RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Exercise 8.3

Question 1. (i) श्रेढ़ी \( 1 + 3 + 9 + 27 + ..... \) का 7 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: यह एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है, जहाँ पहला पद \( a = 1 \) है. सार्वअनुपात \( r \) निकालने के लिए, दूसरे पद को पहले पद से भाग देते हैं, तो \( r = \frac{3}{1} = 3 \) मिलता है. 7वां पद ज्ञात करने के लिए गुणोत्तर श्रेढ़ी के सूत्र \( T_n = ar^{n-1} \) का उपयोग करेंगे.
\( T_7 = ar^{7-1} = 1 \cdot (3)^6 = 1 \cdot 729 = 729 \)
In simple words: श्रेढ़ी का 7वां पद निकालने के लिए, पहले पद (1) को सार्वअनुपात (3) की घात 6 से गुणा करें.

🎯 Exam Tip: गुणोत्तर श्रेढ़ी में किसी भी पद को ज्ञात करने के लिए, पहले पद (a) और सार्वअनुपात (r) को सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है।

Question 1. (ii) \( \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} + ..... \) का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: यह एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है. इसका पहला पद \( a = \sqrt{2} \) है. सार्वअनुपात \( r \) दूसरे पद को पहले पद से भाग देकर निकाला जाता है, जो कि \( r = \frac{1}{\sqrt{2}} \div \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \) है. 10वां पद ज्ञात करने के लिए, हम गुणोत्तर श्रेढ़ी के \( n \)वें पद के सूत्र \( T_n = ar^{n-1} \) का उपयोग करेंगे.
\( T_{10} = \sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10-1} \)
\( = \sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^9 \)
\( = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{512} \)
\( = \frac{\sqrt{2}}{512} \)
In simple words: इस श्रेढ़ी का 10वां पद खोजने के लिए, पहला पद \(\sqrt{2}\) को सार्वअनुपात \(\frac{1}{2}\) की घात 9 से गुणा करें. आपको \(\frac{\sqrt{2}}{512}\) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: भिन्नों और करणी (स्क्वायर रूट) वाले सार्वअनुपात की गणना करते समय सावधानी बरतें. घातों को सही ढंग से सरल करें.

Question 2. (i) श्रेढी \( 64 + 32 + 16 + 8 +... \) का कौनसा पद \( \frac{1}{64} \) है ?
Answer: यह एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसमें पहला पद \( a = 64 \) है. सार्वअनुपात \( r = \frac{32}{64} = \frac{1}{2} \) है. हमें वह पद ज्ञात करना है जिसका मान \( \frac{1}{64} \) है. मान लीजिए कि \( n \)वाँ पद \( T_n = \frac{1}{64} \) है.
\( T_n = ar^{n-1} \)
\( \frac{1}{64} = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
\( \implies \frac{1}{64 \cdot 64} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
\( \implies \frac{1}{2^6 \cdot 2^6} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
\( \implies \frac{1}{2^{12}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
\( \implies \left(\frac{1}{2}\right)^{12} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
जब आधार समान होते हैं, तो उनकी घातें भी समान होनी चाहिए.
\( \implies 12 = n - 1 \)
\( \implies n = 13 \)
In simple words: इस श्रेढ़ी में, 13वां पद \(\frac{1}{64}\) होगा. हमने पहला पद, सार्वअनुपात और \( n \)वें पद के सूत्र का उपयोग करके \( n \) का मान निकाला.

🎯 Exam Tip: अज्ञात पद संख्या (n) को ज्ञात करते समय, घातों को समान आधार पर व्यक्त करना और फिर घातों की तुलना करना एक महत्वपूर्ण कदम है.

Question 2. (ii) श्रेढ़ी \( 6+3+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+..... \) का कौनसा पद \( \frac{3}{256} \) है?
Answer: दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी में, पहला पद \( a = 6 \) है. सार्वअनुपात \( r = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) है. हमें यह पता लगाना है कि इस श्रेढ़ी का कौनसा पद \( \frac{3}{256} \) है. मान लेते हैं कि \( n \)वाँ पद \( T_n = \frac{3}{256} \) है.
\( T_n = ar^{n-1} \)
\( \frac{3}{256} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
\( \implies \frac{3}{256 \cdot 6} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
\( \implies \frac{1}{256 \cdot 2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
\( \implies \frac{1}{512} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
\( \implies \left(\frac{1}{2}\right)^9 = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
जब आधार समान होते हैं, तो उनकी घातें भी समान होनी चाहिए.
\( \implies 9 = n - 1 \)
\( \implies n = 10 \)
In simple words: इस गुणोत्तर श्रेढ़ी का 10वां पद \(\frac{3}{256}\) होगा. हमने दिए गए पद के लिए \( n \) का मान निकालने के लिए \( T_n \) सूत्र का उपयोग किया.

🎯 Exam Tip: गणना में भिन्नों को सावधानी से सरल करें, विशेष रूप से जब आप \( n \) के मान के लिए घातों को बराबर कर रहे हों.

Question 4. गुणोत्तर श्रेढ़ी 2, 6, 18, 54.........118098 का अन्त से 5वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई गुणोत्तर श्रेढ़ी में, पहला पद \( a = 2 \) है. सार्वअनुपात \( r = \frac{6}{2} = 3 \) है. श्रेढ़ी का अंतिम पद 118098 है. सबसे पहले, हमें कुल पदों की संख्या (\( n \)) ज्ञात करनी होगी. \( n \)वें पद का सूत्र \( T_n = ar^{n-1} \) होता है.
\( T_n = ar^{n-1} \)
\( 118098 = 2 \cdot (3)^{n-1} \)
\( \implies \frac{118098}{2} = (3)^{n-1} \)
\( \implies 59049 = (3)^{n-1} \)
\( \implies 3^{10} = 3^{n-1} \)
जब आधार समान होते हैं, तो घातें भी समान होंगी.
\( \implies 10 = n - 1 \)
\( \implies n = 11 \)
तो, इस श्रेढ़ी में कुल 11 पद हैं. अब हमें अंत से 5वां पद ज्ञात करना है. अंत से \( p \)वें पद का सूत्र \( T_n = ar^{n-p} \) होता है.
\( T_{\text{अंत से } 5} = ar^{n-p} = 2 \cdot (3)^{11-5} \)
\( = 2 \cdot (3)^6 \)
\( = 2 \cdot 729 \)
\( = 1458 \)
In simple words: पहले कुल पद खोजें. फिर अंत से 5वें पद के लिए सूत्र \( ar^{n-p} \) का उपयोग करके मान निकालें. अंतिम उत्तर 1458 है.

🎯 Exam Tip: अंत से पद ज्ञात करने के लिए, पहले कुल पदों की संख्या (n) ज्ञात करना आवश्यक है. फिर सही सूत्र \( ar^{n-p} \) का उपयोग करें.

Question 5. एक गुणोत्तर श्रेढ़ी का तीसरा पद 32 तथा 7वाँ पद 8192 है, तो श्रेढ़ी को 10वाँ पद ज्ञात कीजिये।
Answer: एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में, तीसरा पद (\( T_3 \)) 32 है और सातवाँ पद (\( T_7 \)) 8192 है. हमें 10वाँ पद ज्ञात करना है. \( n \)वें पद के सूत्र \( T_n = ar^{n-1} \) का उपयोग करके, हम दो समीकरण बना सकते हैं.
\( T_3 = ar^{3-1} = ar^2 = 32 \).....(1)
\( T_7 = ar^{7-1} = ar^6 = 8192 \).....(2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) से भाग देने पर:
\( \frac{ar^6}{ar^2} = \frac{8192}{32} \)
\( \implies r^4 = 256 \)
\( \implies r = (256)^{1/4} = (2^8)^{1/4} = 2^2 = 4 \)
अब, \( r = 4 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( 32 = a \cdot (4)^2 \)
\( 32 = a \cdot 16 \)
\( \implies a = \frac{32}{16} = 2 \)
अतः, पहला पद \( a = 2 \) और सार्वअनुपात \( r = 4 \) है. अब हम 10वाँ पद ज्ञात कर सकते हैं:
\( T_{10} = ar^{10-1} = ar^9 = 2 \cdot (4)^9 \)
\( = 2 \cdot (2^2)^9 \)
\( = 2 \cdot 2^{18} \)
\( = 2^{19} \)
In simple words: दिए गए पदों का उपयोग करके पहले सार्वअनुपात \( r \) और पहला पद \( a \) निकालें. फिर \( T_{10} \) के लिए \( ar^9 \) सूत्र का उपयोग करके \( 2^{19} \) प्राप्त करें.

🎯 Exam Tip: दो दिए गए पदों से 'a' और 'r' ज्ञात करने के लिए, हमेशा एक समीकरण को दूसरे से भाग दें ताकि 'a' कट जाए और 'r' का मान आसानी से मिल सके.

Question 6. गुणोत्तर श्रेढी ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 1 तथा सातवाँ पद 16 है ।
Answer: एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में तीसरा पद (\( T_3 \)) 1 है और सातवाँ पद (\( T_7 \)) 16 है. हमें इस गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों को ज्ञात करना है. \( n \)वें पद के सूत्र \( T_n = ar^{n-1} \) का उपयोग करके, हम दो समीकरण बना सकते हैं.
\( T_3 = ar^{3-1} = ar^2 = 1 \).....(1)
\( T_7 = ar^{7-1} = ar^6 = 16 \).....(2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) से भाग देने पर:
\( \frac{ar^6}{ar^2} = \frac{16}{1} \)
\( \implies r^4 = 16 \)
\( \implies r = (16)^{1/4} = 2 \)
अब, \( r = 2 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( 1 = a(2)^2 \)
\( 1 = 4a \)
\( \implies a = \frac{1}{4} \)
तो, पहला पद \( a = \frac{1}{4} \) और सार्वअनुपात \( r = 2 \) है. गुणोत्तर श्रेढ़ी के पद \( a, ar, ar^2, ar^3, \dots \) होते हैं.
\( \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \cdot 2, \frac{1}{4} \cdot 2^2, \frac{1}{4} \cdot 2^3, \dots \)
\( \implies \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, \dots \)
In simple words: दिए गए पदों का उपयोग करके पहले सार्वअनुपात \( r \) और पहला पद \( a \) निकालें. फिर गुणोत्तर श्रेढ़ी के पहले कुछ पद लिखें.

🎯 Exam Tip: गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों को सूची में लिखते समय, 'a' और 'r' के सही मानों को क्रमिक रूप से गुणा करना याद रखें.

Question 7. (i) 3 तथा 48 के मध्य 3 गणोत्तर माध्य ज्ञात कीजिये ।
Answer: हमें 3 और 48 के बीच तीन गुणोत्तर माध्य (\( G_1, G_2, G_3 \)) ज्ञात करने हैं. यहाँ पहला पद \( a = 3 \) और अंतिम पद \( b = 48 \) है. यदि हम 3 गुणोत्तर माध्यों को शामिल करते हैं, तो कुल पदों की संख्या \( n = 3 (\text{माध्य}) + 2 (\text{पहले और अंतिम पद}) = 5 \) हो जाएगी. \( n \)वें पद के सूत्र \( b = ar^{n-1} \) का उपयोग करेंगे.
\( a = 3, b = 48 \)
\( n = 5 \)
\( b = ar^{n-1} \)
\( 48 = 3 \cdot (r)^{5-1} \)
\( \implies \frac{48}{3} = r^4 \)
\( \implies 16 = r^4 \)
\( \implies r = (16)^{1/4} = 2 \)
अब, हम गुणोत्तर माध्य ज्ञात कर सकते हैं:
\( G_1 = ar = 3 \cdot 2 = 6 \)
\( G_2 = ar^2 = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12 \)
\( G_3 = ar^3 = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24 \)
अतः, 3 और 48 के बीच के तीन गुणोत्तर माध्य 6, 12 और 24 हैं.
In simple words: दिए गए पदों और माध्यों की संख्या का उपयोग करके सार्वअनुपात \( r \) निकालें. फिर \( ar, ar^2, ar^3 \) सूत्र का उपयोग करके माध्य ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: दो संख्याओं के बीच \( k \) गुणोत्तर माध्य ज्ञात करने के लिए, कुल पदों की संख्या \( n = k + 2 \) होती है.

Question 7. (ii) 2 व 256 के मध्य 6 गुणोत्तर माध्य ज्ञात कीजिये।
Answer: हमें 2 और 256 के बीच 6 गुणोत्तर माध्य (\( G_1, G_2, G_3, G_4, G_5, G_6 \)) ज्ञात करने हैं. यहाँ पहला पद \( a = 2 \) और अंतिम पद \( b = 256 \) है. कुल पदों की संख्या \( n = 6 (\text{माध्य}) + 2 (\text{पहले और अंतिम पद}) = 8 \) है. \( n \)वें पद के सूत्र \( b = ar^{n-1} \) का उपयोग करेंगे.
\( a = 2, b = 256 \)
\( n = 8 \)
\( b = ar^{n-1} \)
\( 256 = 2 \cdot (r)^{8-1} \)
\( \implies \frac{256}{2} = r^7 \)
\( \implies 128 = r^7 \)
\( \implies r = (128)^{1/7} = 2 \)
अब, हम गुणोत्तर माध्य ज्ञात कर सकते हैं:
\( G_1 = ar = 2 \cdot 2 = 4 \)
\( G_2 = ar^2 = 2 \cdot 2^2 = 8 \)
\( G_3 = ar^3 = 2 \cdot 2^3 = 16 \)
\( G_4 = ar^4 = 2 \cdot 2^4 = 32 \)
\( G_5 = ar^5 = 2 \cdot 2^5 = 64 \)
\( G_6 = ar^6 = 2 \cdot 2^6 = 128 \)
अतः, 2 और 256 के बीच के छह गुणोत्तर माध्य 4, 8, 16, 32, 64 और 128 हैं.
In simple words: दिए गए पदों और माध्यों की संख्या का उपयोग करके सार्वअनुपात \( r \) निकालें. फिर \( ar, ar^2, \dots, ar^6 \) सूत्र का उपयोग करके माध्य ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: गुणोत्तर माध्यों की गणना करते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप सार्वअनुपात की सही घात का उपयोग कर रहे हैं (जैसे \( G_1 \) के लिए \( r^1 \), \( G_2 \) के लिए \( r^2 \), आदि).

Question 8. x के किस मान के लिए संख्याएँ x, x + 3, x + 9 गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं ?
Answer: यदि तीन संख्याएँ \( x, y, z \) गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) में होती हैं, तो बीच वाली संख्या का वर्ग बाकी दो संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है, यानी \( y^2 = xz \). यहाँ, संख्याएँ \( x, x + 3 \) और \( x + 9 \) GP में हैं.
\( (x + 3)^2 = x \cdot (x + 9) \)
\( \implies x^2 + 6x + 9 = x^2 + 9x \)
दोनों तरफ से \( x^2 \) को रद्द करने पर:
\( \implies 6x + 9 = 9x \)
\( \implies 9 = 9x - 6x \)
\( \implies 9 = 3x \)
\( \implies x = 3 \)
अतः, \( x = 3 \) के लिए, संख्याएँ \( 3, 6, 12 \) गुणोत्तर श्रेढ़ी में होंगी.
In simple words: गुणोत्तर श्रेढ़ी के नियम \( (\text{बीच का पद})^2 = (\text{पहला पद}) \times (\text{तीसरा पद}) \) का उपयोग करके \( x \) का मान ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय समीकरणों को हल करते समय, समान पदों को ध्यान से मिलाएं और समीकरण के दोनों पक्षों पर समान ऑपरेशन लागू करें.

Question 10. किसी गु. श्रे. का चौथा पद p, सातवाँ पद q तथा दसवाँ पद r है, तो सिद्ध कीजिये \( q^2 = pr \).
Answer: एक गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) में, हमें चौथा पद \( p \), सातवाँ पद \( q \), और दसवाँ पद \( r \) दिया गया है. हमें यह सिद्ध करना है कि \( q^2 = pr \). हम \( n \)वें पद के सूत्र \( T_n = ar^{n-1} \) का उपयोग करके इन पदों को व्यक्त कर सकते हैं.
\( p = T_4 = ar^{4-1} = ar^3 \).....(1)
\( q = T_7 = ar^{7-1} = ar^6 \).....(2)
\( r = T_{10} = ar^{10-1} = ar^9 \).....(3)
हमें सिद्ध करना है \( q^2 = pr \).
बायां पक्ष (LHS):
\( q^2 = (ar^6)^2 = a^2r^{12} \)
दायां पक्ष (RHS):
\( pr = (ar^3)(ar^9) = a^2r^{3+9} = a^2r^{12} \)
चूँकि बायां पक्ष (LHS) दायां पक्ष (RHS) के बराबर है, इसलिए यह सिद्ध होता है कि \( q^2 = pr \).
In simple words: दिए गए पदों \( p, q, r \) को \( ar^{n-1} \) के रूप में लिखें. फिर \( q^2 \) और \( pr \) दोनों को हल करें और दिखाएँ कि वे समान हैं.

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, LHS और RHS को अलग-अलग हल करें और दिखाएं कि वे समान हैं. घातों के नियमों का सही ढंग से उपयोग करें.

Question 11. यदि गु. श्रे. में (p + q) वाँ पद x तथा (p - q) वाँ पद y है, तो p वाँ पद ज्ञात कीजिये।
Answer: एक गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) में, \((p + q)\) वाँ पद \( x \) और \((p - q)\) वाँ पद \( y \) है. हमें \( p \) वाँ पद ज्ञात करना है. हम \( n \)वें पद के सूत्र \( T_n = ar^{n-1} \) का उपयोग करके दिए गए पदों को व्यक्त कर सकते हैं.
\( x = T_{p+q} = ar^{(p+q)-1} \).....(1)
\( y = T_{p-q} = ar^{(p-q)-1} \).....(2)
समीकरण (1) और समीकरण (2) को गुणा करने पर:
\( xy = (ar^{p+q-1}) \cdot (ar^{p-q-1}) \)
\( \implies xy = a^2 r^{(p+q-1) + (p-q-1)} \)
\( \implies xy = a^2 r^{2p-2} \)
\( \implies xy = (ar^{p-1})^2 \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( \implies \sqrt{xy} = ar^{p-1} \)
चूँकि \( T_p = ar^{p-1} \), अतः \( p \) वाँ पद \( \sqrt{xy} \) है.
In simple words: दिए गए दो पदों के सूत्रों को लिखें. उन्हें गुणा करें और सरल करें. अंत में \( p \)वें पद के लिए सूत्र \( \sqrt{xy} \) प्राप्त करने के लिए वर्गमूल लें.

🎯 Exam Tip: गुणनफल और भागफल के नियमों का उपयोग करके घातांकों को सरल करने में सावधानी बरतें. \( (ar^{p-1})^2 \) के रूप में लिखने से सरलीकरण में मदद मिलती है.

Question 12. यदि a, b, c गुणोत्तर श्रेढ़ी में तथा \( a^x = b^y = c^z \) है तो सिद्ध कीजिये \( \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{2}{y} \).
Answer: हमें दिया गया है कि \( a, b, c \) गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) में हैं और \( a^x = b^y = c^z \) है. हमें सिद्ध करना है कि \( \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{2}{y} \). सबसे पहले, हम \( a^x = b^y = c^z \) को किसी स्थिरांक \( k \) के बराबर मानेंगे, ताकि हम \( a, b, c \) को \( k \) की घातों के रूप में व्यक्त कर सकें.
मान लीजिए \( a^x = b^y = c^z = k \).
\( \implies a = k^{1/x}, b = k^{1/y}, c = k^{1/z} \).....(i)
चूँकि \( a, b, c \) गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, इसलिए गुणोत्तर श्रेढ़ी की शर्त के अनुसार:
\( b^2 = ac \).....(ii)
अब, समीकरण (i) से \( a, b, c \) के मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( (k^{1/y})^2 = k^{1/x} \cdot k^{1/z} \)
\( \implies k^{2/y} = k^{1/x + 1/z} \)
यहाँ आधार \( k \) समान हैं, इसलिए उनकी घातें भी समान होनी चाहिए.
\( \implies \frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z} \)
यह सिद्ध होता है.
In simple words: पहले \( a^x = b^y = c^z \) को एक स्थिरांक \( k \) के बराबर मानें और \( a, b, c \) को \( k \) की घातों के रूप में व्यक्त करें. फिर गुणोत्तर श्रेढ़ी की शर्त \( b^2 = ac \) में इन मानों को रखें और घातों की तुलना करके परिणाम सिद्ध करें.

🎯 Exam Tip: जब चर घातांक में हों, तो उन्हें एक सामान्य आधार (जैसे \( k \)) के रूप में व्यक्त करना अक्सर समस्या को सरल बनाने का एक अच्छा तरीका होता है.

Question 14. x, y, z गु. श्रे. में हैं । x, y का स.मा. \( A_1 \) तथा y, z का स.मा. \( A_2 \) है, तो सिद्ध कीजिए (i) \( \frac{1}{A_1} + \frac{1}{A_2} = \frac{2}{y} \)
Answer: हमें दिया गया है कि \( x, y, z \) गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) में हैं, जिसका अर्थ है \( y^2 = xz \). साथ ही, \( x \) और \( y \) का समांतर माध्य \( A_1 \) है, और \( y \) और \( z \) का समांतर माध्य \( A_2 \) है. हमें सिद्ध करना है कि \( \frac{1}{A_1} + \frac{1}{A_2} = \frac{2}{y} \). सबसे पहले, \( A_1 \) और \( A_2 \) को \( x, y, z \) के पदों में व्यक्त करेंगे.
चूँकि \( x, y, z \) गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, तो:
\( y^2 = xz \).....(1)
समांतर माध्य की परिभाषा से:
\( A_1 = \frac{x+y}{2} \implies 2A_1 = x+y \)
\( A_2 = \frac{y+z}{2} \implies 2A_2 = y+z \)
अब, बायाँ पक्ष (LHS) लें:
\( \text{LHS} = \frac{1}{A_1} + \frac{1}{A_2} \)
\( = \frac{2}{x+y} + \frac{2}{y+z} \)
\( = \frac{2(y+z) + 2(x+y)}{(x+y)(y+z)} \)
\( = \frac{2y+2z+2x+2y}{xy+xz+y^2+yz} \)
\( = \frac{2x+4y+2z}{xy+xz+y^2+yz} \)
समीकरण (1) से \( xz = y^2 \) मान रखने पर:
\( = \frac{2x+4y+2z}{xy+y^2+y^2+yz} \)
\( = \frac{2x+4y+2z}{xy+2y^2+yz} \)
\( = \frac{2(x+2y+z)}{y(x+2y+z)} \)
\( = \frac{2}{y} = \text{RHS} \)
यह सिद्ध होता है.
In simple words: पहले \( A_1 \) और \( A_2 \) को \( x, y, z \) के रूप में लिखें. फिर LHS में मानों को सब्स्टीट्यूट करें और \( y^2 = xz \) का उपयोग करके सरल करें ताकि आपको \( \frac{2}{y} \) प्राप्त हो.

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ते समय, पहले एक सामान्य हर (LCM) ज्ञात करें और फिर समान पदों को रद्द करने के लिए \( y^2 = xz \) जैसे दिए गए संबंधों का उपयोग करें.