RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Exercise 8.4

प्रश्न 1. निम्रलिखित गुणोत्तर श्रेढी का योगफल ज्ञात कीजिये।
(i) 2 + 6 + 18 + 54 + ...... 7 पदों तक।
(ii) \( \frac { 2 }{ 9 } - \frac { 1 }{ 3 } + \frac { 1 }{ 2 } - \frac { 3 }{ 4 } + ...... \) 8 पदों तक।
(iii) \( a^8 – a^7b + a^6b^2 – a^5b^3 +. \) 10 पदों तक।
Answer:
(i) दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी है: 2 + 6 + 18 + 54 + ...... 7 पदों तक।
यहाँ, प्रथम पद \( a = 2 \)
सार्वअनुपात \( r = \frac { 6 }{ 2 } = 3 \)
पदों की संख्या \( n = 7 \)
चूंकि \( r > 1 \) है, इसलिए गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल का सूत्र \( S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \) है।
\( S_7 = \frac{2(3^7 - 1)}{3-1} \)
\( \implies S_7 = \frac{2(2187 - 1)}{2} \)
\( \implies S_7 = \frac{2(2186)}{2} \)
\( \implies S_7 = 2186 \)
अतः, 7 पदों का योगफल 2186 है।
(ii) दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी है: \( \frac { 2 }{ 9 } - \frac { 1 }{ 3 } + \frac { 1 }{ 2 } - \frac { 3 }{ 4 } + ...... \) 8 पदों तक।
यहाँ, प्रथम पद \( a = \frac { 2 }{ 9 } \)
सार्वअनुपात \( r = \frac { -1/3 }{ 2/9 } = -\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 9 }{ 2 } = -\frac { 3 }{ 2 } \)
पदों की संख्या \( n = 8 \)
चूंकि \( |r| < 1 \) नहीं है बल्कि \( |r| = \frac{3}{2} > 1 \) है, इसलिए \( S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \) सूत्र का उपयोग करेंगे।
\( S_8 = \frac{\frac{2}{9} \left(\left(-\frac{3}{2}\right)^8 - 1\right)}{-\frac{3}{2} - 1} \)
\( \implies S_8 = \frac{\frac{2}{9} \left(\frac{3^8}{2^8} - 1\right)}{-\frac{5}{2}} \)
\( \implies S_8 = \frac{\frac{2}{9} \left(\frac{6561 - 256}{256}\right)}{-\frac{5}{2}} \)
\( \implies S_8 = \frac{\frac{2}{9} \left(\frac{6305}{256}\right)}{-\frac{5}{2}} \)
\( \implies S_8 = \frac{2}{9} \times \frac{6305}{256} \times \left(-\frac{2}{5}\right) \)
\( \implies S_8 = -\frac{4 \times 6305}{9 \times 256 \times 5} \)
\( \implies S_8 = -\frac{25220}{11520} \)
\( \implies S_8 = -\frac{6305}{2880} \)
(iii) दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी है: \( a^8 – a^7b + a^6b^2 – a^5b^3 + ...... \) 10 पदों तक।
यहाँ, प्रथम पद \( A = a^8 \)
सार्वअनुपात \( R = \frac{-a^7b}{a^8} = -\frac{b}{a} \)
पदों की संख्या \( N = 10 \)
गुणोत्तर श्रेढ़ी के N पदों का योगफल का सूत्र है \( S_N = \frac{A(1 - R^N)}{1 - R} \) (जब \( |R| < 1 \)) या \( S_N = \frac{A(R^N - 1)}{R - 1} \) (जब \( |R| > 1 \))।
मानते हुए कि \( |-\frac{b}{a}| < 1 \) है, हम पहले सूत्र का उपयोग करेंगे:
\( S_{10} = \frac{a^8 \left(1 - \left(-\frac{b}{a}\right)^{10}\right)}{1 - \left(-\frac{b}{a}\right)} \)
\( \implies S_{10} = \frac{a^8 \left(1 - \frac{b^{10}}{a^{10}}\right)}{1 + \frac{b}{a}} \)
\( \implies S_{10} = \frac{a^8 \left(\frac{a^{10} - b^{10}}{a^{10}}\right)}{\frac{a + b}{a}} \)
\( \implies S_{10} = \frac{a^8 (a^{10} - b^{10})}{a^{10}} \times \frac{a}{a+b} \)
\( \implies S_{10} = \frac{a(a^{10} - b^{10})}{a+b} \)
In simple words: गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल के लिए पहले पहला पद, सार्वअनुपात और पदों की संख्या पता करें। फिर, सार्वअनुपात 1 से बड़ा है या छोटा, उसके हिसाब से सही सूत्र लगाकर योगफल निकालें।

🎯 Exam Tip: गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल के सूत्र का सही चुनाव (r > 1 या r < 1 के लिए) महत्वपूर्ण है। नकारात्मक सार्वअनुपात के साथ घातों की गणना करते समय चिह्नों का ध्यान रखें।

प्रश्न 2. निम्रलिखित गुणोत्तर श्रेढी का योगफल ज्ञात कीजिये
(i) 2 + 6 + 18 + 54 + ...... + 486
(ii) 64 + 32 + 16 + ...... + \( \frac { 1 }{ 4 } \)
Answer:
(i) दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी है: 2 + 6 + 18 + 54 + ...... + 486
यहाँ, प्रथम पद \( a = 2 \)
सार्वअनुपात \( r = \frac { 6 }{ 2 } = 3 \)
अंतिम पद \( a_n = 486 \)
हम जानते हैं कि गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद \( a_n = ar^{n-1} \) होता है।
\( 486 = 2 \cdot (3)^{n-1} \)
\( \implies \frac { 486 }{ 2 } = (3)^{n-1} \)
\( \implies 243 = (3)^{n-1} \)
\( \implies 3^5 = (3)^{n-1} \)
चूंकि आधार समान हैं, इसलिए घातें भी बराबर होंगी:
\( \implies n-1=5 \)
\( \implies n=6 \)
अब, गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल का सूत्र \( S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \) है (चूंकि \( r > 1 \))।
\( S_6 = \frac{2(3^6 - 1)}{3-1} \)
\( \implies S_6 = \frac{2(729 - 1)}{2} \)
\( \implies S_6 = 728 \)
(ii) दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी है: 64 + 32 + 16 + ...... + \( \frac { 1 }{ 4 } \)
यहाँ, प्रथम पद \( a = 64 \)
सार्वअनुपात \( r = \frac { 32 }{ 64 } = \frac { 1 }{ 2 } \)
अंतिम पद \( a_n = \frac { 1 }{ 4 } \)
हमें n और \( S_n \) ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद \( a_n = ar^{n-1} \) होता है।
\( \frac { 1 }{ 4 } = 64 \cdot \left(\frac { 1 }{ 2 }\right)^{n-1} \)
\( \implies \frac { 1 }{ 4 \times 64 } = \left(\frac { 1 }{ 2 }\right)^{n-1} \)
\( \implies \frac { 1 }{ 256 } = \left(\frac { 1 }{ 2 }\right)^{n-1} \)
\( \implies \left(\frac { 1 }{ 2 }\right)^8 = \left(\frac { 1 }{ 2 }\right)^{n-1} \)
चूंकि आधार समान हैं, इसलिए घातें भी बराबर होंगी:
\( \implies n-1=8 \)
\( \implies n=9 \)
अब, गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल का सूत्र \( S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \) है (चूंकि \( r < 1 \))।
\( S_9 = \frac{64 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^9\right)}{1 - \frac{1}{2}} \)
\( \implies S_9 = \frac{64 \left(1 - \frac{1}{512}\right)}{\frac{1}{2}} \)
\( \implies S_9 = 2 \times 64 \left(\frac{512 - 1}{512}\right) \)
\( \implies S_9 = 128 \times \frac{511}{512} \)
\( \implies S_9 = \frac{511}{4} \)
In simple words: पहले nवें पद का सूत्र उपयोग करके पदों की संख्या (n) ज्ञात करें। फिर, ज्ञात n का उपयोग करके योगफल का सूत्र लगाकर कुल योग निकालें।

🎯 Exam Tip: अंतिम पद दिए होने पर, योगफल ज्ञात करने से पहले पदों की संख्या (n) ज्ञात करना आवश्यक है। n ज्ञात करने के लिए घातांक के नियमों का सही उपयोग करें।

प्रश्न 3. गु. श्रे. 4, 12, 36, ...... के कितने पदों का योगफल 484 है?
Answer:
दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी है: 4, 12, 36, ......
यहाँ, प्रथम पद \( a = 4 \)
सार्वअनुपात \( r = \frac { 12 }{ 4 } = 3 \)
पदों का योगफल \( S_n = 484 \)
चूंकि \( r > 1 \) है, इसलिए गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल का सूत्र \( S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \) है।
\( 484 = \frac{4(3^n - 1)}{3-1} \)
\( \implies 484 = \frac{4(3^n - 1)}{2} \)
\( \implies 484 = 2(3^n - 1) \)
\( \implies \frac{484}{2} = 3^n - 1 \)
\( \implies 242 = 3^n - 1 \)
\( \implies 3^n = 242 + 1 \)
\( \implies 3^n = 243 \)
\( \implies 3^n = 3^5 \)
चूंकि आधार समान हैं, इसलिए घातें भी बराबर होंगी:
\( \implies n = 5 \)
अतः, इस गुणोत्तर श्रेढ़ी के 5 पदों का योगफल 484 है।
In simple words: योगफल सूत्र में दिए गए मानों को रखें और पदों की संख्या (n) निकालने के लिए समीकरण हल करें।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, आपको n के लिए घातीय समीकरण को हल करने की आवश्यकता होगी। आधारों को समान बनाने का प्रयास करें ताकि आप घातों की तुलना कर सकें।

प्रश्न 4. किसी गु. श्रे. के प्रथम 5 पदों का योगफल 124 तथा सार्वअनुपात 2 है। श्रेढ़ी का प्रथम पद ज्ञात कीजिये।
Answer:
दिया गया है:
पदों की संख्या \( n = 5 \)
पदों का योगफल \( S_5 = 124 \)
सार्वअनुपात \( r = 2 \)
हमें प्रथम पद \( a \) ज्ञात करना है।
चूंकि \( r > 1 \) है, इसलिए गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल का सूत्र \( S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \) है।
n = 5 रखने पर:
\( S_5 = \frac{a(2^5 - 1)}{2-1} \)
\( \implies 124 = \frac{a(32 - 1)}{1} \)
\( \implies 124 = 31a \)
\( \implies a = \frac{124}{31} \)
\( \implies a = 4 \)
अतः, श्रेढ़ी का प्रथम पद 4 है।
In simple words: योगफल सूत्र में सभी ज्ञात मानों को रखें और प्रथम पद (a) को हल करने के लिए समीकरण को सरल करें।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सूत्र में संख्याओं को सावधानी से रखें। छोटे-छोटे गणना संबंधी गलतियों से बचें, खासकर घातों की गणना में।

प्रश्न 5. किसी गु. श्रे. का सार्वअनुपात 2, अन्तिम पद 160 तथा योगफल 310 है। श्रेढी का प्रथम पद ज्ञात कीजिये।
Answer:
दिया गया है:
सार्वअनुपात \( r = 2 \)
अंतिम पद \( a_n = 160 \)
योगफल \( S_n = 310 \)
हमें प्रथम पद \( a \) ज्ञात करना है।
गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद का सूत्र है: \( a_n = ar^{n-1} \)
\( 160 = a \cdot 2^{n-1} \) ......(1)
गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल का सूत्र है: \( S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \)
\( \implies S_n = \frac{a(r \cdot r^{n-1} - 1)}{r-1} \)
समीकरण (1) से, हम \( a \cdot r^{n-1} \) को 160 से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। चूंकि \( r=2 \), इसलिए \( a_n = ar^{n-1} \) से, \( 160 = a \cdot 2^{n-1} \)
योगफल सूत्र को \( S_n = \frac{ar^n - a}{r-1} \) के रूप में भी लिखा जा सकता है।
हम \( ar^n = r \cdot (ar^{n-1}) \) लिख सकते हैं।
तो, \( S_n = \frac{r(ar^{n-1}) - a}{r-1} \)
अब, \( ar^{n-1} = 160 \) और \( r = 2 \) मान रखने पर:
\( 310 = \frac{2(160) - a}{2-1} \)
\( \implies 310 = \frac{320 - a}{1} \)
\( \implies 310 = 320 - a \)
\( \implies a = 320 - 310 \)
\( \implies a = 10 \)
अतः, श्रेढ़ी का प्रथम पद 10 है।
In simple words: अंतिम पद और योगफल के सूत्रों का उपयोग करें। nवें पद के सूत्र से \( ar^{n-1} \) का मान निकालें, फिर इसे योगफल के सूत्र में रखकर प्रथम पद (a) ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, nवें पद और योगफल दोनों के सूत्रों का उपयोग किया जाता है। एक समीकरण से मान निकालकर दूसरे में रखने से अज्ञात चर (जैसे a) ज्ञात किया जा सकता है।

प्रश्न 6. निम्रलिखित श्रेढ़ियों के प्रथम n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये।
(i) 7 + 77 + 777 + ......
(ii) .5 + .55 + .555 +....
(iii) .9 + .99 + .999 +....
Answer:
(i) दी गई श्रेढ़ी है: \( S_n = 7 + 77 + 777 + ...... \) n पदों तक
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( S_n = 7(1 + 11 + 111 + ........ \) n पदों तक)
\( \implies S_n = \frac{7}{9}(9 + 99 + 999 + ........ \) n पदों तक)
\( \implies S_n = \frac{7}{9}((10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + ........ \) n पदों तक)
\( \implies S_n = \frac{7}{9}[(10 + 10^2 + 10^3 + ........ n \text{ पदों तक}) - (1 + 1 + 1 + ........ n \text{ पदों तक})] \)
यहाँ, \( (10 + 10^2 + 10^3 + ........ n \text{ पदों तक}) \) एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद 10, सार्वअनुपात 10 और पदों की संख्या n है।
इसका योगफल \( \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} = \frac{10(10^n - 1)}{9} \) है।
और \( (1 + 1 + 1 + ........ n \text{ पदों तक}) = n \)
\( S_n = \frac{7}{9}\left[\frac{10(10^n - 1)}{9} - n\right] \)
\( \implies S_n = \frac{70}{81}(10^n - 1) - \frac{7n}{9} \)
(ii) दी गई श्रेढ़ी है: \( S_n = .5 + .55 + .555+........ \) n पदों तक
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( S_n = 5(.1 + .11 + .111 + ........ \) n पदों तक)
\( \implies S_n = \frac{5}{9}(.9 + .99 + .999 + ........ \) n पदों तक)
\( \implies S_n = \frac{5}{9}((1 - 0.1) + (1 - 0.01) + (1 - 0.001) + ........ \) n पदों तक)
\( \implies S_n = \frac{5}{9}[(1 + 1 + 1 + ........ n \text{ पदों तक}) - (0.1 + 0.01 + 0.001 + ........ n \text{ पदों तक})] \)
\( \implies S_n = \frac{5}{9}[n - (\frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + ........ n \text{ पद तक})] \)
यहाँ, \( (\frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + ........ n \text{ पद तक}) \) एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( a = \frac{1}{10} \), सार्वअनुपात \( r = \frac{1}{10} \) और पदों की संख्या n है।
इसका योगफल \( S_n' = \frac{\frac{1}{10}(1 - (\frac{1}{10})^n)}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{1}{10}(1 - \frac{1}{10^n})}{\frac{9}{10}} = \frac{1}{9}(1 - \frac{1}{10^n}) \) है।
\( S_n = \frac{5}{9}\left[n - \frac{1}{9}(1 - \frac{1}{10^n})\right] \)
\( \implies S_n = \frac{5n}{9} - \frac{5}{81}(1 - \frac{1}{10^n}) \)
\( \implies S_n = \frac{5}{81} \left( 9n - (1 - \frac{1}{10^n}) \right) \)
\( \implies S_n = \frac{5}{81} \left( 9n - 1 + \frac{1}{10^n} \right) \)
(iii) दी गई श्रेढ़ी है: \( S_n = .9 + .99 + .999 + ........ \) n पदों तक
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( S_n = (1 - 0.1) + (1 - 0.01) + (1 - 0.001) + ........ \) n पदों तक)
\( \implies S_n = (1 + 1 + 1 + ........ n \text{ पदों तक}) - (0.1 + 0.01 + 0.001 + ........ n \text{ पदों तक})] \)
\( \implies S_n = n - (\frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + ........ n \text{ पदों तक})] \)
यहाँ, \( (\frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + ........ n \text{ पदों तक}) \) एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( a = \frac{1}{10} \), सार्वअनुपात \( r = \frac{1}{10} \) और पदों की संख्या n है।
इसका योगफल \( S_n' = \frac{\frac{1}{10}(1 - (\frac{1}{10})^n)}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{9}(1 - \frac{1}{10^n}) \) है।
\( S_n = n - \frac{1}{9}(1 - \frac{1}{10^n}) \)
\( \implies S_n = n - \frac{1}{9} + \frac{1}{9 \cdot 10^n} \)
\( \implies S_n = \frac{9n - 1 + \frac{1}{10^n}}{9} \)
In simple words: ऐसी विशेष श्रेढ़ियों को 10 की घातों और घटाव के रूप में लिखें। फिर, अलग-अलग गुणोत्तर श्रेढ़ियों के योगफल के सूत्रों का उपयोग करें और सभी पदों को जोड़ या घटाकर अंतिम योगफल निकालें।

🎯 Exam Tip: इन श्रेढ़ियों को 9 से गुणा और भाग करके \( (10^k - 1) \) या \( (1 - 10^{-k}) \) के रूप में बदलने की तकनीक याद रखें। यह उन्हें मानक गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल के लिए उपयुक्त बनाता है।

प्रश्न 7. निम्रलिखित आवती दशमलव विस्तार वाली परिमेय संख्याओं का भिन्नात्मक रूप ज्ञात कीजिए
(i) 2.35
(ii) .625
(iii) 2.752
Answer:
(i) \( 2.3\overline{5} \)
हम इसे लिख सकते हैं: \( 2.3\overline{5} = 2.3555...... \)
\( = 2 + 0.3 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 + ...... \)
\( = 2 + \frac{3}{10} + \frac{5}{100} + \frac{5}{1000} + \frac{5}{10000} + ...... \)
\( = 2 + \frac{3}{10} + 5 \left[ \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \frac{1}{10^4} + ...... \right] \)
ब्रैकेट के अंदर की श्रेढ़ी एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( A = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} \) और सार्वअनुपात \( R = \frac{1}{10} \) है।
इसका योगफल \( S_{\infty} = \frac{A}{1-R} = \frac{\frac{1}{100}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{9}{10}} = \frac{1}{100} \times \frac{10}{9} = \frac{1}{90} \) है।
तो, \( 2.3\overline{5} = 2 + \frac{3}{10} + 5 \times \frac{1}{90} \)
\( = 2 + \frac{3}{10} + \frac{5}{90} \)
\( = 2 + \frac{27 + 5}{90} \) (लघुत्तम समापवर्त्य 90)
\( = 2 + \frac{32}{90} = 2 + \frac{16}{45} \)
\( = \frac{2 \times 45 + 16}{45} = \frac{90 + 16}{45} = \frac{106}{45} \)
(ii) \( 0.\overline{625} \)
हम इसे लिख सकते हैं: \( 0.\overline{625} = 0.625625...... \)
\( = \frac{625}{1000} + \frac{625}{1000^2} + \frac{625}{1000^3} + ...... \)
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( A = \frac{625}{1000} \) और सार्वअनुपात \( R = \frac{1}{1000} \) है।
इसका योगफल \( S_{\infty} = \frac{A}{1-R} = \frac{\frac{625}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = \frac{\frac{625}{1000}}{\frac{999}{1000}} = \frac{625}{999} \) है।
(iii) \( 2.\overline{752} \)
हम इसे लिख सकते हैं: \( 2.\overline{752} = 2.752752752...... \)
\( = 2 + 0.752 + 0.000752 + 0.000000752 + ...... \)
\( = 2 + 752 \left[ \frac{1}{10^3} + \frac{1}{10^6} + \frac{1}{10^9} + ...... \right] \)
ब्रैकेट के अंदर की श्रेढ़ी एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( A = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} \) और सार्वअनुपात \( R = \frac{1}{1000} \) है।
इसका योगफल \( S_{\infty} = \frac{A}{1-R} = \frac{\frac{1}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = \frac{\frac{1}{1000}}{\frac{999}{1000}} = \frac{1}{999} \) है।
तो, \( 2.\overline{752} = 2 + 752 \times \frac{1}{999} \)
\( = 2 + \frac{752}{999} \)
\( = \frac{2 \times 999 + 752}{999} \)
\( = \frac{1998 + 752}{999} = \frac{2750}{999} \)
In simple words: दोहराए जाने वाले दशमलव वाले हिस्सों को अलग करें। दोहराए जाने वाले हिस्से को एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के रूप में पहचानें और उसके योगफल का सूत्र \( \frac{a}{1-r} \) का उपयोग करके भिन्न में बदलें। फिर सभी भागों को जोड़ें।

🎯 Exam Tip: अनावर्ती और आवर्ती भागों को अलग-अलग करना महत्वपूर्ण है। अनावर्ती भाग को सीधे भिन्न में बदलें, जबकि आवर्ती भाग को अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल के रूप में हल करें।

प्रश्न 8. किसी अनन्त गु. श्र. का प्रथम पद 64 है तथा प्रत्येक पद उसके बाद आने वाले पदों के योगफल का तीन गुणा है। श्रेढ़ी ज्ञात कीजिये।
Answer:
दिया गया है, प्रथम पद \( a = 64 \)
एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी को \( a, ar, ar^2, ar^3, ...... \) के रूप में लिखा जाता है।
प्रश्न के अनुसार, श्रेढ़ी का कोई भी पद उसके बाद आने वाले सभी पदों के योगफल का तीन गुणा है।
मान लीजिए हम प्रथम पद \( a \) लेते हैं। तो \( a \) उसके बाद आने वाले पदों \( ar + ar^2 + ar^3 + ...... \) के योगफल का तीन गुणा होगा।
उसके बाद आने वाले पदों का योगफल एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( ar \) और सार्वअनुपात \( r \) है।
तो, \( S'_{\infty} = \frac{ar}{1-r} \)
प्रश्न के अनुसार: \( a = 3 \times S'_{\infty} \)
\( \implies a = 3 \times \frac{ar}{1-r} \)
दोनों तरफ \( a \) से भाग देने पर (चूंकि \( a \neq 0 \)):
\( \implies 1 = 3 \times \frac{r}{1-r} \)
\( \implies 1-r = 3r \)
\( \implies 1 = 3r + r \)
\( \implies 1 = 4r \)
\( \implies r = \frac{1}{4} \)
अब, प्रथम पद \( a = 64 \) और सार्वअनुपात \( r = \frac{1}{4} \) का उपयोग करके श्रेढ़ी ज्ञात करते हैं:
प्रथम पद: \( a_1 = a = 64 \)
दूसरा पद: \( a_2 = ar = 64 \times \frac{1}{4} = 16 \)
तीसरा पद: \( a_3 = ar^2 = 64 \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 64 \times \frac{1}{16} = 4 \)
चौथा पद: \( a_4 = ar^3 = 64 \times \left(\frac{1}{4}\right)^3 = 64 \times \frac{1}{64} = 1 \)
अतः, श्रेढ़ी है: \( 64, 16, 4, 1, ...... \)
In simple words: प्रश्न की शर्त के अनुसार, एक पद और उसके बाद के सभी पदों के योगफल के बीच संबंध का उपयोग करके सार्वअनुपात (r) निकालें। फिर, पहले पद और सार्वअनुपात का उपयोग करके पूरी श्रेढ़ी लिखें।

🎯 Exam Tip: अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल के सूत्र \( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \) का सही उपयोग करना महत्वपूर्ण है। सुनिश्चित करें कि आप 'a' के लिए सही पद (योगफल शुरू होने वाला पहला पद) और 'r' का उपयोग कर रहे हैं।

प्रश्न 9. यदि \( y = x + x^2 + x^3 + ..... \infty \), जहाँ \( |x| < 1 \) हो, तब सिद्ध कीजिये \( x = \frac{y}{1+y} \)
Answer:
दिया गया है: \( y = x + x^2 + x^3 + ..... \infty \)
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( a = x \) और सार्वअनुपात \( r = x \) है।
अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल का सूत्र \( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \) होता है, जब \( |r| < 1 \)।
यहाँ, \( y = \frac{x}{1-x} \) ......(1)
हमें सिद्ध करना है: \( x = \frac{y}{1+y} \)
समीकरण (1) से, हम \( x \) का मान \( y \) के पदों में ज्ञात करेंगे:
\( y = \frac{x}{1-x} \)
\( \implies y(1-x) = x \)
\( \implies y - yx = x \)
\( \implies y = x + yx \)
\( \implies y = x(1 + y) \)
\( \implies x = \frac{y}{1+y} \)
यही सिद्ध करना था।
In simple words: दिए गए अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल को सूत्र का उपयोग करके \( y \) के बराबर लिखें। फिर, इस समीकरण को \( x \) के लिए हल करें ताकि \( x \) का मान \( y \) के पदों में मिल जाए, जो सिद्ध करना था।

🎯 Exam Tip: अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के सूत्र का सही अनुप्रयोग करें। बीजीय व्यंजकों को हल करते समय पदों को सावधानी से स्थानांतरित करें और गुणनखंड करें।

प्रश्न 10. सिद्ध करना है- \( 1 + ab + a^2b^2 + a^3b^3 + ...... \infty = \frac{xy}{x+y-1} \),
जहाँ \( x = \frac{1}{1-a} \) और \( y = 1 + b + b^2 + b^3 + ...... \infty \)
Answer:
दिया गया है:
\( x = \frac{1}{1-a} \) ......(1)
\( y = 1 + b + b^2 + b^3 + ...... \infty \) ......(2)
समीकरण (2) एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद 1 और सार्वअनुपात \( b \) है।
अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल के सूत्र से: \( y = \frac{1}{1-b} \) ......(3)
हमें सिद्ध करना है: \( 1 + ab + a^2b^2 + a^3b^3 + ...... \infty = \frac{xy}{x+y-1} \)
बायाँ पक्ष (L.H.S.): \( 1 + ab + a^2b^2 + a^3b^3 + ...... \infty \)
यह भी एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद 1 और सार्वअनुपात \( ab \) है।
अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल के सूत्र से: L.H.S. \( = \frac{1}{1-ab} \) ......(4)
दायाँ पक्ष (R.H.S.): \( \frac{xy}{x+y-1} \)
समीकरण (1) और (3) से \( x \) और \( y \) के मान R.H.S. में रखने पर:
R.H.S. \( = \frac{\frac{1}{1-a} \times \frac{1}{1-b}}{\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} - 1} \)
\( \implies \text{R.H.S.} = \frac{\frac{1}{(1-a)(1-b)}}{\frac{(1-b) + (1-a) - (1-a)(1-b)}{(1-a)(1-b)}} \)
\( \implies \text{R.H.S.} = \frac{1}{(1-b) + (1-a) - (1-a)(1-b)} \)
हर को सरल करने पर:
\( = \frac{1}{1-b+1-a - (1 - a - b + ab)} \)
\( = \frac{1}{2-a-b - 1+a+b-ab} \)
\( = \frac{1}{1-ab} \) ......(5)
समीकरण (4) और समीकरण (5) से, हम देखते हैं कि L.H.S. = R.H.S.।
यही सिद्ध करना था।
In simple words: पहले \( x \) और \( y \) के दिए गए मानों को सरल करें। फिर, सिद्ध करने वाले समीकरण के बाएं पक्ष और दाएं पक्ष को अलग-अलग हल करें। दोनों पक्षों को अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल के सूत्र का उपयोग करके एक ही सरल रूप में आना चाहिए।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रूफ वाले प्रश्नों में, L.H.S. और R.H.S. को अलग-अलग हल करना सबसे अच्छा तरीका है। अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल के सूत्र \( \frac{a}{1-r} \) को याद रखें और बीजगणितीय व्यंजकों को सावधानी से सरल करें।

प्रश्न 11. श्रेढ़ी का योग ज्ञात कीजिये
\( \left(1 + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3}\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5}\right) + ...... \infty \) तक
Answer:
दी गई श्रेढ़ी है: \( S = \left(1 + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3}\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5}\right) + ...... \infty \)
इसे हम सभी पदों को एक साथ खोलकर एक बड़ी अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के रूप में लिख सकते हैं:
\( S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + ...... \infty \)
इस अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद \( a = 1 \) है।
और इसका सार्वअनुपात \( r = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2} \) है।
चूंकि \( |r| < 1 \) है, इसलिए अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल का सूत्र \( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \) है।
\( S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \)
\( \implies S = \frac{1}{\frac{1}{2}} \)
\( \implies S = 2 \)
अतः, दी गई श्रेढ़ी का योगफल 2 है।
In simple words: दिए गए पदों को एक बड़ी अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के रूप में जोड़ें। फिर, पहले पद और सार्वअनुपात का उपयोग करके अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल का सूत्र लगाएं।

🎯 Exam Tip: जब श्रेढ़ी को समूहों में दिया जाता है, तो पहले यह देखें कि क्या आप सभी पदों को एक साथ एक सरल गुणोत्तर श्रेढ़ी में जोड़ सकते हैं। यदि हां, तो यह योगफल ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका होगा।

Question 1. निम्रलिखित गुणोत्तर श्रेढी का योगफल ज्ञात कीजिये।
(i) \( 2 + 6 + 18 + 54 + ...... 7 \) पदों तक।
(ii) \( \frac { 2 }{ 9 } - \frac { 1 }{ 3 } + \frac { 1 }{ 2 } - \frac { 3 }{ 4 } + ...... 8 \) पदों तक।
(iii) \( a^8 - a^7b + a^6b^2 - a^5b^3 + ...... 10 \) पदों तक।
Answer:
(i) दी गई श्रेढ़ी \( 2 + 6 + 18 + 54 + ...... 7 \) पदों तक।
यहाँ, प्रथम पद \( a = 2 \)
सार्वअनुपात \( r = \frac { 6 }{ 2 } = 3 \)
पदों की संख्या \( n = 7 \)
चूंकि \( r > 1 \), गुणोत्तर श्रेढ़ी के \( n \) पदों का योगफल का सूत्र है: \( S_n = \frac { a(r^n - 1) }{ r - 1 } \)
\( S_7 = \frac { 2(3^7 - 1) }{ 3 - 1 } \)
\( S_7 = \frac { 2(2187 - 1) }{ 2 } \)
\( S_7 = 2186 \)

(ii) दी गई श्रेढ़ी \( \frac { 2 }{ 9 } - \frac { 1 }{ 3 } + \frac { 1 }{ 2 } - \frac { 3 }{ 4 } + ...... 8 \) पदों तक।
यहाँ, प्रथम पद \( a = \frac { 2 }{ 9 } \)
सार्वअनुपात \( r = \frac { -1/3 }{ 2/9 } = \frac { -1 }{ 3 } \times \frac { 9 }{ 2 } = \frac { -3 }{ 2 } \)
पदों की संख्या \( n = 8 \)
चूंकि \( |r| > 1 \), गुणोत्तर श्रेढ़ी के \( n \) पदों का योगफल का सूत्र है: \( S_n = \frac { a(r^n - 1) }{ r - 1 } \) (या \( \frac { a(1-r^n) }{ 1-r } \))
\( S_8 = \frac { \frac { 2 }{ 9 } (1 - (-\frac { 3 }{ 2 })^8) }{ 1 - (-\frac { 3 }{ 2 }) } \)
\( S_8 = \frac { \frac { 2 }{ 9 } (1 - \frac { 3^8 }{ 2^8 }) }{ 1 + \frac { 3 }{ 2 } } \)
\( S_8 = \frac { \frac { 2 }{ 9 } (1 - \frac { 6561 }{ 256 }) }{ \frac { 5 }{ 2 } } \)
\( S_8 = \frac { 2 }{ 9 } \times \frac { 2 }{ 5 } (1 - \frac { 6561 }{ 256 }) \)
\( S_8 = \frac { 4 }{ 45 } (\frac { 256 - 6561 }{ 256 }) \)
\( S_8 = \frac { 4 }{ 45 } (\frac { -6305 }{ 256 }) \)
\( S_8 = \frac { -4 \times 6305 }{ 45 \times 256 } \)
\( S_8 = \frac { -6305 }{ 2880 } \)

(iii) दी गई श्रेढ़ी \( a^8 - a^7b + a^6b^2 - a^5b^3 + ...... 10 \) पदों तक।
यहाँ, प्रथम पद \( A = a^8 \)
सार्वअनुपात \( R = \frac { -a^7b }{ a^8 } = \frac { -b }{ a } \)
पदों की संख्या \( n = 10 \)
गुणोत्तर श्रेढ़ी के \( n \) पदों का योगफल का सूत्र है: \( S_n = \frac { A(1 - R^n) }{ 1 - R } \)
\( S_{10} = \frac { a^8(1 - (-\frac { b }{ a })^{10}) }{ 1 - (-\frac { b }{ a }) } \)
\( S_{10} = \frac { a^8(1 - \frac { b^{10} }{ a^{10} }) }{ 1 + \frac { b }{ a } } \)
\( S_{10} = \frac { a^8(\frac { a^{10} - b^{10} }{ a^{10} }) }{ \frac { a + b }{ a } } \)
\( S_{10} = \frac { a^8(a^{10} - b^{10}) }{ a^{10} } \times \frac { a }{ a + b } \)
\( S_{10} = \frac { a(a^{10} - b^{10}) }{ a + b } \)
In simple words: हमने प्रत्येक गुणोत्तर श्रेढ़ी के पहले पद, सार्वअनुपात और पदों की संख्या को पहचाना। फिर, हमने सही योगफल सूत्र (r के मान के आधार पर) का उपयोग करके योगफल निकाला।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल के लिए सही सूत्र का उपयोग करें, यह इस पर निर्भर करता है कि सार्वअनुपात (r) 1 से बड़ा है या 1 से छोटा।

Question 2. निम्रलिखित गुणोत्तर श्रेढी का योगफल ज्ञात कीजिये।
(i) \( 2 + 6 + 18 + 54 + ...... + 486 \)
(ii) \( 64 + 32 + 16 + ...... + \frac { 1 }{ 4 } \)
Answer:
(i) दी गई श्रेढ़ी \( 2 + 6 + 18 + 54 + ...... + 486 \)
यहाँ, प्रथम पद \( a = 2 \)
सार्वअनुपात \( r = \frac { 6 }{ 2 } = 3 \)
अंतिम पद \( a_n = 486 \)
हम जानते हैं, गुणोत्तर श्रेढ़ी का \( n \)वाँ पद \( a_n = ar^{n-1} \) होता है।
\( 486 = 2 \cdot (3)^{n-1} \)
\( \frac { 486 }{ 2 } = (3)^{n-1} \)
\( 243 = (3)^{n-1} \)
\( 3^5 = 3^{n-1} \)
चूंकि आधार समान हैं, इसलिए घातें भी समान होंगी:
\( n - 1 = 5 \)
\( n = 6 \)
चूंकि \( r > 1 \), योगफल का सूत्र है: \( S_n = \frac { a(r^n - 1) }{ r - 1 } \)
\( S_6 = \frac { 2(3^6 - 1) }{ 3 - 1 } \)
\( S_6 = \frac { 2(729 - 1) }{ 2 } \)
\( S_6 = 728 \)

(ii) दी गई श्रेढ़ी \( 64 + 32 + 16 + ...... + \frac { 1 }{ 4 } \)
यहाँ, प्रथम पद \( a = 64 \)
सार्वअनुपात \( r = \frac { 32 }{ 64 } = \frac { 1 }{ 2 } \)
अंतिम पद \( a_n = \frac { 1 }{ 4 } \)
हम जानते हैं, गुणोत्तर श्रेढ़ी का \( n \)वाँ पद \( a_n = ar^{n-1} \) होता है।
\( \frac { 1 }{ 4 } = 64 \cdot (\frac { 1 }{ 2 })^{n-1} \)
\( \frac { 1 }{ 4 \times 64 } = (\frac { 1 }{ 2 })^{n-1} \)
\( \frac { 1 }{ 256 } = (\frac { 1 }{ 2 })^{n-1} \)
\( (\frac { 1 }{ 2 })^8 = (\frac { 1 }{ 2 })^{n-1} \)
चूंकि आधार समान हैं, इसलिए घातें भी समान होंगी:
\( n - 1 = 8 \)
\( n = 9 \)
चूंकि \( r < 1 \), योगफल का सूत्र है: \( S_n = \frac { a(1 - r^n) }{ 1 - r } \)
\( S_9 = \frac { 64(1 - (\frac { 1 }{ 2 })^9) }{ 1 - \frac { 1 }{ 2 } } \)
\( S_9 = \frac { 64(1 - \frac { 1 }{ 512 }) }{ \frac { 1 }{ 2 } } \)
\( S_9 = 2 \times 64 (\frac { 512 - 1 }{ 512 }) \)
\( S_9 = 128 \times \frac { 511 }{ 512 } \)
\( S_9 = \frac { 511 }{ 4 } \)
In simple words: पहले, हमने गुणोत्तर श्रेढ़ी के अंतिम पद का उपयोग करके पदों की संख्या (n) ज्ञात की। फिर, n के मान का उपयोग करके हमने श्रेढ़ी का कुल योगफल निकाला।

🎯 Exam Tip: जब अंतिम पद दिया हो, तो पहले n ज्ञात करें और फिर उस n का उपयोग करके योगफल सूत्र लागू करें।

Question 3. गु. श्रे. \( 4, 12, 36, ...... \) के कितने पदों का योगफल 484 है?
Answer:
दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी है: \( 4, 12, 36, ...... \)
यहाँ, प्रथम पद \( a = 4 \)
सार्वअनुपात \( r = \frac { 12 }{ 4 } = 3 \)
योगफल \( S_n = 484 \)
चूंकि \( r > 1 \), गुणोत्तर श्रेढ़ी के \( n \) पदों का योगफल का सूत्र है: \( S_n = \frac { a(r^n - 1) }{ r - 1 } \)
\( 484 = \frac { 4(3^n - 1) }{ 3 - 1 } \)
\( 484 = \frac { 4(3^n - 1) }{ 2 } \)
\( 484 = 2(3^n - 1) \)
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
\( 242 = 3^n - 1 \)
\( 242 + 1 = 3^n \)
\( 243 = 3^n \)
हम जानते हैं कि \( 243 = 3^5 \)
इसलिए, \( 3^5 = 3^n \)
चूंकि आधार समान हैं, इसलिए घातें भी समान होंगी:
\( n = 5 \)
गुणोत्तर श्रेढ़ी के 5 पदों का योगफल 484 है।
In simple words: हमने योगफल सूत्र का उपयोग करके n के लिए एक समीकरण बनाया। फिर, हमने उस समीकरण को हल करके पदों की संख्या (n) ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: यदि योगफल दिया गया हो, तो समीकरण बनाकर पदों की संख्या (n) ज्ञात करने के लिए घातों की तुलना करें।

Question 4. किसी गु. श्रे. के प्रथम 5 पदों का योगफल 124 तथा सार्वअनुपात 2 है। श्रेढ़ी का प्रथम पद ज्ञात कीजिये।
Answer:
दी गई जानकारी के अनुसार:
गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम 5 पदों का योगफल \( S_5 = 124 \)
सार्वअनुपात \( r = 2 \)
पदों की संख्या \( n = 5 \)
हमें प्रथम पद \( a \) ज्ञात करना है।
चूंकि \( r > 1 \), गुणोत्तर श्रेढ़ी के \( n \) पदों का योगफल का सूत्र है: \( S_n = \frac { a(r^n - 1) }{ r - 1 } \)
\( S_5 = \frac { a(2^5 - 1) }{ 2 - 1 } \)
\( 124 = \frac { a(32 - 1) }{ 1 } \)
\( 124 = 31a \)
\( a = \frac { 124 }{ 31 } \)
\( a = 4 \)
श्रेढ़ी का प्रथम पद 4 है।
In simple words: हमें योगफल, सार्वअनुपात और पदों की संख्या दी गई थी। हमने योगफल सूत्र में ये मान रखे और प्रथम पद (a) को हल किया।

🎯 Exam Tip: जब योगफल और सार्वअनुपात ज्ञात हो, तो अज्ञात प्रथम पद (a) ज्ञात करने के लिए सीधे योगफल सूत्र का उपयोग करें।

Question 5. किसी गु. श्रे. का सार्वअनुपात 2, अन्तिम पद 160 तथा योगफल 310 है। श्रेढी का प्रथम पद ज्ञात कीजिये।
Answer:
दी गई जानकारी के अनुसार:
सार्वअनुपात \( r = 2 \)
अंतिम पद \( a_n = 160 \)
योगफल \( S_n = 310 \)
हमें प्रथम पद \( a \) ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि गुणोत्तर श्रेढ़ी का \( n \)वाँ पद \( a_n = ar^{n-1} \) होता है।
\( 160 = a \cdot 2^{n-1} \) ... (1)
चूंकि \( r > 1 \), गुणोत्तर श्रेढ़ी के \( n \) पदों का योगफल का सूत्र है: \( S_n = \frac { a(r^n - 1) }{ r - 1 } \)
\( 310 = \frac { a(2^n - 1) }{ 2 - 1 } \)
\( 310 = a(2^n - 1) \) ... (2)
समीकरण (1) से, \( a = \frac { 160 }{ 2^{n-1} } = \frac { 160 \times 2 }{ 2^n } = \frac { 320 }{ 2^n } \)
अब \( a \) के मान को समीकरण (2) में रखने पर:
\( 310 = \frac { 320 }{ 2^n } (2^n - 1) \)
\( \frac { 310 }{ 320 } = \frac { 2^n - 1 }{ 2^n } \)
\( \frac { 31 }{ 32 } = 1 - \frac { 1 }{ 2^n } \)
\( \frac { 1 }{ 2^n } = 1 - \frac { 31 }{ 32 } \)
\( \frac { 1 }{ 2^n } = \frac { 32 - 31 }{ 32 } \)
\( \frac { 1 }{ 2^n } = \frac { 1 }{ 32 } \)
\( 2^n = 32 \)
\( 2^n = 2^5 \)
इसलिए, \( n = 5 \)
अब \( n = 5 \) के मान को समीकरण (1) में रखने पर:
\( 160 = a \cdot 2^{5-1} \)
\( 160 = a \cdot 2^4 \)
\( 160 = 16a \)
\( a = \frac { 160 }{ 16 } \)
\( a = 10 \)
श्रेढ़ी का प्रथम पद 10 है।
In simple words: हमने अंतिम पद और योगफल के सूत्रों का उपयोग करके दो समीकरण बनाए। फिर, हमने n के लिए हल किया और उस मान का उपयोग करके प्रथम पद (a) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जब अंतिम पद और योगफल दोनों दिए गए हों, तो पहले n ज्ञात करने के लिए दोनों सूत्रों का एक साथ उपयोग करें, फिर प्रथम पद ज्ञात करें।

Question 6. निम्रलिखित श्रेढ़ियों के प्रथम n पदों को योगफल ज्ञात कीजिये।
(i) \( 7 + 77 + 777 + ...... \)
(ii) \( .5 + .55 + .555 + ...... \)
(iii) \( .9 + .99 + .999 +.... \)
Answer:
(i) दी गई श्रेढ़ी है: \( S_n = 7 + 77 + 777 + ...... n \) पदों तक।
\( S_n = 7(1 + 11 + 111 + ...... n \) पदों तक)
\( S_n = \frac { 7 }{ 9 } (9 + 99 + 999 + ...... n \) पदों तक)
\( S_n = \frac { 7 }{ 9 } [(10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + ...... n \) पदों तक]
\( S_n = \frac { 7 }{ 9 } [(10 + 10^2 + 10^3 + ...... n \) पदों तक) \( - (1 + 1 + 1 + ...... n \) पदों तक)]
\( S_n = \frac { 7 }{ 9 } [\frac { 10(10^n - 1) }{ 10 - 1 } - n] \)
\( S_n = \frac { 7 }{ 9 } [\frac { 10 }{ 9 } (10^n - 1) - n] \)
\( S_n = \frac { 70 }{ 81 } (10^n - 1) - \frac { 7n }{ 9 } \)

(ii) दी गई श्रेढ़ी है: \( S_n = .5 + .55 + .555 + ...... n \) पदों तक।
\( S_n = 5(.1 + .11 + .111 + ...... n \) पदों तक)
\( S_n = \frac { 5 }{ 9 } (.9 + .99 + .999 + ...... n \) पदों तक)
\( S_n = \frac { 5 }{ 9 } [(1 - 0.1) + (1 - 0.01) + (1 - 0.001) + ...... n \) पदों तक]
\( S_n = \frac { 5 }{ 9 } [(1 + 1 + 1 + ...... n \) पदों तक) \( - (0.1 + 0.01 + 0.001 + ...... n \) पदों तक)]
\( S_n = \frac { 5 }{ 9 } [n - (\frac { 1 }{ 10 } + \frac { 1 }{ 10^2 } + \frac { 1 }{ 10^3 } + ...... n \) पदों तक)]
यहां \( \frac { 1 }{ 10 } + \frac { 1 }{ 10^2 } + \frac { 1 }{ 10^3 } + ...... \) एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( a = \frac { 1 }{ 10 } \) और सार्वअनुपात \( r = \frac { 1 }{ 10 } \) है।
इस गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल है: \( S'_n = \frac { \frac { 1 }{ 10 } (1 - (\frac { 1 }{ 10 })^n) }{ 1 - \frac { 1 }{ 10 } } = \frac { \frac { 1 }{ 10 } (1 - \frac { 1 }{ 10^n }) }{ \frac { 9 }{ 10 } } = \frac { 1 }{ 9 } (1 - \frac { 1 }{ 10^n }) \)
इसलिए,
\( S_n = \frac { 5 }{ 9 } [n - \frac { 1 }{ 9 } (1 - \frac { 1 }{ 10^n })] \)
\( S_n = \frac { 5n }{ 9 } - \frac { 5 }{ 81 } (1 - \frac { 1 }{ 10^n }) \)
\( S_n = \frac { 5 }{ 81 } (9n - 1 + \frac { 1 }{ 10^n }) \)

(iii) दी गई श्रेढ़ी है: \( S_n = .9 + .99 + .999 + ...... n \) पदों तक।
\( S_n = 9(.1 + .11 + .111 + ...... n \) पदों तक)
\( S_n = \frac { 9 }{ 9 } (.9 + .99 + .999 + ...... n \) पदों तक)
\( S_n = \frac { 9 }{ 9 } [(1 - 0.1) + (1 - 0.01) + (1 - 0.001) + ...... n \) पदों तक]
\( S_n = \frac { 9 }{ 9 } [(1 + 1 + 1 + ...... n \) पदों तक) \( - (0.1 + 0.01 + 0.001 + ...... n \) पदों तक)]
\( S_n = n - [\frac { 1 }{ 10 } + \frac { 1 }{ 10^2 } + \frac { 1 }{ 10^3 } + ...... n \) पदों तक)]
यहां \( \frac { 1 }{ 10 } + \frac { 1 }{ 10^2 } + \frac { 1 }{ 10^3 } + ...... \) एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( a = \frac { 1 }{ 10 } \) और सार्वअनुपात \( r = \frac { 1 }{ 10 } \) है।
इस गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल है: \( S'_n = \frac { \frac { 1 }{ 10 } (1 - (\frac { 1 }{ 10 })^n) }{ 1 - \frac { 1 }{ 10 } } = \frac { 1 }{ 9 } (1 - \frac { 1 }{ 10^n }) \)
इसलिए,
\( S_n = n - \frac { 1 }{ 9 } (1 - \frac { 1 }{ 10^n }) \)
In simple words: हमने प्रत्येक प्रकार की श्रेढ़ी को \( \frac { x }{ 9 } \) के रूप में बदलकर सरल किया, जहां \( x \) दोहराया जाने वाला अंक है। फिर, हमने इसे \( (10^k - 1) \) या \( (1 - 10^{-k}) \) के योगफल में तोड़ दिया, जिससे योगफल के लिए एक सरल सूत्र मिलता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार की श्रेढ़ियों को हल करने के लिए, उन्हें 9 से गुणा और भाग करके \( (10^k - 1) \) के पदों में परिवर्तित करें, जिससे गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल सूत्र का उपयोग करना आसान हो जाता है।

Question 7. निम्रलिखित आवती दशमलव विस्तार वाली परिमेय संख्याओं का भिन्नात्मक रूप ज्ञात कीजिए
(i) \( 2.35 \)
(iii) \( 2.752 \)
Answer:
(i) दी गई संख्या \( 2.3555... \) है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: \( 2 + 0.3 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 + ...... \)
\( = 2 + \frac { 3 }{ 10 } + \frac { 5 }{ 100 } + \frac { 5 }{ 1000 } + \frac { 5 }{ 10000 } + ...... \)
\( = 2 + \frac { 3 }{ 10 } + 5(\frac { 1 }{ 10^2 } + \frac { 1 }{ 10^3 } + \frac { 1 }{ 10^4 } + ......) \)
\( \frac { 1 }{ 10^2 } + \frac { 1 }{ 10^3 } + \frac { 1 }{ 10^4 } + ...... \) एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( a = \frac { 1 }{ 100 } \) और सार्वअनुपात \( r = \frac { 1 }{ 10 } \) है।
इस अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल \( S_\infty = \frac { a }{ 1 - r } = \frac { \frac { 1 }{ 100 } }{ 1 - \frac { 1 }{ 10 } } = \frac { \frac { 1 }{ 100 } }{ \frac { 9 }{ 10 } } = \frac { 1 }{ 100 } \times \frac { 10 }{ 9 } = \frac { 1 }{ 90 } \)
इसलिए,
\( 2.3\overline{5} = 2 + \frac { 3 }{ 10 } + 5 \times \frac { 1 }{ 90 } \)
\( = 2 + \frac { 3 }{ 10 } + \frac { 5 }{ 90 } \)
\( = 2 + \frac { 27 }{ 90 } + \frac { 5 }{ 90 } \)
\( = 2 + \frac { 32 }{ 90 } \)
\( = 2 + \frac { 16 }{ 45 } \)
\( = \frac { 2 \times 45 + 16 }{ 45 } = \frac { 90 + 16 }{ 45 } = \frac { 106 }{ 45 } \)

(iii) दी गई संख्या \( 2.752752752... \) है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: \( 2 + 0.752 + 0.000752 + 0.000000752 + ...... \)
\( = 2 + 752(\frac { 1 }{ 10^3 } + \frac { 1 }{ 10^6 } + \frac { 1 }{ 10^9 } + ......) \)
\( \frac { 1 }{ 10^3 } + \frac { 1 }{ 10^6 } + \frac { 1 }{ 10^9 } + ...... \) एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( a = \frac { 1 }{ 10^3 } \) और सार्वअनुपात \( r = \frac { 1 }{ 10^3 } \) है।
इस अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल \( S_\infty = \frac { a }{ 1 - r } = \frac { \frac { 1 }{ 1000 } }{ 1 - \frac { 1 }{ 1000 } } = \frac { \frac { 1 }{ 1000 } }{ \frac { 999 }{ 1000 } } = \frac { 1 }{ 999 } \)
इसलिए,
\( 2.\overline{752} = 2 + 752 \times \frac { 1 }{ 999 } \)
\( = 2 + \frac { 752 }{ 999 } \)
\( = \frac { 2 \times 999 + 752 }{ 999 } = \frac { 1998 + 752 }{ 999 } = \frac { 2750 }{ 999 } \)
In simple words: हमने आवर्ती दशमलव को एक पूर्णांक और एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योग में तोड़ा। फिर, हमने अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल सूत्र का उपयोग करके उसे एक भिन्न में बदला।

🎯 Exam Tip: आवर्ती दशमलव को भिन्नात्मक रूप में बदलने के लिए, दशमलव भाग को एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के रूप में पहचानें और उसके योगफल सूत्र का उपयोग करें।

Question 8. किसी अनंत गु. श्रे. का प्रथम पद 64 है तथा प्रत्येक पद उसके बाद आने वाले पदों के योगफल का तीन गुणा है। श्रेढ़ी ज्ञात कीजिये।
Answer:
मान लीजिये गुणोत्तर श्रेढ़ी है: \( a, ar, ar^2, ar^3, ...... \)
दिया गया है कि प्रथम पद \( a = 64 \)
यह भी दिया गया है कि प्रत्येक पद उसके बाद आने वाले पदों के योगफल का तीन गुणा है।
इसलिए, प्रथम पद के लिए:
\( a = 3 \times (ar + ar^2 + ar^3 + ......) \)
दाएं हाथ की तरफ एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( ar \) और सार्वअनुपात \( r \) है।
इस अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल \( S_\infty = \frac { ar }{ 1 - r } \) (यह मानते हुए कि \( |r| < 1 \))
तो, \( a = 3 \times \frac { ar }{ 1 - r } \)
\( 1 = \frac { 3r }{ 1 - r } \) (दोनों पक्षों से \( a \) को भाग देने पर, \( a \neq 0 \))
\( 1 - r = 3r \)
\( 1 = 3r + r \)
\( 1 = 4r \)
\( r = \frac { 1 }{ 4 } \)
श्रेढ़ी के पद हैं:
प्रथम पद: \( a = 64 \)
दूसरा पद: \( ar = 64 \times \frac { 1 }{ 4 } = 16 \)
तीसरा पद: \( ar^2 = 64 \times (\frac { 1 }{ 4 })^2 = 64 \times \frac { 1 }{ 16 } = 4 \)
चौथा पद: \( ar^3 = 64 \times (\frac { 1 }{ 4 })^3 = 64 \times \frac { 1 }{ 64 } = 1 \)
श्रेढ़ी है: \( 64, 16, 4, 1, ...... \)
In simple words: हमने दी गई शर्त का उपयोग करके एक समीकरण बनाया, जिसमें अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल का सूत्र शामिल था। फिर, हमने सार्वअनुपात (r) को हल किया और पहले पद के साथ मिलकर श्रेढ़ी के पदों को लिखा।

🎯 Exam Tip: जब गुणोत्तर श्रेढ़ी में पदों के बीच कोई संबंध दिया गया हो, तो हमेशा उस संबंध को समीकरण के रूप में लिखें और अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल सूत्र का उपयोग करें।

Question 9. यदि \( y = x + x^2 + x^3 + ..... \infty \), जहाँ \( |x| < 1 \) हो, तब सिद्ध कीजिये \( x = \frac { y }{ 1+y } \)
Answer:
दिया गया है: \( y = x + x^2 + x^3 + ..... \infty \)
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( a = x \) और सार्वअनुपात \( r = x \) है।
अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल का सूत्र है: \( S_\infty = \frac { a }{ 1 - r } \)
इसलिए, \( y = \frac { x }{ 1 - x } \) ... (1)
हमें सिद्ध करना है कि \( x = \frac { y }{ 1 + y } \)
समीकरण (1) से, हम \( y(1 - x) = x \) लिख सकते हैं।
\( y - yx = x \)
अब, \( yx \) को दाएं हाथ की तरफ ले जाने पर:
\( y = x + yx \)
दाएं हाथ की तरफ से \( x \) को उभयनिष्ठ लेने पर:
\( y = x(1 + y) \)
अब, \( (1 + y) \) को बाएं हाथ की तरफ ले जाने पर:
\( \frac { y }{ 1 + y } = x \)
अतः, \( x = \frac { y }{ 1 + y } \)
इतिसिद्धम् (Hence Proved)
In simple words: हमने दिए गए समीकरण को अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल सूत्र के रूप में लिखा। फिर, हमने बीजगणित का उपयोग करके इस समीकरण को x के लिए हल किया, जिससे सिद्ध हुआ कि \( x = \frac { y }{ 1+y } \)।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, दिए गए योग को हमेशा अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल सूत्र से संबंधित करें और फिर बीजगणितीय रूप से हल करके वांछित संबंध तक पहुंचें।

Question 10. सिद्ध करना है: \( 1 + ab + a^2b^2 + ... \infty = \frac { xy }{ x+y-1 } \), जबकि \( x = \frac { 1 }{ 1-a } \) और \( y = 1 + b + b^2 + b^3 + ..... \infty \)
Answer:
दिया गया है:
\( x = \frac { 1 }{ 1-a } \) ... (1)
और \( y = 1 + b + b^2 + b^3 + ..... \infty \)
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( A = 1 \) और सार्वअनुपात \( R = b \) है।
इसलिए, \( y = \frac { 1 }{ 1-b } \) ... (2)
हमें सिद्ध करना है: \( 1 + ab + a^2b^2 + ... \infty = \frac { xy }{ x+y-1 } \)
बायां हाथ (L.H.S.): \( 1 + ab + a^2b^2 + ... \infty \)
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( P = 1 \) और सार्वअनुपात \( Q = ab \) है।
तो, L.H.S. \( = \frac { 1 }{ 1 - ab } \) ... (3)
दायां हाथ (R.H.S.): \( \frac { xy }{ x+y-1 } \)
समीकरण (1) और (2) से \( x \) और \( y \) के मान रखने पर:
R.H.S. \( = \frac { \frac { 1 }{ 1-a } \times \frac { 1 }{ 1-b } }{ \frac { 1 }{ 1-a } + \frac { 1 }{ 1-b } - 1 } \)
R.H.S. \( = \frac { \frac { 1 }{ (1-a)(1-b) } }{ \frac { (1-b) + (1-a) - (1-a)(1-b) }{ (1-a)(1-b) } } \)
R.H.S. \( = \frac { 1 }{ (1-b) + (1-a) - (1-a)(1-b) } \)
R.H.S. \( = \frac { 1 }{ 1 - b + 1 - a - (1 - b - a + ab) } \)
R.H.S. \( = \frac { 1 }{ 2 - a - b - 1 + b + a - ab } \)
R.H.S. \( = \frac { 1 }{ 1 - ab } \) ... (4)
समीकरण (3) और (4) से, L.H.S. = R.H.S.
इतिसिद्धम् (Hence Proved)
In simple words: हमने \( x \) और \( y \) को सरल रूप में बदला। फिर, हमने L.H.S. और R.H.S. दोनों को हल किया, जिसमें अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल के सूत्र का उपयोग किया गया, और दिखाया कि वे समान हैं।

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, अक्सर दोनों पक्षों को एक सामान्य, सरल रूप में लाना सबसे प्रभावी होता है। अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल सूत्र को ध्यान में रखें।

Question 11. श्रेढ़ी का योग ज्ञात कीजिये \( (1+\frac { 1 }{ 2^2 })+(1+\frac { 1 }{ 2^4 })+(1+\frac { 1 }{ 2^6 })+......\infty \text{ तक} \)
Answer:
श्रेढ़ी है: \( (1+\frac { 1 }{ 4 })+(1+\frac { 1 }{ 16 })+(1+\frac { 1 }{ 64 })+......\infty \text{ तक} \)
दी गई श्रेढ़ी को एक अलग तरीके से देखने पर, हम इसे इस प्रकार मान सकते हैं कि यह एक स्थिर पद और एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल है।
इसमें अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी वाला भाग है: \( \frac { 1 }{ 4 } + \frac { 1 }{ 16 } + \frac { 1 }{ 64 } + ...... \infty \text{ तक} \)
इस गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद \( a = \frac { 1 }{ 4 } \) और सार्वअनुपात \( r = \frac { 1/16 }{ 1/4 } = \frac { 1 }{ 4 } \) है।
अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल \( S_\infty = \frac { a }{ 1 - r } = \frac { \frac { 1 }{ 4 } }{ 1 - \frac { 1 }{ 4 } } = \frac { \frac { 1 }{ 4 } }{ \frac { 3 }{ 4 } } = \frac { 1 }{ 3 } \)
श्रेढ़ी का कुल योगफल निकालने के लिए, हमें इस गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल में शेष स्थिर मान को जोड़ना होगा। प्रश्न में दिए गए स्वरूप के आधार पर, यह स्थिर मान 2 है।
इसलिए, कुल योगफल \( = 2 + \frac { 1 }{ 3 } = \frac { 6 + 1 }{ 3 } = \frac { 7 }{ 3 } \)
In simple words: हमने इस श्रेढ़ी को एक स्थिर संख्या और एक अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल के रूप में देखा। हमने गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल को अलग से निकाला, और फिर उसे स्थिर संख्या में जोड़ दिया ताकि कुल योगफल प्राप्त हो सके।

🎯 Exam Tip: कुछ श्रेढ़ियां सीधी गुणोत्तर श्रेढ़ियां नहीं होतीं। ऐसे मामलों में, उन्हें स्थिर पदों और गुणोत्तर श्रेढ़ियों के संयोजन में तोड़ना अक्सर योगफल ज्ञात करने का एक प्रभावी तरीका होता है।