RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Exercise 7.4

Question 1. निम्नलिखित द्विपदों का चार पदों तक प्रसार कीजिए
(i) \( (1 + x^2)^{-2} \)
Answer: हम जानते हैं कि द्विपद प्रमेय के अनुसार, यदि \( |x| < 1 \) है तो \( (1 + x)^n \) का प्रसार इस प्रकार किया जाता है:
\( (1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}x^4 + ...... \)
यहां, हमारे पास \( (1 + x^2)^{-2} \) है। इसकी तुलना \( (1 + X)^n \) से करने पर, हमें मिलता है:
\( n = -2 \)
\( X = x^2 \)
इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें मिलता है:
\( (1 + x^2)^{-2} = 1 + (-2)(x^2) + \frac{(-2)(-2-1)}{2!}(x^2)^2 + \frac{(-2)(-2-1)(-2-2)}{3!}(x^2)^3 + ...... \)
\( = 1 - 2x^2 + \frac{(-2)(-3)}{2}(x^4) + \frac{(-2)(-3)(-4)}{6}(x^6) + ...... \)
\( = 1 - 2x^2 + \frac{6}{2}x^4 - \frac{24}{6}x^6 + ...... \)
\( = 1 - 2x^2 + 3x^4 - 4x^6 + ...... \)
यह \( (1 + x^2)^{-2} \) का चार पदों तक का प्रसार है। जब घात ऋणात्मक पूर्णांक होती है, तो प्रसार में अनंत पद होते हैं.
In simple words: हमें \( (1 + x^2)^{-2} \) को फैलाना है. हम \( (1 + X)^n \) के सामान्य सूत्र का उपयोग करते हैं, जहाँ \( n = -2 \) और \( X = x^2 \). यह हमें \( 1 - 2x^2 + 3x^4 - 4x^6 + ... \) के रूप में चार पद देता है.

🎯 Exam Tip: नकारात्मक घातांक वाले द्विपद प्रसार में \( n \) के मान को ध्यान से रखें, और प्रत्येक पद में \( X \) के स्थान पर \( x^2 \) जैसे मानों को सावधानी से बदलें.

Question 1. (iii) \( (3 - 2x^2)^{-2/3} \)
Answer: हमें \( (3 - 2x^2)^{-2/3} \) का प्रसार चार पदों तक करना है। पहले इसे \( (1 - X)^n \) के रूप में बदलना होगा.
\( (3 - 2x^2)^{-2/3} = 3^{-2/3}\left(1 - \frac{2x^2}{3}\right)^{-2/3} \)
यहां, \( n = -2/3 \) और \( X = \frac{2x^2}{3} \). हम \( (1 - X)^n = 1 - nX + \frac{n(n-1)}{2!}X^2 - \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}X^3 + ...... \) सूत्र का उपयोग करेंगे.
मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \left(1 - \frac{2x^2}{3}\right)^{-2/3} = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2x^2}{3}\right) + \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{2}{3}-1\right)}{2!}\left(\frac{2x^2}{3}\right)^2 - \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{2}{3}-1\right)\left(-\frac{2}{3}-2\right)}{3!}\left(\frac{2x^2}{3}\right)^3 + ...... \)
\( = 1 + \frac{4x^2}{9} + \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{5}{3}\right)}{2}\left(\frac{4x^4}{9}\right) - \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{5}{3}\right)\left(-\frac{8}{3}\right)}{6}\left(\frac{8x^6}{27}\right) + ...... \)
\( = 1 + \frac{4x^2}{9} + \frac{10}{9 \times 2}\left(\frac{4x^4}{9}\right) - \frac{80}{27 \times 6}\left(\frac{8x^6}{27}\right) + ...... \)
\( = 1 + \frac{4x^2}{9} + \frac{20x^4}{81} - \frac{320x^6}{2187} + ...... \)
तो, \( (3 - 2x^2)^{-2/3} = 3^{-2/3}\left(1 + \frac{4x^2}{9} + \frac{20x^4}{81} - \frac{320x^6}{2187} + ...... \right) \)
यह \( (3 - 2x^2)^{-2/3} \) का चार पदों तक का प्रसार है। यह विधि भिन्नात्मक घातांकों के लिए बहुत उपयोगी है.
In simple words: पहले हम \( 3^{-2/3} \) को बाहर निकालते हैं ताकि ब्रैकेट में \( (1 - X)^n \) का रूप मिल जाए. फिर, हम सूत्र में \( n = -2/3 \) और \( X = \frac{2x^2}{3} \) मानों को रखते हैं और पहले चार पदों को निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: जब द्विपद \( (a \pm b)^n \) के रूप में हो, तो इसे हमेशा \( a^n\left(1 \pm \frac{b}{a}\right)^n \) में बदलें ताकि \( (1 \pm X)^n \) के मानक सूत्र का उपयोग किया जा सके.

Question 1. (iv) \( \frac{1}{\sqrt{5+4x}} \)
Answer: हमें \( \frac{1}{\sqrt{5+4x}} \) का प्रसार चार पदों तक करना है। पहले इसे \( (a+b)^n \) के रूप में लिखेंगे:
\( \frac{1}{\sqrt{5+4x}} = (5+4x)^{-1/2} \)
अब इसे \( (1 + X)^n \) के रूप में बदलने के लिए \( 5^{-1/2} \) को बाहर निकालते हैं:
\( (5+4x)^{-1/2} = 5^{-1/2}\left(1 + \frac{4x}{5}\right)^{-1/2} \)
यहां, \( n = -1/2 \) और \( X = \frac{4x}{5} \). हम \( (1 + X)^n = 1 + nX + \frac{n(n-1)}{2!}X^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}X^3 + ...... \) सूत्र का उपयोग करेंगे.
मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \left(1 + \frac{4x}{5}\right)^{-1/2} = 1 + \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{4x}{5}\right) + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-1\right)}{2!}\left(\frac{4x}{5}\right)^2 + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-1\right)\left(-\frac{1}{2}-2\right)}{3!}\left(\frac{4x}{5}\right)^3 + ...... \)
\( = 1 - \frac{2x}{5} + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2}\left(\frac{16x^2}{25}\right) + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{6}\left(\frac{64x^3}{125}\right) + ...... \)
\( = 1 - \frac{2x}{5} + \frac{3}{8}\left(\frac{16x^2}{25}\right) - \frac{15}{48}\left(\frac{64x^3}{125}\right) + ...... \)
\( = 1 - \frac{2x}{5} + \frac{6x^2}{25} - \frac{4x^3}{25} + ...... \)
तो, \( \frac{1}{\sqrt{5+4x}} = 5^{-1/2}\left(1 - \frac{2x}{5} + \frac{6x^2}{25} - \frac{4x^3}{25} + ...... \right) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(1 - \frac{2x}{5} + \frac{6x^2}{25} - \frac{4x^3}{25} + ...... \right) \)
यह \( \frac{1}{\sqrt{5+4x}} \) का चार पदों तक का प्रसार है। भिन्नात्मक घातांकों के साथ गुणा और भाग करते समय सावधानी बरतें.
In simple words: सबसे पहले, हम \( \sqrt{5+4x} \) को \( (5+4x)^{-1/2} \) लिखते हैं. फिर, हम \( 5^{-1/2} \) को बाहर निकालते हैं ताकि ब्रैकेट के अंदर \( (1+X)^n \) का रूप बन जाए. अंत में, हम \( n = -1/2 \) और \( X = \frac{4x}{5} \) के साथ द्विपद प्रसार सूत्र का उपयोग करते हैं और इसे सरल करते हैं.

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक घातांकों वाले व्यंजकों को विस्तारित करते समय, \( n(n-1) \) जैसे गुणनखंडों की गणना में संकेतों और भिन्न संक्रियाओं पर विशेष ध्यान दें.

Question 2. निम्नलिखित प्रसारों में वांछित पद ज्ञात कीजिए
(i) \( (1 - 3x)^{-1/3} \) का चौथा पद
Answer: हमें \( (1 - 3x)^{-1/3} \) के प्रसार में चौथा पद ज्ञात करना है। \( (1 - x)^n \) के प्रसार में सामान्य पद \( T_{r+1} \) का सूत्र इस प्रकार है:
\( T_{r+1} = \frac{n(n+1)(n+2)...(n+r-1)}{r!}x^r \)
यहां, हमारे पास \( (1 - 3x)^{-1/3} \) है, इसलिए हम तुलना करते हैं:
\( n = -1/3 \)
\( x = 3x \) (क्योंकि यह \( (1-X)^n \) के रूप में है, और \( X = 3x \))
हमें चौथा पद चाहिए, इसलिए \( r+1 = 4 \implies r = 3 \).
अब इन मानों को सामान्य पद के सूत्र में रखते हैं:
\( T_{3+1} = T_4 = \frac{\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{3}+1\right)\left(-\frac{1}{3}+2\right)}{3!}(3x)^3 \)
\( T_4 = \frac{\left(-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{5}{3}\right)}{6}(27x^3) \)
\( T_4 = \frac{-\frac{10}{27}}{6}(27x^3) \)
\( T_4 = -\frac{10}{27 \times 6} \times 27x^3 \)
\( T_4 = -\frac{10}{6}x^3 \)
\( T_4 = -\frac{5}{3}x^3 \)
इसलिए, \( (1 - 3x)^{-1/3} \) के प्रसार में चौथा पद \( -\frac{5}{3}x^3 \) है। यह सूत्र विशेष पदों को आसानी से खोजने में मदद करता है.
In simple words: हमें \( (1 - 3x)^{-1/3} \) का चौथा पद खोजना है. हम \( (1-X)^n \) के लिए सामान्य पद \( T_{r+1} \) का सूत्र इस्तेमाल करते हैं. यहाँ \( n = -1/3 \), \( X = 3x \) और चौथे पद के लिए \( r = 3 \) है. इन मानों को सूत्र में डालकर हम पद को ज्ञात कर लेते हैं.

🎯 Exam Tip: \( (1-X)^n \) के लिए सामान्य पद में \( X \) के स्थान पर \( 3x \) जैसे पूर्ण व्यंजक को प्रतिस्थापित करना न भूलें, और घात \( r \) को सही ढंग से लागू करें.

Question 2. (ii) \( (1 + x)^{5/2} \) का सातवाँ पद
Answer: हमें \( (1 + x)^{5/2} \) के प्रसार में सातवाँ पद ज्ञात करना है। \( (1 + x)^n \) के प्रसार में सामान्य पद \( T_{r+1} \) का सूत्र इस प्रकार है:
\( T_{r+1} = \frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r!}x^r \)
यहां, हमारे पास \( (1 + x)^{5/2} \) है, इसलिए तुलना करने पर:
\( n = 5/2 \)
\( x = x \)
हमें सातवाँ पद चाहिए, इसलिए \( r+1 = 7 \implies r = 6 \).
अब इन मानों को सामान्य पद के सूत्र में रखते हैं:
\( T_{6+1} = T_7 = \frac{\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{5}{2}-1\right)\left(\frac{5}{2}-2\right)\left(\frac{5}{2}-3\right)\left(\frac{5}{2}-4\right)\left(\frac{5}{2}-5\right)}{6!}x^6 \)
\( T_7 = \frac{\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{720}x^6 \)
\( T_7 = \frac{5 \times 3 \times 1 \times (-1) \times (-3) \times (-5)}{2^6 \times 720}x^6 \)
\( T_7 = \frac{225}{64 \times 720}x^6 \)
\( T_7 = \frac{225}{46080}x^6 \)
इसे सरल करने पर, \( 225 \) से भाग देने पर:
\( T_7 = \frac{1}{204.8}x^6 \) (यहां स्रोत में कुछ गणना त्रुटि है, जो \( -\frac{5}{1024}x^6 \) दे रहा है; आइए स्रोत के अनुसार चरणों का पालन करें).
स्रोत के चरणों के अनुसार:
\( T_7 = \frac{5 \times 3 \times 5 \times 3}{2^6 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}x^6 \)
यह चरण गलत है क्योंकि \( (n-1)(n-2)... \) के मान अलग हैं। सही मान थे \( 5/2, 3/2, 1/2, -1/2, -3/2, -5/2 \).
सही गणना के साथ जारी रखें:
\( T_7 = \frac{5 \times 3 \times 1 \times (-1) \times (-3) \times (-5)}{64 \times 720}x^6 \)
\( T_7 = \frac{-225}{46080}x^6 \)
\( T_7 = -\frac{5}{1024}x^6 \) (यह सरल किया गया मान है).
इसलिए, \( (1 + x)^{5/2} \) के प्रसार में सातवाँ पद \( -\frac{5}{1024}x^6 \) है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई गलती न हो, भिन्न गणना करते समय सावधान रहना चाहिए.
In simple words: सातवें पद के लिए, हम \( n = 5/2 \) और \( r = 6 \) को सामान्य पद के सूत्र में रखते हैं. सभी भिन्न संख्याओं को ध्यान से गुणा और भाग करते हैं. यह सुनिश्चित करने के लिए कि अंतिम उत्तर सही है, संकेतों और सरलीकरण पर विशेष ध्यान दें.

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक या ऋणात्मक घातांकों के साथ सामान्य पद की गणना करते समय, \( n(n-1)(n-2)... \) वाले भाग में गुणा और भाग में संकेतों का ध्यानपूर्वक पालन करें.

Question 2. (iii) \( (1 + 2x)^{-1/2} \) का आठवाँ पद
Answer: हमें \( (1 + 2x)^{-1/2} \) के प्रसार में आठवाँ पद ज्ञात करना है। \( (1 + X)^n \) के प्रसार में सामान्य पद \( T_{r+1} \) का सूत्र इस प्रकार है:
\( T_{r+1} = \frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r!}X^r \)
यहां, हमारे पास \( (1 + 2x)^{-1/2} \) है, इसलिए तुलना करने पर:
\( n = -1/2 \)
\( X = 2x \)
हमें आठवाँ पद चाहिए, इसलिए \( r+1 = 8 \implies r = 7 \).
अब इन मानों को सामान्य पद के सूत्र में रखते हैं:
\( T_{7+1} = T_8 = \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-1\right)\left(-\frac{1}{2}-2\right)\left(-\frac{1}{2}-3\right)\left(-\frac{1}{2}-4\right)\left(-\frac{1}{2}-5\right)\left(-\frac{1}{2}-6\right)}{7!}(2x)^7 \)
\( T_8 = \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)\left(-\frac{9}{2}\right)\left(-\frac{11}{2}\right)\left(-\frac{13}{2}\right)}{5040}(128x^7) \)
\( T_8 = \frac{(-1)^7 (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13)}{2^7 \cdot 5040}(128x^7) \)
\( T_8 = \frac{-1 \cdot 135135}{128 \cdot 5040}(128x^7) \)
\( T_8 = \frac{-135135}{5040}x^7 \)
\( T_8 = \frac{-27 \times 4997.5}{1008 \times 4997.5}x^7 \) (गलत सरलीकरण)
सरल करने पर:
\( T_8 = -\frac{135135}{5040}x^7 \)
\( T_8 = -\frac{429}{16}x^7 \)
इसलिए, \( (1 + 2x)^{-1/2} \) के प्रसार में आठवाँ पद \( -\frac{429}{16}x^7 \) है। यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि आप प्रत्येक चरण में संकेतों और भिन्न गुणन का ध्यानपूर्वक पालन करें.
In simple words: आठवें पद को खोजने के लिए, हम \( n = -1/2 \), \( X = 2x \) और \( r = 7 \) को सामान्य पद के सूत्र में रखते हैं. हम \( (2x)^7 \) का भी ध्यान रखते हैं. सभी भिन्नों को ध्यान से गुणा करते हैं और अंतिम पद को सरल करते हैं.

🎯 Exam Tip: \( (1+X)^n \) के प्रसार में, \( X \) के स्थान पर \( 2x \) जैसे व्यंजक को प्रतिस्थापित करते समय \( (2x)^r \) के रूप में घात को लगाना याद रखें. गुणांकों और घातों को सही ढंग से अलग करें.

Question 3. निम्नलिखित प्रसारों का व्यापक पद ज्ञात कीजिए।
(i) \( (a^3 - x^3)^{2/3} \)
Answer: हमें \( (a^3 - x^3)^{2/3} \) का व्यापक पद ज्ञात करना है। पहले इसे \( (1 - X)^n \) के रूप में बदलते हैं:
\( (a^3 - x^3)^{2/3} = (a^3)^{2/3}\left(1 - \frac{x^3}{a^3}\right)^{2/3} \)
\( = a^2\left(1 - \left(\frac{x}{a}\right)^3\right)^{2/3} \)
यहां, \( n = 2/3 \) और \( X = \left(\frac{x}{a}\right)^3 \). \( (1 - X)^n \) के प्रसार में सामान्य पद \( T_{r+1} \) का सूत्र इस प्रकार है:
\( T_{r+1} = (-1)^r \frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r!}X^r \)
मानों को सूत्र में रखते हुए:
\( T_{r+1} = a^2 \cdot (-1)^r \frac{\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}-1\right)\left(\frac{2}{3}-2\right)...\left(\frac{2}{3}-(r-1)\right)}{r!}\left(\left(\frac{x}{a}\right)^3\right)^r \)
\( T_{r+1} = a^2 \cdot (-1)^r \frac{\left(\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{4}{3}\right)...\left(\frac{2-3(r-1)}{3}\right)}{r!}\frac{x^{3r}}{a^{3r}} \)
\( T_{r+1} = a^2 \cdot (-1)^r \frac{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot ... \cdot (3r-5)}{3^r \cdot r!} \frac{x^{3r}}{a^{3r}} \)
\( T_{r+1} = (-1)^r \frac{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot ... \cdot (3r-5)}{3^r \cdot r!} \frac{x^{3r}}{a^{3r-2}} \)
यह \( (a^3 - x^3)^{2/3} \) का व्यापक पद है। यह दर्शाता है कि किसी भी \( r \) के लिए पद क्या होगा.
In simple words: पहले हम \( a^2 \) को बाहर निकालते हैं ताकि ब्रैकेट में \( (1 - X)^n \) का रूप मिल जाए. फिर हम \( n = 2/3 \) और \( X = (x/a)^3 \) के साथ सामान्य पद \( T_{r+1} \) के सूत्र का उपयोग करते हैं. हम सभी मानों को सूत्र में रखते हैं और उसे सरल करते हैं.

🎯 Exam Tip: व्यापक पद ज्ञात करते समय, घात के भिन्नात्मक भाग को \( (n-1), (n-2) \) आदि में सही ढंग से संभालना और \( X \) के रूप में संपूर्ण पद को प्रतिस्थापित करना महत्वपूर्ण है.

Question 3. (iii) \( (1 - x)^{p/q} \)
Answer: हमें \( (1 - x)^{p/q} \) का व्यापक पद ज्ञात करना है। यह पहले से ही \( (1 - X)^n \) के रूप में है.
यहां, \( n = p/q \) और \( X = x \). \( (1 - X)^n \) के प्रसार में सामान्य पद \( T_{r+1} \) का सूत्र इस प्रकार है:
\( T_{r+1} = (-1)^r \frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r!}X^r \)
मानों को सूत्र में रखते हुए:
\( T_{r+1} = (-1)^r \frac{\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{p}{q}-1\right)\left(\frac{p}{q}-2\right)...\left(\frac{p}{q}-(r-1)\right)}{r!}x^r \)
\( T_{r+1} = (-1)^r \frac{\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{p-q}{q}\right)\left(\frac{p-2q}{q}\right)...\left(\frac{p-(r-1)q}{q}\right)}{r!}x^r \)
\( T_{r+1} = (-1)^r \frac{p(p-q)(p-2q)...(p-(r-1)q)}{q^r \cdot r!}x^r \)
यह \( (1 - x)^{p/q} \) का व्यापक पद है। यह दर्शाता है कि किसी भी \( r \) के लिए पद क्या होगा.
In simple words: चूंकि यह द्विपद पहले से ही \( (1-X)^n \) के रूप में है, हम बस \( n = p/q \) और \( X = x \) को सामान्य पद \( T_{r+1} \) के सूत्र में रखते हैं. फिर हम भिन्नों को गुणा करते हैं ताकि \( r \)वें पद का एक सामान्य सूत्र मिल सके.

🎯 Exam Tip: जब घात सामान्य चर हों, जैसे \( p/q \), तो सामान्य पद को उसी चर रूप में छोड़ दें. इसे आगे हल करने की आवश्यकता नहीं होती है, बल्कि इसे उसके सामान्य सूत्र के रूप में प्रस्तुत किया जाता है.

Question 4. यदि \( x < 3 \) हो, तो \( (3 - x)^{-8} \) के प्रसार में \( x^5 \) का गुणांक ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( (3 - x)^{-8} \) के प्रसार में \( x^5 \) का गुणांक ज्ञात करना है। पहले इसे \( (1 - X)^n \) के रूप में बदलते हैं:
\( (3 - x)^{-8} = 3^{-8}\left(1 - \frac{x}{3}\right)^{-8} \)
यहां, \( n = -8 \) और \( X = \frac{x}{3} \). \( (1 - X)^n \) के प्रसार में सामान्य पद \( T_{r+1} \) का सूत्र इस प्रकार है:
\( T_{r+1} = \frac{n(n+1)(n+2)...(n+r-1)}{r!}X^r \) (यहां \( n \) ऋणात्मक है, इसलिए हम \( (1-X)^{-N} \) के लिए सूत्र \( \frac{N(N+1)...(N+r-1)}{r!}X^r \) का उपयोग कर सकते हैं, जहां \( N=8 \)).
तो, \( T_{r+1} = \frac{8(8+1)(8+2)...(8+r-1)}{r!}\left(\frac{x}{3}\right)^r \)
हमें \( x^5 \) का गुणांक चाहिए, इसलिए \( r = 5 \).
\( T_{5+1} = T_6 = \frac{8(8+1)(8+2)(8+3)(8+4)}{5!}\left(\frac{x}{3}\right)^5 \)
\( T_6 = \frac{8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{120}\left(\frac{x^5}{3^5}\right) \)
\( T_6 = \frac{95040}{120}\frac{x^5}{243} \)
\( T_6 = 792 \frac{x^5}{243} \)
\( T_6 = \frac{792}{243}x^5 \)
इसे सरल करने पर, \( 27 \) से भाग देने पर:
\( T_6 = \frac{29.333}{9}x^5 \) (यहां स्रोत में कुछ गणना त्रुटि है, जो \( \frac{88}{3^{11}}x^5 \) के समान एक मान देता है.)
स्रोत के चरणों के अनुसार, यदि गुणांक की गणना इस प्रकार की जाती है:
गुणांक \( = \frac{8 \times 9 \times 10 \times 11 \times 12}{3^8 \times 5! \times 3^5} \) (यह गलत है क्योंकि \( 3^8 \) पहले से ही \( 3^{-8} \) से आता है, और \( 3^5 \) \( (x/3)^5 \) से आता है).
सही गणना के अनुसार:
गुणांक \( = \frac{8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{5! \cdot 3^5} \)
\( = \frac{95040}{120 \cdot 243} \)
\( = \frac{792}{243} \)
\( = \frac{264}{81} \)
\( = \frac{88}{27} \)
तो \( x^5 \) का गुणांक \( 3^{-8} \times \frac{88}{27} \) है.
\( = \frac{1}{6561} \times \frac{88}{27} = \frac{88}{177147} \) (यह भी स्रोत के उत्तर से अलग है).
आइए हम \( (1-X)^{-N} \) के लिए सूत्र का उपयोग करें: \( \binom{N+r-1}{r} X^r \).
यहां \( N=8 \), \( X=x/3 \), \( r=5 \).
गुणांक \( = 3^{-8} \binom{8+5-1}{5} \left(\frac{1}{3}\right)^5 \)
\( = 3^{-8} \binom{12}{5} 3^{-5} \)
\( = 3^{-13} \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
\( = 3^{-13} \times 792 \)
\( = \frac{792}{1594323} \) (यह भी अलग है).
स्रोत का अंतिम परिणाम \( \frac{88}{(3)^{11}} \) है, जो \( 3^{-8} \times \frac{88}{27} \) से आता है. यह कैसे आता है?
गुणांक \( = \frac{8 \times 9 \times 10 \times 11 \times 12}{5! \times 3^5} \times 3^{-8} \) (यह \( 3^{-8} \) को गुणा करना है जो हमने पहले निकाला था)
\( = \frac{792}{243} \times \frac{1}{3^8} = \frac{88}{27} \times \frac{1}{3^8} = \frac{88}{3^3 \times 3^8} = \frac{88}{3^{11}} \).
तो, \( x^5 \) का गुणांक \( \frac{88}{3^{11}} \) है। यह आवश्यक है कि सभी स्थिरांकों और गुणांकों का ध्यानपूर्वक हिसाब रखा जाए.
In simple words: हम \( (3-x)^{-8} \) को \( 3^{-8}(1-x/3)^{-8} \) के रूप में बदलते हैं. फिर, हम \( (1-X)^{-N} \) के लिए सामान्य पद के सूत्र का उपयोग करते हैं, जहाँ \( N=8 \) और \( X=x/3 \). \( x^5 \) के गुणांक के लिए, \( r=5 \) लेते हैं. फिर हम सभी स्थिरांकों को गुणा करते हैं और \( 3^{-8} \) को गुणा करना नहीं भूलते हैं जो हमने शुरू में बाहर निकाला था.

🎯 Exam Tip: किसी व्यंजक के गुणांक की गणना करते समय, \( a^{-n} \) जैसे किसी भी बाहरी कारक को शामिल करना सुनिश्चित करें, जिसे आपने \( (1 \pm X)^n \) के रूप में लाने के लिए निकाला था. संकेतों और घातांकों को ध्यान से जोड़ें.

Question 5. \( (a + 2bx^2)^{-3} \) के प्रसार में \( x^6 \) का गुणांक ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( (a + 2bx^2)^{-3} \) के प्रसार में \( x^6 \) का गुणांक ज्ञात करना है। पहले इसे \( (1 + X)^n \) के रूप में बदलते हैं:
\( (a + 2bx^2)^{-3} = a^{-3}\left(1 + \frac{2b}{a}x^2\right)^{-3} \)
यहां, \( n = -3 \) और \( X = \frac{2b}{a}x^2 \). \( (1 + X)^n \) के प्रसार में सामान्य पद \( T_{r+1} \) का सूत्र इस प्रकार है:
\( T_{r+1} = (-1)^r \frac{n(n+1)...(n+r-1)}{r!}X^r \) (यदि \( n \) ऋणात्मक है, तो \( n \) को सकारात्मक \( N \) के साथ बदलें और \( (-1)^r \) को हटा दें या \( (-1)^r \) रखें और \( n \) को ऋणात्मक मान से बदलें).
मानक सूत्र है: \( (1+Y)^{-N} \) का सामान्य पद है \( (-1)^r \binom{N+r-1}{r} Y^r \).
यहां \( N=3 \), \( Y=\frac{2b}{a}x^2 \).
\( T_{r+1} = (-1)^r \binom{3+r-1}{r} \left(\frac{2b}{a}x^2\right)^r \)
\( T_{r+1} = (-1)^r \binom{r+2}{r} \left(\frac{2b}{a}\right)^r (x^2)^r \)
\( T_{r+1} = (-1)^r \frac{(r+2)(r+1)}{2!} \left(\frac{2b}{a}\right)^r x^{2r} \)
हमें \( x^6 \) का गुणांक चाहिए, इसलिए \( 2r = 6 \implies r = 3 \).
\( T_{3+1} = T_4 = a^{-3} \cdot (-1)^3 \frac{(3+2)(3+1)}{2} \left(\frac{2b}{a}\right)^3 x^6 \)
\( T_4 = a^{-3} \cdot (-1) \frac{5 \cdot 4}{2} \left(\frac{8b^3}{a^3}\right) x^6 \)
\( T_4 = a^{-3} \cdot (-1) \cdot 10 \cdot \frac{8b^3}{a^3} x^6 \)
\( T_4 = -\frac{80b^3}{a^6} x^6 \)
इसलिए, \( x^6 \) का गुणांक \( -\frac{80b^3}{a^6} \) है। घातों के साथ चर को ठीक से संभालना महत्वपूर्ण है.
In simple words: हम \( (a+2bx^2)^{-3} \) को \( a^{-3}(1+\frac{2b}{a}x^2)^{-3} \) के रूप में बदलते हैं. फिर हम \( n=3 \) (सकारात्मक मान) और \( X=\frac{2b}{a}x^2 \) के लिए सामान्य पद के सूत्र का उपयोग करते हैं, साथ में \( (-1)^r \) को भी रखते हैं. हमें \( x^6 \) का गुणांक चाहिए, तो \( 2r=6 \) से \( r=3 \) मिलता है. हम सभी मानों को सूत्र में रखते हैं और उसे सरल करते हैं.

🎯 Exam Tip: जब \( X \) में एक चर की घात होती है, जैसे \( x^2 \), तो \( x^{2r} \) के रूप में इसे सामान्य पद के सूत्र में सही ढंग से संभालना याद रखें और \( r \) के लिए हल करें जो वांछित घात देता है.

Question 6. \( \frac{1+3x^2}{(1-x^2)^3} \) के प्रसार में \( x^{10} \) का गुणांक ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \frac{1+3x^2}{(1-x^2)^3} \) के प्रसार में \( x^{10} \) का गुणांक ज्ञात करना है। हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( (1+3x^2)(1-x^2)^{-3} \)
पहले, हम \( (1-x^2)^{-3} \) का प्रसार करते हैं। \( (1-X)^{-n} \) का सूत्र \( 1 + nX + \frac{n(n+1)}{2!}X^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}X^3 + ...... \) है.
यहां, \( n = 3 \) और \( X = x^2 \).
\( (1-x^2)^{-3} = 1 + 3(x^2) + \frac{3(3+1)}{2!}(x^2)^2 + \frac{3(3+1)(3+2)}{3!}(x^2)^3 + \frac{3(3+1)(3+2)(3+3)}{4!}(x^2)^4 + \frac{3(3+1)(3+2)(3+3)(3+4)}{5!}(x^2)^5 + \frac{3(3+1)(3+2)(3+3)(3+4)(3+5)}{6!}(x^2)^6 + ...... \)
\( = 1 + 3x^2 + \frac{3 \cdot 4}{2}x^4 + \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{6}x^6 + \frac{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{24}x^8 + \frac{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{120}x^{10} + \frac{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{720}x^{12} + ...... \)
\( = 1 + 3x^2 + 6x^4 + 10x^6 + 15x^8 + 21x^{10} + 28x^{12} + ...... \)
अब, हम \( (1+3x^2) \) को इस प्रसार से गुणा करते हैं:
\( (1+3x^2)(1 + 3x^2 + 6x^4 + 10x^6 + 15x^8 + 21x^{10} + ...... ) \)
हमें \( x^{10} \) का गुणांक चाहिए। \( x^{10} \) प्राप्त करने के लिए दो तरीके हैं:
1. \( 1 \) को \( x^{10} \) वाले पद से गुणा करें: \( 1 \times (21x^{10}) = 21x^{10} \)
2. \( 3x^2 \) को \( x^8 \) वाले पद से गुणा करें: \( 3x^2 \times (15x^8) = 45x^{10} \)
\( x^{10} \) के सभी गुणांकों को जोड़ने पर:
गुणांक \( = 21 + 45 = 66 \)
इसलिए, \( \frac{1+3x^2}{(1-x^2)^3} \) के प्रसार में \( x^{10} \) का गुणांक \( 66 \) है। यह दर्शाने का एक अच्छा उदाहरण है कि एक जटिल प्रसार में वांछित पद कैसे प्राप्त करें.
In simple words: हम दिए गए व्यंजक को \( (1+3x^2)(1-x^2)^{-3} \) के रूप में लिखते हैं. फिर हम \( (1-x^2)^{-3} \) को फैलाते हैं, जिसमें \( x^{10} \) तक के पद शामिल होते हैं. अंत में, हम \( (1+3x^2) \) से गुणा करके सभी \( x^{10} \) वाले पदों को जोड़ते हैं.

🎯 Exam Tip: जब दो प्रसारों का गुणनफल हो, तो वांछित घात वाले पद को प्राप्त करने के लिए गुणनफल के प्रत्येक संभावित संयोजन पर विचार करें. सुनिश्चित करें कि आपने प्रसार में पर्याप्त पद तक विस्तार किया है.

Question 7. \( (1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 +....)^n \) के विस्तार में \( x^r \) का गुणांक ज्ञात कीजिए तथा यदि \( x = \frac{1}{2} \) और \( n = 1 \) हो, तो व्यंजक का मान लिखिए।
Answer: हमें \( (1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 +....)^n \) के प्रसार में \( x^r \) का गुणांक ज्ञात करना है।
सबसे पहले, हम श्रृंखला \( S = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 +.... \) को पहचानते हैं। यह श्रृंखला \( (1+x)^{-2} \) का प्रसार है.
तो, दिया गया व्यंजक बन जाता है: \( ((1+x)^{-2})^n = (1+x)^{-2n} \)
अब हमें \( (1+x)^{-2n} \) के प्रसार में \( x^r \) का गुणांक ज्ञात करना है। \( (1+X)^N \) के प्रसार में सामान्य पद \( T_{r+1} \) का सूत्र इस प्रकार है:
\( T_{r+1} = (-1)^r \frac{N(N+1)...(N+r-1)}{r!}X^r \)
यहां, \( N = 2n \) और \( X = x \).
\( T_{r+1} = (-1)^r \frac{2n(2n+1)(2n+2)...(2n+r-1)}{r!}x^r \)
तो, \( x^r \) का गुणांक \( (-1)^r \frac{2n(2n+1)(2n+2)...(2n+r-1)}{r!} \) है।

अब, हमें व्यंजक का मान ज्ञात करना है जब \( x = \frac{1}{2} \) और \( n = 1 \) हो।
मूल व्यंजक \( (1+x)^{-2n} \) में मानों को रखने पर:
\( \left(1 + \frac{1}{2}\right)^{-2 \times 1} \)
\( = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \)
\( = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \)
\( = \frac{4}{9} \)
इसलिए, \( x^r \) का गुणांक \( (-1)^r \frac{2n(2n+1)(2n+2)...(2n+r-1)}{r!} \) है, और जब \( x = \frac{1}{2} \) और \( n = 1 \) हो, तो व्यंजक का मान \( \frac{4}{9} \) है। एक श्रृंखला को पहचानने से जटिल समस्याएँ सरल हो जाती हैं.
In simple words: पहले हम \( (1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 +....) \) को \( (1+x)^{-2} \) के रूप में पहचानते हैं. फिर, पूरा व्यंजक \( ((1+x)^{-2})^n = (1+x)^{-2n} \) बन जाता है. हम \( (1+X)^N \) के लिए सामान्य पद सूत्र का उपयोग करके \( x^r \) का गुणांक ज्ञात करते हैं, जहाँ \( N=2n \). अंत में, हम \( x=1/2 \) और \( n=1 \) को \( (1+x)^{-2n} \) में रखकर व्यंजक का मान ज्ञात करते हैं.

🎯 Exam Tip: द्विपद प्रसार से संबंधित समस्याओं में, विशिष्ट श्रृंखलाओं, जैसे \( (1+x)^{-1}, (1-x)^{-1}, (1+x)^{-2}, (1-x)^{-2} \) आदि के मानक प्रसार को पहचानना अक्सर पहला और सबसे महत्वपूर्ण कदम होता है.

Question 8. सिद्ध कीजिए \( (1 + x + x^2 + x^3 + .....)^2 = 1 + 2x + 3x^2 + ...... \)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( (1 + x + x^2 + x^3 + .....)^2 = 1 + 2x + 3x^2 + ...... \)
हम वाम पक्ष (L.H.S.) से शुरू करते हैं:
L.H.S. \( = (1 + x + x^2 + x^3 + .....)^2 \)
हम जानते हैं कि अनंत ज्यामितीय श्रृंखला \( 1 + x + x^2 + x^3 + ..... \) (जब \( |x|<1 \)) का योग \( (1 - x)^{-1} \) होता है.
इसलिए, हम L.H.S. को इस प्रकार लिख सकते हैं:
L.H.S. \( = ((1 - x)^{-1})^2 \)
\( = (1 - x)^{-2} \)
अब, हम \( (1 - x)^{-2} \) का द्विपद प्रसार करते हैं। \( (1 - X)^{-n} \) का सूत्र \( 1 + nX + \frac{n(n+1)}{2!}X^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}X^3 + ...... \) है.
यहां, \( n = 2 \) और \( X = x \).
\( (1 - x)^{-2} = 1 + 2x + \frac{2(2+1)}{2!}x^2 + \frac{2(2+1)(2+2)}{3!}x^3 + ...... \)
\( = 1 + 2x + \frac{2 \cdot 3}{2}x^2 + \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{6}x^3 + ...... \)
\( = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ...... \)
यह दाहिना पक्ष (R.H.S.) है।
चूंकि L.H.S. \( = \) R.H.S., हमने इसे सिद्ध कर दिया। यह दर्शाता है कि कैसे श्रृंखला को पहचानना गणनाओं को सरल बना सकता है.
In simple words: हम जानते हैं कि \( 1 + x + x^2 + x^3 + ..... \) का मतलब \( (1-x)^{-1} \) है. इसलिए, हम समीकरण के बाईं ओर को \( ((1-x)^{-1})^2 \), जो \( (1-x)^{-2} \) के बराबर है, में बदल देते हैं. फिर हम \( (1-x)^{-2} \) को फैलाते हैं, और हमें \( 1 + 2x + 3x^2 + ..... \) मिलता है, जो समीकरण के दाहिनी ओर है.

🎯 Exam Tip: पहचान-आधारित प्रमाणों में, समीकरण के एक पक्ष को मानक श्रृंखला या सूत्र में बदलना अक्सर समस्या को हल करने की कुंजी होती है. ज्ञात श्रृंखला योगों को याद रखना बहुत उपयोगी है.

Question 9. सिद्ध कीजिए \( (1 + x + x^2 + x^3 + .......\infty)(1 + 3x + 6x^2 + .....\infty) = (1 + 2x + 3x^2 + .......\infty)^2 \)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( (1 + x + x^2 + x^3 + .......\infty)(1 + 3x + 6x^2 + .....\infty) = (1 + 2x + 3x^2 + .......\infty)^2 \)
हम प्रत्येक श्रृंखला को उसके द्विपद रूप में पहचानते हैं:
1. \( 1 + x + x^2 + x^3 + .......\infty = (1-x)^{-1} \)
2. \( 1 + 2x + 3x^2 + .......\infty = (1-x)^{-2} \) (प्रश्न 8 से)
3. \( 1 + 3x + 6x^2 + .......\infty \)
यह \( (1-x)^{-3} \) का प्रसार है, जहाँ \( n=3 \).
\( (1-x)^{-3} = 1 + 3x + \frac{3(3+1)}{2!}x^2 + \frac{3(3+1)(3+2)}{3!}x^3 + ...... \)
\( = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + ...... \)
अब, हम समीकरण के वाम पक्ष (L.H.S.) से शुरू करते हैं:
L.H.S. \( = (1 + x + x^2 + x^3 + .......\infty)(1 + 3x + 6x^2 + .....\infty) \)
\( = (1-x)^{-1} \times (1-x)^{-3} \)
घातों को जोड़ने पर:
\( = (1-x)^{-1-3} \)
\( = (1-x)^{-4} \)
अब, दाहिना पक्ष (R.H.S.) लेते हैं:
R.H.S. \( = (1 + 2x + 3x^2 + .......\infty)^2 \)
\( = ((1-x)^{-2})^2 \)
\( = (1-x)^{-2 \times 2} \)
\( = (1-x)^{-4} \)
चूंकि L.H.S. \( = (1-x)^{-4} \) और R.H.S. \( = (1-x)^{-4} \), तो L.H.S. \( = \) R.H.S.।
यह सिद्ध हो गया। इन श्रृंखलाओं को पहचानना बहुत महत्वपूर्ण है.
In simple words: हम समीकरण में प्रत्येक लंबी श्रृंखला को उसके छोटे द्विपद रूप में बदलते हैं. \( (1 + x + x^2 + ...) \) \( (1-x)^{-1} \) है, \( (1 + 3x + 6x^2 + ...) \) \( (1-x)^{-3} \) है, और \( (1 + 2x + 3x^2 + ...) \) \( (1-x)^{-2} \) है. फिर हम इन छोटे रूपों को बाईं ओर और दाहिनी ओर रखते हैं, और देखते हैं कि वे दोनों \( (1-x)^{-4} \) के बराबर हैं, जिससे पता चलता है कि वे समान हैं.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रमाणों में सफलता के लिए महत्वपूर्ण यह है कि आप कुछ सामान्य अनंत श्रृंखला प्रसारों, विशेष रूप से \( (1-x)^{-n} \) के लिए, को तुरंत पहचान सकें.

Question 10. यदि \( x = 2y + 3y^2 + 4y^3+...... \) है, तो \( y \) को \( x \) की आरोही घातों की श्रेणी के रूप में व्यक्त कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि \( x = 2y + 3y^2 + 4y^3 + ...... \) है, और हमें \( y \) को \( x \) की आरोही घातों की श्रेणी के रूप में व्यक्त करना है।
दी गई श्रृंखला को देखें:
\( x = 2y + 3y^2 + 4y^3 + ...... \)
हम जानते हैं कि \( (1-y)^{-2} = 1 + 2y + 3y^2 + 4y^3 + ...... \) (प्रश्न 8 से).
इसलिए, हम समीकरण के दोनों ओर \( 1 \) जोड़ते हैं:
\( 1 + x = 1 + 2y + 3y^2 + 4y^3 + ...... \)
अब, हम दाहिने पक्ष को \( (1-y)^{-2} \) से बदल सकते हैं:
\( 1 + x = (1-y)^{-2} \)
अब, \( y \) के लिए हल करने के लिए, हम दोनों पक्षों की घात \( -1/2 \) लेते हैं:
\( (1+x)^{-1/2} = ((1-y)^{-2})^{-1/2} \)
\( (1+x)^{-1/2} = (1-y)^{(-2) \times (-1/2)} \)
\( (1+x)^{-1/2} = 1-y \)
अब, \( y \) को अलग करने के लिए:
\( y = 1 - (1+x)^{-1/2} \)
अब हमें \( (1+x)^{-1/2} \) का प्रसार करना होगा। \( (1+X)^n \) का सूत्र \( 1 + nX + \frac{n(n-1)}{2!}X^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}X^3 + ...... \) है.
यहां, \( n = -1/2 \) और \( X = x \).
\( (1+x)^{-1/2} = 1 + \left(-\frac{1}{2}\right)x + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-1\right)}{2!}x^2 + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-1\right)\left(-\frac{1}{2}-2\right)}{3!}x^3 + ...... \)
\( = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2}x^2 + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{6}x^3 + ...... \)
\( = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + ...... \)
अब इस प्रसार को \( y \) के सूत्र में वापस रखते हैं:
\( y = 1 - \left(1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + ...... \right) \)
\( y = 1 - 1 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{8}x^2 + \frac{5}{16}x^3 - ...... \)
\( y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{8}x^2 + \frac{5}{16}x^3 - ...... \)
इसलिए, \( y \) को \( x \) की आरोही घातों की श्रेणी के रूप में व्यक्त किया जाता है \( y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{8}x^2 + \frac{5}{16}x^3 - ...... \). यह श्रृंखला पहचान का एक उत्कृष्ट उपयोग है.
In simple words: पहले, हम दी गई \( x \) की श्रृंखला को पहचानते हैं, जिसमें \( 1 \) जोड़ने पर वह \( (1-y)^{-2} \) के बराबर हो जाती है. फिर, हम समीकरण \( 1+x = (1-y)^{-2} \) को \( y \) के लिए हल करते हैं, जिससे हमें \( y = 1 - (1+x)^{-1/2} \) मिलता है. अंत में, हम \( (1+x)^{-1/2} \) को फैलाते हैं और इसे \( y \) के समीकरण में रखते हैं ताकि \( y \) को \( x \) की घातों की श्रृंखला के रूप में मिल सके.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार की समस्याओं में, श्रृंखलाओं को मानक द्विपद प्रसार के रूप में पहचानना और फिर \( y \) को \( x \) के पदों में व्यक्त करने के लिए उचित बीजगणितीय हेरफेर करना महत्वपूर्ण है.