RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Exercise 8.8

Question 1. दो संख्याओं का समांतर माध्य (AM) 50 तथा हरात्मक माध्य (HM) 18 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए संख्याएँ a और b हैं।
प्रश्नानुसार, समांतर माध्य (AM) \( = 50 \)
इसलिए, \( \frac{a+b}{2} = 50 \)
\( \implies a+b = 100 \)...(1)
और हरात्मक माध्य (HM) \( = 18 \)
इसलिए, \( \frac{2ab}{a+b} = 18 \)
समीकरण (1) से \( a+b \) का मान रखने पर:
\( \frac{2ab}{100} = 18 \)
\( \implies 2ab = 18 \times 100 \)
\( \implies 2ab = 1800 \)
\( \implies ab = 900 \)...(2)
अब, हम जानते हैं कि \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \)
समीकरण (1) और (2) से मान रखने पर:
\( (a-b)^2 = (100)^2 - 4 \times 900 \)
\( (a-b)^2 = 10000 - 3600 \)
\( (a-b)^2 = 6400 \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( a-b = \sqrt{6400} \)
\( \implies a-b = 80 \)...(3)
अब समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर:
\( (a+b) + (a-b) = 100 + 80 \)
\( \implies 2a = 180 \)
\( \implies a = 90 \)
a का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( 90 + b = 100 \)
\( \implies b = 10 \)
अतः, दी गई संख्याएँ 90 और 10 हैं।
In simple words: हमने संख्याओं का AM और HM उपयोग करके समीकरण बनाए. पहले a+b निकाला, फिर ab निकाला. फिर (a-b)² का सूत्र लगाकर a-b निकाला. आखिर में, a+b और a-b को जोड़कर और घटाकर संख्याएँ a और b ज्ञात कीं.

🎯 Exam Tip: AM, GM, HM के सूत्रों को हमेशा याद रखें। \( (a-b)^2 \) के सूत्र का उपयोग करके \( a-b \) का मान निकालना एक सामान्य तकनीक है।

Question 2. यदि दो संख्याओं के हरात्मक माध्य (HM) और गुणोत्तर माध्य (GM) में अनुपात 12 : 13 हो, तो सिद्ध कीजिए कि संख्याओं में अनुपात 4 : 9 है।
Answer: मान लीजिए दो संख्याएँ a और b हैं, और उनके हरात्मक माध्य (HM) और गुणोत्तर माध्य (GM) क्रमशः H और G हैं।
दिया गया है: \( \frac{H}{G} = \frac{12}{13} \)
हम जानते हैं कि HM और GM के सूत्र हैं:
\( H = \frac{2ab}{a+b} \)
\( G = \sqrt{ab} \)
दिए गए अनुपात में इन मानों को रखने पर:
\( \frac{\frac{2ab}{a+b}}{\sqrt{ab}} = \frac{12}{13} \)
\( \implies \frac{2ab}{(a+b)\sqrt{ab}} = \frac{12}{13} \)
\( \implies \frac{2\sqrt{ab}}{a+b} = \frac{12}{13} \)
व्युत्क्रम लेने पर:
\( \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{13}{12} \)
योगान्तर अनुपात नियम (Componendo and Dividendo Rule) का प्रयोग करने पर:
\( \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}} = \frac{13+12}{13-12} \)
\( \implies \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = \frac{25}{1} \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \pm \frac{5}{1} \)
स्थिति 1: धनात्मक चिह्न लेने पर
\( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{5}{1} \)
पुनः योगान्तर अनुपात नियम का प्रयोग करने पर:
\( \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) + (\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - (\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{5+1}{5-1} \)
\( \implies \frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{6}{4} \)
\( \implies \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{3}{2} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( \frac{a}{b} = \frac{9}{4} \)
स्थिति 2: ऋणात्मक चिह्न लेने पर
\( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{-5}{1} \)
पुनः योगान्तर अनुपात नियम का प्रयोग करने पर:
\( \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) + (\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - (\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{-5+1}{-5-1} \)
\( \implies \frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{-4}{-6} \)
\( \implies \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{2}{3} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( \frac{a}{b} = \frac{4}{9} \)
अतः, संख्याओं का अनुपात 4 : 9 है (या 9 : 4, जो कि समान ही है, बस क्रम उल्टा है)।
In simple words: हमने HM और GM के सूत्रों को उनके अनुपात में रखा. फिर इसे सरल करके योगान्तर अनुपात नियम का दो बार इस्तेमाल किया. इससे हमें \( \sqrt{a}/\sqrt{b} \) का मान मिला, जिसका वर्ग करके हमें a और b का अनुपात मिल गया.

🎯 Exam Tip: योगान्तर अनुपात नियम को सही ढंग से लागू करना इस प्रकार के प्रमाण-आधारित प्रश्नों में महत्वपूर्ण है। यह आपको जल्दी से वर्गमूलों से पूर्ण संख्याओं तक पहुँचने में मदद करता है।

Question 3. यदि दो संख्याओं के समांतर माध्य (AM), गुणोत्तर माध्य (GM) और हरात्मक माध्य (HM) क्रमशः A, G और H हों तथा A = G + 2 एवं H = G - 6/5 हो, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए दो संख्याएँ a और b हैं, और उनके AM, GM, HM क्रमशः A, G और H हैं।
प्रश्नानुसार:
\( A = G + 2 \)...(1)
\( H = G - \frac{6}{5} \)...(2)
हम जानते हैं कि AM, GM और HM के बीच संबंध \( G^2 = AH \) होता है।
समीकरण (1) और (2) से A और H के मान \( G^2 = AH \) में रखने पर:
\( G^2 = (G+2)\left(G-\frac{6}{5}\right) \)
\( G^2 = G^2 - \frac{6}{5}G + 2G - \frac{12}{5} \)
दोनों पक्षों से \( G^2 \) घटाने पर:
\( 0 = -\frac{6}{5}G + \frac{10}{5}G - \frac{12}{5} \)
\( \implies 0 = \frac{4}{5}G - \frac{12}{5} \)
दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर:
\( 0 = 4G - 12 \)
\( \implies 4G = 12 \)
\( \implies G = 3 \)
G का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( A = 3 + 2 = 5 \)
अब, हम जानते हैं कि AM \( A = \frac{a+b}{2} \) और GM \( G = \sqrt{ab} \) होता है।
इसलिए, \( \frac{a+b}{2} = 5 \implies a+b = 10 \)...(3)
और \( \sqrt{ab} = 3 \implies ab = 3^2 \implies ab = 9 \)...(4)
हम जानते हैं कि \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \)
समीकरण (3) और (4) से मान रखने पर:
\( (a-b)^2 = (10)^2 - 4 \times 9 \)
\( (a-b)^2 = 100 - 36 \)
\( (a-b)^2 = 64 \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( a-b = 8 \)...(5)
अब समीकरण (3) और (5) को जोड़ने पर:
\( (a+b) + (a-b) = 10 + 8 \)
\( \implies 2a = 18 \)
\( \implies a = 9 \)
a का मान समीकरण (3) में रखने पर:
\( 9 + b = 10 \)
\( \implies b = 1 \)
अतः, अभीष्ट संख्याएँ 9 और 1 हैं।
In simple words: हमने AM, GM, HM के बीच के संबंध \( G^2 = AH \) का उपयोग किया. दिए गए समीकरणों से G का मान निकाला, फिर G से A का मान निकाला. फिर \( A = (a+b)/2 \) और \( G = \sqrt{ab} \) का उपयोग करके a+b और ab के मान निकाले. अंत में, \( (a-b)^2 \) के सूत्र से a और b को ज्ञात किया.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, AM, GM, HM के बीच के मुख्य संबंध \( G^2 = AH \) का उपयोग करके अज्ञात चर (जैसे G) को हल करना अक्सर पहला कदम होता है।

Question 4. यदि a, b, c गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P.) में हैं तथा \( a^x = b^y = c^z \) है, तो सिद्ध कीजिए कि x, y, z हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) में होंगे।
Answer: मान लीजिए \( a^x = b^y = c^z = k \) (कुछ स्थिर k के लिए)।
तो, हम लिख सकते हैं:
\( a = k^{1/x} \)
\( b = k^{1/y} \)
\( c = k^{1/z} \)
दिया गया है कि a, b, c गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P.) में हैं।
इसलिए, \( b^2 = ac \)
a, b, c के मान प्रतिस्थापित करने पर:
\( (k^{1/y})^2 = (k^{1/x})(k^{1/z}) \)
\( \implies k^{2/y} = k^{1/x + 1/z} \)
चूंकि आधार समान हैं, तो घातें भी समान होनी चाहिए:
\( \frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z} \)
\( \implies \frac{2}{y} = \frac{z+x}{xz} \)
\( \implies y = \frac{2xz}{x+z} \)
यह हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) की शर्त है। अतः, x, y, z हरात्मक श्रेढ़ी में होंगे।
In simple words: हमने \( a^x = b^y = c^z \) को एक स्थिर संख्या \( k \) के बराबर मान लिया. इससे a, b, c के मान \( k \) की घातों के रूप में मिले. फिर, हमने G.P. की शर्त \( b^2 = ac \) में ये मान रखे. सरल करने पर हमें H.P. की शर्त मिली, जिससे यह सिद्ध हो गया कि x, y, z H.P. में हैं.

🎯 Exam Tip: जब घातों में चर हों और उनके बीच संबंध स्थापित करना हो, तो उन्हें एक सामान्य स्थिरांक (k) के बराबर मानना एक प्रभावी तरीका है।

Question 5. तीन राशियाँ a, b, c हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) में हैं। सिद्ध कीजिए कि 2a – b, b, 2c – b गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P.) में होंगे।
Answer: मान लीजिए 2a – b, b, 2c – b गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P.) में हैं।
G.P. की शर्त के अनुसार, मध्य पद का वर्ग अन्य दो पदों के गुणनफल के बराबर होता है:
\( b^2 = (2a - b)(2c - b) \)
दाहिने हाथ के पक्ष को गुणा करने पर:
\( b^2 = 4ac - 2ab - 2bc + b^2 \)
दोनों पक्षों से \( b^2 \) घटाने पर:
\( 0 = 4ac - 2ab - 2bc \)
पद 2ab और 2bc को बाईं ओर ले जाने पर:
\( 2ab + 2bc = 4ac \)
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
\( ab + bc = 2ac \)
बाईं ओर b को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
\( b(a+c) = 2ac \)
अब, b के लिए हल करने पर:
\( b = \frac{2ac}{a+c} \)
यह हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) की शर्त है।
चूंकि हमने यह मानकर शुरू किया कि 2a – b, b, 2c – b G.P. में हैं और हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि a, b, c H.P. में हैं (जो कि प्रश्न में दिया गया है), इसलिए यह सिद्ध होता है कि यदि a, b, c H.P. में हैं, तो 2a – b, b, 2c – b G.P. में होंगे।
In simple words: हमने मान लिया कि 2a–b, b, 2c–b G.P. में हैं, और G.P. की शर्त \( b^2 = ac \) का उपयोग किया. समीकरण को सरल करते हुए, हम \( b = 2ac/(a+c) \) पर पहुंचे, जो H.P. की शर्त है. चूंकि यह शर्त प्रश्न में दी गई थी, इसका मतलब है कि हमारी प्रारंभिक धारणा सही थी.

🎯 Exam Tip: "यदि-तो" प्रकार के प्रमाण-आधारित प्रश्नों में, यदि आप निष्कर्ष को मानकर और दिए गए तथ्य पर पहुँचकर सिद्ध कर सकते हैं, तो यह एक वैध प्रमाण विधि है।

Question 6. यदि a, b, c समांतर श्रेढ़ी (A.P.) में हैं, x, y, z हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) में हैं तथा ax, by, cz गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P.) में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि \( \frac{x}{z} + \frac{z}{x} = \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \)।
Answer: दिया गया है:
1. a, b, c समांतर श्रेढ़ी (A.P.) में हैं:
\( 2b = a+c \)...(1)
2. x, y, z हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) में हैं:
\( y = \frac{2xz}{x+z} \)...(2)
3. ax, by, cz गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P.) में हैं:
\( (by)^2 = (ax)(cz) \)
\( \implies b^2 y^2 = axcz \)...(3)
समीकरण (1) और (2) से b और y के मान समीकरण (3) में रखने पर:
पहले, समीकरण (1) से \( b = \frac{a+c}{2} \)
और समीकरण (2) से \( y = \frac{2xz}{x+z} \)
इन मानों को \( b^2 y^2 \) में रखने पर:
\( b^2 y^2 = \left(\frac{a+c}{2}\right)^2 \left(\frac{2xz}{x+z}\right)^2 \)
\( \implies b^2 y^2 = \frac{(a+c)^2}{4} \cdot \frac{4x^2z^2}{(x+z)^2} \)
\( \implies b^2 y^2 = \frac{(a+c)^2 x^2 z^2}{(x+z)^2} \)...(4)
समीकरण (3) और (4) से, हम लिख सकते हैं:
\( axcz = \frac{(a+c)^2 x^2 z^2}{(x+z)^2} \)
दोनों पक्षों को \( xz \) से भाग देने पर (यह मानते हुए कि \( x, z \ne 0 \)):
\( ac = \frac{(a+c)^2 xz}{(x+z)^2} \)
पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( \frac{(a+c)^2}{ac} = \frac{(x+z)^2}{xz} \)
बाईं ओर और दाईं ओर के भिन्नों को अलग करने पर:
\( \frac{a^2+2ac+c^2}{ac} = \frac{x^2+2xz+z^2}{xz} \)
\( \implies \frac{a^2}{ac} + \frac{2ac}{ac} + \frac{c^2}{ac} = \frac{x^2}{xz} + \frac{2xz}{xz} + \frac{z^2}{xz} \)
\( \implies \frac{a}{c} + 2 + \frac{c}{a} = \frac{x}{z} + 2 + \frac{z}{x} \)
दोनों पक्षों से 2 घटाने पर:
\( \implies \frac{a}{c} + \frac{c}{a} = \frac{x}{z} + \frac{z}{x} \)
यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने A.P., H.P., और G.P. की शर्तों को लिखा. फिर G.P. की शर्त में A.P. और H.P. से मिले मानों को रखा. समीकरणों को सरल करते हुए, हमें \( (a+c)^2/ac = (x+z)^2/xz \) मिला. इसे खोलने पर और 2 घटाने पर हमें सिद्ध करने वाली शर्त मिल गई.

🎯 Exam Tip: इस तरह के जटिल प्रश्नों में, सभी दी गई शर्तों को समीकरणों के रूप में स्पष्ट रूप से लिखना और फिर एक-एक करके प्रतिस्थापन करना सबसे प्रभावी रणनीति है।

Question 7. दो धनात्मक राशियों a तथा b के मध्य दो समांतर माध्य (A1, A2), दो गुणोत्तर माध्य (G1, G2), तथा दो हरात्मक माध्य (H1, H2) हों, तो सिद्ध कीजिए:
(i) \( A_1 H_2 = A_2 H_1 = G_1 G_2 = ab \)
(ii) \( G_1 G_2 : H_1 H_2 = (A_1 + A_2) : (H_1 + H_2) \)
Answer: हम a और b के बीच A.P., G.P. और H.P. के विभिन्न माध्यों को ज्ञात करेंगे।
1. समांतर माध्य (A.P.): a और b के बीच A1, A2 दो समांतर माध्य हैं।
इसलिए, a, A1, A2, b एक समांतर श्रेढ़ी में हैं।
यहां पहला पद = a, अंतिम पद = b, पदों की संख्या (n) = 4।
माना सार्व अंतर (d) है। तब, \( b = a + (n-1)d \implies b = a + 3d \implies d = \frac{b-a}{3} \)
\( A_1 = a + d = a + \frac{b-a}{3} = \frac{3a+b-a}{3} = \frac{2a+b}{3} \)...(Eq. A)
\( A_2 = a + 2d = a + 2\left(\frac{b-a}{3}\right) = \frac{3a+2b-2a}{3} = \frac{a+2b}{3} \)...(Eq. B)
2. हरात्मक माध्य (H.P.): a और b के बीच H1, H2 दो हरात्मक माध्य हैं।
इसलिए, \( \frac{1}{a}, \frac{1}{H_1}, \frac{1}{H_2}, \frac{1}{b} \) एक समांतर श्रेढ़ी में हैं।
यहां पहला पद \( = \frac{1}{a} \), अंतिम पद \( = \frac{1}{b} \), पदों की संख्या (n) = 4।
माना सार्व अंतर (d') है। तब, \( \frac{1}{b} = \frac{1}{a} + (n-1)d' \implies \frac{1}{b} = \frac{1}{a} + 3d' \implies d' = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right) = \frac{a-b}{3ab} \)
\( \frac{1}{H_1} = \frac{1}{a} + d' = \frac{1}{a} + \frac{a-b}{3ab} = \frac{3b+a-b}{3ab} = \frac{a+2b}{3ab} \)
\( \implies H_1 = \frac{3ab}{a+2b} \)...(Eq. C)
\( \frac{1}{H_2} = \frac{1}{a} + 2d' = \frac{1}{a} + 2\left(\frac{a-b}{3ab}\right) = \frac{3b+2a-2b}{3ab} = \frac{2a+b}{3ab} \)
\( \implies H_2 = \frac{3ab}{2a+b} \)...(Eq. D)
3. गुणोत्तर माध्य (G.P.): a और b के बीच G1, G2 दो गुणोत्तर माध्य हैं।
इसलिए, a, G1, G2, b एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
यहां पहला पद = a, अंतिम पद = b, पदों की संख्या (n) = 4।
माना सार्व अनुपात (r) है। तब, \( b = ar^{n-1} \implies b = ar^3 \implies r^3 = \frac{b}{a} \implies r = \left(\frac{b}{a}\right)^{1/3} \)
\( G_1 = ar = a\left(\frac{b}{a}\right)^{1/3} \)...(Eq. E)
\( G_2 = ar^2 = a\left(\frac{b}{a}\right)^{2/3} \)...(Eq. F)

अब, हम दिए गए कथनों को सिद्ध करेंगे:
(i) \( A_1 H_2 = A_2 H_1 = G_1 G_2 = ab \)
\( A_1 H_2 = \left(\frac{2a+b}{3}\right) \times \left(\frac{3ab}{2a+b}\right) = ab \)
\( A_2 H_1 = \left(\frac{a+2b}{3}\right) \times \left(\frac{3ab}{a+2b}\right) = ab \)
\( G_1 G_2 = \left(a\left(\frac{b}{a}\right)^{1/3}\right) \times \left(a\left(\frac{b}{a}\right)^{2/3}\right) = a^2 \left(\frac{b}{a}\right)^{1/3 + 2/3} = a^2 \left(\frac{b}{a}\right)^1 = a^2 \frac{b}{a} = ab \)
अतः, \( A_1 H_2 = A_2 H_1 = G_1 G_2 = ab \). (पहला भाग सिद्ध हुआ)

(ii) \( G_1 G_2 : H_1 H_2 = (A_1 + A_2) : (H_1 + H_2) \)
वाम पक्ष (L.H.S.):
\( G_1 G_2 = ab \)
\( H_1 H_2 = \left(\frac{3ab}{a+2b}\right) \times \left(\frac{3ab}{2a+b}\right) = \frac{9a^2 b^2}{(a+2b)(2a+b)} \)
\( G_1 G_2 : H_1 H_2 = ab : \frac{9a^2 b^2}{(a+2b)(2a+b)} \)
\( = ab \times \frac{(a+2b)(2a+b)}{9a^2 b^2} = \frac{(a+2b)(2a+b)}{9ab} \)...(Eq. 1)

दक्षिण पक्ष (R.H.S.):
\( A_1 + A_2 = \left(\frac{2a+b}{3}\right) + \left(\frac{a+2b}{3}\right) = \frac{2a+b+a+2b}{3} = \frac{3a+3b}{3} = a+b \)
\( H_1 + H_2 = \frac{3ab}{a+2b} + \frac{3ab}{2a+b} \)
\( = \frac{3ab(2a+b) + 3ab(a+2b)}{(a+2b)(2a+b)} \)
\( = \frac{3ab(2a+b+a+2b)}{(a+2b)(2a+b)} \)
\( = \frac{3ab(3a+3b)}{(a+2b)(2a+b)} = \frac{9ab(a+b)}{(a+2b)(2a+b)} \)
\( (A_1 + A_2) : (H_1 + H_2) = (a+b) : \frac{9ab(a+b)}{(a+2b)(2a+b)} \)
\( = (a+b) \times \frac{(a+2b)(2a+b)}{9ab(a+b)} = \frac{(a+2b)(2a+b)}{9ab} \)...(Eq. 2)
समीकरण (1) और (2) से, L.H.S. = R.H.S.
अतः, \( G_1 G_2 : H_1 H_2 = (A_1 + A_2) : (H_1 + H_2) \). (दूसरा भाग भी सिद्ध हुआ)
In simple words: हमने पहले a और b के बीच के सभी A.P., H.P., और G.P. माध्यों के सूत्र निकाले. फिर इन मानों का उपयोग करके पहले भाग में \( A_1 H_2, A_2 H_1, G_1 G_2 \) को ab के बराबर सिद्ध किया. दूसरे भाग में, हमने अनुपात के दोनों पक्षों को अलग-अलग सरल किया और दिखाया कि वे समान हैं.

🎯 Exam Tip: इस तरह के व्यापक प्रमाण-आधारित प्रश्नों में, प्रत्येक माध्य (AM, GM, HM) के लिए मध्य पदों के सूत्रों को स्पष्ट रूप से लिखना और फिर उन्हें धीरे-धीरे प्रतिस्थापित करके सरल करना सबसे अच्छा तरीका है।

Question 8. सिद्ध कीजिए कि यदि तीन राशियाँ a, b, c समांतर श्रेढ़ी (A.P.) तथा हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) दोनों में हों, तो वे गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P.) में भी होंगी।
Answer: दिया गया है कि तीन राशियाँ a, b, c समांतर श्रेढ़ी (A.P.) और हरात्मक श्रेढ़ी (H.P.) दोनों में हैं।
यदि a, b, c A.P. में हैं, तो मध्य पद b अन्य दो पदों के औसत के बराबर होता है:
\( b = \frac{a+c}{2} \)...(1)
यदि a, b, c H.P. में हैं, तो मध्य पद b के लिए सूत्र है:
\( b = \frac{2ac}{a+c} \)...(2)
चूंकि a, b, c दोनों श्रेढ़ियों में हैं, इसलिए समीकरण (1) और (2) में b के मान समान होने चाहिए।
दोनों समीकरणों को बराबर करने पर:
\( \frac{a+c}{2} = \frac{2ac}{a+c} \)
वज्र-गुणा (cross-multiply) करने पर:
\( (a+c)^2 = 2 \times 2ac \)
\( (a+c)^2 = 4ac \)
सूत्र \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) का उपयोग करके बाईं ओर का विस्तार करने पर:
\( a^2 + 2ac + c^2 = 4ac \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( a^2 + 2ac + c^2 - 4ac = 0 \)
\( a^2 - 2ac + c^2 = 0 \)
यह \( (a-c)^2 \) का सूत्र है:
\( (a-c)^2 = 0 \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( a-c = 0 \)
\( \implies a = c \)
अब, a का मान समीकरण (1) में c के स्थान पर रखने पर:
\( b = \frac{a+a}{2} = \frac{2a}{2} = a \)
इसलिए, हमें मिलता है \( a = b = c \).
अब हमें यह सिद्ध करना है कि a, b, c गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P.) में भी होंगे।
G.P. के लिए शर्त है \( b^2 = ac \).
चूंकि हमने सिद्ध किया है कि \( a = b = c \), तो हम इन मानों को G.P. की शर्त में रख सकते हैं:
\( (a)^2 = (a)(a) \)
\( a^2 = a^2 \)
यह कथन सत्य है। अतः, a, b, c गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P.) में भी होंगे।
In simple words: हमने A.P. और H.P. के लिए b के सूत्रों को बराबर रखा. समीकरण को सरल करते हुए, हमें \( a=c \) मिला. फिर इस मान को A.P. के सूत्र में रखकर हमने पाया कि \( b=a \). इसका मतलब है कि \( a=b=c \). चूंकि \( a=b=c \) G.P. की शर्त \( b^2=ac \) को संतुष्ट करता है, इसलिए सिद्ध हो गया कि वे G.P. में भी हैं.

🎯 Exam Tip: यह एक क्लासिक प्रमाण है जो दिखाता है कि तीन संख्याएँ केवल तभी A.P., G.P. और H.P. तीनों में हो सकती हैं जब वे तीनों संख्याएँ बराबर हों। प्रमुख सूत्र \( (a-c)^2 = 0 \) पर पहुंचना महत्वपूर्ण है।