 1) = -5 \)। लघुगणक सारणी से भिन्नांश 0.5062 है। अतः, \( \log 0.00003208 = \overline{5}.5062 \)।
In simple words: किसी संख्या का लघुगणक खोजने के लिए, पहले उसके पूर्णांश (दशमलव से पहले का भाग) को निर्धारित करें। फिर, लघुगणक सारणी का उपयोग करके उसका भिन्नांश (दशमलव के बाद का भाग) ज्ञात करें। पूर्णांश और भिन्नांश को जोड़कर पूर्ण लघुगणक प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: लघुगणक सारणी का उपयोग करते समय, सही पूर्णांश और भिन्नांश को ध्यान से पढ़ें। सुनिश्चित करें कि आप दशमलव बिंदु की स्थिति और बार नोटेशन को सही ढंग से लागू करें, खासकर नकारात्मक पूर्णांश वाली संख्याओं के लिए।
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