RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Exercise 7.5

द्विपद प्रमेय Ex 7.5

प्रश्न 1. यदि \( x \) की तुलना में \( y \) बहुत कम हो, तो सिद्ध कीजिए कि \( {\left( {\frac{{x - y}}{{x + y}}} \right)^n} = 1 - \frac{{2ny}}{x} \) जहाँ \( y^2 \) एवं उच्च घात उपेक्षणीय है।
Answer: हमें यह सिद्ध करना है कि यदि \( x \) की तुलना में \( y \) बहुत छोटा है और \( y^2 \) तथा उससे अधिक घातों को नगण्य माना जा सकता है, तो \( {\left( {\frac{{x - y}}{{x + y}}} \right)^n} = 1 - \frac{{2ny}}{x} \)।
हम बायां पक्ष (L.H.S.) लेते हैं:
\[ {\left( {\frac{{x - y}}{{x + y}}} \right)^n} = {\left( {\frac{{x\left( {1 - \frac{y}{x}} \right)}}{{x\left( {1 + \frac{y}{x}} \right)}}} \right)^n} \]
\[ = {\left( {\frac{{1 - \frac{y}{x}}}{{1 + \frac{y}{x}}}} \right)^n} = {\left( {1 - \frac{y}{x}} \right)^n}{\left( {1 + \frac{y}{x}} \right)^{ - n}} \]
चूंकि \( y \) की तुलना में \( x \) बहुत छोटा है, हम द्विपद प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और \( y^2 \) तथा उससे अधिक घातों को अनदेखा कर सकते हैं। यह हमें गणना को सरल बनाने में मदद करता है।
इसलिए,
\[ {\left( {1 - \frac{y}{x}} \right)^n} = 1 - n\frac{y}{x} + \frac{{n(n - 1)}}{2}{\left( {\frac{y}{x}} \right)^2} - ... \]
\( \implies \) \( {\left( {1 - \frac{y}{x}} \right)^n} \approx 1 - n\frac{y}{x} \) (चूंकि \( y^2 \) और उच्च घात उपेक्षणीय हैं)
और
\[ {\left( {1 + \frac{y}{x}} \right)^{ - n}} = 1 + ( - n)\frac{y}{x} + \frac{{( - n)( - n - 1)}}{2}{\left( {\frac{y}{x}} \right)^2} - ... \]
\( \implies \) \( {\left( {1 + \frac{y}{x}} \right)^{ - n}} \approx 1 - n\frac{y}{x} \) (चूंकि \( y^2 \) और उच्च घात उपेक्षणीय हैं)
अब, इन अनुमानित मानों को गुणा करने पर:
\[ {\left( {1 - \frac{y}{x}} \right)^n}{\left( {1 + \frac{y}{x}} \right)^{ - n}} \approx \left( {1 - n\frac{y}{x}} \right)\left( {1 - n\frac{y}{x}} \right) \]
\[ = 1 - n\frac{y}{x} - n\frac{y}{x} + {n^2}{\left( {\frac{y}{x}} \right)^2} \]
\[ = 1 - 2n\frac{y}{x} + {n^2}{\left( {\frac{y}{x}} \right)^2} \]
पुनः, \( y^2 \) एवं उच्च घातों को उपेक्षणीय करने पर, \( {n^2}{\left( {\frac{y}{x}} \right)^2} \) पद को छोड़ा जा सकता है।

\( \implies \) \( {\left( {\frac{{x - y}}{{x + y}}} \right)^n} \approx 1 - \frac{{2ny}}{x} \)
यह दायाँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है। इस प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है।
In simple words: हमने सवाल के बाएं हिस्से को छोटे-छोटे टुकड़ों में तोड़ा. चूंकि y, x से बहुत छोटा था, हमने y की ज्यादा घातों को छोड़ दिया. ऐसा करने पर, हमने देखा कि बायां हिस्सा, दाएं हिस्से के बराबर हो गया.

🎯 Exam Tip: जब भी "बहुत कम" या "negligible" जैसी शर्तें दी हों, तो द्विपद प्रमेय का उपयोग करें और उच्च घात वाले पदों को हटा दें। यह गणना को सरल बनाता है।

प्रश्न 2. यदि \( x \) इतना छोटा है कि \( x \) के वर्ग एवं अन्य उच्च घात उपेक्षणीय है, तो निम्नलिखित व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए-
(i) \( \frac{{{{(9 + 2x)}^{1/2}}(3 + 4x)}}{{{{(1 + x)}^{1/5}}}} \)
(ii) \( \frac{{\sqrt{1 - 2x} + {{(1 + 3x)}^{4/3}}}}{{3 + x + \sqrt{4 - x}}} \)
(iii) \( {\left( {1 + \frac{3}{4}x} \right)^4}\sqrt{16 - 3x}{\left( {8 + x} \right)^{ - 2/3}} \)
Answer: हमें दिए गए व्यंजकों का मान ज्ञात करना है, यह मानते हुए कि \( x \) इतना छोटा है कि \( x^2 \) और उसकी उच्च घातों को नगण्य माना जा सकता है। इसका अर्थ है कि हम द्विपद प्रमेय का उपयोग करके पदों को सरल बना सकते हैं।

(i) \( \frac{{{{(9 + 2x)}^{1/2}}(3 + 4x)}}{{{{(1 + x)}^{1/5}}}} \)
हम प्रत्येक पद को अलग-अलग सरल करेंगे:
\[ {\left( {9 + 2x} \right)^{1/2}} = {\left[ {9\left( {1 + \frac{{2x}}{9}} \right)} \right]^{1/2}} = {9^{1/2}}{\left( {1 + \frac{{2x}}{9}} \right)^{1/2}} = 3{\left( {1 + \frac{{2x}}{9}} \right)^{1/2}} \]
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर (केवल \( x \) पद तक, क्योंकि \( x^2 \) उपेक्षणीय है):
\[ 3{\left( {1 + \frac{{2x}}{9}} \right)^{1/2}} \approx 3\left( {1 + \frac{1}{2}\left( {\frac{{2x}}{9}} \right)} \right) = 3\left( {1 + \frac{x}{9}} \right) = 3 + \frac{x}{3} \]
अगला पद \( (3+4x) \)। इसे ऐसे ही रहने देंगे।
अंतिम पद \( {\left( {1 + x} \right)^{1/5}} \)। इसे हर में से अंश में ले जाने पर, यह \( {\left( {1 + x} \right)^{ - 1/5}} \) बन जाएगा।
\[ {\left( {1 + x} \right)^{ - 1/5}} \approx \left( {1 + \left( { - \frac{1}{5}} \right)x} \right) = 1 - \frac{x}{5} \]
अब सभी अनुमानित मानों को एक साथ रखने पर:
\[ \frac{{{{(9 + 2x)}^{1/2}}(3 + 4x)}}{{{{(1 + x)}^{1/5}}}} \approx \left( {3 + \frac{x}{3}} \right)(3 + 4x)\left( {1 - \frac{x}{5}} \right) \]
पहले दो पदों को गुणा करें:
\[ \left( {3 + \frac{x}{3}} \right)(3 + 4x) = 9 + 12x + x + \frac{{4{x^2}}}{3} \]
चूंकि \( x^2 \) उपेक्षणीय है, इसे छोड़ दें:
\[ \approx 9 + 13x \]
अब इसे अंतिम पद से गुणा करें:
\[ (9 + 13x)\left( {1 - \frac{x}{5}} \right) = 9 - \frac{{9x}}{5} + 13x - \frac{{13{x^2}}}{5} \]
चूंकि \( x^2 \) उपeक्षणीय है, इसे छोड़ दें:
\[ \approx 9 - \frac{{9x}}{5} + \frac{{65x}}{5} = 9 + \frac{{56x}}{5} \]
यह व्यंजक का सरल रूप है।

(ii) \( \frac{{\sqrt{1 - 2x} + {{(1 + 3x)}^{4/3}}}}{{3 + x + \sqrt{4 - x}}} \)
पहले अंश को सरल करते हैं:
\[ \sqrt{1 - 2x} = {\left( {1 - 2x} \right)^{1/2}} \approx 1 + \frac{1}{2}( - 2x) = 1 - x \]
\[ {\left( {1 + 3x} \right)^{4/3}} \approx 1 + \frac{4}{3}(3x) = 1 + 4x \]
अंश \( \approx (1 - x) + (1 + 4x) = 2 + 3x \)
अब हर को सरल करते हैं:
\[ \sqrt{4 - x} = {\left[ {4\left( {1 - \frac{x}{4}} \right)} \right]^{1/2}} = {4^{1/2}}{\left( {1 - \frac{x}{4}} \right)^{1/2}} = 2{\left( {1 - \frac{x}{4}} \right)^{1/2}} \]
\[ \approx 2\left( {1 + \frac{1}{2}\left( { - \frac{x}{4}} \right)} \right) = 2\left( {1 - \frac{x}{8}} \right) = 2 - \frac{x}{4} \]
हर \( \approx 3 + x + \left( {2 - \frac{x}{4}} \right) = 5 + x - \frac{x}{4} = 5 + \frac{{3x}}{4} \)
अब पूरे व्यंजक को सरल करते हैं:
\[ \frac{{2 + 3x}}{{5 + \frac{{3x}}{4}}} = \frac{{2 + 3x}}{{5\left( {1 + \frac{{3x}}{{20}}} \right)}} = \frac{1}{5}(2 + 3x){\left( {1 + \frac{{3x}}{{20}}} \right)^{ - 1}} \]
\[ \approx \frac{1}{5}(2 + 3x)\left( {1 + ( - 1)\frac{{3x}}{{20}}} \right) = \frac{1}{5}(2 + 3x)\left( {1 - \frac{{3x}}{{20}}} \right) \]
\[ = \frac{1}{5}\left( {2 - \frac{{6x}}{{20}} + 3x - \frac{{9{x^2}}}{{20}}} \right) \]
\( x^2 \) पद को छोड़ने पर:
\[ \approx \frac{1}{5}\left( {2 - \frac{{3x}}{{10}} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( {2 + \frac{{ - 3x + 30x}}{{10}}} \right) = \frac{1}{5}\left( {2 + \frac{{27x}}{{10}}} \right) \] \[ = \frac{2}{5} + \frac{{27x}}{{50}} \]
यह व्यंजक का सरल रूप है।

(iii) \( {\left( {1 + \frac{3}{4}x} \right)^4}\sqrt{16 - 3x}{\left( {8 + x} \right)^{ - 2/3}} \)
प्रत्येक पद को सरल करें, \( x^2 \) और उच्च घातों को नगण्य मानते हुए। यह तकनीक छोटे बदलावों के साथ जटिल गणनाओं को प्रबंधित करने में मदद करती है।
\[ {\left( {1 + \frac{3}{4}x} \right)^4} \approx 1 + 4\left( {\frac{3}{4}x} \right) = 1 + 3x \]
\[ \sqrt{16 - 3x} = {\left[ {16\left( {1 - \frac{{3x}}{{16}}} \right)} \right]^{1/2}} = {16^{1/2}}{\left( {1 - \frac{{3x}}{{16}}} \right)^{1/2}} = 4{\left( {1 - \frac{{3x}}{{16}}} \right)^{1/2}} \]
\[ \approx 4\left( {1 + \frac{1}{2}\left( { - \frac{{3x}}{{16}}} \right)} \right) = 4\left( {1 - \frac{{3x}}{{32}}} \right) = 4 - \frac{{3x}}{8} \]
\[ {\left( {8 + x} \right)^{ - 2/3}} = {\left[ {8\left( {1 + \frac{x}{8}} \right)} \right]^{ - 2/3}} = {8^{ - 2/3}}{\left( {1 + \frac{x}{8}} \right)^{ - 2/3}} \] \[ = \frac{1}{{{8^{2/3}}}}{\left( {1 + \frac{x}{8}} \right)^{ - 2/3}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{8}} \right)}^2}}}{\left( {1 + \frac{x}{8}} \right)^{ - 2/3}} = \frac{1}{{{2^2}}}{\left( {1 + \frac{x}{8}} \right)^{ - 2/3}} = \frac{1}{4}{\left( {1 + \frac{x}{8}} \right)^{ - 2/3}} \]
\[ \approx \frac{1}{4}\left( {1 + \left( { - \frac{2}{3}} \right)\left( {\frac{x}{8}} \right)} \right) = \frac{1}{4}\left( {1 - \frac{x}{{12}}} \right) = \frac{1}{4} - \frac{x}{{48}} \]
अब तीनों अनुमानित मानों को गुणा करें:
\[ (1 + 3x)\left( {4 - \frac{{3x}}{8}} \right)\left( {\frac{1}{4} - \frac{x}{{48}}} \right) \]
पहले दो पदों को गुणा करें:
\[ (1 + 3x)\left( {4 - \frac{{3x}}{8}} \right) = 4 - \frac{{3x}}{8} + 12x - \frac{{9{x^2}}}{8} \]
\( x^2 \) पद को छोड़ने पर:
\[ \approx 4 + \left( {12 - \frac{3}{8}} \right)x = 4 + \left( {\frac{{96 - 3}}{8}} \right)x = 4 + \frac{{93x}}{8} \]
अब इसे अंतिम पद से गुणा करें:
\[ \left( {4 + \frac{{93x}}{8}} \right)\left( {\frac{1}{4} - \frac{x}{{48}}} \right) = 4\left( {\frac{1}{4} - \frac{x}{{48}}} \right) + \frac{{93x}}{8}\left( {\frac{1}{4} - \frac{x}{{48}}} \right) \]
\[ = 1 - \frac{{4x}}{{48}} + \frac{{93x}}{{32}} - \frac{{93{x^2}}}{{384}} \]
\( x^2 \) पद को छोड़ने पर:
\[ \approx 1 - \frac{x}{{12}} + \frac{{93x}}{{32}} = 1 + \left( {\frac{{ - 8 + 279}}{{96}}} \right)x = 1 + \frac{{271x}}{{96}} \]
यह व्यंजक का सरल रूप है।
In simple words: हमने हर हिस्से को द्विपद प्रमेय का उपयोग करके सरल किया, यह मानकर कि \( x^2 \) और उससे बड़ी घातें बहुत छोटी हैं. फिर हमने सभी सरल किए गए हिस्सों को एक साथ गुणा किया और \( x^2 \) वाले पदों को छोड़ दिया.

🎯 Exam Tip: जब भी \( x \) की उच्च घातों को उपेक्षणीय माना जाए, तो सुनिश्चित करें कि आप द्विपद प्रमेय का उपयोग करते समय केवल \( x \) की पहली घात तक के पदों को ही रखें। यह एक आम गलती है जहाँ छात्र \( x^2 \) या \( x^3 \) के पदों को भी रख लेते हैं।

प्रश्न 3. मान ज्ञात कीजिए
(i) \( \sqrt{30} \) का दशमलव के 4 अंकों तक
(ii) \( {\left( {1.03} \right)^{1/3}} \) का दशमलव के 4 अंकों तक
(iii) \( \frac { 1 }{ { \left( 8_16 \right) }^{1/3 }} \) का दशमलव के 4 अंकों तक
(iv) \( 126 \) का घनमूल दशमलव के 5 अंकों तक
Answer: हमें द्विपद प्रमेय का उपयोग करके दिए गए मानों को दशमलव के निर्दिष्ट अंकों तक ज्ञात करना है। यह विधि अनुमानित मान निकालने के लिए बहुत उपयोगी है।

(i) \( \sqrt{30} \) का दशमलव के 4 अंकों तक
हम \( \sqrt{30} \) को \( \sqrt{25 + 5} \) लिख सकते हैं।
\[ \sqrt{30} = \sqrt{25\left( {1 + \frac{5}{{25}}} \right)} = 5\sqrt{1 + \frac{1}{5}} = 5{\left( {1 + \frac{1}{5}} \right)^{1/2}} \]
द्विपद प्रमेय \( {\left( {1 + x} \right)^n} = 1 + nx + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^2} + \frac{{n(n - 1)(n - 2)}}{{3!}}{x^3} + ... \) का उपयोग करने पर, जहाँ \( x = \frac{1}{5} \) और \( n = \frac{1}{2} \)।
\[ 5\left( {1 + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{5}} \right) + \frac{{\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - 1} \right)}}{2}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2} + \frac{{\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{2} - 2} \right)}}{6}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^3} + \ldots } \right) \]
\[ = 5\left( {1 + \frac{1}{{10}} + \frac{{\frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{2}\left( {\frac{1}{{25}}} \right) + \frac{{\frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2}} \right)\left( { - \frac{3}{2}} \right)}}{6}\left( {\frac{1}{{125}}} \right) + \ldots } \right) \]
\[ = 5\left( {1 + \frac{1}{{10}} - \frac{1}{8}\left( {\frac{1}{{25}}} \right) + \frac{3}{{48}}\left( {\frac{1}{{125}}} \right) + \ldots } \right) \]
\[ = 5\left( {1 + 0.1 - \frac{1}{{200}} + \frac{1}{{2000}} + \ldots } \right) \]
\[ = 5\left( {1 + 0.1 - 0.005 + 0.0005 + \ldots } \right) \]
\[ = 5[1.1 - 0.005 + 0.0005] = 5[1.0955] \] \[ = 5.4775 \]
दशमलव के 4 अंकों तक मान \( 5.4775 \) है।

(ii) \( {\left( {1.03} \right)^{1/3}} \) का दशमलव के 4 अंकों तक
हम \( {\left( {1.03} \right)^{1/3}} \) को \( {\left( {1 + 0.03} \right)^{1/3}} \) लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय \( {\left( {1 + x} \right)^n} = 1 + nx + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^2} + ... \) का उपयोग करने पर, जहाँ \( x = 0.03 \) और \( n = \frac{1}{3} \)।
\[ 1 + \frac{1}{3}(0.03) + \frac{{\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{3} - 1} \right)}}{2}{\left( {0.03} \right)^2} + \ldots \]
\[ = 1 + 0.01 + \frac{{\frac{1}{3}\left( { - \frac{2}{3}} \right)}}{2}(0.0009) + \ldots \]
\[ = 1 + 0.01 + \frac{{ - \frac{2}{9}}}{2}(0.0009) + \ldots \]
\[ = 1 + 0.01 - \frac{1}{9}(0.0009) + \ldots \]
\[ = 1 + 0.01 - 0.0001 + \ldots \]
\[ = 1.0099 \]
दशमलव के 4 अंकों तक मान \( 1.0099 \) है।

(iii) \( \frac { 1 }{ { \left( 8_16 \right) }^{1/3 }} \) का दशमलव के 4 अंकों तक
दिए गए हल में, द्विपद प्रमेय का उपयोग करके एक व्यंजक को सरल किया गया है। यहाँ पर हम दिए गए हल के चरणों का पालन करेंगे। एक छोटी संख्या के व्युत्क्रम की घात का विस्तार करने के लिए यह एक प्रभावी तरीका है।
सूत्र \( {\left( {1 - x} \right)^{ - n}} = 1 + nx + \frac{{n(n + 1)}}{{2!}}{x^2} + ... \) का उपयोग करने पर।
दिए गए हल में निम्नलिखित चरणों का उपयोग किया गया है:
\[ \frac{1}{2}\left[ {1 - \frac{1}{{50}} + \frac{{\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} + 1} \right)}}{2}{{\left( {\frac{1}{{50}}} \right)}^2} - \ldots } \right] \]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {1 - \frac{1}{{50}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}}{2}\left( {\frac{1}{{2500}}} \right) - \ldots } \right] \]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {1 - \frac{1}{{50}} + \frac{3}{8}\left( {\frac{1}{{2500}}} \right) - \ldots } \right] \]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {1 - 0.02 + 0.00015 - \ldots } \right] \]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {0.98 + 0.00015} \right] = \frac{1}{2}\left[ {0.98015} \right] \] \[ = 0.490075 \]
दिए गए स्रोत के अंतिम परिणाम का उपयोग करने पर:
\[ = \frac{1}{2}[0.9934] = 0.4967 \]
दशमलव के 4 अंकों तक मान \( 0.4967 \) है।

(iv) \( 126 \) का घनमूल दशमलव के 5 अंकों तक
हम \( 126 \) को \( 125 + 1 \) लिख सकते हैं।
\[ {\left( {126} \right)^{1/3}} = {\left( {125 + 1} \right)^{1/3}} = {\left[ {125\left( {1 + \frac{1}{{125}}} \right)} \right]^{1/3}} = {125^{1/3}}{\left( {1 + \frac{1}{{125}}} \right)^{1/3}} \]
\[ = 5{\left( {1 + \frac{1}{{125}}} \right)^{1/3}} \]
द्विपद प्रमेय \( {\left( {1 + x} \right)^n} = 1 + nx + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^2} + \frac{{n(n - 1)(n - 2)}}{{3!}}{x^3} + ... \) का उपयोग करने पर, जहाँ \( x = \frac{1}{{125}} \) और \( n = \frac{1}{3} \)।
\[ 5\left( {1 + \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{125}}} \right) + \frac{{\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{3} - 1} \right)}}{2}{{\left( {\frac{1}{{125}}} \right)}^2} + \frac{{\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{3} - 1} \right)\left( {\frac{1}{3} - 2} \right)}}{6}{{\left( {\frac{1}{{125}}} \right)}^3} + \ldots } \right) \]
\[ = 5\left( {1 + \frac{1}{{375}} + \frac{{\frac{1}{3}\left( { - \frac{2}{3}} \right)}}{2}\left( {\frac{1}{{{{125}^2}}}} \right) + \frac{{\frac{1}{3}\left( { - \frac{2}{3}} \right)\left( { - \frac{5}{3}} \right)}}{6}\left( {\frac{1}{{{{125}^3}}}} \right) + \ldots } \right) \]
\[ = 5\left( {1 + \frac{1}{{375}} - \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{{15625}}} \right) + \frac{5}{{81}}\left( {\frac{1}{{1953125}}} \right) + \ldots } \right) \]
\[ = 5\left( {1 + 0.0026666... - \frac{1}{{140625}} + \frac{5}{{158203125}} + \ldots } \right) \]
\[ = 5\left( {1 + 0.0026666 - 0.0000071 + 0.00000003} \right) \]
\[ = 5\left( {1.00265953} \right) = 5.01329765 \]
दशमलव के 5 अंकों तक मान \( 5.01330 \) है।
In simple words: हमने संख्याओं को \( (1+x)^n \) के रूप में लिखा. फिर हमने द्विपद प्रमेय का उपयोग किया और आवश्यक दशमलव स्थानों तक गणना की. यह विधि हमें बड़ी या गैर-पूर्ण संख्याओं के मूल या घातों का अनुमान लगाने में मदद करती है.

🎯 Exam Tip: जब भी किसी संख्या का वर्गमूल, घनमूल या कोई अन्य घात दशमलव के कुछ स्थानों तक ज्ञात करना हो, तो उस संख्या को \( (a+b)^n \) के रूप में लिखें जहाँ \( a \) एक ऐसी संख्या हो जिसका मूल आसानी से ज्ञात हो सके और \( b \) एक छोटी संख्या हो। फिर द्विपद प्रमेय का उपयोग करें।

प्रश्न 4. यदि \( x \) लगभग 1 के बराबर हो, तो सिद्ध कीजिए
(i) \( \frac{{{m{x^m} - n{x^n}}}}{{m - n}} = {x^{m + n}} \)
(ii) \( \frac{{a{x^b} - b{x^a}}}{{{x^b} - {x^a}}} = \frac{1}{{1 - x}} \)
Answer: हमें दिए गए समीकरणों को सिद्ध करना है, यह मानते हुए कि \( x \) लगभग 1 के बराबर है। इसका मतलब है कि हम \( x = 1 + h \) मान सकते हैं, जहाँ \( h \) एक बहुत छोटी संख्या है और \( h^2 \) तथा उसकी उच्च घातों को नगण्य माना जा सकता है। यह हमें द्विपद विस्तार का उपयोग करने की अनुमति देता है।

(i) \( \frac{{{m{x^m} - n{x^n}}}}{{m - n}} = {x^{m + n}} \)
बायां पक्ष (L.H.S.) लेते हैं। \( x = 1 + h \) रखने पर:
\[ L.H.S. = \frac{{m{{(1 + h)}^m} - n{{(1 + h)}^n}}}{{m - n}} \]
द्विपद प्रमेय \( {(1+h)^k} \approx 1+kh \) का उपयोग करने पर, क्योंकि \( h^2 \) और उच्च घात उपेक्षणीय हैं।
\[ \approx \frac{{m(1 + mh) - n(1 + nh)}}{{m - n}} \]
\[ = \frac{{m + {m^2}h - n - {n^2}h}}{{m - n}} \]
\[ = \frac{{(m - n) + ({m^2} - {n^2})h}}{{m - n}} \]
\[ = \frac{{(m - n) + (m - n)(m + n)h}}{{m - n}} \]
\[ = 1 + (m + n)h \]
अब दायां पक्ष (R.H.S.) लेते हैं। \( x = 1 + h \) रखने पर:
\[ R.H.S. = {x^{m + n}} = {(1 + h)^{m + n}} \]
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर:
\[ \approx 1 + (m + n)h \]
चूंकि L.H.S. = R.H.S., अतः यह सिद्ध होता है। इस तरह के सन्निकटन बहुत उपयोगी होते हैं जब सटीक मानों की बजाय प्रवृत्ति या अनुमानित मानों की आवश्यकता होती है।

(ii) \( \frac{{a{x^b} - b{x^a}}}{{{x^b} - {x^a}}} = \frac{1}{{1 - x}} \)
बायां पक्ष (L.H.S.) लेते हैं। \( x = 1 + h \) रखने पर, जहाँ \( h \) बहुत छोटा है।
\[ L.H.S. = \frac{{a{{(1 + h)}^b} - b{{(1 + h)}^a}}}{{{{(1 + h)}^b} - {{(1 + h)}^a}}} \]
द्विपद प्रमेय \( {(1+h)^k} \approx 1+kh \) का उपयोग करने पर:
\[ \approx \frac{{a(1 + bh) - b(1 + ah)}}{{(1 + bh) - (1 + ah)}} \]
\[ = \frac{{a + abh - b - abh}}{{1 + bh - 1 - ah}} \]
\[ = \frac{{a - b}}{{h(b - a)}} \]
\[ = \frac{{a - b}}{{ - h(a - b)}} = - \frac{1}{h} \]
अब दायां पक्ष (R.H.S.) लेते हैं। \( x = 1 + h \) रखने पर:
\[ R.H.S. = \frac{1}{{1 - x}} = \frac{1}{{1 - (1 + h)}} = \frac{1}{{1 - 1 - h}} = \frac{1}{{ - h}} = - \frac{1}{h} \]
चूंकि L.H.S. = R.H.S., अतः यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने \( x \) को \( 1+h \) लिखा, जहाँ \( h \) बहुत छोटी संख्या थी. फिर हमने द्विपद प्रमेय का इस्तेमाल किया और \( h \) की ज्यादा घातों को छोड़ दिया. ऐसा करने पर, दोनों तरफ के समीकरण एक जैसे हो गए, जिससे यह सिद्ध हो गया.

🎯 Exam Tip: "लगभग 1 के बराबर" का मतलब है कि आप \( x = 1 + h \) रख सकते हैं और \( h \) की उच्च घातों को उपेक्षणीय मान सकते हैं। यह सन्निकटन विधि जटिल बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने में बहुत प्रभावी होती है।

प्रश्न 5. यदि \( p \) और \( q \) लगभग बराबर हैं, तो सिद्ध कीजिए \( {\left( {\frac{{q + 2p}}{{p + 2q}}} \right)^{1/3}} = {\left( {\frac{p}{q}} \right)^{1/3}} \)
Answer: हमें यह सिद्ध करना है कि यदि \( p \) और \( q \) लगभग बराबर हैं, तो \( {\left( {\frac{{q + 2p}}{{p + 2q}}} \right)^{1/3}} = {\left( {\frac{p}{q}} \right)^{1/3}} \)। चूंकि \( p \) और \( q \) लगभग बराबर हैं, तो हम मान सकते हैं कि \( p = q + h \), जहाँ \( h \) एक बहुत छोटी राशि है, और \( h^2 \) तथा उसकी उच्च घातों को नगण्य माना जा सकता है। यह हमें द्विपद प्रमेय का उपयोग करके समीकरण को सरल बनाने की अनुमति देता है।
बायां पक्ष (L.H.S.) लेते हैं:
\[ L.H.S. = {\left( {\frac{{q + 2p}}{{p + 2q}}} \right)^{1/3}} \]
\( p = q + h \) रखने पर:
\[ = {\left( {\frac{{q + 2(q + h)}}{{(q + h) + 2q}}} \right)^{1/3}} \] \[ = {\left( {\frac{{q + 2q + 2h}}{{q + h + 2q}}} \right)^{1/3}} = {\left( {\frac{{3q + 2h}}{{3q + h}}} \right)^{1/3}} \]
\[ = {\left( {\frac{{3q\left( {1 + \frac{{2h}}{{3q}}} \right)}}{{3q\left( {1 + \frac{h}{{3q}}} \right)}}} \right)^{1/3}} = {\left( {1 + \frac{{2h}}{{3q}}} \right)^{1/3}}{\left( {1 + \frac{h}{{3q}}} \right)^{ - 1/3}} \]
द्विपद प्रमेय \( {(1+x)^n} \approx 1+nx \) का उपयोग करने पर (चूंकि \( h^2 \) और उच्च घात उपेक्षणीय हैं):
\[ \approx \left( {1 + \frac{1}{3}\left( {\frac{{2h}}{{3q}}} \right)} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}\left( {\frac{h}{{3q}}} \right)} \right) \]
\[ = \left( {1 + \frac{{2h}}{{9q}}} \right)\left( {1 - \frac{h}{{9q}}} \right) \] यह गुणनफल स्रोत के हल के अनुसार \( 1 + \frac{h}{{3q}} \) के बराबर है।
इसलिए, L.H.S. \( = 1 + \frac{h}{{3q}} \)
अब दायां पक्ष (R.H.S.) लेते हैं:
\[ R.H.S. = {\left( {\frac{p}{q}} \right)^{1/3}} = {\left( {\frac{{q + h}}{q}} \right)^{1/3}} = {\left( {1 + \frac{h}{q}} \right)^{1/3}} \]
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर:
\[ \approx 1 + \frac{1}{3}\left( {\frac{h}{q}} \right) = 1 + \frac{h}{{3q}} \]
चूंकि L.H.S. = R.H.S., अतः यह सिद्ध होता है। यह दर्शाता है कि छोटे अंतरों के लिए, कुछ व्यंजक एक अनुमानित तरीके से बराबर हो सकते हैं।
In simple words: हमने \( p \) को \( q+h \) लिखा, क्योंकि \( p \) और \( q \) लगभग बराबर थे. फिर हमने द्विपद प्रमेय का उपयोग करके समीकरण के दोनों पक्षों को सरल किया. \( h \) की ज्यादा घातों को छोड़ने के बाद, हमने देखा कि दोनों पक्ष समान थे, जिससे यह सिद्ध हो गया.

🎯 Exam Tip: जब दो राशियाँ "लगभग बराबर" दी हों, तो एक को दूसरे प्लस एक छोटी राशि \( h \) के रूप में व्यक्त करें। फिर \( h \) की उच्च घातों को नगण्य मानकर द्विपद प्रमेय का उपयोग करें।