RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Exercise 8.6

Question 1. उस श्रेणी के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये जिसका n वाँ पद है
(i) \( 3n^2 + 2n + 5 \)
(ii) \( 4n^3 + 7n +1 \)
(iii) \( n(n + 1) (n + 2) \)
Answer:
(i) हमें दिया गया है कि n-वाँ पद \( T_n \) है:
\( T_n = 3n^2 + 2n + 5 \)
n पदों का कुल योग ( \( S_n \) ) निकालने के लिए, हम \( T_n \) का योगफल करते हैं:
\( S_n = \Sigma T_n = 3\Sigma n^2 + 2\Sigma n + \Sigma 5 \)
\( \implies S_n = 3 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \times \frac{n(n+1)}{2} + 5n \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1) + 5n \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ (2n+1) + 2 \right] + 5n \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)(2n+3)}{2} + 5n \)

(ii) हमें दिया गया है कि n-वाँ पद \( T_n \) है:
\( T_n = 4n^3 + 7n + 1 \)
n पदों का कुल योग ( \( S_n \) ) निकालने के लिए, हम \( T_n \) का योगफल करते हैं:
\( S_n = \Sigma T_n = 4\Sigma n^3 + 7\Sigma n + \Sigma 1 \)
\( \implies S_n = 4 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 7 \frac{n(n+1)}{2} + n \)
\( \implies S_n = 4 \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{7n(n+1)}{2} + n \)
\( \implies S_n = n^2(n+1)^2 + \frac{7n(n+1)}{2} + n \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ 2n(n+1) + 7 \right] + n \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ 2n^2 + 2n + 7 \right] + n \)

(iii) हमें दिया गया है कि n-वाँ पद \( T_n \) है:
\( T_n = n(n + 1) (n + 2) \)
सबसे पहले, हम \( T_n \) को गुणा करके विस्तारित करते हैं:
\( \implies T_n = n(n^2 + 3n + 2) \)
\( \implies T_n = n^3 + 3n^2 + 2n \)
n पदों का कुल योग ( \( S_n \) ) निकालने के लिए, हम \( T_n \) का योगफल करते हैं:
\( S_n = \Sigma T_n = \Sigma n^3 + 3\Sigma n^2 + 2\Sigma n \)
\( \implies S_n = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 3 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \times \frac{n(n+1)}{2} \)
\( \implies S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1) \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{4} \left[ n(n+1) + 2(2n+1) + 4 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{4} \left[ n^2 + n + 4n + 2 + 4 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{4} \left[ n^2 + 5n + 6 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \)
In simple words: हम दिए गए n-वें पद का योगफल निकालने के लिए n के घनों, वर्गों और सरल पदों के योग के सूत्रों का उपयोग करते हैं। सभी पदों को जोड़कर हम श्रेणी का कुल योग निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: जब n-वाँ पद दिया गया हो, तो योगफल निकालने के लिए \( \Sigma n, \Sigma n^2, \) और \( \Sigma n^3 \) के मानक सूत्रों का सही ढंग से उपयोग करें और अंत में सभी पदों को सरल करें।

Question 2. निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये
(i) \( 3^2 + 7^2 + 11^2 + 15^2 + ......... \)
(ii) \( 2^3 + 5^3 + 8^3 + 11^3 + ......... \)
(iii) \( 1.2^2 + 2.3^2 + 3.4^2 + ......... \)
Answer:
(i) यहाँ पर श्रेणी का n-वाँ पद \( T_n \) है। पहला पद 3 है और सार्व अंतर 4 है, इसलिए:
\( T_n = (3 + (n - 1) \times 4)^2 \)
\( \implies T_n = (3 + 4n - 4)^2 \)
\( \implies T_n = (4n - 1)^2 \)
\( \implies T_n = 16n^2 - 8n + 1 \)
n पदों का कुल योग ( \( S_n \) ) निकालने के लिए, हम \( T_n \) का योगफल करते हैं:
\( S_n = \Sigma T_n = 16\Sigma n^2 - 8\Sigma n + \Sigma 1 \)
\( \implies S_n = 16 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 8 \times \frac{n(n+1)}{2} + n \)
\( \implies S_n = \frac{8n(n+1)(2n+1)}{3} - 4n(n+1) + n \)
\( \implies S_n = \frac{n}{3} \left[ 8(n+1)(2n+1) - 12(n+1) + 3 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n}{3} \left[ (n+1)(16n+8-12) + 3 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n}{3} \left[ (n+1)(16n-4) + 3 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{4n(n+1)(4n-1)}{3} + n \)

(ii) दी गई श्रेणी का n-वाँ पद \( T_n \) है। पहला पद 2 है और सार्व अंतर 3 है, इसलिए:
\( T_n = (2 + (n - 1) \times 3)^3 \)
\( \implies T_n = (2 + 3n - 3)^3 \)
\( \implies T_n = (3n - 1)^3 \)
\( \implies T_n = (3n)^3 - 3(3n)^2(1) + 3(3n)(1)^2 - (1)^3 \)
\( \implies T_n = 27n^3 - 27n^2 + 9n - 1 \)
n पदों का कुल योग ( \( S_n \) ) निकालने के लिए, हम \( T_n \) का योगफल करते हैं:
\( S_n = \Sigma T_n = 27\Sigma n^3 - 27\Sigma n^2 + 9\Sigma n - \Sigma 1 \)
\( \implies S_n = 27 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - 27 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 9 \frac{n(n+1)}{2} - n \)
\( \implies S_n = \frac{27n^2(n+1)^2}{4} - \frac{9n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{9n(n+1)}{2} - n \)
\( \implies S_n = \frac{9n(n+1)}{4} \left[ 3n(n+1) - 2(2n+1) + 2 \right] - n \)
\( \implies S_n = \frac{9n(n+1)}{4} \left[ 3n^2 + 3n - 4n - 2 + 2 \right] - n \)
\( \implies S_n = \frac{9n(n+1)}{4} \left[ 3n^2 - n \right] - n \)
\( \implies S_n = \frac{9n^2(n+1)(3n-1)}{4} - n \)

(iii) दी गई श्रेणी का n-वाँ पद \( T_n \) है। इसमें पहला पद AP में है \( (1, 2, 3, ...) \) और दूसरा पद AP के वर्ग में है \( (2^2, 3^2, 4^2, ...) \)।
पहले AP का n-वाँ पद \( n \) है। दूसरे AP का n-वाँ पद \( (2 + (n - 1) \times 1) \) है, जिसका वर्ग होता है।
\( T_n = n \times (2 + (n - 1) \times 1)^2 \)
\( \implies T_n = n(n + 1)^2 \)
\( \implies T_n = n(n^2 + 2n + 1) \)
\( \implies T_n = n^3 + 2n^2 + n \)
n पदों का कुल योग ( \( S_n \) ) निकालने के लिए, हम \( T_n \) का योगफल करते हैं:
\( S_n = \Sigma T_n = \Sigma n^3 + 2\Sigma n^2 + \Sigma n \)
\( \implies S_n = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 2 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \)
\( \implies S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2} \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{12} \left[ 3n(n+1) + 4(2n+1) + 6 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{12} \left[ 3n^2 + 3n + 8n + 4 + 6 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{12} \left[ 3n^2 + 11n + 10 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12} \)
In simple words: हम हर श्रेणी के n-वें पद को पहले पहचानते हैं। फिर, योगफल के मानक सूत्रों का उपयोग करके हम उन n-वें पदों का योग निकालते हैं। इसमें बीजगणितीय गणनाएं शामिल होती हैं।

🎯 Exam Tip: \( T_n \) ज्ञात करते समय सावधानी बरतें, खासकर जब पद एक अंकगणितीय या ज्यामितीय प्रगति से संबंधित हों। सही \( T_n \) प्राप्त करने के बाद ही योगफल सूत्रों को लागू करें।

Question 3. निम्नलिखित श्रेणियों का n वाँ पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये
(i) \( 1.3 + 3.5 + 5.7 + ......... \)
(ii) \( 1.2.4 + 2.3.7 + 3.4.10 + ......... \)
Answer:
(i) दी हुई श्रेणी दो समांतर श्रेढ़ियों के गुणनफल से बनी है। पहली AP है \( 1, 3, 5, ... \) जिसका n-वाँ पद \( 1 + (n-1)2 = 2n-1 \) है। दूसरी AP है \( 3, 5, 7, ... \) जिसका n-वाँ पद \( 3 + (n-1)2 = 2n+1 \) है।
इसलिए, श्रेणी का n-वाँ पद \( T_n \) है:
\( T_n = (2n - 1)(2n + 1) \)
\( \implies T_n = (2n)^2 - (1)^2 \)
\( \implies T_n = 4n^2 - 1 \)
n पदों का कुल योग ( \( S_n \) ) निकालने के लिए, हम \( T_n \) का योगफल करते हैं:
\( S_n = \Sigma T_n = 4\Sigma n^2 - \Sigma 1 \)
\( \implies S_n = 4 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n \)
\( \implies S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n \)
\( \implies S_n = \frac{n}{3} \left[ 2(n+1)(2n+1) - 3 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n}{3} \left[ 2(2n^2 + 3n + 1) - 3 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n}{3} \left[ 4n^2 + 6n + 2 - 3 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n}{3} (4n^2 + 6n - 1) \)

(ii) \( 1.2.4 + 2.3.7 + 3.4.10 + ......... \)
In simple words: हम श्रेणी के n-वें पद को दो अलग-अलग समांतर श्रेणियों के पदों के गुणनफल के रूप में पाते हैं। फिर, हम उन n-वें पदों का योग ज्ञात करने के लिए मानक योगफल सूत्रों का उपयोग करते हैं।

🎯 Exam Tip: गुणनफल वाली श्रेणियों के लिए, पहले प्रत्येक गुणक का n-वाँ पद ज्ञात करें, फिर उन सभी को गुणा करके पूरी श्रेणी का n-वाँ पद निकालें। फिर योगफल ज्ञात करें।

Question 4. निम्नलिखित श्रेणियों का n वाँ पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये
(i) \( 3 + 8 + 15 + 24 + ......... \)
(ii) \( 1 + 6 + 13 + 22 + ......... \)
Answer:
(i) दी गई श्रेणी के क्रमागत पदों के युग्मों का अंतर एक समांतर श्रेणी \( (5, 7, 9, ...) \) में है। इसलिए, हम n-वाँ पद और n पदों का योग अंतर विधि से ज्ञात करेंगे।
मान लीजिए कि श्रेणी का n-वाँ पद \( T_n \) है और n पदों का योग \( S_n \) है। तब:
\( S_n = 3 + 8 + 15 + 24 + ......... + T_n \) ...(1)
यदि हम श्रेणी को एक स्थान आगे बढ़ा कर लिखते हैं:
\( S_n = \quad 3 + 8 + 15 + ......... + T_{n-1} + T_n \) ...(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर, हमें मिलता है:
\( 0 = 3 + (5 + 7 + 9 + ......... + (n - 1) \text{ पद}) - T_n \)
\( \implies T_n = 3 + (5 + 7 + 9 + ......... + (n - 1) \text{ पद}) \)
यह एक समांतर श्रेणी के \( (n-1) \) पदों का योग है जिसका पहला पद 5 और सार्व अंतर 2 है।
\( \implies T_n = 3 + \frac{n-1}{2} \left[ 2 \times 5 + ((n-1)-1) \times 2 \right] \)
\( \implies T_n = 3 + \frac{n-1}{2} \left[ 10 + (n-2) \times 2 \right] \)
\( \implies T_n = 3 + \frac{n-1}{2} \left[ 10 + 2n - 4 \right] \)
\( \implies T_n = 3 + \frac{n-1}{2} \left[ 2n + 6 \right] \)
\( \implies T_n = 3 + (n-1)(n+3) \)
\( \implies T_n = 3 + n^2 + 3n - n - 3 \)
\( \implies T_n = n^2 + 2n = n(n+1) \)
अब, n पदों का कुल योग ( \( S_n \) ) निकालने के लिए, हम \( T_n \) का योगफल करते हैं:
\( S_n = \Sigma T_n = \Sigma n^2 + 2\Sigma n \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \times \frac{n(n+1)}{2} \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{6} \left[ (2n+1) + 6 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6} \)

(ii) दी गई श्रेणी के क्रमागत पदों के युग्मों का अंतर एक समांतर श्रेणी \( (5, 7, 9, ...) \) में है। इसलिए, हम n-वाँ पद और n पदों का योग अंतर विधि से ज्ञात करेंगे।
मान लीजिए कि श्रेणी का n-वाँ पद \( T_n \) है और n पदों का योग \( S_n \) है। तब:
\( S_n = 1 + 6 + 13 + 22 + ......... + T_n \) ...(1)
यदि हम श्रेणी को एक स्थान आगे बढ़ा कर लिखते हैं:
\( S_n = \quad 1 + 6 + 13 + ......... + T_{n-1} + T_n \) ...(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर, हमें मिलता है:
\( 0 = 1 + (5 + 7 + 9 + ......... + (n - 1) \text{ पद}) - T_n \)
\( \implies T_n = 1 + (5 + 7 + 9 + ......... + (n - 1) \text{ पद}) \)
यह एक समांतर श्रेणी के \( (n-1) \) पदों का योग है जिसका पहला पद 5 और सार्व अंतर 2 है।
\( \implies T_n = 1 + \frac{n-1}{2} \left[ 2 \times 5 + ((n-1)-1) \times 2 \right] \)
\( \implies T_n = 1 + \frac{n-1}{2} \left[ 10 + (n-2) \times 2 \right] \)
\( \implies T_n = 1 + \frac{n-1}{2} \left[ 2n + 6 \right] \)
\( \implies T_n = 1 + (n-1)(n+3) \)
\( \implies T_n = 1 + n^2 + 3n - n - 3 \)
\( \implies T_n = n^2 + 2n - 2 \)
अब, n पदों का कुल योग ( \( S_n \) ) निकालने के लिए, हम \( T_n \) का योगफल करते हैं:
\( S_n = \Sigma T_n = \Sigma n^2 + 2\Sigma n - 2\Sigma 1 \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \times \frac{n(n+1)}{2} - 2n \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) - 2n \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{6} (2n+1) + n(n+1) - 2n \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6} - 2n \)
In simple words: जब पदों के बीच का अंतर एक समांतर श्रेणी बनाता है, तो हम अंतर विधि का उपयोग करते हैं। पहले हम n-वें पद को निकालते हैं, फिर उस n-वें पद का योगफल करके पूरी श्रेणी का योग निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: अंतर विधि का उपयोग करते समय, सुनिश्चित करें कि अंतरों की श्रेणी वास्तव में AP है। \( T_n \) व्युत्पन्न करने के लिए योग सूत्र का सही उपयोग करें और फिर \( S_n \) के लिए आगे बढ़ें।

Question 5. निम्नलिखित श्रेणियों का n वाँ पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये
(i) \( 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) +..... \)
(ii) \( 1^2 + (1^2 + 2^2) + (1^2 + 2^2 + 3^2) +..... \)
Answer:
(i) इस श्रेणी के n-वें पद \( T_n \) को पहले हम एक सूत्र के रूप में लिखते हैं। प्रत्येक पद 1 से लेकर n तक की संख्याओं का योग है:
\( T_n = 1 + 2 + 3 + ......... + n \)
यह एक समांतर श्रेणी के n पदों का योग है:
\( \implies T_n = \frac{n(n+1)}{2} \)
\( \implies T_n = \frac{1}{2} (n^2 + n) \)
अब, n पदों का कुल योग ( \( S_n \) ) निकालने के लिए, हम \( T_n \) का योगफल करते हैं:
\( S_n = \Sigma T_n = \frac{1}{2} (\Sigma n^2 + \Sigma n) \)
\( \implies S_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right] \)
\( \implies S_n = \frac{1}{2} \times \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+1+3}{3} \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+4}{3} \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1) \times 2(n+2)}{4 \times 3} \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} \)

(ii) इस श्रेणी के n-वें पद \( T_n \) को पहले हम एक सूत्र के रूप में लिखते हैं। प्रत्येक पद 1 से लेकर n तक की संख्याओं के वर्गों का योग है:
\( T_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ......... + n^2 \)
यह संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र है:
\( \implies T_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
\( \implies T_n = \frac{1}{6} (n(2n^2 + 3n + 1)) \)
\( \implies T_n = \frac{1}{6} (2n^3 + 3n^2 + n) \)
अब, n पदों का कुल योग ( \( S_n \) ) निकालने के लिए, हम \( T_n \) का योगफल करते हैं:
\( S_n = \Sigma T_n = \frac{1}{6} (2\Sigma n^3 + 3\Sigma n^2 + \Sigma n) \)
\( \implies S_n = \frac{1}{6} \left[ 2 \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + 3 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right] \)
\( \implies S_n = \frac{1}{6} \left[ 2 \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} \right] \)
\( \implies S_n = \frac{1}{12} \left[ n^2(n+1)^2 + n(n+1)(2n+1) + n(n+1) \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{12} \left[ n(n+1) + (2n+1) + 1 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{12} \left[ n^2 + n + 2n + 1 + 1 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)}{12} \left[ n^2 + 3n + 2 \right] \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)(n+1)(n+2)}{12} \)
\( \implies S_n = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12} \)
In simple words: हम पहले प्रत्येक पद के n-वें रूप को लिखते हैं, जो संख्याओं के योग या वर्गों के योग का सूत्र होता है। फिर, इस n-वें पद का योग करके हम पूरी श्रेणी का योग निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसी श्रेणियों के लिए, प्रत्येक पद के n-वें रूप को पहचानना महत्वपूर्ण है। इसके बाद, उचित योगफल सूत्रों का उपयोग करके सावधानीपूर्वक गणना करें।