RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Exercise 7.3

Question 1. यदि \( (1 + x)^n \) के प्रसार के गुणांक क्रमशः \( C_0, C_1, C_2, \dots, C_n \) हों, तो मान ज्ञात कीजिए-
(i) \( ^8C_1 + ^8C_2 + ^8C_3 + \dots + ^8C_8 \)
(ii) \( ^8C_1 + ^8C_3 + ^8C_5 + ^8C_7 + \dots \dots \)
Answer:
(i) हम जानते हैं कि द्विपद प्रसार के सभी गुणांकों का योग \( ^nC_0 + ^nC_1 + ^nC_2 + \dots + ^nC_n = 2^n \) होता है. इस सूत्र का उपयोग करके हम आसानी से सभी गुणांकों के योग की गणना कर सकते हैं.
\( \implies 1 + ^nC_1 + ^nC_2 + ^nC_3 + \dots + ^nC_n = 2^n \)
\( \implies ^nC_1 + ^nC_2 + ^nC_3 + \dots + ^nC_n = 2^n - 1 \)
n = 8 रखने पर,
\( ^8C_1 + ^8C_2 + ^8C_3 + \dots + ^8C_8 = 2^8 - 1 \)
\( = 256 - 1 = 255 \)

(ii) द्विपद गुणांकों के गुणधर्म से हम जानते हैं कि विषम पदों वाले गुणांकों का योग हमेशा \( 2^{n-1} \) के बराबर होता है. यह एक महत्वपूर्ण गुणधर्म है जो द्विपद प्रसार को सरल बनाता है.
\( ^nC_1 + ^nC_3 + ^nC_5 + \dots = \frac{2^n}{2} = 2^{n-1} \)
n = 8 रखने पर,
\( ^8C_1 + ^8C_3 + ^8C_5 + ^8C_7 = 2^{8-1} = 2^7 \)
\( = 128 \)
In simple words: (i) हमें पता है कि \( (1+x)^n \) के सभी गुणांकों का जोड़ \( 2^n \) होता है. इसमें से पहला गुणांक \( C_0 \) यानी 1 हटाने पर, बचे हुए गुणांकों का जोड़ \( 2^n - 1 \) होगा. n की जगह 8 रखने पर हमें 255 मिलेगा.
(ii) द्विपद प्रसार में विषम स्थानों पर आने वाले गुणांकों (जैसे \( C_1, C_3 \)) का कुल जोड़ \( 2^{n-1} \) होता है. n की जगह 8 रखने पर, यह जोड़ \( 2^7 \) यानी 128 होगा.

🎯 Exam Tip: इन प्रश्नों को हल करने के लिए द्विपद प्रमेय के मूल गुणधर्मों को याद रखना बहुत ज़रूरी है, खासकर सभी गुणांकों का योग और सम-विषम पदों के गुणांकों का योग. ये सूत्र समय बचाते हैं.

Question 2. \( C_0 + 3.C_1 + 5.C_2 + \dots + (2n + 1). C_n = (n + 1)2^n \)
Answer: हम इस समीकरण के बाएँ पक्ष (L.H.S.) को लेकर इसे दाएँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर सिद्ध करेंगे. हम जानते हैं कि \( C_r = ^nC_r \). इस पहचान का उपयोग करके हम समीकरण को सरल कर सकते हैं.
L.H.S. \( = C_0 + 3.C_1 + 5.C_2 + \dots + (2n + 1). C_n \)
\( = (C_0 + C_1 + C_2 + C_3 + \dots + C_n) + (2.C_1 + 4.C_2 + 6.C_3 + \dots + 2nC_n) \)
पहले कोष्ठक का योग \( 2^n \) होता है. दूसरे कोष्ठक से 2 कॉमन लेने पर:
\( = 2^n + 2(C_1 + 2C_2 + 3C_3 + \dots + n.C_n) \)
हम जानते हैं कि \( r \cdot ^nC_r = n \cdot ^{n-1}C_{r-1} \). इसका उपयोग करने पर:
\( = 2^n + 2 [ n \cdot ^nC_0 + 2 \cdot ^nC_1 + 3 \cdot ^nC_2 + \dots + n \cdot ^nC_{n-1} ] \) (इस पद को \( r^nC_r = n^{n-1}C_{r-1} \) के रूप में लिखने पर, \( \sum_{r=1}^n r^nC_r = n \cdot 2^{n-1} \) होता है)
इसलिए, \( C_1 + 2C_2 + 3C_3 + \dots + nC_n = n \cdot 2^{n-1} \)
यह मान समीकरण में रखने पर:
\( = 2^n + 2(n \cdot 2^{n-1}) \)
\( = 2^n + n \cdot 2 \cdot 2^{n-1} \)
\( = 2^n + n \cdot 2^n \)
\( = (1 + n)2^n \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. = R.H.S. इतिसिद्धम्.
In simple words: हमने समीकरण के बाएँ हिस्से को दो भागों में तोड़ा. पहले भाग में सभी गुणांकों का सीधा जोड़ था, जो \( 2^n \) होता है. दूसरे भाग में गुणांकों को उनके क्रम संख्या से गुणा किया गया था, जिसका कुल जोड़ \( n \cdot 2^{n-1} \) होता है. इन दोनों मानों को जोड़ने और थोड़ा हल करने पर हमें \( (n+1)2^n \) मिला, जो समीकरण का दायाँ हिस्सा है. इस तरह हमने इसे सही साबित किया.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, \( \sum C_r = 2^n \) और \( \sum r C_r = n 2^{n-1} \) जैसी मानक द्विपद सर्वसमिकाओं को पहचानना और लागू करना बहुत ज़रूरी है. यह जटिल दिखने वाले योगों को सरल बनाने में मदद करता है.

Question 3. \( C_0C_2 + C_1C_3 + C_2C_4 + \dots + C_{n-2}C_n = \frac{(2n)!}{(n-2)!(n+2)!} \)
Answer: हमें \( C_0C_2 + C_1C_3 + C_2C_4 + \dots + C_{n-2}C_n \) का मान ज्ञात करना है, जो कि \( (1+x)^n (x+1)^n \) के गुणनफल में \( x^{n+2} \) (या \( x^{n-2} \)) के गुणांक के बराबर होता है. यह एक मानक पहचान है जिसे अक्सर द्विपद प्रमेय के माध्यम से सिद्ध किया जाता है.
हम जानते हैं कि:
\( (1 + x)^n = C_0 + C_1x + C_2x^2 + C_3x^3 + \dots + C_nx^n \dots(1) \)
और \( (x + 1)^n = C_0x^n + C_1x^{n-1} + C_2x^{n-2} + \dots + C_n \dots(2) \)
समी. (1) तथा (2) का गुणा करने पर,
\( (1 + x)^n \times (x + 1)^n = (C_0 + C_1x + C_2x^2 + \dots + C_nx^n) \times (C_0x^n + C_1x^{n-1} + C_2x^{n-2} + \dots + C_n) \)
यह गुणनफल \( (1+x)^{2n} \) के बराबर है.
\( (1+x)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} {^{2n}C_k x^k} \)
हमें \( C_0C_2 + C_1C_3 + \dots + C_{n-2}C_n \) का मान ज्ञात करना है. यह \( (1+x)^n \) के गुणांक \( C_r \) और \( (x+1)^n \) के गुणांक \( C_{r+2} \) के गुणनफल का योग है. जब हम \( (1+x)^n \) और \( (x+1)^n \) को गुणा करते हैं, तो \( x^{n-2} \) का गुणांक प्राप्त करने के लिए \( C_k \) को \( C_{n-(n-2-k)} \) से गुणा करना होगा.
सही तरीका यह है कि \( (1+x)^n \) और \( (1+x)^n \) के गुणनफल, अर्थात् \( (1+x)^{2n} \), में \( x^2 \) के गुणांक को \( C_0C_2 + C_1C_3 + \dots \) के रूप में देखा जाए, जब हम दूसरे द्विपद को पलट दें.
हम \( (1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r \) और \( (1+x)^n = \sum_{s=0}^n C_s x^s \) को गुणा कर रहे हैं.
जब हम \( C_0C_2 + C_1C_3 + C_2C_4 + \dots + C_{n-2}C_n \) को देखते हैं, तो यह \( (1+x)^n \times (1+x)^n \) में \( x^{(n+2)} \) के गुणांक के बराबर होता है, जब एक पद को \( x^k \) और दूसरे को \( x^{n+2-k} \) के रूप में लेते हैं.
इसलिए, यह \( (1+x)^{2n} \) के प्रसार में \( x^{n+2} \) के गुणांक के बराबर है.
यह गुणांक \( ^{2n}C_{n+2} \) है.
हम जानते हैं कि \( ^{N}C_K = ^{N}C_{N-K} \).
इसलिए, \( ^{2n}C_{n+2} = ^{2n}C_{2n-(n+2)} = ^{2n}C_{n-2} \)
\( ^{2n}C_{n-2} = \frac{(2n)!}{(n-2)! (2n-(n-2))!} = \frac{(2n)!}{(n-2)!(n+2)!} \)
अतः, \( C_0C_2 + C_1C_3 + C_2C_4 + \dots + C_{n-2}C_n = \frac{(2n)!}{(n-2)!(n+2)!} \) इतिसिद्धम्.
In simple words: जब हम \( (1+x)^n \) को खुद से गुणा करते हैं, तो हमें \( (1+x)^{2n} \) मिलता है. इस प्रश्न में दिया गया योग \( (1+x)^{2n} \) के फैलाव में \( x^{n+2} \) या \( x^{n-2} \) के साथ आने वाली संख्या (गुणांक) के बराबर होता है. इस संख्या को हम सीधे सूत्र से \( ^{2n}C_{n-2} \) या \( ^{2n}C_{n+2} \) लिख सकते हैं, जो \( \frac{(2n)!}{(n-2)!(n+2)!} \) के बराबर है.

🎯 Exam Tip: द्विपद गुणांकों के गुणनफल के योग को अक्सर \( (1+x)^n \) के दो प्रसारों के गुणनफल में किसी विशेष घात \( x^k \) के गुणांक के रूप में पहचाना जाता है. यह समझने से प्रश्नों को हल करना आसान हो जाता है.

Question 4. \( C_0 + 2C_1 + 4C_2 + 6C_3 + \dots + 2nC_n = 1 + n2^n \)
Answer: हम इस समीकरण के बाएँ पक्ष (L.H.S.) को लेकर उसे दाएँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर सिद्ध करेंगे. यह द्विपद गुणांकों का एक खास योग है जिसे सरल करने के लिए हम मानक सूत्रों का उपयोग करते हैं.
L.H.S. \( = C_0 + 2C_1 + 4C_2 + 6C_3 + \dots + 2nC_n \)
हम जानते हैं कि \( C_0 = 1 \).
\( = 1 + 2C_1 + 4C_2 + 6C_3 + \dots + 2nC_n \)
अब, हम 2 को सभी पदों से बाहर निकाल सकते हैं, सिवाय पहले पद के:
\( = 1 + 2 (C_1 + 2C_2 + 3C_3 + \dots + nC_n) \)
हम जानते हैं कि \( \sum_{r=1}^n r \cdot ^nC_r = n \cdot 2^{n-1} \). यह एक महत्वपूर्ण पहचान है जो ऐसे योगों को सरल बनाती है.
इसलिए, \( C_1 + 2C_2 + 3C_3 + \dots + nC_n = n \cdot 2^{n-1} \)
इस मान को समीकरण में रखने पर:
\( = 1 + 2 (n \cdot 2^{n-1}) \)
\( = 1 + n \cdot 2 \cdot 2^{n-1} \)
\( = 1 + n \cdot 2^n \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. = R.H.S. इतिसिद्धम्.
In simple words: हमने समीकरण के बाएँ हिस्से को लिया. \( C_0 \) का मान 1 होता है. बाकी सभी पदों से 2 को बाहर निकाला. फिर हमने देखा कि कोष्ठक के अंदर \( C_1 + 2C_2 + \dots + nC_n \) का जोड़ \( n \cdot 2^{n-1} \) होता है. इन मानों को वापस रखने और हल करने पर हमें \( 1 + n2^n \) मिला, जो दायाँ हिस्सा है.

🎯 Exam Tip: द्विपद गुणांकों से जुड़े योगों को हल करते समय, \( C_r = ^nC_r \) के साथ-साथ.. और \( \sum_{r=1}^n r \cdot ^nC_r = n \cdot 2^{n-1} \) जैसे मानक सूत्रों का उपयोग करना सीखें. ये सूत्र बहुत मदद करते हैं.

Question 5. \( (1 + \frac{C_1}{C_0}) (1 + \frac{C_2}{C_1}) (1 + \frac{C_3}{C_2}) \dots (1 + \frac{C_n}{C_{n-1}}) = \frac{(n+1)^n}{n!} \)
Answer: हम इस समीकरण के बाएँ पक्ष (L.H.S.) को लेकर इसे दाएँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर सिद्ध करेंगे. इस तरह के गुणनफल को हल करने के लिए, हमें द्विपद गुणांकों के अनुपात \( \frac{C_r}{C_{r-1}} \) के सूत्र का उपयोग करना होता है, जो \( \frac{n-r+1}{r} \) के बराबर होता है. यह अनुपात द्विपद गुणांकों के बीच संबंध को सरल रूप में दर्शाता है.
हम जानते हैं कि \( \frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r} \)
इसलिए, प्रत्येक पद \( (1 + \frac{C_r}{C_{r-1}}) \) को सरल करने पर:
\( 1 + \frac{C_r}{C_{r-1}} = 1 + \frac{n-r+1}{r} = \frac{r + n-r+1}{r} = \frac{n+1}{r} \)
अब, बाएँ पक्ष के गुणनफल में इन सरल किए गए पदों को रखने पर:
\( (1 + \frac{C_1}{C_0}) (1 + \frac{C_2}{C_1}) (1 + \frac{C_3}{C_2}) \dots (1 + \frac{C_n}{C_{n-1}}) \)
\( = (\frac{n+1}{1}) (\frac{n+1}{2}) (\frac{n+1}{3}) \dots (\frac{n+1}{n}) \)
इन सभी पदों को गुणा करने पर:
\( = \frac{(n+1) \cdot (n+1) \cdot (n+1) \dots (n+1) \text{ (n बार)} }{1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n} \)
\( = \frac{(n+1)^n}{n!} \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. = R.H.S. इतिसिद्धम्.
In simple words: हमने देखा कि \( (1 + \frac{C_r}{C_{r-1}}) \) वाले हर छोटे हिस्से को \( \frac{n+1}{r} \) के रूप में लिखा जा सकता है. फिर, जब हमने इन सभी छोटे हिस्सों को गुणा किया (जो r = 1 से n तक जाते हैं), तो हमें ऊपर \( (n+1) \) को n बार गुणा करके \( (n+1)^n \) मिला और नीचे 1 से n तक की संख्याओं का गुणा यानी \( n! \) मिला. इस तरह, हमने साबित किया कि दिया गया समीकरण सही है.

🎯 Exam Tip: द्विपद गुणांकों के अनुपात \( \frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r} \) को याद रखना इस प्रकार के गुणनफल प्रश्नों को हल करने की कुंजी है. इससे प्रत्येक पद सरल हो जाता है और गुणनफल स्पष्ट हो जाता है.

Question 6. यदि \( (1 + x - 2x^2)^6 \) का पूर्ण प्रसार \( 1 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots + a_{12}x^{12} \) द्वारा निरूपित हो, तब सिद्ध कीजिए, \( a_2 + a_4 + a_6 + \dots + a_{12} = 31 \)
Answer: हमें \( (1 + x - 2x^2)^6 \) के प्रसार से गुणांकों \( a_i \) का उपयोग करके \( a_2 + a_4 + a_6 + \dots + a_{12} = 31 \) सिद्ध करना है. इस तरह के प्रश्न को हल करने के लिए, हम \( x \) के विभिन्न मानों को समीकरण में रखकर दो या अधिक समीकरण बनाते हैं, जिन्हें बाद में जोड़कर या घटाकर वांछित परिणाम प्राप्त किया जा सकता है. यह सम और विषम गुणांकों को अलग करने का एक सामान्य तरीका है.
हमें दिया गया प्रसार है:
\( (1 + x - 2x^2)^6 = 1 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots + a_{12}x^{12} \)
सबसे पहले, हम \( x = -1 \) रखते हैं:
\( (1 - 1 - 2(-1)^2)^6 = 1 + a_1(-1) + a_2(-1)^2 + a_3(-1)^3 + \dots + a_{12}(-1)^{12} \)
\( (1 - 1 - 2(1))^6 = 1 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots + a_{12} \)
\( (-2)^6 = 1 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + \dots + a_{12} \)
\( 64 = 1 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + \dots + a_{12} \dots(1) \)
अब, हम \( x = 1 \) रखते हैं:
\( (1 + 1 - 2(1)^2)^6 = 1 + a_1(1) + a_2(1)^2 + a_3(1)^3 + \dots + a_{12}(1)^{12} \)
\( (1 + 1 - 2)^6 = 1 + a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{12} \)
\( (0)^6 = 1 + a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{12} \)
\( 0 = 1 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + \dots + a_{12} \dots(2) \)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर (हमें सम पदों का योग चाहिए, इसलिए जोड़ते हैं):
\( (1) + (2): \)
\( 64 + 0 = (1 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots + a_{12}) + (1 + a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{12}) \)
दाएँ पक्ष में, विषम पदों वाले गुणांक (जैसे \( a_1, a_3, a_5 \dots \)) कट जाएँगे, और सम पदों वाले गुणांक दुगुने हो जाएँगे.
\( 64 = 2(1 + a_2 + a_4 + a_6 + \dots + a_{12}) \)
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
\( \frac{64}{2} = 1 + a_2 + a_4 + a_6 + \dots + a_{12} \)
\( 32 = 1 + a_2 + a_4 + a_6 + \dots + a_{12} \)
अब 1 को बाएँ पक्ष में ले जाने पर:
\( a_2 + a_4 + a_6 + \dots + a_{12} = 32 - 1 \)
\( a_2 + a_4 + a_6 + \dots + a_{12} = 31 \)
अतः, \( a_2 + a_4 + a_6 + \dots + a_{12} = 31 \) इतिसिद्धम्.
In simple words: हमने दिए गए समीकरण में \( x = -1 \) और \( x = 1 \) दो अलग-अलग मान रखे. इससे हमें दो नए समीकरण मिले. फिर हमने इन दोनों समीकरणों को जोड़ा. जोड़ने पर, \( a_1, a_3 \) जैसे विषम स्थान वाले नंबर कट गए, और \( 1, a_2, a_4 \) जैसे सम स्थान वाले नंबर दुगुने हो गए. फिर हमने समीकरण को हल करके साबित किया कि \( a_2 + a_4 + a_6 + \dots + a_{12} \) का कुल जोड़ 31 है.

🎯 Exam Tip: किसी बहुपद के सम या विषम गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए, \( x=1 \) और \( x=-1 \) रखने की विधि बहुत उपयोगी है. यदि सम पदों का योग चाहिए तो समीकरणों को जोड़ें, और यदि विषम पदों का योग चाहिए तो घटाएँ.