RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 9 लघुगणक Exercise 9.2

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 9 लघुगणक Ex 9.2

(इस प्रश्नमाला के उन प्रश्नों में जिनमें आधार नहीं दर्शाया गया है उनमें लघुगणक को आधार 10 मान कर हल करना है।)

Question 1. सिद्ध कीजिए \( \log630 = \log2 + 2\log3 + \log5 + \log7 \).
Answer:
L.H.S. \( = \log630 \)
R.H.S. \( = \log2 + 2\log3 + \log5 + \log7 \)
\( = \log2 + \log(3^2) + \log5 + \log7 \)
चूंकि \( N\log_a M = \log_a M^N \), इसलिए:
\( = \log2 + \log9 + \log5 + \log7 \)
यहां नियम \( \log_a M + \log_a N = \log_a (MN) \) का उपयोग करने पर:
\( = \log(2 \times 9 \times 5 \times 7) \)
\( = \log(630) \)
\( = \text{L.H.S.} \)
In simple words: हमें यह सिद्ध करना था कि \( \log630 \) बराबर है \( \log2 + 2\log3 + \log5 + \log7 \) के। हमने समीकरण के दाहिने भाग को लिया, लॉग के गुणों का उपयोग करके उसे सरल किया, और उसे \( \log630 \) के बराबर पाया।

🎯 Exam Tip: जब भी "सिद्ध कीजिए" वाले प्रश्न आएं, हमेशा एक पक्ष (आमतौर पर L.H.S.) से शुरू करें और उसे दूसरे पक्ष (R.H.S.) के बराबर सिद्ध करें, सभी लॉग नियमों का सही ढंग से पालन करते हुए।

Question 2. सिद्ध कीजिए: \( \log \left( \frac{9}{14} \right) + \log \left( \frac{35}{24} \right) - \log \left( \frac{15}{16} \right) = 0 \).
Answer:
L.H.S. \( = \log \left( \frac{9}{14} \right) + \log \left( \frac{35}{24} \right) - \log \left( \frac{15}{16} \right) \)
\( = (\log9 - \log14) + (\log35 - \log24) - (\log15 - \log16) \)
\( = \log9 - \log14 + \log35 - \log24 - \log15 + \log16 \)
\( = \log(3^2) - \log(2 \times 7) + \log(5 \times 7) - \log(8 \times 3) - \log(5 \times 3) + \log(2^4) \)
\( = 2\log3 - (\log2 + \log7) + (\log5 + \log7) - (\log8 + \log3) - (\log5 + \log3) + 4\log2 \)
\( = 2\log3 - \log2 - \log7 + \log5 + \log7 - \log(2^3) - \log3 - \log5 - \log3 + 4\log2 \)
\( = 2\log3 - \log2 - \log7 + \log5 + \log7 - 3\log2 - \log3 - \log5 - \log3 + 4\log2 \)
\( = (2\log3 - \log3 - \log3) + (-\log2 - 3\log2 + 4\log2) + (-\log7 + \log7) + (\log5 - \log5) \)
\( = 0 + 0 + 0 + 0 \)
\( = 0 \)
\( = \text{R.H.S.} \)
In simple words: हमने लॉग के योग और घटाव नियमों का उपयोग करके दिए गए लॉग व्यंजक को सरल किया। संख्याओं को उनके अभाज्य कारकों में तोड़कर और समान लॉग पदों को जोड़कर/घटाकर, हमने दिखाया कि पूरा व्यंजक शून्य के बराबर है।

🎯 Exam Tip: भिन्नों और गुणा को लॉग के योग और घटाव में बदलने के लिए लॉग के गुणों का ध्यान से उपयोग करें। याद रखें कि \( \log(A/B) = \log A - \log B \) और \( \log(AB) = \log A + \log B \). अंत में सभी समान पदों को एक साथ समूहबद्ध करें।

Question 3. सिद्ध कीजिए \( \log10 + \log100 + \log1000 + \log10000 = 10 \).
Answer:
L.H.S. \( = \log10 + \log100 + \log1000 + \log10000 \)
\( = \log10 + \log(10^2) + \log(10^3) + \log(10^4) \)
चूंकि आधार नहीं दिखाया गया है, हम इसे आधार 10 मानेंगे।
इसलिए,
\( = \log_{10} 10 + 2\log_{10} 10 + 3\log_{10} 10 + 4\log_{10} 10 \)
चूंकि \( \log_{10} 10 = 1 \):
\( = 1 + 2 \times 1 + 3 \times 1 + 4 \times 1 \)
\( = 1 + 2 + 3 + 4 \)
\( = 10 \)
\( = \text{R.H.S.} \)
In simple words: हमने देखा कि सभी संख्याएँ 10 की घात हैं। जब लॉग का आधार 10 हो, तो \( \log_{10} (10^n) \) बस n होता है। इसलिए, हमने सभी लॉग को उनकी घातों में बदल दिया और उन्हें जोड़ दिया, जिससे कुल 10 आया।

🎯 Exam Tip: यदि लॉग का आधार नहीं दिया गया है, तो आमतौर पर इसे 10 माना जाता है, खासकर जब संख्याएँ 10 की घातों में हों। \( \log_a a^n = n \) इस नियम का उपयोग करके गणना को बहुत आसान बनाता है।

Question 4. यदि \( \log3 = 0.4771 \), \( \log7 = 0.8451 \) तथा \( \log11 = 1.0414 \) तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) \( \log36 \)
(ii) \( \log \left( \frac{42}{11} \right) \)
(iii) \( \log \left( \frac{11}{7} \right)^5 \)
(iv) \( \log70 \)
(v) \( \log(11^2) - \log(12 \times 10) \)
(vi) \( \log(5^{1/3}) \)
Answer:
(i) \( \log36 \)
\( = \log(4 \times 9) \)
\( = \log4 + \log9 \)
\( = \log(2^2) + \log(3^2) \)
\( = 2\log2 + 2\log3 \)
यहां \( \log2 = \log(10/5) = \log10 - \log5 = 1 - 0.6990 = 0.3010 \) (यदि \( \log5 = 0.6990 \) ज्ञात हो)
अगर \( \log3 \) दिया है, तो \( \log(2^2) = 2\log2 \). यदि \( \log2 \) का मान नहीं दिया है, तो यह मान लेना होगा कि \( \log36 \) को \( \log(6^2) = 2\log6 = 2\log(2 \times 3) = 2(\log2 + \log3) \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
मान रखने पर (यह मानकर कि \( \log2 = 0.3010 \)):
\( = 2 \times 0.3010 + 2 \times 0.4771 \)
\( = 0.6020 + 0.9542 \)
\( = 1.5562 \)
(ii) \( \log \left( \frac{42}{11} \right) \)
\( = \log42 - \log11 \)
\( = \log(6 \times 7) - \log11 \)
\( = \log6 + \log7 - \log11 \)
\( = \log(2 \times 3) + \log7 - \log11 \)
\( = \log2 + \log3 + \log7 - \log11 \)
मान रखने पर:
\( = 0.3010 + 0.4771 + 0.8451 - 1.0414 \)
\( = 1.6232 - 1.0414 \)
\( = 0.5818 \)
(iii) \( \log \left( \frac{11}{7} \right)^5 \)
\( = 5\log \left( \frac{11}{7} \right) \)
चूंकि \( \log_a M^N = N \log_a M \):
\( = 5[\log11 - \log7] \)
चूंकि \( \log_a \left( \frac{M}{N} \right) = \log_a M - \log_a N \):
\( = 5[1.0414 - 0.8451] \)
\( = 5 \times 0.1963 \)
\( = 0.9815 \)
(iv) \( \log70 \)
\( = \log(10 \times 7) \)
\( = \log10 + \log7 \)
\( = 1 + 0.8451 \)
\( = 1.8451 \)
(v) \( \log(11^2) - \log(12 \times 10) \)
\( = \log(11^2) - \log(120) \)
\( = \log(11^2) - \log(2^2 \times 3 \times 10) \)
\( = \log(11^2) - [\log(2^2) + \log3 + \log10] \)
\( = 2\log11 - [2\log2 + \log3 + \log10] \)
\( = 2\log11 - 2\log2 - \log3 - \log10 \)
मान रखने पर:
\( = 2 \times 1.0414 - 2 \times 0.3010 - 0.4771 - 1 \)
\( = 2.0828 - 0.6020 - 0.4771 - 1 \)
\( = 2.0828 - 2.0791 \)
\( = 0.0037 \)
(vi) \( \log(5^{1/3}) \)
\( = \frac{1}{3} \log5 \)
\( = \frac{1}{3} \log \left( \frac{10}{2} \right) \)
\( = \frac{1}{3} [\log10 - \log2] \)
\( = \frac{1}{3} [1 - 0.3010] \)
\( = \frac{0.6990}{3} \)
\( = 0.2330 \)
In simple words: हमने दिए गए लॉग मानों का उपयोग करके प्रत्येक व्यंजक का मान ज्ञात किया। हमने प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य कारकों में तोड़ा और लॉग के गुणों (गुणा को जोड़ में, भाग को घटाव में, और घात को गुणा में बदलना) का उपयोग करके सरल किया।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों को हल करते समय, सबसे पहले दिए गए लॉग मानों को पहचानें। फिर, प्रत्येक व्यंजक को अभाज्य कारकों में तोड़ें और लॉग के गुणों का उपयोग करके उसे दिए गए लॉग मानों के रूप में व्यक्त करें। हमेशा \( \log2 = 0.3010 \), \( \log10 = 1 \), \( \log5 = \log(10/2) = \log10 - \log2 = 1 - 0.3010 = 0.6990 \) जैसे सामान्य मानों को याद रखने का प्रयास करें।

Question 5. निम्नलिखित समीकरण से \( x \) का मान ज्ञात कीजिए: \( \log_x 4 + \log_x 16 + \log_x 64 = 12 \).
Answer:
\( \log_x 4 + \log_x 16 + \log_x 64 = 12 \)
\( = \log_x (2^2) + \log_x (2^4) + \log_x (2^6) = 12 \)
\( = 2\log_x 2 + 4\log_x 2 + 6\log_x 2 = 12 \)
\( = 12\log_x 2 = 12 \)
\( \implies \log_x 2 = \frac{12}{12} \)
\( \implies \log_x 2 = 1 \)
अब, लॉग की परिभाषा का उपयोग करने पर (यदि \( \log_b a = c \), तो \( b^c = a \)):
\( \implies x^1 = 2 \)
\( \implies x = 2 \)
In simple words: हमने लॉग के गुणधर्म का उपयोग किया कि \( n \log_b a \) को \( \log_b (a^n) \) के रूप में लिखा जा सकता है। सभी लॉग पदों को \( \log_x 2 \) के गुणकों के रूप में व्यक्त करके और उन्हें जोड़कर, हमने समीकरण को सरल किया और अंत में \( x = 2 \) पाया।

🎯 Exam Tip: जब एक ही आधार वाले कई लॉग पद हों, तो उन्हें \( \log_a M + \log_a N = \log_a (MN) \) जैसे गुणों का उपयोग करके एक एकल लॉग में संयोजित करने का प्रयास करें। फिर, लॉग की परिभाषा \( \log_b a = c \iff b^c = a \) का उपयोग करके \( x \) का मान ज्ञात करें।

Question 6. हल ज्ञात कीजिए: \( \log_{10} \left( \frac{x+1}{x-1} \right) = 1 \).
Answer:
\( \log_{10} \left( \frac{x+1}{x-1} \right) = 1 \)
हम जानते हैं कि \( 1 = \log_{10} 10 \).
इसलिए:
\( \log_{10} \left( \frac{x+1}{x-1} \right) = \log_{10} 10 \)
यदि \( \log_a M = \log_a N \), तो \( M = N \):
\( \implies \frac{x+1}{x-1} = 10 \)
\( \implies x+1 = 10(x-1) \)
\( \implies x+1 = 10x - 10 \)
\( \implies 1 + 10 = 10x - x \)
\( \implies 11 = 9x \)
\( \implies x = \frac{11}{9} \)
\( \implies x = 1\frac{2}{9} \)
In simple words: हमने समीकरण के दाहिने भाग में 1 को लॉग के रूप में लिखा ( \( \log_{10} 10 \) )। जब दोनों तरफ समान आधार के लॉग होते हैं, तो हम लॉग के अंदर के व्यंजकों को बराबर कर सकते हैं। फिर हमने समीकरण को हल करने के लिए \( x \) के लिए बीजगणित का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: समीकरणों को हल करते समय, दोनों पक्षों को एक ही आधार के एकल लॉग के रूप में व्यक्त करने का लक्ष्य रखें। यदि \( \log_a M = N \), तो इसे \( a^N = M \) में बदल सकते हैं, या यदि \( \log_a M = \log_a N \), तो \( M = N \) का उपयोग करें।

Question 7. मान ज्ञात कीजिए: \( 3^{2 - \log_3 4} \).
Answer:
\( 3^{2 - \log_3 4} \)
\( = 3^2 \cdot 3^{-\log_3 4} \)
\( = 3^2 \cdot 3^{\log_3 (4^{-1})} \)
\( = 3^2 \cdot 3^{\log_3 (1/4)} \)
हम जानते हैं कि \( a^{\log_a x} = x \).
\( = 9 \cdot \frac{1}{4} \)
\( = \frac{9}{4} \)
\( = 2\frac{1}{4} \)
In simple words: हमने पहले घात को दो अलग-अलग घातों में बांटा। फिर हमने लॉग के नियम \( -\log_a b = \log_a (1/b) \) का उपयोग किया। अंत में, हमने नियम \( a^{\log_a x} = x \) का उपयोग करके मान को सरल किया।

🎯 Exam Tip: घातांक और लॉग के नियमों को याद रखें, जैसे \( a^{m-n} = a^m / a^n \) और \( -\log_b a = \log_b (1/a) \). ये जटिल दिखने वाले व्यंजकों को सरल बनाने में मदद करते हैं।

Question 8. निम्नलिखित प्रश्नों का हल एक पद के रूप में लिखिए:
(i) \( \log2 + 1 \)
(ii) \( \log (2x) + 2\log x \)
Answer:
(i) \( \log2 + 1 \)
यहां आधार नहीं दिखाया गया है, इसलिए हम इसे आधार 10 मानेंगे।
\( \implies \log2 + 1 = \log_{10} 2 + \log_{10} 10 \)
\( = \log_{10} (2 \times 10) \)
\( = \log_{10} 20 \)
(ii) \( \log (2x) + 2\log x \)
\( = \log(2x) + \log(x^2) \)
\( = \log(2x \cdot x^2) \)
\( = \log(2x^3) \)
In simple words: हमने दोनों भागों में लॉग के नियमों का उपयोग करके व्यंजकों को एक ही लॉग पद में बदल दिया। पहले भाग में, हमने 1 को \( \log_{10} 10 \) के रूप में लिखा और लॉग के योग नियम का उपयोग किया। दूसरे भाग में, हमने \( 2\log x \) को \( \log(x^2) \) में बदला और फिर लॉग के योग नियम का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: "एक पद के रूप में लिखिए" का अर्थ है कि आपको सभी लॉग पदों को एक एकल लॉग में संयोजित करना होगा। यह अक्सर लॉग के योग, घटाव और घात नियमों का उपयोग करके किया जाता है।

Question 9. सिद्ध कीजिए:
(i) \( \log_5 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_2 5 = 2 \)
(ii) \( \log_a x \cdot \log_b y = \log_b x \cdot \log_a y \)
Answer:
(i) L.H.S. \( = \log_5 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_2 5 \)
\( = \log_5 4 \cdot \log_2 5 \) (यहां आधार परिवर्तन का नियम \( \log_b a \cdot \log_c b = \log_c a \) का उपयोग किया गया है, इसलिए \( \log_5 3 \cdot \log_3 4 = \log_5 4 \))
\( = \log_5 (2^2) \cdot \log_2 5 \)
\( = 2\log_5 2 \cdot \log_2 5 \)
चूंकि \( \log_a b \cdot \log_b a = 1 \):
\( = 2 \times 1 \)
\( = 2 \)
\( = \text{R.H.S.} \)
(ii) L.H.S. \( = \log_a x \cdot \log_b y \)
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर \( \log_c M = \frac{\log M}{\log c} \), जहाँ आधार 10 या e हो सकता है:
\( = \frac{\log x}{\log a} \cdot \frac{\log y}{\log b} \)
\( = \frac{\log x \cdot \log y}{\log a \cdot \log b} \)
R.H.S. \( = \log_b x \cdot \log_a y \)
फिर से आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर:
\( = \frac{\log x}{\log b} \cdot \frac{\log y}{\log a} \)
\( = \frac{\log x \cdot \log y}{\log b \cdot \log a} \)
इसलिए \( \text{L.H.S.} = \text{R.H.S.} \)
In simple words: हमने दोनों भागों में लॉग के आधार परिवर्तन के नियमों का उपयोग किया। पहले भाग में, हमने \( \log_b a \cdot \log_c b = \log_c a \) और \( \log_a b \cdot \log_b a = 1 \) नियमों को लागू करके समीकरण को सरल बनाया। दूसरे भाग में, हमने सभी लॉग को एक सामान्य आधार में बदल दिया (जैसे कि आधार 10 या e) और यह दिखाया कि दोनों पक्ष समान हैं।

🎯 Exam Tip: आधार परिवर्तन सूत्र \( \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} \) लघुगणक के गुणों को साबित करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। विशेष रूप से, \( \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c \) और \( \log_a b \cdot \log_b a = 1 \) इन नियमों को याद रखें।