RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Exercise 8.7

Question 1. निम्नलिखित हरात्मक श्रेढ़ियों के सम्मुख दिया गया पद ज्ञात कीजिए
(i) \( \frac { 1 }{ 2 } , \frac { 1 }{ 5 } , \frac { 1 }{ 8 } , \frac { 1 }{ 11 } , \dots \) 6वाँ पद
(ii) \( \frac { 1 }{ 9 } , \frac { 1 }{ 19 } , \frac { 1 }{ 29 } , \frac { 1 }{ 39 } , \dots \) 18वाँ पद
(iii) \( \frac { 1 }{ 14 } , \frac { 2 }{ 29 } , \frac { 1 }{ 15 } , \frac { 2 }{ 31 } , \dots \) 10वाँ पद
Answer:
(i) हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) दी गई है: \( \frac { 1 }{ 2 } , \frac { 1 }{ 5 } , \frac { 1 }{ 8 } , \frac { 1 }{ 11 } , \dots \)
इसकी संगत समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) होगी: \( 2, 5, 8, 11, \dots \)
यहाँ, प्रथम पद \( a = 2 \)
सार्वअन्तर \( d = 5 - 2 = 3 \)
A.P. का 6वाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र \( T_n = a + (n-1)d \) का उपयोग करते हैं:
\( T_6 = 2 + (6-1) \times 3 \)
\( T_6 = 2 + 5 \times 3 \)
\( T_6 = 2 + 15 \)
\( T_6 = 17 \)
इसलिए, हरात्मक श्रेढ़ी का 6वाँ पद \( = \frac { 1 }{ 17 } \)
(ii) हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) दी गई है: \( \frac { 1 }{ 9 } , \frac { 1 }{ 19 } , \frac { 1 }{ 29 } , \frac { 1 }{ 39 } , \dots \)
इसकी संगत समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) होगी: \( 9, 19, 29, 39, \dots \)
यहाँ, प्रथम पद \( a = 9 \)
सार्वअन्तर \( d = 19 - 9 = 10 \)
A.P. का 18वाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र \( T_n = a + (n-1)d \) का उपयोग करते हैं:
\( T_{18} = 9 + (18-1) \times 10 \)
\( T_{18} = 9 + 17 \times 10 \)
\( T_{18} = 9 + 170 \)
\( T_{18} = 179 \)
इसलिए, हरात्मक श्रेढ़ी का 18वाँ पद \( = \frac { 1 }{ 179 } \)
(iii) हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) दी गई है: \( \frac { 1 }{ 14 } , \frac { 2 }{ 29 } , \frac { 1 }{ 15 } , \frac { 2 }{ 31 } , \dots \)
इसे पहले \( \frac { 1 }{ 14 } , \frac { 1 }{ \frac { 29 }{ 2 } } , \frac { 1 }{ 15 } , \frac { 1 }{ \frac { 31 }{ 2 } } , \dots \) के रूप में लिख सकते हैं।
इसकी संगत समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) होगी: \( 14, \frac { 29 }{ 2 } , 15, \frac { 31 }{ 2 } , \dots \)
यहाँ, प्रथम पद \( a = 14 \)
सार्वअन्तर \( d = \frac { 29 }{ 2 } - 14 = \frac { 29 - 28 }{ 2 } = \frac { 1 }{ 2 } \)
A.P. का 10वाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र \( T_n = a + (n-1)d \) का उपयोग करते हैं:
\( T_{10} = 14 + (10-1) \times \frac { 1 }{ 2 } \)
\( T_{10} = 14 + 9 \times \frac { 1 }{ 2 } \)
\( T_{10} = 14 + \frac { 9 }{ 2 } \)
\( T_{10} = \frac { 28 + 9 }{ 2 } = \frac { 37 }{ 2 } \)
इसलिए, हरात्मक श्रेढ़ी का 10वाँ पद \( = \frac { 1 }{ \frac { 37 }{ 2 } } = \frac { 2 }{ 37 } \)
In simple words: हरात्मक श्रेढ़ी का कोई भी पद निकालने के लिए, पहले उसे समान्तर श्रेढ़ी में बदलें (अंश और हर को पलटकर)। फिर, समान्तर श्रेढ़ी का वह पद निकालें और अंत में उसे फिर से पलटकर हरात्मक श्रेढ़ी का पद प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) के प्रश्नों को हल करते समय, हमेशा पहले उसे संगत समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) में बदलें, आवश्यक गणनाएँ A.P. में करें, और फिर परिणाम को वापस H.P. में बदलें।

Question 2. निम्नलिखित ह. श्रे. के n वें पद ज्ञात कीजिए
(i) \( \frac { 1 }{ 2 } , \frac { 1 }{ 5 } , \frac { 1 }{ 4 } , \frac { 1 }{ 7 } , \dots \)
(ii) \( \frac { 1 }{ a+b } , \frac { 1 }{ a } , \frac { 1 }{ 3a-b } , \dots \)
Answer:
(i) हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) दी गई है: \( \frac { 1 }{ 2 } , \frac { 1 }{ 5 } , \frac { 1 }{ 4 } , \frac { 1 }{ 7 } , \dots \)
इसकी संगत समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) होगी: \( 2, 5, 4, 7, \dots \)
यह एक विशेष क्रम है। इसे दो अलग-अलग समान्तर श्रेढ़ियों के रूप में देखा जा सकता है:
पद \( T_1, T_3, T_5, \dots \) हैं: \( 2, 4, \dots \)
यहाँ, \( a = 2, d = 4-2 = 2 \)
पद \( T_2, T_4, T_6, \dots \) हैं: \( 5, 7, \dots \)
यहाँ, \( a = 5, d = 7-5 = 2 \)
अगर H.P. में \( \frac { 1 }{ 2 } , \frac { 1 }{ 5 } , \frac { 1 }{ 4 } , \frac { 1 }{ 7 } , \dots \) को देखें तो यह एक समान्तर श्रेढ़ी नहीं बनती।
प्रश्न में दी गई H.P. \( \frac { 1 }{ 2 } , \frac { 1 }{ 5 } , \frac { 1 }{ 4 } , \frac { 1 }{ 7 } , \dots \) की संगत A.P. \( 2, 5, 4, 7, \dots \) है।
यदि हम इसे एक ही A.P. मानें, तो सार्वअन्तर स्थिर नहीं है: \( 5-2=3, 4-5=-1, 7-4=3 \)
यह दी गई श्रेणी को सामान्य A.P. या H.P. के रूप में सीधे हल करने में समस्या पैदा करता है।
अगर प्रश्न का मतलब \( \frac { 1 }{ 2 } , \frac { 1 }{ 5 } , \frac { 1 }{ 8 } , \frac { 1 }{ 11 } , \dots \) होता तो (i) का हल Question 1(i) जैसा होता।
लेकिन दिए गए क्रम \( \frac { 1 }{ 2 } , \frac { 1 }{ 5 } , \frac { 1 }{ 4 } , \frac { 1 }{ 7 } , \dots \) के लिए, संगत A.P. \( 2, 5, 4, 7, \dots \) है।
अगर हम मानते हैं कि यह क्रम वास्तव में \( 2, 5, 8, 11, \dots \) की A.P. है (जैसा कि अक्सर गलत प्रिंटिंग में होता है), तो:
प्रथम पद \( a = 2 \)
सार्वअन्तर \( d = 3 \)
तो A.P. का nवाँ पद \( T_n = a + (n-1)d = 2 + (n-1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1 \)
इसलिए, H.P. का nवाँ पद \( = \frac { 1 }{ 3n-1 } \)
(ii) हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) दी गई है: \( \frac { 1 }{ a+b } , \frac { 1 }{ a } , \frac { 1 }{ 3a-b } , \dots \)
इसकी संगत समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) होगी: \( a+b, a, 3a-b, \dots \)
यहाँ, प्रथम पद \( A = a+b \)
सार्वअन्तर \( D = a - (a+b) = a - a - b = -b \)
A.P. का nवाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र \( T_n = A + (n-1)D \) का उपयोग करते हैं:
\( T_n = (a+b) + (n-1)(-b) \)
\( T_n = a+b - nb + b \)
\( T_n = a + (2-n)b \)
इसलिए, हरात्मक श्रेढ़ी का nवाँ पद \( = \frac { 1 }{ a+(2-n)b } \)
In simple words: किसी भी हरात्मक श्रेढ़ी का nवाँ पद ज्ञात करने के लिए, पहले उसे समान्तर श्रेढ़ी में बदलें। फिर समान्तर श्रेढ़ी का nवाँ पद निकालें और अंत में उस परिणाम को पलट दें।

🎯 Exam Tip: जब H.P. के nवें पद को निकालना हो, तो पहले संगत A.P. के प्रथम पद और सार्वअन्तर को पहचानें। फिर A.P. के लिए nवें पद का सूत्र लगाएं और अंत में व्युत्क्रम लें।

Question 4. यदि एक ह. श्रे. का 7वाँ पद \( \frac { 17 }{ 2 } \) एवं 11वाँ पद \( \frac { 13 }{ 2 } \) हो, तो उसका 20वाँ पद ज्ञात कीजिये।
Answer:
दिया है कि हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) का 7वाँ पद \( = \frac { 17 }{ 2 } \)
और H.P. का 11वाँ पद \( = \frac { 13 }{ 2 } \)
तो संगत समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) के लिए:
A.P. का 7वाँ पद \( T_7 = \frac { 2 }{ 17 } \)
A.P. का 11वाँ पद \( T_{11} = \frac { 2 }{ 13 } \)
हम जानते हैं कि A.P. का nवाँ पद \( T_n = a + (n-1)d \) होता है।
इसलिए, \( T_7 = a + (7-1)d = a + 6d = \frac { 2 }{ 17 } \) ....(1)
और \( T_{11} = a + (11-1)d = a + 10d = \frac { 2 }{ 13 } \) ....(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( (a + 10d) - (a + 6d) = \frac { 2 }{ 13 } - \frac { 2 }{ 17 } \)
\( 4d = \frac { 2 \times 17 - 2 \times 13 }{ 13 \times 17 } \)
\( 4d = \frac { 34 - 26 }{ 221 } \)
\( 4d = \frac { 8 }{ 221 } \)
\( d = \frac { 8 }{ 4 \times 221 } \)
\( d = \frac { 2 }{ 221 } \)
अब, \( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 6 \times \frac { 2 }{ 221 } = \frac { 2 }{ 17 } \)
\( a + \frac { 12 }{ 221 } = \frac { 2 }{ 17 } \)
\( a = \frac { 2 }{ 17 } - \frac { 12 }{ 221 } \)
\( a = \frac { 2 \times 13 }{ 17 \times 13 } - \frac { 12 }{ 221 } \)
\( a = \frac { 26 }{ 221 } - \frac { 12 }{ 221 } \)
\( a = \frac { 14 }{ 221 } \)
अब हमें A.P. का 20वाँ पद ज्ञात करना है:
\( T_{20} = a + (20-1)d \)
\( T_{20} = a + 19d \)
\( T_{20} = \frac { 14 }{ 221 } + 19 \times \frac { 2 }{ 221 } \)
\( T_{20} = \frac { 14 }{ 221 } + \frac { 38 }{ 221 } \)
\( T_{20} = \frac { 14 + 38 }{ 221 } = \frac { 52 }{ 221 } \)
\( T_{20} = \frac { 4 \times 13 }{ 17 \times 13 } = \frac { 4 }{ 17 } \)
इसलिए, हरात्मक श्रेढ़ी का 20वाँ पद \( = \frac { 1 }{ T_{20} } = \frac { 1 }{ \frac { 4 }{ 17 } } = \frac { 17 }{ 4 } \)
In simple words: पहले दी गई हरात्मक श्रेढ़ी के पदों को पलटकर समान्तर श्रेढ़ी के पद बना लें। फिर उन पदों का उपयोग करके समान्तर श्रेढ़ी का पहला पद और सार्वअन्तर निकालें। आखिर में, समान्तर श्रेढ़ी का जो पद निकालना है, उसे ज्ञात करें और उसका उल्टा करके हरात्मक श्रेढ़ी का उत्तर प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: H.P. में दिए गए पदों से A.P. के पद ज्ञात करें, फिर A.P. के गुणों का उपयोग करके सार्वअन्तर (d) और प्रथम पद (a) निकालें। अंत में, वांछित पद की गणना करके उसका व्युत्क्रम लें।

Question 5. ज्ञात कीजिए
(i) 1 तथा \( \frac { 1 }{ 16 } \) के मध्य 4 ह.मा.
(ii) \( \frac { 1 }{ 19 } \) तथा \( \frac { 1 }{ 7 } \) के मध्य 5 ह.मा.
(iii) \( -\frac { 2 }{ 5 } \) तथा \( \frac { 4 }{ 25 } \) के मध्य एक ह.मा
Answer:
(i) माना कि 1 तथा \( \frac { 1 }{ 16 } \) के मध्य 4 हरात्मक माध्य (H.M.) \( H_1, H_2, H_3, H_4 \) हैं।
तो \( 1, H_1, H_2, H_3, H_4, \frac { 1 }{ 16 } \) एक हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) में हैं।
इसकी संगत समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) होगी: \( 1, A_1, A_2, A_3, A_4, 16 \)
यहाँ, प्रथम पद \( a = 1 \)
छठा पद \( T_6 = 16 \)
A.P. के nवें पद के सूत्र \( T_n = a + (n-1)d \) का उपयोग करके:
\( T_6 = a + (6-1)d \)
\( 16 = 1 + 5d \)
\( 15 = 5d \)
\( d = 3 \)
अब, समान्तर माध्य (A.M.) ज्ञात करते हैं:
\( A_1 = a + d = 1 + 3 = 4 \)
\( A_2 = a + 2d = 1 + 2 \times 3 = 1 + 6 = 7 \)
\( A_3 = a + 3d = 1 + 3 \times 3 = 1 + 9 = 10 \)
\( A_4 = a + 4d = 1 + 4 \times 3 = 1 + 12 = 13 \)
इसलिए, हरात्मक माध्य (H.M.) उनके व्युत्क्रम होंगे:
\( H_1 = \frac { 1 }{ A_1 } = \frac { 1 }{ 4 } \)
\( H_2 = \frac { 1 }{ A_2 } = \frac { 1 }{ 7 } \)
\( H_3 = \frac { 1 }{ A_3 } = \frac { 1 }{ 10 } \)
\( H_4 = \frac { 1 }{ A_4 } = \frac { 1 }{ 13 } \)
(ii) माना कि \( \frac { 1 }{ 19 } \) तथा \( \frac { 1 }{ 7 } \) के मध्य 5 हरात्मक माध्य (H.M.) \( H_1, H_2, H_3, H_4, H_5 \) हैं।
तो \( \frac { 1 }{ 19 } , H_1, H_2, H_3, H_4, H_5, \frac { 1 }{ 7 } \) एक हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) में हैं।
इसकी संगत समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) होगी: \( 19, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, 7 \)
यहाँ, प्रथम पद \( a = 19 \)
सातवाँ पद \( T_7 = 7 \)
A.P. के nवें पद के सूत्र \( T_n = a + (n-1)d \) का उपयोग करके:
\( T_7 = a + (7-1)d \)
\( 7 = 19 + 6d \)
\( 7 - 19 = 6d \)
\( -12 = 6d \)
\( d = -2 \)
अब, समान्तर माध्य (A.M.) ज्ञात करते हैं:
\( A_1 = a + d = 19 + (-2) = 17 \)
\( A_2 = a + 2d = 19 + 2 \times (-2) = 19 - 4 = 15 \)
\( A_3 = a + 3d = 19 + 3 \times (-2) = 19 - 6 = 13 \)
\( A_4 = a + 4d = 19 + 4 \times (-2) = 19 - 8 = 11 \)
\( A_5 = a + 5d = 19 + 5 \times (-2) = 19 - 10 = 9 \)
इसलिए, हरात्मक माध्य (H.M.) उनके व्युत्क्रम होंगे:
\( H_1 = \frac { 1 }{ 17 } , H_2 = \frac { 1 }{ 15 } , H_3 = \frac { 1 }{ 13 } , H_4 = \frac { 1 }{ 11 } , H_5 = \frac { 1 }{ 9 } \)
(iii) माना कि \( -\frac { 2 }{ 5 } \) तथा \( \frac { 4 }{ 25 } \) के मध्य एक हरात्मक माध्य (H.M.) \( H \) है।
तो \( -\frac { 2 }{ 5 } , H, \frac { 4 }{ 25 } \) एक हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) में हैं।
इसके लिए, हरात्मक माध्य \( H \) का सूत्र \( H = \frac { 2ab }{ a+b } \) है, जहाँ \( a = -\frac { 2 }{ 5 } \) और \( b = \frac { 4 }{ 25 } \)
\( H = \frac { 2 \times \left( -\frac { 2 }{ 5 } \right) \times \left( \frac { 4 }{ 25 } \right) }{ -\frac { 2 }{ 5 } + \frac { 4 }{ 25 } } \)
\( H = \frac { -\frac { 16 }{ 125 } }{ \frac { -2 \times 5 + 4 }{ 25 } } \)
\( H = \frac { -\frac { 16 }{ 125 } }{ \frac { -10 + 4 }{ 25 } } \)
\( H = \frac { -\frac { 16 }{ 125 } }{ \frac { -6 }{ 25 } } \)
\( H = -\frac { 16 }{ 125 } \times \frac { 25 }{ -6 } \)
\( H = \frac { 16 \times 25 }{ 125 \times 6 } \)
\( H = \frac { 16 }{ 5 \times 6 } \)
\( H = \frac { 16 }{ 30 } \)
\( H = \frac { 8 }{ 15 } \)
In simple words: दो संख्याओं के बीच कुछ हरात्मक माध्य (H.M.) निकालने के लिए, पहले उन संख्याओं के व्युत्क्रमों (उल्टों) के बीच समान्तर माध्य (A.M.) ज्ञात करें। फिर उन समान्तर माध्यों को पलट दें ताकि आपको H.M. मिल जाएं।

🎯 Exam Tip: हरात्मक माध्य (H.M.) निकालने के लिए हमेशा संबंधित समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) का उपयोग करें। ध्यान दें कि n हरात्मक माध्यों के लिए A.P. में \( n+2 \) पद होंगे।

Question 7. यदि a, b, c ह. श्रे. में हैं, तो सिद्ध कीजिये कि a, a – c, a – b, ह. श्रे. में होंगे।
Answer:
दिया है कि \( a, b, c \) हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) में हैं।
तो, उनके व्युत्क्रम \( \frac { 1 }{ a } , \frac { 1 }{ b } , \frac { 1 }{ c } \) समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) में होंगे।
A.P. की परिभाषा के अनुसार, सार्वअन्तर समान होता है:
\( \frac { 1 }{ b } - \frac { 1 }{ a } = \frac { 1 }{ c } - \frac { 1 }{ b } \)
\( \frac { a - b }{ ab } = \frac { b - c }{ bc } \)
दोनों तरफ \( abc \) से गुणा करने पर:
\( c(a-b) = a(b-c) \)
\( ac - bc = ab - ac \)
\( 2ac = ab + bc \)
\( 2ac = b(a+c) \)
\( b = \frac { 2ac }{ a+c } \)
अब हमें सिद्ध करना है कि \( a, a-c, a-b \) भी H.P. में हैं।
इसके लिए, हमें यह दिखाना होगा कि \( \frac { 1 }{ a } , \frac { 1 }{ a-c } , \frac { 1 }{ a-b } \) A.P. में हैं।
अर्थात, \( \frac { 1 }{ a-c } - \frac { 1 }{ a } = \frac { 1 }{ a-b } - \frac { 1 }{ a-c } \)
बायां पक्ष (L.H.S.): \( \frac { a - (a-c) }{ a(a-c) } = \frac { c }{ a(a-c) } \)
दायां पक्ष (R.H.S.): \( \frac { (a-c) - (a-b) }{ (a-b)(a-c) } = \frac { a-c-a+b }{ (a-b)(a-c) } = \frac { b-c }{ (a-b)(a-c) } \)
हमें सिद्ध करना है: \( \frac { c }{ a(a-c) } = \frac { b-c }{ (a-b)(a-c) } \)
यदि \( a-c \neq 0 \) है, तो हम \( a-c \) से भाग दे सकते हैं:
\( \frac { c }{ a } = \frac { b-c }{ a-b } \)
\( c(a-b) = a(b-c) \)
\( ac - bc = ab - ac \)
\( 2ac = ab + bc \)
\( 2ac = b(a+c) \)
\( b = \frac { 2ac }{ a+c } \)
यह वही शर्त है जो हमें मिली थी जब \( a, b, c \) को H.P. में माना था। चूंकि यह शर्त संतुष्ट होती है, अतः \( a, a-c, a-b \) भी H.P. में होंगे। इतिसिद्धम्।
In simple words: यदि तीन संख्याएँ हरात्मक श्रेढ़ी में हों, तो उनके बीच का एक संबंध \( b = \frac { 2ac }{ a+c } \) होता है। इस संबंध का उपयोग करके हम यह साबित कर सकते हैं कि यदि \( a, b, c \) H.P. में हैं, तो \( a, a-c, a-b \) भी H.P. में होंगे।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रमाण-आधारित प्रश्नों में, H.P. के पदों को A.P. में बदलना हमेशा सबसे अच्छा तरीका होता है। फिर A.P. की शर्तों (सार्वअन्तर समान) का उपयोग करके संबंध स्थापित करें।

Question 8. यदि a, b, c ह. श्रे. में हैं, तो सिद्ध कीजिए \( \frac { 1 }{ b-a } + \frac { 1 }{ b-c } = \frac { 2 }{ a } \)
या \( \frac { 1 }{ b-a } + \frac { 1 }{ b-c } = \frac { 2 }{ c } \) (प्रश्न में थोड़ी अस्पष्टता है, लेकिन आमतौर पर यह \( \frac { 2 }{ b } \) होता है, पर यहाँ \( \frac { 2 }{ a } \) या \( \frac { 2 }{ c } \) दिया है)
Answer:
दिया है कि \( a, b, c \) हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) में हैं।
इसलिए, \( \frac { 1 }{ a } , \frac { 1 }{ b } , \frac { 1 }{ c } \) समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) में होंगे।
A.P. की परिभाषा के अनुसार, मध्य पद, अन्य दो पदों का औसत होता है:
\( \frac { 1 }{ b } = \frac { \frac { 1 }{ a } + \frac { 1 }{ c } }{ 2 } \)
\( \frac { 2 }{ b } = \frac { 1 }{ a } + \frac { 1 }{ c } \)
\( \frac { 2 }{ b } = \frac { a+c }{ ac } \)
इसलिए, \( b = \frac { 2ac }{ a+c } \)
अब हमें सिद्ध करना है \( \frac { 1 }{ b-a } + \frac { 1 }{ b-c } = \frac { 2 }{ a } \)
बायां पक्ष (L.H.S.): \( \frac { 1 }{ b-a } + \frac { 1 }{ b-c } \)
\( = \frac { 1 }{ \frac { 2ac }{ a+c } - a } + \frac { 1 }{ \frac { 2ac }{ a+c } - c } \)
\( = \frac { 1 }{ \frac { 2ac - a(a+c) }{ a+c } } + \frac { 1 }{ \frac { 2ac - c(a+c) }{ a+c } } \)
\( = \frac { a+c }{ 2ac - a^2 - ac } + \frac { a+c }{ 2ac - ac - c^2 } \)
\( = \frac { a+c }{ ac - a^2 } + \frac { a+c }{ ac - c^2 } \)
\( = \frac { a+c }{ a(c - a) } + \frac { a+c }{ c(a - c) } \)
\( = \frac { a+c }{ a(c - a) } - \frac { a+c }{ c(c - a) } \)
\( = \frac { a+c }{ c-a } \left( \frac { 1 }{ a } - \frac { 1 }{ c } \right) \)
\( = \frac { a+c }{ c-a } \left( \frac { c-a }{ ac } \right) \)
\( = \frac { a+c }{ ac } \)
हम जानते हैं कि \( \frac { 2 }{ b } = \frac { a+c }{ ac } \)
इसलिए, \( \frac { 1 }{ b-a } + \frac { 1 }{ b-c } = \frac { 2 }{ b } \)
दिए गए प्रश्न में, हमें \( \frac { 2 }{ a } \) सिद्ध करना था, जो सामान्य रूप से सही नहीं है जब तक कि \( a=b \) न हो।
यदि हम \( \frac { 2 }{ b } \) सिद्ध करना चाहते तो यह प्रमाण सही होता। प्रश्न में दी गई सिद्ध करने वाली समीकरण में त्रुटि हो सकती है।
यदि \( \frac { 1 }{ b-a } + \frac { 1 }{ b-c} = \frac { 2 }{ a } \) सिद्ध करना हो, तो
\( \frac { a+c }{ ac } = \frac { 2 }{ a } \)
\( \frac { a+c }{ c } = 2 \)
\( a+c = 2c \)
\( a = c \)
जो तभी संभव है जब श्रेढ़ी के सभी पद समान हों। इसलिए, दिए गए प्रश्न में सिद्ध करने वाला हिस्सा \( \frac { 2 }{ a } \) या \( \frac { 2 }{ c } \) सामान्यतः सही नहीं है, \( \frac { 2 }{ b } \) सही है।
प्रस्तुत हल में, हम \( \frac { 2 }{ b } \) के लिए सही व्युत्पत्ति दिखाते हैं।
In simple words: जब \( a, b, c \) हरात्मक श्रेढ़ी में होते हैं, तो \( b \) का मान \( \frac { 2ac }{ a+c } \) होता है। इस संबंध को उपयोग करके हम यह सिद्ध कर सकते हैं कि \( \frac { 1 }{ b-a } + \frac { 1 }{ b-c } \) का मान \( \frac { 2 }{ b } \) के बराबर होता है। प्रश्न में दी गई समीकरण \( \frac { 2 }{ a } \) या \( \frac { 2 }{ c } \) सामान्यतः गलत है।

🎯 Exam Tip: H.P. से संबंधित पहचानों को सिद्ध करते समय, पहले H.P. को A.P. में बदलें और फिर \( \frac { 1 }{ b} = \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ a } + \frac { 1 }{ c } \right) \) या \( b = \frac { 2ac }{ a+c } \) जैसे मूल संबंधों का उपयोग करें। यदि सिद्ध करने वाला पद अजीब लगे तो अपनी गणना की जाँच करें।

Question 9. समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के मूलों का ह. मो. ज्ञात कीजिये।
Answer:
माना समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के मूल \( \alpha \) और \( \beta \) हैं।
हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण के मूलों का योग \( \alpha + \beta = -\frac { b }{ a } \) होता है।
और मूलों का गुणनफल \( \alpha \beta = \frac { c }{ a } \) होता है।
हमें मूलों \( \alpha \) और \( \beta \) का हरात्मक माध्य (H.M.) ज्ञात करना है।
दो संख्याओं \( \alpha \) और \( \beta \) का H.M. सूत्र \( H = \frac { 2 \alpha \beta }{ \alpha + \beta } \) द्वारा दिया जाता है।
अब, \( \alpha + \beta \) और \( \alpha \beta \) के मानों को H.M. सूत्र में रखने पर:
\( H = \frac { 2 \left( \frac { c }{ a } \right) }{ -\frac { b }{ a } } \)
\( H = \frac { \frac { 2c }{ a } }{ -\frac { b }{ a } } \)
\( H = \frac { 2c }{ a } \times \frac { a }{ -b } \)
\( H = -\frac { 2c }{ b } \)
इसलिए, समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के मूलों का हरात्मक माध्य \( -\frac { 2c }{ b } \) है।
In simple words: द्विघात समीकरण के मूलों का हरात्मक माध्य निकालने के लिए, पहले मूलों का योग और गुणनफल पता करें। फिर उन मानों को हरात्मक माध्य के सूत्र में डालें और गणना करें।

🎯 Exam Tip: द्विघात समीकरण के मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र याद रखें। फिर दो संख्याओं के हरात्मक माध्य के सूत्र का सही ढंग से उपयोग करें।

Question 10. यदि किसी ह. श्रे. का pवाँ पद q तथा qवाँ पद p हो, तो सिद्ध कीजिये कि उसका (p + q)वाँ पद \( \frac { pq }{ p+q } \) होगा।
Answer:
दिया है कि हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) का pवाँ पद \( T_p = q \)
और H.P. का qवाँ पद \( T_q = p \)
तो संगत समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) के लिए:
A.P. का pवाँ पद \( t_p = \frac { 1 }{ q } \)
A.P. का qवाँ पद \( t_q = \frac { 1 }{ p } \)
माना A.P. का प्रथम पद \( A \) और सार्वअन्तर \( D \) है।
A.P. के nवें पद के सूत्र \( t_n = A + (n-1)D \) का उपयोग करके:
\( t_p = A + (p-1)D = \frac { 1 }{ q } \) ....(1)
\( t_q = A + (q-1)D = \frac { 1 }{ p } \) ....(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर:
\( (A + (p-1)D) - (A + (q-1)D) = \frac { 1 }{ q } - \frac { 1 }{ p } \)
\( (p-1-q+1)D = \frac { p-q }{ pq } \)
\( (p-q)D = \frac { p-q }{ pq } \)
यदि \( p \neq q \) है, तो \( p-q \) से भाग देने पर:
\( D = \frac { 1 }{ pq } \)
अब, \( D \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( A + (p-1)\frac { 1 }{ pq } = \frac { 1 }{ q } \)
\( A + \frac { p }{ pq } - \frac { 1 }{ pq } = \frac { 1 }{ q } \)
\( A + \frac { 1 }{ q } - \frac { 1 }{ pq } = \frac { 1 }{ q } \)
\( A = \frac { 1 }{ pq } \)
अब हमें A.P. का \( (p+q) \)वाँ पद ज्ञात करना है:
\( t_{p+q} = A + ((p+q)-1)D \)
\( t_{p+q} = \frac { 1 }{ pq } + (p+q-1)\frac { 1 }{ pq } \)
\( t_{p+q} = \frac { 1 + p+q-1 }{ pq } \)
\( t_{p+q} = \frac { p+q }{ pq } \)
इसलिए, हरात्मक श्रेढ़ी का \( (p+q) \)वाँ पद, A.P. के \( (p+q) \)वें पद का व्युत्क्रम होगा:
H.P. का \( (p+q) \)वाँ पद \( = \frac { 1 }{ t_{p+q} } = \frac { 1 }{ \frac { p+q }{ pq } } = \frac { pq }{ p+q } \)
इतिसिद्धम्।
In simple words: जब किसी हरात्मक श्रेढ़ी के दो पद दिए हों, तो उन्हें पलटकर समान्तर श्रेढ़ी के पद बना लें। फिर समान्तर श्रेढ़ी के लिए पहला पद और सार्वअन्तर निकालें। अंत में, समान्तर श्रेढ़ी का \( (p+q) \)वाँ पद निकालें और उसे पलटकर हरात्मक श्रेढ़ी का \( (p+q) \)वाँ पद प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: यह एक मानक प्रकार का प्रश्न है। H.P. को A.P. में बदलकर दो समीकरणों को हल करके A और D ज्ञात करें। फिर किसी भी पद का मान निकालने के लिए A.P. के सूत्र का उपयोग करें और अंत में व्युत्क्रम लें।

Question 11. यदि समीकरण \( a(b - c)x^2 + b(c - a)x + c(a – b) = 0 \) के मूल समान हों, तो सिद्ध कीजिये कि a, b, c हरात्मक श्रेढ़ी में होंगे।
Answer:
दिया गया समीकरण है: \( a(b - c)x^2 + b(c - a)x + c(a - b) = 0 \)
यह एक द्विघात समीकरण है जिसके मूल समान हैं।
हम जानते हैं कि यदि किसी द्विघात समीकरण \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) के मूल समान हों, तो उसका विविक्तकर (discriminant) शून्य होता है, अर्थात \( B^2 - 4AC = 0 \)
यहाँ, \( A = a(b-c) \)
\( B = b(c-a) \)
\( C = c(a-b) \)
विविक्तकर को शून्य के बराबर रखने पर:
\( [b(c-a)]^2 - 4[a(b-c)][c(a-b)] = 0 \)
\( b^2(c-a)^2 - 4ac(b-c)(a-b) = 0 \)
\( b^2(c^2 - 2ac + a^2) - 4ac(ab - b^2 - ac + bc) = 0 \)
\( b^2c^2 - 2ab^2c + a^2b^2 - 4a^2bc + 4ab^2c + 4a^2c^2 - 4abc^2 = 0 \)
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( b^2c^2 + a^2b^2 + 4a^2c^2 - 2ab^2c - 4a^2bc + 4ab^2c - 4abc^2 = 0 \)
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
\( b^2(c+a)^2 - 4acb(a+c) + (2ac)^2 = 0 \)
यह \( (X - Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2 \) के रूप का है, जहाँ \( X = b(a+c) \) और \( Y = 2ac \)
तो, हम इसे लिख सकते हैं:
\( [b(a+c) - 2ac]^2 = 0 \)
वर्गमूल लेने पर:
\( b(a+c) - 2ac = 0 \)
\( b(a+c) = 2ac \)
\( b = \frac { 2ac }{ a+c } \)
यह हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) में होने की शर्त है। यदि \( a, b, c \) H.P. में हों, तो \( b = \frac { 2ac }{ a+c } \) होता है।
इसलिए, \( a, b, c \) हरात्मक श्रेढ़ी में हैं। इतिसिद्धम्।
In simple words: यदि एक समीकरण के मूल समान हैं, तो उसका विविक्तकर हमेशा शून्य होता है। इस नियम का उपयोग करके, हम समीकरण के गुणांकों के बीच एक संबंध निकाल सकते हैं। यह संबंध दिखाता है कि संख्याएँ \( a, b, c \) एक हरात्मक श्रेढ़ी बनाती हैं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि द्विघात समीकरण के मूल समान होने पर विविक्तकर (\( B^2 - 4AC \)) शून्य होता है। पदों को ध्यान से इकट्ठा करें और उन्हें एक पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने का प्रयास करें।

Question 12. यदि एक छात्र अपने घर से विद्यालय 8 किमी. प्रति घं. की गति से जाता है तथा 6 किमी. प्रति घं. की गति से लौटता है, तो उसकी औसत गति ज्ञात कीजिए जबकि घर से विद्यालय की दूरी 6 किमी. है। अपने उत्तर की जाँच भी कीजिए।
Answer:
छात्र के घर से विद्यालय तक जाने की गति \( (v_1) = 8 \) किमी/घंटा।
छात्र के विद्यालय से घर तक लौटने की गति \( (v_2) = 6 \) किमी/घंटा।
घर से विद्यालय की दूरी \( (d) = 6 \) किमी।
औसत गति का सूत्र होता है: \( \text{औसत गति} = \frac { \text{कुल तय की गई दूरी} }{ \text{कुल लगा समय} } \)
कुल तय की गई दूरी = घर से विद्यालय + विद्यालय से घर = \( d + d = 6 + 6 = 12 \) किमी।
घर से विद्यालय जाने में लगा समय \( (t_1) = \frac { \text{दूरी} }{ \text{गति} } = \frac { 6 }{ 8 } = \frac { 3 }{ 4 } \) घंटा।
विद्यालय से घर लौटने में लगा समय \( (t_2) = \frac { \text{दूरी} }{ \text{गति} } = \frac { 6 }{ 6 } = 1 \) घंटा।
कुल लगा समय \( = t_1 + t_2 = \frac { 3 }{ 4 } + 1 = \frac { 3+4 }{ 4 } = \frac { 7 }{ 4 } \) घंटा।
अब औसत गति ज्ञात करते हैं:
\( \text{औसत गति} = \frac { 12 \text{ किमी} }{ \frac { 7 }{ 4 } \text{ घंटा} } \)
\( \text{औसत गति} = 12 \times \frac { 4 }{ 7 } = \frac { 48 }{ 7 } \) किमी/घंटा।
\( \text{औसत गति} \approx 6.857 \) किमी/घंटा।

अपने उत्तर की जाँच:
जब दूरी समान होती है तो औसत गति हरात्मक माध्य (H.M.) के सूत्र से भी निकाली जा सकती है:
औसत गति \( = \frac { 2v_1v_2 }{ v_1+v_2 } \)
यहाँ \( v_1 = 8 \) किमी/घंटा और \( v_2 = 6 \) किमी/घंटा।
औसत गति \( = \frac { 2 \times 8 \times 6 }{ 8+6 } \)
औसत गति \( = \frac { 96 }{ 14 } \)
औसत गति \( = \frac { 48 }{ 7 } \) किमी/घंटा।
दोनों तरीकों से समान उत्तर प्राप्त होता है, जो पुष्टि करता है कि उत्तर सही है।
In simple words: किसी यात्रा की औसत गति निकालने के लिए, कुल तय की गई दूरी को कुल लगे समय से भाग दें। यदि आप बराबर दूरी को अलग-अलग गति से तय करते हैं, तो आप औसत गति के लिए हरात्मक माध्य सूत्र का उपयोग करके अपने उत्तर की जांच भी कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: औसत गति के प्रश्नों में कुल दूरी और कुल समय दोनों को सही ढंग से गणना करना महत्वपूर्ण है। यदि यात्रा की दूरियां समान हों, तो औसत गति के लिए हरात्मक माध्य का सूत्र \( \frac { 2v_1v_2 }{ v_1+v_2 } \) एक त्वरित जाँच के रूप में उपयोग किया जा सकता है।