RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 9 लघुगणक Exercise 9.1

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 9 लघुगणक Ex 9.1

निम्नलिखित को लघुगणकीय रूप में लिखिए (प्रश्न संख्या 1 से 6)

Question 1. \( 2^6 = 64 \)
Answer: \( 2^6 = 64 \) का लघुगणकीय रूप \( \log_2 64 = 6 \) है। घातांकीय रूप को लघुगणकीय रूप में बदलने के लिए, आधार को लॉग का आधार बनाते हैं, घात को बराबर के बाद लिखते हैं, और परिणाम को लॉग के सामने रखते हैं।
In simple words: किसी संख्या के घातांकीय रूप को लघुगणकीय रूप में बदलने के लिए, आधार को लॉग का आधार बनाते हैं, घात को बराबर के बाद लिखते हैं, और परिणाम को लॉग के सामने रखते हैं।

🎯 Exam Tip: लघुगणकीय रूप में, आधार हमेशा छोटा और नीचे लिखा जाता है।

Question 2. \( 10^4 = 10000 \)
Answer: \( 10^4 = 10000 \) का लघुगणकीय रूप \( \log_{10} 10000 = 4 \) होता है। यह दर्शाता है कि 10 को 4 की घात तक बढ़ाने पर 10000 मिलता है।
In simple words: जब 10 की घात 4 को 10000 लिखते हैं, तो लॉग के रूप में यह बताता है कि 10 को कितनी बार गुणा करने पर 10000 मिलेगा, जो कि 4 बार है।

🎯 Exam Tip: यदि आधार 10 हो, तो उसे अक्सर \( \log_{10} \) के बजाय केवल \( \log \) भी लिखा जाता है।

Question 3. \( 2^{10} = 1024 \)
Answer: \( 2^{10} = 1024 \) का लघुगणकीय रूप \( \log_2 1024 = 10 \) है। यह दर्शाता है कि संख्या 2 को 10 बार गुणा करने पर 1024 मिलता है।
In simple words: यह दर्शाता है कि संख्या 2 को 10 बार गुणा करने पर 1024 मिलता है।

🎯 Exam Tip: घातांकीय रूप \( a^b = c \) को लघुगणकीय रूप \( \log_a c = b \) में बदलने का सूत्र याद रखें।

Question 5. \( 10^{-3} = 0.001 \)
Answer: \( 10^{-3} = 0.001 \) का लघुगणकीय रूप \( \log_{10} 0.001 = -3 \) है। यह लघुगणकीय रूप बताता है कि 10 को -3 की घात तक बढ़ाने पर 0.001 मिलेगा।
In simple words: जब 10 की घात -3 होती है, तो यह 0.001 के बराबर होता है। लघुगणकीय रूप में यह बताता है कि 10 को कितनी घात तक बढ़ाने पर 0.001 मिलेगा।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक घात का मतलब दशमलव संख्या होता है जो 1 से छोटी होती है।

Question 6. \( 4^{3/2} = 8 \)
Answer: \( 4^{3/2} = 8 \) का लघुगणकीय रूप \( \log_4 8 = \frac{3}{2} \) है। इसका मतलब है कि 4 को 3/2 की घात तक बढ़ाने पर 8 मिलता है।
In simple words: इसका मतलब है कि 4 को 3/2 की घात तक बढ़ाने पर 8 मिलता है।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक घात को वर्गमूल और फिर घात के रूप में सोचा जा सकता है, जैसे \( a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m \).

निम्नलिखित को घातांकीय रूप में लिखिए (प्रश्न संख्या 7 से 12)

Question 7. \( \log_5 25 = 2 \)
Answer: \( \log_5 25 = 2 \) का घातांकीय रूप \( 5^2 = 25 \) है। लघुगणकीय रूप बताता है कि 5 को किस घात तक बढ़ाने पर 25 मिलेगा, जो कि 2 है।
In simple words: लघुगणकीय रूप बताता है कि 5 को किस घात तक बढ़ाने पर 25 मिलेगा, जो कि 2 है।

🎯 Exam Tip: घातांकीय रूप में, लघुगणक का आधार ही घात का आधार बनता है, और बराबर वाला अंक घात बन जाता है।

Question 8. \( \log_3 729 = 6 \)
Answer: \( \log_3 729 = 6 \) का घातांकीय रूप \( 3^6 = 729 \) है। इसका मतलब है कि संख्या 3 को 6 बार गुणा करने पर 729 मिलता है।
In simple words: इसका मतलब है कि संख्या 3 को 6 बार गुणा करने पर 729 मिलता है।

🎯 Exam Tip: घातांकीय रूप से लघुगणकीय रूप और लघुगणकीय रूप से घातांकीय रूप में बदलने की प्रक्रिया को समझना महत्वपूर्ण है।

Question 9. \( \log_{10} 0.001 = -3 \)
Answer: \( \log_{10} 0.001 = -3 \) का घातांकीय रूप \( 10^{-3} = 0.001 \) है। यह बताता है कि 10 को -3 की घात तक बढ़ाने पर 0.001 मिलता है।
In simple words: यह बताता है कि 10 को -3 की घात तक बढ़ाने पर 0.001 मिलता है, जो एक छोटी दशमलव संख्या है।

🎯 Exam Tip: लॉग का ऋणात्मक मान हमेशा 0 और 1 के बीच की संख्या के लिए होता है (जब आधार 1 से बड़ा हो)।

Question 10. \( \log_{10} 0.1 = -1 \)
Answer: \( \log_{10} 0.1 = -1 \) का घातांकीय रूप \( 10^{-1} = 0.1 \) है। इसका अर्थ है कि 10 की घात -1, 0.1 के बराबर होती है।
In simple words: इसका अर्थ है कि 10 की घात -1, 0.1 के बराबर होती है।

🎯 Exam Tip: किसी भी संख्या की घात -1 का मतलब होता है 1 को उस संख्या से भाग देना, जैसे \( a^{-1} = 1/a \).

Question 11. \( \log_{\sqrt{2}} 4 = 4 \)
Answer: \( \log_{\sqrt{2}} 4 = 4 \) का घातांकीय रूप \( (\sqrt{2})^4 = 4 \) है। यह बताता है कि \( \sqrt{2} \) को 4 की घात तक बढ़ाने पर 4 मिलेगा।
In simple words: यह बताता है कि \( \sqrt{2} \) को 4 की घात तक बढ़ाने पर 4 मिलेगा।

🎯 Exam Tip: किसी भी वर्गमूल संख्या की घात 2 लगाने पर मूल संख्या मिलती है, जैसे \( (\sqrt{a})^2 = a \).

Question 13. यदि \( \log_{81} x = \frac{3}{2} \) हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए लघुगणकीय समीकरण को घातांकीय रूप में बदलने पर, हमें \( x = 81^{3/2} \) मिलता है। चूंकि 81 को \( 9^2 \) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए \( x = (9^2)^{3/2} \). घातों के नियम का उपयोग करके, यह \( 9^{(2 \times 3/2)} = 9^3 \) हो जाता है। अब, \( 9^3 \) की गणना करने पर, हमें \( 9 \times 9 \times 9 = 729 \) प्राप्त होता है। इस प्रकार, x का मान 729 है।
In simple words: जब \( \log_{81} x = \frac{3}{2} \) को घातांकीय रूप में लिखते हैं, तो x बराबर \( 81 \) की घात \( \frac{3}{2} \) हो जाता है। इसका मतलब है \( 81 \) का वर्गमूल लेकर उसे 3 बार गुणा करना। \( 81 \) का वर्गमूल 9 होता है, और \( 9 \times 9 \times 9 = 729 \).

🎯 Exam Tip: घातांकीय नियमों को याद रखें, विशेषकर \( (a^m)^n = a^{mn} \), जो इस तरह के प्रश्नों को हल करने में मदद करता है।

Question 14. यदि \( \log_{125} P = \frac{1}{6} \) हो, तो P का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: समीकरण \( \log_{125} P = \frac{1}{6} \) को घातांकीय रूप में बदलने पर, हमें \( P = 125^{1/6} \) मिलता है। हम जानते हैं कि 125 को \( 5^3 \) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, \( P = (5^3)^{1/6} \). घातों के नियम के अनुसार, यह \( 5^{(3 \times 1/6)} = 5^{1/2} \) हो जाता है। \( 5^{1/2} \) का अर्थ है \( \sqrt{5} \). इस प्रकार, P का मान \( \sqrt{5} \) है।
In simple words: \( \log_{125} P = \frac{1}{6} \) को घातांकीय रूप में बदलने पर, P बराबर \( 125 \) की घात \( \frac{1}{6} \) हो जाता है। \( 125 \) को \( 5^3 \) लिख सकते हैं। तो यह \( (5^3)^{\frac{1}{6}} \) बन जाता है, जो \( 5^{\frac{3}{6}} \) या \( 5^{\frac{1}{2}} \) होता है। \( 5^{\frac{1}{2}} \) का मतलब \( \sqrt{5} \) है।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक घात हमेशा किसी संख्या के मूल (root) को दर्शाती है। जैसे, \( a^{1/n} \) का अर्थ \( n \)-वां मूल होता है।

Question 15. यदि \( \log_4 m = 1.5 \) हो, तो m का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए लघुगणकीय समीकरण \( \log_4 m = 1.5 \) को घातांकीय रूप में बदलने पर, हमें \( m = 4^{1.5} \) मिलता है। दशमलव घात को भिन्न में बदलने पर, \( 1.5 = \frac{3}{2} \). अतः, \( m = 4^{3/2} \). इसका अर्थ है 4 का वर्गमूल लेकर उसे 3 की घात तक बढ़ाना। 4 का वर्गमूल 2 होता है, और \( 2^3 \) की गणना करने पर हमें 8 प्राप्त होता है। इस प्रकार, m का मान 8 है।
In simple words: जब \( \log_4 m = 1.5 \) को घातांकीय रूप में बदलते हैं, तो m बराबर \( 4 \) की घात \( 1.5 \) हो जाता है। \( 1.5 \) को \( \frac{3}{2} \) भी लिख सकते हैं। तो यह \( 4^{\frac{3}{2}} \) बन जाता है। इसका मतलब है 4 का वर्गमूल लेकर उसे 3 बार गुणा करना। 4 का वर्गमूल 2 होता है, और \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \).

🎯 Exam Tip: दशमलव घातों को भिन्नात्मक घातों में बदलने से गणनाएँ आसान हो जाती हैं।

Question 16. सिद्ध कीजिए \( \log_4[\log_2\{\log_2(\log_3 81)\}] = 0 \)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( \log_4[\log_2\{\log_2(\log_3 81)\}] = 0 \).
हम बाएँ पक्ष (L.H.S.) से शुरू करेंगे:
L.H.S. \( = \log_4[\log_2\{\log_2(\log_3 81)\}] \)
सबसे अंदर के पद को हल करते हैं:
\( \log_3 81 = \log_3 (3^4) = 4 \)
क्योंकि \( 3^4 = 81 \).
\( \implies \) अब समीकरण में मान रखने पर:
\( \log_4[\log_2\{\log_2(4)\}] \)
अगले अंदर के पद को हल करते हैं:
\( \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2 \)
क्योंकि \( 2^2 = 4 \).
\( \implies \) फिर से समीकरण में मान रखने पर:
\( \log_4[\log_2\{2\}] \)
अब इस पद को हल करते हैं:
\( \log_2 2 = 1 \)
क्योंकि किसी भी आधार पर अपनी ही संख्या का लॉग 1 होता है.
\( \implies \) अंतिम पद को हल करते हैं:
\( \log_4[1] \)
हम जानते हैं कि किसी भी आधार पर 1 का लॉग हमेशा 0 होता है (यानी \( \log_a 1 = 0 \)).
\( \implies \) तो, \( \log_4 1 = 0 \)
अतः, L.H.S. \( = 0 \)
जो कि दाहिने पक्ष (R.H.S.) के बराबर है।
इतिसिद्धम् (Hence Proved).
In simple words: हमें दिखाना है कि यह पूरा लॉग का लंबा सवाल 0 के बराबर है। सबसे पहले, सबसे अंदर वाले लॉग (\( \log_3 81 \)) को हल करते हैं। इसका उत्तर 4 आता है। फिर, \( \log_2 4 \) को हल करते हैं, जिसका उत्तर 2 आता है। फिर \( \log_2 2 \) को हल करते हैं, जिसका उत्तर 1 आता है। अंत में, \( \log_4 1 \) को हल करते हैं, और किसी भी आधार पर 1 का लॉग हमेशा 0 होता है। इसलिए, पूरा सवाल 0 के बराबर है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों को हल करते समय, हमेशा सबसे अंदर के ब्रैकेट से शुरू करें और बाहर की ओर काम करें।