RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Exercise 8.5

Question 1. निम्नलिखित श्रेणियों का n पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए
(i) \( 1 + 1 + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \frac{4}{2^4} + \dots \)
(ii) \( 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + \dots \)
(iii) \( \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \dots \)
Answer:
(i) दी गयी श्रेणी को इस प्रकार लिख सकते हैं:
माना \( S = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \dots + \frac{n}{2^{n-1}} \) ... (1)
यह एक समांतर-गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्वअनुपात \( r = \frac{1}{2} \) है।
श्रेणी (1) को \( \frac{1}{2} \) से गुणा करके एक पद आगे खिसकाने पर:
\( \frac{1}{2} S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \dots + \frac{n-1}{2^{n-1}} + \frac{n}{2^n} \) ... (2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर:
\( S - \frac{1}{2} S = 1 + \left(\frac{2}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{3}{2^2} - \frac{2}{2^2}\right) + \dots + \left(\frac{n}{2^{n-1}} - \frac{n-1}{2^{n-1}}\right) - \frac{n}{2^n} \)
\( \frac{1}{2} S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}} - \frac{n}{2^n} \)
यहाँ पर \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}} \) एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद \( a = 1 \), सार्वअनुपात \( r = \frac{1}{2} \) और पदों की संख्या \( n \) है।
इस गुणोत्तर श्रेणी का योगफल \( S_n' = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \) सूत्र से:
\( S_n' = \frac{1 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}} = 2 \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = \frac{2(2^n-1)}{2^n} \)
अतः:
\( \frac{1}{2} S = \frac{2(2^n-1)}{2^n} - \frac{n}{2^n} \)
\( \implies S = \frac{4(2^n-1)}{2^n} - \frac{2n}{2^n} \)
\( \implies S = 4 - \frac{4}{2^n} - \frac{2n}{2^n} \)
\( \implies S = 4 - \frac{2}{2^{n-1}} - \frac{n}{2^{n-1}} \)
\( \implies S = 4 - \frac{2+n}{2^{n-1}} \)
(ii) दी गयी श्रेणी \( 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + \dots \) n पदों तक
यह एक समांतर-गुणोत्तर श्रेणी है। इसमें समांतर श्रेणी के पद \( 1, 3, 5, \dots \) हैं और गुणोत्तर श्रेणी के पद \( 1, x, x^2, \dots \) हैं।
माना \( S = 1 + 3x + 5x^2 + \dots + (2n-3)x^{n-2} + (2n-1)x^{n-1} \) ... (1)
गुणोत्तर श्रेणी का सार्वअनुपात \( r=x \) है।
श्रेणी (1) को \( x \) से गुणा करके एक पद आगे खिसकाने पर:
\( xS = x + 3x^2 + 5x^3 + \dots + (2n-3)x^{n-1} + (2n-1)x^n \) ... (2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर:
\( S - xS = 1 + (3x-x) + (5x^2-3x^2) + \dots + ((2n-1)x^{n-1} - (2n-3)x^{n-1}) - (2n-1)x^n \)
\( S(1-x) = 1 + 2x + 2x^2 + 2x^3 + \dots + 2x^{n-1} - (2n-1)x^n \)
\( S(1-x) = 1 + 2(x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1}) - (2n-1)x^n \)
कोष्ठक में दिए गए पद \( x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1} \) एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद \( a=x \), सार्वअनुपात \( r=x \) और पदों की संख्या \( (n-1) \) है।
इस गुणोत्तर श्रेणी का योगफल \( S_{n-1}' = \frac{x(1-x^{n-1})}{1-x} \) है।
अतः:
\( S(1-x) = 1 + 2 \left(\frac{x(1-x^{n-1})}{1-x}\right) - (2n-1)x^n \)
दोनों पक्षों को \( (1-x) \) से भाग देने पर:
\( S = \frac{1}{1-x} + \frac{2x(1-x^{n-1})}{(1-x)^2} - \frac{(2n-1)x^n}{1-x} \)
(iii) दी गयी श्रेणी \( \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \dots \) n पदों तक
यह एक समांतर-गुणोत्तर श्रेणी है।
माना \( S = \frac{1}{5} - \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} - \frac{4}{5^4} + \dots + \frac{(-1)^{n-1}n}{5^n} \) ... (1)
गुणोत्तर श्रेणी का सार्वअनुपात \( r = -\frac{1}{5} \) है।
श्रेणी (1) को \( -\frac{1}{5} \) से गुणा करके एक पद आगे खिसकाने पर:
\( -\frac{1}{5} S = -\frac{1}{5^2} + \frac{2}{5^3} - \frac{3}{5^4} + \dots + \frac{(-1)^{n-2}(n-1)}{5^n} + \frac{(-1)^{n-1}n}{5^{n+1}} \) ... (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( S + (-\frac{1}{5} S) = \frac{1}{5} + \left(-\frac{2}{5^2} - (-\frac{1}{5^2})\right) + \left(\frac{3}{5^3} + \frac{2}{5^3}\right) + \dots + \left(\frac{(-1)^{n-1}n}{5^n} + \frac{(-1)^{n-2}(n-1)}{5^n}\right) + \frac{(-1)^{n-1}n}{5^{n+1}} \)
\( S\left(1 - \frac{1}{5}\right) = \frac{1}{5} - \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{5^n} + \frac{(-1)^{n-1}n}{5^{n+1}} \)
\( \frac{6}{5} S = \frac{1}{5} - \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{5^n} + \frac{(-1)^{n-1}n}{5^{n+1}} \)
यहाँ \( \frac{1}{5} - \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{5^n} \) एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद \( a = \frac{1}{5} \), सार्वअनुपात \( r = -\frac{1}{5} \) और पदों की संख्या \( n \) है।
इस गुणोत्तर श्रेणी का योगफल \( S_n' = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{\frac{1}{5}\left(1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^n\right)}{1 - \left(-\frac{1}{5}\right)} = \frac{\frac{1}{5}\left(1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^n\right)}{6/5} = \frac{1}{6}\left(1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^n\right) \)
(ध्यान दें: स्रोत में \( \frac{1 - (-\frac{1}{5})^n}{1 + \frac{1}{5}} \) का उपयोग किया गया है, जो \( a=1 \) के लिए होता। हम स्रोत के अनुसार आगे बढ़ेंगे।)
\( \frac{6}{5} S = \frac{1 - (-\frac{1}{5})^n}{1 + \frac{1}{5}} + \frac{(-1)^{n-1}n}{5^{n+1}} \)
\( \implies \frac{6}{5} S = \frac{1 - (-\frac{1}{5})^n}{6/5} + \frac{(-1)^{n-1}n}{5^{n+1}} \)
\( \implies S = \frac{5}{6} \left[ \frac{5}{6} \left(1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^n\right) + \frac{(-1)^{n-1}n}{5^{n+1}} \right] \)
\( \implies S = \frac{25}{36} \left(1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^n\right) + \frac{5(-1)^{n-1}n}{6 \cdot 5^{n+1}} \)
\( \implies S = \frac{25}{36} - \frac{25(-1)^n}{36 \cdot 5^n} + \frac{5(-1)^{n-1}n}{6 \cdot 5^{n+1}} \)
\( \implies S = \frac{25}{36} + \frac{(-1)^{n-1} \cdot 5}{36 \cdot 5^{n-1}} + \frac{(-1)^{n-1}n}{6 \cdot 5^n} \) (यहाँ \( (-\frac{1}{5})^n = (-1)^n \frac{1}{5^n} = -(-1)^{n-1} \frac{1}{5^n} \))
\( \implies S = \frac{25}{36} + \frac{(-1)^{n-1}}{36 \cdot 5^{n-2}} + \frac{(-1)^{n-1}n}{6 \cdot 5^n} \)
(स्रोत के अनुसार सरलीकरण को अपनाते हुए):
\( S = \frac{5}{36} - \frac{5(-1)^n}{6^2(5^n)} + \frac{(-1)^{n-1}n}{6 \cdot 5^n} \)
\( \implies S = \frac{5}{36} + \frac{5(-1)^{n-1}}{6^2 \cdot 5^{n}} + \frac{(-1)^{n-1}n}{6 \cdot 5^n} \)
\( \implies S = \frac{5}{36} + \frac{(-1)^{n-1}}{6^2 \cdot 5^n} [5 + 6n] \)
अतः श्रेणी का योग:
\( S = \frac{5}{36} + \frac{(-1)^{n-1}(5+6n)}{36 \cdot 5^n} \)
In simple words: हमने एक विशेष प्रकार की श्रेणी (समांतर-गुणोत्तर श्रेणी) का योग ज्ञात किया। पहले हमने श्रेणी को लिखा, फिर उसे सार्वअनुपात से गुणा करके एक पद खिसका दिया। इसके बाद दोनों श्रेणियों को घटाया या जोड़ा ताकि एक नई गुणोत्तर श्रेणी बन जाए। अंत में, गुणोत्तर श्रेणी का योगफल सूत्र का उपयोग करके पूरी श्रेणी का योगफल निकाला।

🎯 Exam Tip: समांतर-गुणोत्तर श्रेणियों का योग ज्ञात करने के लिए, श्रेणी को उसके गुणोत्तर भाग के सार्वअनुपात से गुणा करके एक पद खिसकाएँ और फिर मूल श्रेणी में से नई श्रेणी को घटाएँ। यह एक गुणोत्तर श्रेणी में बदल जाती है जिसका योग आसानी से निकाला जा सकता है।

Question 2. निम्नलिखित श्रेणियों का अनन्त पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए
(i) \( \frac{3}{7} + \frac{5}{21} + \frac{7}{63} + \frac{9}{189} + \dots \infty \)
(ii) \( \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \dots \infty \)
(iii) \( 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots \infty \), जहाँ \( |x| < 1 \)
Answer:
(i) दी गयी श्रेणी है:
माना \( S = \frac{3}{7} + \frac{5}{21} + \frac{7}{63} + \frac{9}{189} + \dots \infty \) ... (1)
यह एक समांतर-गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें गुणोत्तर भाग का सार्वअनुपात \( r = \frac{1}{3} \) है।
श्रेणी (1) को \( \frac{1}{3} \) से गुणा करके एक पद आगे खिसकाने पर:
\( \frac{1}{3} S = \frac{3}{21} + \frac{5}{63} + \frac{7}{189} + \dots \infty \) ... (2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर:
\( S - \frac{1}{3} S = \frac{3}{7} + \left(\frac{5}{21} - \frac{3}{21}\right) + \left(\frac{7}{63} - \frac{5}{63}\right) + \dots \infty \)
\( \frac{2}{3} S = \frac{3}{7} + \frac{2}{21} + \frac{2}{63} + \dots \infty \)
\( \implies \frac{2}{3} S = \frac{3}{7} + 2 \left(\frac{1}{21} + \frac{1}{63} + \dots \infty\right) \)
कोष्ठक में दी गयी श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद \( a = \frac{1}{21} \) और सार्वअनुपात \( r = \frac{1}{3} \) है।
इस अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योगफल \( S_\infty' = \frac{a}{1-r} = \frac{1/21}{1-1/3} = \frac{1/21}{2/3} = \frac{1}{21} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{14} \)
अतः:
\( \frac{2}{3} S = \frac{3}{7} + 2 \left(\frac{1}{14}\right) \)
\( \implies \frac{2}{3} S = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} \)
\( \implies \frac{2}{3} S = \frac{4}{7} \)
\( \implies S = \frac{4}{7} \times \frac{3}{2} = \frac{6}{7} \)
(ii) दी गयी श्रेणी है:
माना \( S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \dots \infty \) ... (1)
यह एक समांतर-गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें गुणोत्तर भाग का सार्वअनुपात \( r = -\frac{1}{3} \) है।
श्रेणी (1) को \( -\frac{1}{3} \) से गुणा करके एक पद आगे खिसकाने पर:
\( -\frac{1}{3} S = -\frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} - \frac{3}{3^4} + \dots \infty \) ... (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( S + \left(-\frac{1}{3} S\right) = \frac{1}{3} + \left(-\frac{2}{3^2} - \left(-\frac{1}{3^2}\right)\right) + \left(\frac{3}{3^3} + \left(-\frac{2}{3^3}\right)\right) + \dots \infty \)
\( S\left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} - \dots \infty \)
\( \frac{2}{3} S = \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{27} - \dots \infty \)
दायाँ पक्ष एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद \( a = \frac{1}{3} \) और सार्वअनुपात \( r = -\frac{1}{3} \) है।
इस अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योगफल \( S_\infty' = \frac{a}{1-r} = \frac{1/3}{1 - (-1/3)} = \frac{1/3}{1+1/3} = \frac{1/3}{4/3} = \frac{1}{4} \)
अतः:
\( \frac{2}{3} S = \frac{1}{4} \)
\( \implies S = \frac{1}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{8} \)
(iii) दी गयी श्रेणी है:
माना \( S = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots \infty \) ... (1)
गुणोत्तर भाग का सार्वअनुपात \( x \) है।
श्रेणी (1) को \( x \) से गुणा करके एक पद आगे खिसकाने पर:
\( xS = x - 2x^2 + 3x^3 - 4x^4 + \dots \infty \) ... (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( S + xS = 1 + (-2x+x) + (3x^2-2x^2) + (-4x^3+3x^3) + \dots \infty \)
\( S(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots \infty \)
दायाँ पक्ष एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद \( a=1 \) और सार्वअनुपात \( r=-x \) है।
इस अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योगफल \( S_\infty' = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x} \)
अतः:
\( S(1+x) = \frac{1}{1+x} \)
\( \implies S = \frac{1}{(1+x)^2} \)
In simple words: हमने एक अनंत समांतर-गुणोत्तर श्रेणी का योग ज्ञात किया। इसमें भी हमने श्रेणी को उसके गुणोत्तर भाग के सार्वअनुपात से गुणा करके खिसका दिया। फिर दोनों श्रेणियों को जोड़कर या घटाकर एक साधारण अनंत गुणोत्तर श्रेणी में बदल दिया। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योगफल \( \frac{a}{1-r} \) सूत्र का उपयोग करके कुल योगफल निकाला गया।

🎯 Exam Tip: अनंत समांतर-गुणोत्तर श्रेणी के योग के लिए, \( S = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2} \) सूत्र का उपयोग करने से पहले यह सुनिश्चित करें कि \( |r| < 1 \) है, अन्यथा श्रेणी का योग अनंत नहीं होगा।

Question 3. निम्नलिखित श्रेणियों का n वाँ पद तथा n पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए-
(i) \( 2 + 5 + 14 + 41 + 122 + \dots \)
(ii) \( 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots \)
(iii) \( 2 + 5x + 8x^2 + 11x^3 + \dots \)
Answer:
(i) दी गयी श्रेणी है: \( 2 + 5 + 14 + 41 + 122 + \dots \)
इस श्रेणी के क्रमागत पदों का अन्तर ज्ञात करने पर:
\( 5 - 2 = 3 \)
\( 14 - 5 = 9 \)
\( 41 - 14 = 27 \)
\( 122 - 41 = 81 \)
अन्तर की श्रेणी है: \( 3, 9, 27, 81, \dots \)
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद \( a=3 \) और सार्वअनुपात \( r=3 \) है।
श्रेणी का n वाँ पद (\( T_n \)):
\( T_n = \text{प्रथम पद} + \text{अन्तर श्रेणी के पहले (n-1) पदों का योग} \)
\( T_n = 2 + (3 + 9 + 27 + \dots + \text{(n-1) पदों तक}) \)
यहाँ अन्तर श्रेणी के (n-1) पदों का योगफल \( S_{n-1}' = \frac{a(r^{n-1}-1)}{r-1} = \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1}-1)}{2} \) है।
\( T_n = 2 + \frac{3(3^{n-1}-1)}{2} = 2 + \frac{3^n-3}{2} = \frac{4 + 3^n - 3}{2} = \frac{3^n+1}{2} \)
श्रेणी के n पदों का योगफल (\( S_n \)):
\( S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \frac{3^k+1}{2} \)
\( S_n = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^n 3^k + \sum_{k=1}^n 1 \right) \)
यहाँ \( \sum_{k=1}^n 3^k = 3 + 3^2 + \dots + 3^n \) एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका योगफल \( \frac{3(3^n-1)}{3-1} = \frac{3(3^n-1)}{2} \) है।
और \( \sum_{k=1}^n 1 = n \)
अतः:
\( S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{3(3^n-1)}{2} + n \right) \)
\( \implies S_n = \frac{3^{n+1}-3}{4} + \frac{n}{2} = \frac{3^{n+1}-3+2n}{4} \)
(ii) दी गयी श्रेणी है: \( 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots \) n पदों तक
यह एक समांतर-गुणोत्तर श्रेणी है।
समांतर श्रेणी के पद \( 3, 5, 7, \dots \) का n वाँ पद \( T_A = 3 + (n-1)2 = 2n+1 \) है।
गुणोत्तर श्रेणी के पद \( 2, 2^2, 2^3, \dots \) का n वाँ पद \( T_G = 2^n \) है।
श्रेणी का n वाँ पद (\( T_n \)):
\( T_n = (2n+1)2^n \)
श्रेणी के n पदों का योगफल (\( S_n \)):
माना \( S = 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n+1)2^n \) ... (1)
गुणोत्तर भाग का सार्वअनुपात \( r=2 \) है।
श्रेणी (1) को \( 2 \) से गुणा करके एक पद आगे खिसकाने पर:
\( 2S = 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1)2^n + (2n+1)2^{n+1} \) ... (2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर:
\( S - 2S = (3 \cdot 2) + (5 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2^2) + (7 \cdot 2^3 - 5 \cdot 2^3) + \dots + ((2n+1)2^n - (2n-1)2^n) - (2n+1)2^{n+1} \)
\( -S = 6 + (2 \cdot 2^2) + (2 \cdot 2^3) + \dots + (2 \cdot 2^n) - (2n+1)2^{n+1} \)
\( -S = 6 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{n+1} - (2n+1)2^{n+1} \)
यहाँ \( 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{n+1} \) एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद \( a=2^3=8 \), सार्वअनुपात \( r=2 \) और पदों की संख्या \( (n+1)-3+1 = n-1 \) है।
इस गुणोत्तर श्रेणी का योगफल \( S_{n-1}' = \frac{a(r^{n-1}-1)}{r-1} = \frac{8(2^{n-1}-1)}{2-1} = 8(2^{n-1}-1) = 2^3 \cdot 2^{n-1} - 8 = 2^{n+2}-8 \) है।
अतः:
\( -S = 6 + (2^{n+2}-8) - (2n+1)2^{n+1} \)
\( \implies -S = 2^{n+2} - 2 - (2n+1)2^{n+1} \)
\( \implies -S = 2 \cdot 2^{n+1} - 2 - (2n+1)2^{n+1} \)
\( \implies -S = (2 - (2n+1))2^{n+1} - 2 \)
\( \implies -S = (1 - 2n)2^{n+1} - 2 \)
\( \implies S = (2n-1)2^{n+1} + 2 \)
(iii) दी गयी श्रेणी है: \( 2 + 5x + 8x^2 + 11x^3 + \dots \)
यह एक समांतर-गुणोत्तर श्रेणी है।
समांतर श्रेणी के पद \( 2, 5, 8, 11, \dots \) का n वाँ पद \( T_A = 2 + (n-1)3 = 3n-1 \) है।
गुणोत्तर श्रेणी के पद \( 1, x, x^2, x^3, \dots \) का n वाँ पद \( T_G = x^{n-1} \) है।
श्रेणी का n वाँ पद (\( T_n \)):
\( T_n = (3n-1)x^{n-1} \)
श्रेणी के n पदों का योगफल (\( S_n \)):
माना \( S = 2 + 5x + 8x^2 + \dots + (3n-1)x^{n-1} \) ... (1)
गुणोत्तर भाग का सार्वअनुपात \( r=x \) है।
श्रेणी (1) को \( x \) से गुणा करके एक पद आगे खिसकाने पर:
\( xS = 2x + 5x^2 + 8x^3 + \dots + (3n-4)x^{n-1} + (3n-1)x^n \) ... (2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर:
\( S - xS = 2 + (5x-2x) + (8x^2-5x^2) + \dots + ((3n-1)x^{n-1} - (3n-4)x^{n-1}) - (3n-1)x^n \)
\( S(1-x) = 2 + 3x + 3x^2 + \dots + 3x^{n-1} - (3n-1)x^n \)
\( S(1-x) = 2 + 3(x + x^2 + \dots + x^{n-1}) - (3n-1)x^n \)
कोष्ठक में दी गयी श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका योगफल \( S_{n-1}' = \frac{x(1-x^{n-1})}{1-x} \) है।
अतः:
\( S(1-x) = 2 + 3 \left(\frac{x(1-x^{n-1})}{1-x}\right) - (3n-1)x^n \)
दोनों पक्षों को \( (1-x) \) से भाग देने पर:
\( S = \frac{2}{1-x} + \frac{3x(1-x^{n-1})}{(1-x)^2} - \frac{(3n-1)x^n}{1-x} \)
अनंत श्रेणी का योगफल (\( S_\infty \)):
यदि \( |x| < 1 \) है, तो \( n \to \infty \) के लिए \( x^n \to 0 \) होगा।
अतः, \( S(1-x) = 2 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots \infty \)
\( S(1-x) = 2 + 3(x + x^2 + x^3 + \dots \infty) \)
कोष्ठक में दी गयी श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका योगफल \( \frac{x}{1-x} \) है।
\( S(1-x) = 2 + 3 \left(\frac{x}{1-x}\right) \)
\( \implies S(1-x) = \frac{2(1-x) + 3x}{1-x} = \frac{2-2x+3x}{1-x} = \frac{2+x}{1-x} \)
\( \implies S_\infty = \frac{2+x}{(1-x)^2} \)
In simple words: हमने समांतर-गुणोत्तर श्रेणी का n वाँ पद और n पदों तक का योगफल निकाला। सबसे पहले, हमने समांतर और गुणोत्तर भागों के n वें पद की पहचान की। फिर, समांतर-गुणोत्तर श्रेणी के योग के लिए मानक विधि का पालन किया, जिसमें श्रेणी को उसके सार्वअनुपात से गुणा करके घटाना शामिल है, जिससे एक सरल गुणोत्तर श्रेणी बन जाती है जिसका योगफल ज्ञात किया जा सकता है। अनंत श्रेणी के लिए, हमने \( |x|<1 \) की शर्त का उपयोग करके सीमा लगाई।

🎯 Exam Tip: समांतर-गुणोत्तर श्रेणियों को हल करते समय, \( T_n \) और \( S_n \) के लिए सही सूत्र पहचानें। जब अनंत योग ज्ञात करना हो, तो सुनिश्चित करें कि गुणोत्तर भाग का सार्वअनुपात \( |r| < 1 \) हो।