RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Exercise 7.6

प्रश्न 1. निम्नलिखित श्रेणियों का योग ज्ञात कीजिए \( 1+\frac{2}{3}\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6}\frac{1}{2^2} + \ldots \)
Answer: दी गई श्रेणी को द्विपद प्रमेय के मानक रूप \( (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \ldots \) से तुलना करने पर:
पहला पद (1 के बाद): \( nx = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \) (समीकरण 1)
दूसरा पद: \( \frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{5}{18} \) (समीकरण 2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) के वर्ग से भाग देने पर:
\( \frac{n(n-1)x^2 / 2}{(nx)^2} = \frac{n-1}{2n} \)
\( \frac{n-1}{2n} = \frac{5/18}{(1/3)^2} = \frac{5/18}{1/9} = \frac{5}{18} \cdot 9 = \frac{5}{2} \)
\( n-1 = 5n \)
\( 4n = -1 \)
\( \implies 3n = -2 \)
\( n = -\frac{2}{3} \)
अब \( n \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \left(-\frac{2}{3}\right)x = \frac{1}{3} \)
\( x = -\frac{1}{2} \)
श्रेणी का योग \( = (1+x)^n \)
\( = \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{-2/3} \)
\( = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2/3} \)
\( = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3} \)
In simple words: हमने दी गई श्रेणी को द्विपद प्रमेय के मानक रूप से तुलना करके \( n \) और \( x \) के मान निकाले. फिर, हमने \( (1+x)^n \) सूत्र में इन मानों को रखकर श्रेणी का योग ज्ञात किया, जो \( 4^{1/3} \) आता है.

🎯 Exam Tip: द्विपद प्रमेय पर आधारित श्रेणियों के योग के लिए हमेशा \( (1+x)^n \) के मानक विस्तार से तुलना करें और \( n \) तथा \( x \) के मान सावधानी से निकालें.

प्रश्न 2. \( 1+\frac{1}{3}\frac{1}{4} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 6}\frac{1}{4^2} + \ldots \)
Answer: दी गई श्रेणी को द्विपद प्रमेय के मानक रूप \( (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \ldots \) से तुलना करने पर:
पहला पद (1 के बाद): \( nx = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \) (समीकरण 1)
दूसरा पद: \( \frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 6} \cdot \frac{1}{4^2} = \frac{4}{18 \cdot 16} = \frac{1}{72} \) (समीकरण 2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) के वर्ग से भाग देने पर:
\( \frac{n(n-1)x^2 / 2}{(nx)^2} = \frac{n-1}{2n} \)
\( \frac{n-1}{2n} = \frac{1/72}{(1/12)^2} = \frac{1/72}{1/144} = \frac{144}{72} = 2 \)
\( n-1 = 4n \)
\( \implies 3n = -1 \)
\( n = -\frac{1}{3} \)
अब \( n \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \left(-\frac{1}{3}\right)x = \frac{1}{12} \)
\( x = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4} \)
श्रेणी का योग \( = (1+x)^n \)
\( = \left(1 - \frac{1}{4}\right)^{-1/3} \)
\( = \left(\frac{3}{4}\right)^{-1/3} \)
\( = \left(\frac{4}{3}\right)^{1/3} \)
In simple words: हमने इस श्रेणी को द्विपद प्रमेय के मानक रूप से तुलना किया, जिससे हमें \( n \) और \( x \) के मान मिले. इन मानों को योग सूत्र में रखने पर, हमें \( (4/3)^{1/3} \) प्राप्त हुआ.

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक पदों वाली श्रेणियों में \( n \) और \( x \) के मान निकालने के लिए हमेशा दो पदों की तुलना करें और फिर समीकरणों को हल करें.

प्रश्न 3. \( 1+\frac{1}{4} + \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \ldots \)
Answer: दी गई श्रेणी को द्विपद प्रमेय के मानक रूप \( (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \ldots \) से तुलना करने पर:
पहला पद (1 के बाद): \( nx = \frac{1}{4} \) (समीकरण 1)
दूसरा पद: \( \frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 8} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \) (समीकरण 2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) के वर्ग से भाग देने पर:
\( \frac{n(n-1)x^2 / 2}{(nx)^2} = \frac{n-1}{2n} \)
\( \frac{n-1}{2n} = \frac{1/8}{(1/4)^2} = \frac{1/8}{1/16} = \frac{16}{8} = 2 \)
\( n-1 = 4n \)
\( \implies 3n = -1 \)
\( n = -\frac{1}{3} \)
अब \( n \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \left(-\frac{1}{3}\right)x = \frac{1}{4} \)
\( x = -\frac{3}{4} \)
श्रेणी का योग \( = (1+x)^n \)
\( = \left(1 - \frac{3}{4}\right)^{-1/3} \)
\( = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1/3} \)
\( = 4^{1/3} \)
In simple words: हमने इस श्रेणी को द्विपद प्रमेय के मानक रूप से तुलना करके \( n \) और \( x \) के मान ज्ञात किए. फिर, \( (1+x)^n \) सूत्र का उपयोग करके श्रेणी का योग \( 4^{1/3} \) प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: द्विपद विस्तार में \( n \) के ऋणात्मक मान का मतलब अक्सर \( (1-x)^{-n} \) जैसे रूप होता है, इसलिए \( x \) का मान निकालते समय चिन्ह का ध्यान रखें.

प्रश्न 4. \( 1+\frac{1}{10} + \frac{1 \cdot 4}{10 \cdot 20} + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{10 \cdot 20 \cdot 30} + \ldots \)
Answer: दी गई श्रेणी को द्विपद प्रमेय के मानक रूप \( (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \ldots \) से तुलना करने पर:
पहला पद (1 के बाद): \( nx = \frac{1}{10} \) (समीकरण 1)
दूसरा पद: \( \frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{1 \cdot 4}{10 \cdot 20} = \frac{4}{200} = \frac{1}{50} \) (समीकरण 2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) के वर्ग से भाग देने पर:
\( \frac{n(n-1)x^2 / 2}{(nx)^2} = \frac{n-1}{2n} \)
\( \frac{n-1}{2n} = \frac{1/50}{(1/10)^2} = \frac{1/50}{1/100} = \frac{100}{50} = 2 \)
\( n-1 = 4n \)
\( \implies 3n = -1 \)
\( n = -\frac{1}{3} \)
अब \( n \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \left(-\frac{1}{3}\right)x = \frac{1}{10} \)
\( x = -\frac{3}{10} \)
श्रेणी का योग \( = (1+x)^n \)
\( = \left(1 - \frac{3}{10}\right)^{-1/3} \)
\( = \left(\frac{7}{10}\right)^{-1/3} \)
\( = \left(\frac{10}{7}\right)^{1/3} \)
In simple words: हमने इस श्रेणी को द्विपद प्रमेय के मानक विस्तार से मिलाया, जिससे हमें \( n \) और \( x \) के मान मिले. इन मानों को सूत्र में रखने पर, श्रेणी का योग \( (10/7)^{1/3} \) आया.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप \( n \) और \( x \) के मान सही ढंग से निकालते हैं, क्योंकि ये पूरे योग को प्रभावित करते हैं. हमेशा जांचें कि क्या \( n \) धनात्मक या ऋणात्मक है.

प्रश्न 5. \( 1-\frac{1}{2}\frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \ldots \)
Answer: दी गई श्रेणी में पदों के चिन्ह बदल रहे हैं, इसलिए यह \( (1+x)^n \) के रूप में है जहाँ \( x \) ऋणात्मक है, या \( (1-x)^{-n} \) के रूप में है.
द्विपद प्रमेय के मानक रूप \( (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \ldots \) से तुलना करने पर:
पहला पद (1 के बाद): \( nx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \) (समीकरण 1)
दूसरा पद: \( \frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{32} \) (समीकरण 2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) के वर्ग से भाग देने पर:
\( \frac{n(n-1)x^2 / 2}{(nx)^2} = \frac{n-1}{2n} \)
\( \frac{n-1}{2n} = \frac{3/32}{(-1/4)^2} = \frac{3/32}{1/16} = \frac{3}{32} \cdot 16 = \frac{3}{2} \)
\( n-1 = 3n \)
\( \implies 2n = -1 \)
\( n = -\frac{1}{2} \)
अब \( n \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \left(-\frac{1}{2}\right)x = -\frac{1}{4} \)
\( x = \frac{1}{2} \)
श्रेणी का योग \( = (1+x)^n \)
\( = \left(1 + \frac{1}{2}\right)^{-1/2} \)
\( = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1/2} \)
\( = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/2} = \sqrt{\frac{2}{3}} \)
In simple words: श्रेणी में बदलते चिन्हों को देखते हुए, हमने इसे द्विपद विस्तार \( (1+x)^n \) के रूप में माना जहाँ \( x \) धनात्मक है और \( n \) ऋणात्मक. \( n \) और \( x \) के मान निकालकर, हमने योग \( \sqrt{2/3} \) प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: जब श्रेणी में पद धनात्मक-ऋणात्मक बदलते हों, तो या तो \( x \) ऋणात्मक होता है या \( (1+x)^{-n} \) जैसा कोई रूप होता है. ध्यान दें कि \( n \) और \( x \) के कौन से संयोजन चिन्हों को उत्पन्न करते हैं.

प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए \( \sqrt{2} = 1+\frac{1}{2}\frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\frac{1}{2^2} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\frac{1}{2^3} + \ldots \)
Answer: हम दाहिने हाथ की ओर (R.H.S.) की श्रेणी का योग ज्ञात करेंगे.
दी गई श्रेणी का रूप \( 1+\frac{1}{2}\frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\frac{1}{2^2} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\frac{1}{2^3} + \ldots \) है.
यह द्विपद प्रमेय के विस्तार \( (1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots \) जैसा दिखता है.
पहला पद (1 के बाद): \( nx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \) (समीकरण 1)
दूसरा पद: \( \frac{n(n+1)}{2}x^2 = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{32} \) (समीकरण 2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) के वर्ग से भाग देने पर:
\( \frac{n(n+1)x^2 / 2}{(nx)^2} = \frac{n+1}{2n} \)
\( \frac{n+1}{2n} = \frac{3/32}{(1/4)^2} = \frac{3/32}{1/16} = \frac{3}{32} \cdot 16 = \frac{3}{2} \)
\( n+1 = 3n \)
\( \implies 2n = 1 \)
\( n = \frac{1}{2} \)
अब \( n \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \left(\frac{1}{2}\right)x = \frac{1}{4} \)
\( x = \frac{1}{2} \)
श्रेणी का योग \( = (1-x)^{-n} \)
\( = \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{-1/2} \)
\( = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1/2} \)
\( = 2^{1/2} = \sqrt{2} \)
इसलिए, R.H.S. \( = \sqrt{2} \). यह L.H.S. के बराबर है, अतः सिद्ध हुआ.
In simple words: हमने दाहिने हाथ की श्रेणी को \( (1-x)^{-n} \) के रूप में पहचाना. \( n \) और \( x \) के मान निकालने के बाद, हमने पाया कि योग \( \sqrt{2} \) के बराबर है, जो प्रश्न में दिए गए बाएँ हाथ के पक्ष से मेल खाता है.

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, जटिल पक्ष (आमतौर पर जिसमें एक श्रेणी होती है) का योग ज्ञात करें और दिखाएं कि यह दूसरे पक्ष के बराबर है. द्विपद विस्तार के विभिन्न रूपों को याद रखना महत्वपूर्ण है.

प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए \( \sqrt{2} = \frac{7}{5}\left[1+\frac{1}{10^2}\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{10^4}\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{10^6}\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \ldots\right] \)
Answer: हम दाहिने हाथ की ओर (R.H.S.) की श्रेणी का योग ज्ञात करेंगे.
श्रेणी को मानक द्विपद विस्तार \( (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \ldots \) के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम तुलना करते हैं.
श्रेणी के अंदर के भाग को \( S = 1+\frac{1}{100}\frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 3}{100^2}\frac{1}{6} + \ldots \) के रूप में लिखा जा सकता है.
स्रोत के अनुसार, हम तुलना के लिए निम्न मान लेते हैं:
पहला पद (1 के बाद): \( nx = \frac{1}{100} \) (समीकरण 1)
दूसरा पद: \( \frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{1 \cdot 3 \cdot 2}{2 \cdot 10^4} = \frac{3}{2 \cdot 10^4} \) (समीकरण 2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) के वर्ग से भाग देने पर:
\( \frac{n(n-1)x^2 / 2}{(nx)^2} = \frac{n-1}{2n} \)
\( \frac{n-1}{2n} = \frac{3/(2 \cdot 10^4)}{(1/100)^2} = \frac{3/(2 \cdot 10^4)}{1/10^4} = \frac{3}{2} \)
\( n-1 = 3n \)
\( \implies 2n = -1 \)
\( n = -\frac{1}{2} \)
अब \( n \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \left(-\frac{1}{2}\right)x = \frac{1}{100} \)
\( x = -\frac{2}{100} = -\frac{1}{50} \)
श्रेणी का योग \( = (1+x)^n \)
\( = \left(1 - \frac{1}{50}\right)^{-1/2} \)
\( = \left(\frac{49}{50}\right)^{-1/2} \)
\( = \left(\frac{50}{49}\right)^{1/2} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{49}} = \frac{5\sqrt{2}}{7} \)
अब, मूल प्रश्न के दाहिने हाथ के पक्ष को हल करते हैं:
\( \text{R.H.S.} = \frac{7}{5} \times \left(\frac{5\sqrt{2}}{7}\right) \)
\( = \sqrt{2} \)
यह L.H.S. के बराबर है, अतः सिद्ध हुआ.
In simple words: हमने प्रश्न में दी गई श्रेणी को द्विपद विस्तार के रूप में हल किया, जिससे हमें \( n \) और \( x \) के मान मिले. इन मानों से श्रेणी का योग \( 5\sqrt{2}/7 \) आया. इसे प्रश्न के \( 7/5 \) से गुणा करने पर, हमें \( \sqrt{2} \) प्राप्त हुआ, जो सिद्ध करता है कि LHS = RHS.

🎯 Exam Tip: कुछ जटिल श्रेणियां मानक द्विपद विस्तार से थोड़ी अलग हो सकती हैं; ऐसे में, दी गई समस्या के संदर्भ में \( n \) और \( x \) के मानों की व्याख्या सावधानी से करें.

प्रश्न 8. सिद्ध कीजिए \( \left(\frac{3}{2}\right)^{1/3} = 1+\frac{1}{3}\frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 6}\frac{1}{2^2} + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9}\frac{1}{2^3} + \ldots \)
Answer: हम दाहिने हाथ की ओर (R.H.S.) की श्रेणी का योग ज्ञात करेंगे.
दी गई श्रेणी का रूप \( 1+\frac{1}{3}\frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 6}\frac{1}{2^2} + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9}\frac{1}{2^3} + \ldots \) है.
यह द्विपद प्रमेय के विस्तार \( (1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots \) जैसा दिखता है.
पहला पद (1 के बाद): \( nx = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \) (समीकरण 1)
दूसरा पद: \( \frac{n(n+1)}{2}x^2 = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 6} \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{4}{18 \cdot 4} = \frac{1}{18} \) (समीकरण 2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) के वर्ग से भाग देने पर:
\( \frac{n(n+1)x^2 / 2}{(nx)^2} = \frac{n+1}{2n} \)
\( \frac{n+1}{2n} = \frac{1/18}{(1/6)^2} = \frac{1/18}{1/36} = \frac{36}{18} = 2 \)
\( n+1 = 4n \)
\( \implies 3n = 1 \)
\( n = \frac{1}{3} \)
अब \( n \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \left(\frac{1}{3}\right)x = \frac{1}{6} \)
\( x = \frac{1}{2} \)
श्रेणी का योग \( = (1-x)^{-n} \)
\( = \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{-1/3} \)
\( = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1/3} \)
\( = 2^{1/3} \)
इसलिए, R.H.S. \( = 2^{1/3} \).
In simple words: हमने दाहिने हाथ की श्रेणी को \( (1-x)^{-n} \) के रूप में पहचान कर उसका योग ज्ञात किया. \( n \) और \( x \) के मान निकालने के बाद, हमने पाया कि श्रेणी का योग \( 2^{1/3} \) है.

🎯 Exam Tip: प्रूफ वाले सवालों में, यदि आपका परिकलित योग दिए गए LHS से मेल नहीं खाता है, तो यह दर्शाता है कि प्रश्न में या तो टाइपो है या एक विशिष्ट पहचान की आवश्यकता है. ऐसे में अपनी गणना को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करें.

प्रश्न 9. यदि \( Y = \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \ldots \infty \), तब सिद्ध कीजिए \( y^2 + 2y - 2 = 0 \)
Answer: दी गई श्रेणी को \( Y = \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \ldots \) के रूप में लिखा गया है.
यदि हम \( 1+Y \) पर विचार करें, तो यह एक मानक द्विपद विस्तार \( (1+x)^n \) के रूप में हो सकता है. तो, \( 1+Y = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \ldots \).
इस विस्तारित रूप की तुलना \( (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \ldots \) से करने पर:
पहला पद (1 के बाद): \( nx = \frac{1}{3} \) (समीकरण 1)
दूसरा पद: \( \frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} = \frac{1}{6} \) (समीकरण 2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) के वर्ग से भाग देने पर:
\( \frac{n(n-1)x^2 / 2}{(nx)^2} = \frac{n-1}{2n} \)
\( \frac{n-1}{2n} = \frac{1/6}{(1/3)^2} = \frac{1/6}{1/9} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)
\( n-1 = 3n \)
\( \implies 2n = -1 \)
\( n = -\frac{1}{2} \)
अब \( n \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \left(-\frac{1}{2}\right)x = \frac{1}{3} \)
\( x = -\frac{2}{3} \)
इसलिए, \( 1+Y = (1+x)^n \)
\( = \left(1 - \frac{2}{3}\right)^{-1/2} \)
\( = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1/2} \)
\( = 3^{1/2} = \sqrt{3} \)
तो, \( 1+Y = \sqrt{3} \implies Y = \sqrt{3} - 1 \).
अब हमें सिद्ध करना है \( y^2 + 2y - 2 = 0 \). हम \( Y \) का मान इसमें रखेंगे:
\( (\sqrt{3} - 1)^2 + 2(\sqrt{3} - 1) - 2 \)
\( = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2 + 2\sqrt{3} - 2 - 2 \)
\( = 3 - 2\sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3} - 2 - 2 \)
\( = 4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 4 \)
\( = 0 \)
अतः, \( y^2 + 2y - 2 = 0 \) सिद्ध हुआ.
In simple words: पहले, हमने दी गई श्रेणी \( Y \) में 1 जोड़कर द्विपद प्रमेय का उपयोग करके उसका योग \( \sqrt{3} \) निकाला. फिर, \( Y = \sqrt{3}-1 \) मान को दिए गए समीकरण \( y^2+2y-2=0 \) में रखकर इसे हल किया, और अंत में परिणाम 0 प्राप्त हुआ, जिससे यह सिद्ध हो गया.

🎯 Exam Tip: जब श्रेणी 1 से शुरू न हो, तो उसे 1 से शुरू करने के लिए 1 जोड़ें (या घटाएँ), ताकि आप द्विपद प्रमेय के मानक विस्तार का उपयोग कर सकें. फिर समीकरण को हल करने के लिए निकाले गए मान का उपयोग करें.

प्रश्न. सिद्ध कीजिए \( (1+x)^n = 2^n \left[1 - \frac{n(1-x)}{2(1+x)} + \frac{n(n+1)}{2!} \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2 - \ldots \right] \)
Answer: हम दाहिने हाथ की ओर (R.H.S.) को हल करेंगे.
माना \( z = \frac{1-x}{1+x} \).
तब, श्रेणी को इस रूप में लिखा जा सकता है: \( 2^n \left[1 - \frac{n}{2}z + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 - \ldots \right] \).
यह द्विपद विस्तार \( (1+z)^{-n/2} \) का रूप है.
\( (1+z)^{-n/2} = 1 - \frac{n}{2}z + \frac{-\frac{n}{2}(-\frac{n}{2}-1)}{2!}z^2 - \ldots = 1 - \frac{n}{2}z + \frac{\frac{n}{2}(\frac{n}{2}+1)}{2!}z^2 - \ldots \)
यह प्रश्न में दिए गए श्रेणी के अंदर के भाग से मेल खाता है.
तो, R.H.S. \( = 2^n \left(1 + \frac{1-x}{1+x}\right)^{-n/2} \)
\( = 2^n \left(\frac{1+x+1-x}{1+x}\right)^{-n/2} \)
\( = 2^n \left(\frac{2}{1+x}\right)^{-n/2} \)
\( = 2^n \left(\frac{1+x}{2}\right)^{n/2} \)
\( = 2^n \frac{(1+x)^{n/2}}{2^{n/2}} \)
\( = 2^{n/2} (1+x)^{n/2} \).
प्रश्न को सिद्ध करने के लिए \( (1+x)^n \) प्राप्त करना है.
हमें यह दिखाना होगा कि \( 2^{n/2} (1+x)^{n/2} = (1+x)^n \). यह तभी संभव है जब \( n/2 = n \) और \( 2^{n/2} = 1 \), जिसका अर्थ है \( n=0 \). सामान्य स्थिति में यह बराबर नहीं है.
संभवतः प्रश्न एक विशेष पहचान पर आधारित है जिसे यहाँ सरलता से नहीं दर्शाया गया है.
स्रोत में, अंतिम चरण यह दर्शाने के लिए है कि \( (1+x)^n = 2^n \left[\frac{(1+x)^n}{2^n}\right] = (1+x)^n \). इसका अर्थ है कि श्रेणी का योग \( \left(\frac{1+x}{2}\right)^n \) माना गया है.
In simple words: हमने दाहिने हाथ की श्रेणी को \( (1+z)^{-n/2} \) के रूप में पहचाना जहाँ \( z = (1-x)/(1+x) \). इसे सरल करने पर हमें \( 2^{n/2}(1+x)^{n/2} \) प्राप्त हुआ. प्रश्न को सिद्ध करने के लिए एक विशेष पहचान की आवश्यकता है जो \( (1+x)^n \) के बराबर हो.

🎯 Exam Tip: जटिल बीजगणितीय पहचानों को सिद्ध करते समय, कभी-कभी दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों को एक सामान्य रूप में परिवर्तित करना आवश्यक होता है. सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापन और द्विपद प्रमेय के अनुप्रयोग से ऐसे प्रश्नों को हल किया जा सकता है.