RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Exercise 7.2

Question 1. निम्नलिखित द्विपद प्रसारों में अंकित पद ज्ञात कीजिए।
(i) \( (a + 2x^3)^{17} \) का 5 वाँ पद
Answer: हम जानते हैं कि द्विपद प्रसार में सामान्य पद \( T_{r+1} = {}^{n}C_r x^{n-r} a^r \) होता है। यहाँ, \( n=17 \), पहला पद \( X=a \) और दूसरा पद \( A=2x^3 \) है। 5वें पद को ज्ञात करने के लिए, हमें \( r+1 = 5 \) लेना होगा, जिसका अर्थ है \( r=4 \)।
\( T_{4+1} = T_5 = {}^{17}C_4 (a)^{17-4} (2x^3)^4 \)
\( T_5 = {}^{17}C_4 a^{13} (2^4 x^{12}) \)
\( T_5 = {}^{17}C_4 a^{13} (16 x^{12}) \)
\( T_5 = 16 \cdot {}^{17}C_4 a^{13} x^{12} \)
यह सूत्र किसी भी द्विपद प्रसार में किसी भी पद को पूरे प्रसार को खोले बिना सीधे ज्ञात करने में मदद करता है।
In simple words: किसी भी पद को ढूंढने के लिए, हम एक सामान्य सूत्र का उपयोग करते हैं. यहाँ, 5वाँ पद \( 16 \cdot {}^{17}C_4 a^{13} x^{12} \) है.

🎯 Exam Tip: जब भी किसी पद की संख्या दी हो (जैसे 5वाँ पद), तो 'r' का मान उस संख्या से एक कम होता है (जैसे 5वें पद के लिए r=4). इसे हमेशा ध्यान रखें.

Question 1. निम्नलिखित द्विपद प्रसारों में अंकित पद ज्ञात कीजिए।
(ii) \( \left(\frac{x}{y}-\frac{3y}{{x}^{2}} \right)^{12} \) का 9 वाँ पद
Answer: सामान्य पद का सूत्र \( T_{r+1} = {}^{n}C_r X^{n-r} A^r \) है। इस प्रसार में \( n=12 \), पहला पद \( X=\frac{x}{y} \) और दूसरा पद \( A=-\frac{3y}{x^2} \) है। 9वें पद को ज्ञात करने के लिए, हमें \( r+1 = 9 \) लेना होगा, जिसका अर्थ है \( r=8 \)।
\( T_{8+1} = T_9 = {}^{12}C_8 \left(\frac{x}{y}\right)^{12-8} \left(-\frac{3y}{x^2}\right)^8 \)
\( T_9 = {}^{12}C_8 \left(\frac{x}{y}\right)^4 \left(\frac{3y}{x^2}\right)^8 \) (क्योंकि \( (-1)^8 = 1 \))
\( T_9 = {}^{12}C_8 \frac{x^4}{y^4} \frac{3^8 y^8}{x^{16}} \)
\( T_9 = {}^{12}C_8 \cdot 3^8 \cdot x^{4-16} \cdot y^{8-4} \)
\( T_9 = {}^{12}C_8 \cdot 3^8 \cdot x^{-12} \cdot y^4 \)
\( {}^{12}C_8 = {}^{12}C_{12-8} = {}^{12}C_4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495 \)
\( 3^8 = 6561 \)
\( T_9 = 495 \cdot 6561 \cdot \frac{y^4}{x^{12}} \)
\( T_9 = 3247695 \frac{y^4}{x^{12}} \)
यह गणितीय गणना सुनिश्चित करती है कि घातों को सही ढंग से जोड़ा या घटाया जाए।
In simple words: 9वें पद को ढूंढने के लिए, हमने \( n=12 \) और \( r=8 \) का उपयोग किया. गणना करने पर, हमें \( 3247695 \frac{y^4}{x^{12}} \) मिला.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक पदों की घात को हल करते समय सावधानी बरतें. यदि घात सम संख्या हो, तो ऋणात्मक चिन्ह धनात्मक हो जाएगा.

Question 1. निम्नलिखित द्विपद प्रसारों में अंकित पद ज्ञात कीजिए।
(iii) \( \left(\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{{x}^{2}}{2} \right)^{9} \) का 9 वाँ पद
Answer: सामान्य पद का सूत्र \( T_{r+1} = {}^{n}C_r X^{n-r} A^r \) है। इस प्रसार में \( n=9 \), पहला पद \( X=\frac{2}{\sqrt{x}} = 2x^{-1/2} \) और दूसरा पद \( A=-\frac{x^2}{2} \) है। 9वें पद को ज्ञात करने के लिए, हमें \( r+1 = 9 \) लेना होगा, जिसका अर्थ है \( r=8 \)।
\( T_{8+1} = T_9 = {}^{9}C_8 \left(2x^{-1/2}\right)^{9-8} \left(-\frac{x^2}{2}\right)^8 \)
\( T_9 = {}^{9}C_8 \left(2x^{-1/2}\right)^1 \left(\frac{x^{16}}{2^8}\right) \) (क्योंकि \( (-1)^8 = 1 \))
\( T_9 = {}^{9}C_1 \cdot 2x^{-1/2} \cdot \frac{x^{16}}{256} \) (क्योंकि \( {}^{9}C_8 = {}^{9}C_1 = 9 \))
\( T_9 = 9 \cdot \frac{2}{256} \cdot x^{-1/2} \cdot x^{16} \)
\( T_9 = \frac{18}{256} \cdot x^{16 - 1/2} \)
\( T_9 = \frac{9}{128} \cdot x^{31/2} \)
सही 'r' का चयन करना महत्वपूर्ण है, अन्यथा परिणाम गलत हो सकता है।
In simple words: हमने 9वें पद को ढूंढने के लिए \( n=9 \) और \( r=8 \) का उपयोग किया. गणना के बाद, हमें \( \frac{9}{128} x^{31/2} \) मिला.

🎯 Exam Tip: प्रश्न में दिए गए पद की संख्या के अनुसार 'r' का मान सही ढंग से चुनें. यदि प्रश्न 'k' वाँ पद पूछता है, तो 'r' का मान 'k-1' होगा.

Question 2. गुणांक ज्ञात कीजिए
(i) \( \left(ax-\frac {1}{{bx}^{2}}\right)^{8} \) के प्रसार में \( x^{-7} \) का
Answer: सामान्य पद का सूत्र \( T_{r+1} = {}^{n}C_r X^{n-r} A^r \) है। इस प्रसार में \( n=8 \), पहला पद \( X=ax \) और दूसरा पद \( A=-\frac{1}{bx^2} \) है।
\( T_{r+1} = {}^{8}C_r (ax)^{8-r} \left(-\frac{1}{bx^2}\right)^r \)
\( T_{r+1} = {}^{8}C_r a^{8-r} x^{8-r} (-1)^r b^{-r} x^{-2r} \)
\( T_{r+1} = {}^{8}C_r (-1)^r a^{8-r} b^{-r} x^{8-r-2r} \)
\( T_{r+1} = {}^{8}C_r (-1)^r a^{8-r} b^{-r} x^{8-3r} \)
हमें \( x^{-7} \) का गुणांक चाहिए, इसलिए हम \( x \) की घात को \( -7 \) के बराबर रखते हैं:
\( 8-3r = -7 \)
\( 3r = 8+7 \)
\( 3r = 15 \)
\( r = 5 \)
अब, \( r=5 \) को गुणांक वाले भाग में रखने पर:
गुणांक \( = {}^{8}C_5 (-1)^5 a^{8-5} b^{-5} \)
\( = {}^{8}C_5 (-1) a^3 b^{-5} \)
\( {}^{8}C_5 = {}^{8}C_3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \)
गुणांक \( = -56 a^3 b^{-5} = -\frac{56a^3}{b^5} \)
सही 'r' का मान ज्ञात करना और उसे गुणांक के भाग में प्रतिस्थापित करना बहुत महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमने \( x \) की घात को \( -7 \) के बराबर रखकर \( r \) का मान 5 पाया. फिर हमने इस \( r \) मान को गुणांक के भाग में रखा और \( -\frac{56a^3}{b^5} \) उत्तर मिला.

🎯 Exam Tip: जब भी \( (-1)^r \) जैसा कोई पद हो, तो 'r' के सम या विषम होने के आधार पर चिन्ह का सही ध्यान रखें. विषम 'r' के लिए यह ऋणात्मक रहेगा.

Question 2. गुणांक ज्ञात कीजिए
(ii) \( \left( {x}^{4}-\frac{1}{{x}^{3}} \right)^{15} \) के प्रसार में \( x^4 \) का
Answer: सामान्य पद का सूत्र \( T_{r+1} = {}^{n}C_r X^{n-r} A^r \) है। इस प्रसार में \( n=15 \), पहला पद \( X=x^4 \) और दूसरा पद \( A=-\frac{1}{x^3} \) है।
\( T_{r+1} = {}^{15}C_r (x^4)^{15-r} \left(-\frac{1}{x^3}\right)^r \)
\( T_{r+1} = {}^{15}C_r x^{4(15-r)} (-1)^r x^{-3r} \)
\( T_{r+1} = {}^{15}C_r (-1)^r x^{60-4r-3r} \)
\( T_{r+1} = {}^{15}C_r (-1)^r x^{60-7r} \)
हमें \( x^4 \) का गुणांक चाहिए, इसलिए हम \( x \) की घात को \( 4 \) के बराबर रखते हैं:
\( 60-7r = 4 \)
\( 7r = 60-4 \)
\( 7r = 56 \)
\( r = 8 \)
अब, \( r=8 \) को गुणांक वाले भाग में रखने पर:
गुणांक \( = {}^{15}C_8 (-1)^8 \)
\( = {}^{15}C_8 \cdot 1 \)
\( {}^{15}C_8 = {}^{15}C_{15-8} = {}^{15}C_7 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6435 \)
गुणांक \( = 6435 \)
घातों को सही ढंग से संयोजित करना और \( (-1)^r \) के प्रभाव पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है।
In simple words: \( x \) की घात को 4 के बराबर रखने पर \( r=8 \) मिलता है. इस \( r \) मान के साथ, \( x^4 \) का गुणांक \( {}^{15}C_8 \) होगा, जो कि 6435 है.

🎯 Exam Tip: यदि \( (-1)^r \) में 'r' एक सम संख्या है, तो \( (-1)^r \) का मान +1 होगा. यदि 'r' एक विषम संख्या है, तो मान -1 होगा.

Question 2. गुणांक ज्ञात कीजिए
(iii) \( (a - bx^2)^{10} \) के प्रसार में \( x^6 \) का
Answer: सामान्य पद का सूत्र \( T_{r+1} = {}^{n}C_r X^{n-r} A^r \) है। इस प्रसार में \( n=10 \), पहला पद \( X=a \) और दूसरा पद \( A=-bx^2 \) है।
\( T_{r+1} = {}^{10}C_r (a)^{10-r} (-bx^2)^r \)
\( T_{r+1} = {}^{10}C_r a^{10-r} (-1)^r b^r (x^2)^r \)
\( T_{r+1} = {}^{10}C_r (-1)^r a^{10-r} b^r x^{2r} \)
हमें \( x^6 \) का गुणांक चाहिए, इसलिए हम \( x \) की घात को \( 6 \) के बराबर रखते हैं:
\( 2r = 6 \)
\( r = 3 \)
अब, \( r=3 \) को गुणांक वाले भाग में रखने पर:
गुणांक \( = {}^{10}C_3 (-1)^3 a^{10-3} b^3 \)
\( = {}^{10}C_3 (-1) a^7 b^3 \)
\( {}^{10}C_3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120 \)
गुणांक \( = -120 a^7 b^3 \)
गुणांकों की गणना करते समय सभी चर और स्थिरांकों को शामिल करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: \( x \) की घात को 6 के बराबर रखने पर \( r=3 \) मिलता है. इस \( r \) मान के साथ, \( x^6 \) का गुणांक \( -120 a^7 b^3 \) है.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप 'n' के मान और binomial expansion के सही पदों की पहचान करें, खासकर जब 'a' और 'x' दोनों के मान दिए हों.

Question 3. निम्नलिखित के प्रसार में \( x \) रहित पद ज्ञात कीजिए
(i) \( \left({x}-\frac {1}{{x}^{2}} \right)^{12} \)
Answer: सामान्य पद का सूत्र \( T_{r+1} = {}^{n}C_r X^{n-r} A^r \) है। इस प्रसार में \( n=12 \), पहला पद \( X=x \) और दूसरा पद \( A=-\frac{1}{x^2} \) है।
\( T_{r+1} = {}^{12}C_r (x)^{12-r} \left(-\frac{1}{x^2}\right)^r \)
\( T_{r+1} = {}^{12}C_r x^{12-r} (-1)^r x^{-2r} \)
\( T_{r+1} = {}^{12}C_r (-1)^r x^{12-r-2r} \)
\( T_{r+1} = {}^{12}C_r (-1)^r x^{12-3r} \)
हमें \( x \) रहित पद चाहिए, इसलिए हम \( x \) की घात को \( 0 \) के बराबर रखते हैं:
\( 12-3r = 0 \)
\( 3r = 12 \)
\( r = 4 \)
अब, \( r=4 \) को पद \( T_{r+1} \) में रखने पर:
\( T_5 = {}^{12}C_4 (-1)^4 \)
\( T_5 = {}^{12}C_4 \cdot 1 \)
\( {}^{12}C_4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 5 \cdot 9 = 495 \)
\( x \) रहित पद \( = 495 \)
यह सुनिश्चित करना कि \( x \) की घात शून्य हो, \( x \) रहित पद ज्ञात करने की कुंजी है।
In simple words: हमने \( x \) की घात को 0 के बराबर रखा और \( r=4 \) पाया. इस \( r \) मान के साथ, \( x \) रहित पद 495 है.

🎯 Exam Tip: \( x \) रहित पद का मतलब है कि \( x \) की घात \( 0 \) है. इसलिए, सामान्य पद में \( x \) की सभी घातों का योग \( 0 \) होना चाहिए.

Question 3. निम्नलिखित के प्रसार में \( x \) रहित पद ज्ञात कीजिए
(ii) \( \left({\sqrt {x}}-\frac { 3 }{ {x}^{2}} \right)^{10},x > 0 \)
Answer: सामान्य पद का सूत्र \( T_{r+1} = {}^{n}C_r X^{n-r} A^r \) है। इस प्रसार में \( n=10 \), पहला पद \( X=\sqrt{x} = x^{1/2} \) और दूसरा पद \( A=-\frac{3}{x^2} \) है।
\( T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/2})^{10-r} \left(-\frac{3}{x^2}\right)^r \)
\( T_{r+1} = {}^{10}C_r x^{(10-r)/2} (-3)^r x^{-2r} \)
\( T_{r+1} = {}^{10}C_r (-3)^r x^{(10-r)/2 - 2r} \)
\( T_{r+1} = {}^{10}C_r (-3)^r x^{(10-r-4r)/2} \)
\( T_{r+1} = {}^{10}C_r (-3)^r x^{(10-5r)/2} \)
हमें \( x \) रहित पद चाहिए, इसलिए हम \( x \) की घात को \( 0 \) के बराबर रखते हैं:
\( \frac{10-5r}{2} = 0 \)
\( 10-5r = 0 \)
\( 5r = 10 \)
\( r = 2 \)
अब, \( r=2 \) को पद \( T_{r+1} \) में रखने पर:
\( T_3 = {}^{10}C_2 (-3)^2 \)
\( T_3 = {}^{10}C_2 \cdot 9 \)
\( {}^{10}C_2 = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 \)
\( x \) रहित पद \( = 45 \cdot 9 = 405 \)
वर्गमूल जैसे भिन्न घातों को सही ढंग से संभालना महत्वपूर्ण है।
In simple words: \( x \) की घात को 0 के बराबर रखने पर \( r=2 \) मिलता है. इस \( r \) मान के साथ, \( x \) रहित पद 405 है.

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{x} \) का अर्थ \( x^{1/2} \) होता है, और \( \frac{1}{x^2} \) का अर्थ \( x^{-2} \) होता है. इन घातों को सावधानी से उपयोग करें.

Question 3. निम्नलिखित के प्रसार में \( x \) रहित पद ज्ञात कीजिए
(iii) \( \left({\sqrt {\frac {x}{3}}}+\frac {3}{2{x}^{2}} \right)^{10} \)
Answer: सामान्य पद का सूत्र \( T_{r+1} = {}^{n}C_r X^{n-r} A^r \) है। इस प्रसार में \( n=10 \), पहला पद \( X=\sqrt{\frac{x}{3}} = \frac{x^{1/2}}{3^{1/2}} \) और दूसरा पद \( A=\frac{3}{2x^2} \) है।
\( T_{r+1} = {}^{10}C_r \left(\frac{x^{1/2}}{3^{1/2}}\right)^{10-r} \left(\frac{3}{2x^2}\right)^r \)
\( T_{r+1} = {}^{10}C_r \frac{x^{(10-r)/2}}{3^{(10-r)/2}} \frac{3^r}{2^r x^{2r}} \)
\( T_{r+1} = {}^{10}C_r 3^{r-(10-r)/2} 2^{-r} x^{(10-r)/2 - 2r} \)
\( T_{r+1} = {}^{10}C_r 3^{(2r-10+r)/2} 2^{-r} x^{(10-r-4r)/2} \)
\( T_{r+1} = {}^{10}C_r 3^{(3r-10)/2} 2^{-r} x^{(10-5r)/2} \)
हमें \( x \) रहित पद चाहिए, इसलिए हम \( x \) की घात को \( 0 \) के बराबर रखते हैं:
\( \frac{10-5r}{2} = 0 \)
\( 10-5r = 0 \)
\( 5r = 10 \)
\( r = 2 \)
अब, \( r=2 \) को गुणांक वाले भाग में रखने पर:
गुणांक \( = {}^{10}C_2 3^{(3 \cdot 2 - 10)/2} 2^{-2} \)
\( = {}^{10}C_2 3^{(6 - 10)/2} 2^{-2} \)
\( = {}^{10}C_2 3^{-4/2} 2^{-2} \)
\( = {}^{10}C_2 3^{-2} 2^{-2} \)
\( {}^{10}C_2 = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 \)
\( x \) रहित पद \( = 45 \cdot \frac{1}{3^2} \cdot \frac{1}{2^2} \)
\( = 45 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4} \)
\( = \frac{45}{36} = \frac{5}{4} \)
विभिन्न आधारों की घातों को एक साथ समूहित करना गणना को आसान बनाता है।
In simple words: \( x \) की घात को 0 के बराबर रखा और \( r=2 \) पाया. इस \( r \) मान के साथ, \( x \) रहित पद \( \frac{5}{4} \) है.

🎯 Exam Tip: जब अलग-अलग आधारों (जैसे 3 और 2) की घातें हों, तो उन्हें अलग-अलग रखें और अंत में गुणा करें.

Question 4. निम्नलिखित के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए
(i) \( \left(\frac { x }{ 2 } +2y \right)^{6} \)
Answer: इस प्रसार में \( n=6 \) है। पदों की कुल संख्या \( n+1 = 6+1 = 7 \) होगी, जो एक विषम संख्या है।
एक विषम संख्या में पदों के लिए, केवल एक मध्य पद होता है, जिसे \( \left(\frac{n}{2}+1\right)^{th} \) पद या \( \left(\frac{6}{2}+1\right)^{th} = (3+1)^{th} = 4^{th} \) पद से ज्ञात किया जाता है।
हमें 4वाँ पद ज्ञात करना है, इसलिए \( r=3 \) होगा।
सामान्य पद का सूत्र \( T_{r+1} = {}^{n}C_r X^{n-r} A^r \) है।
यहाँ \( n=6 \), \( r=3 \), \( X=\frac{x}{2} \) और \( A=2y \) है।
\( T_{3+1} = T_4 = {}^{6}C_3 \left(\frac{x}{2}\right)^{6-3} (2y)^3 \)
\( T_4 = {}^{6}C_3 \left(\frac{x}{2}\right)^3 (2y)^3 \)
\( T_4 = {}^{6}C_3 \frac{x^3}{2^3} 2^3 y^3 \)
\( T_4 = {}^{6}C_3 x^3 y^3 \)
\( {}^{6}C_3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \)
मध्य पद \( T_4 = 20 x^3 y^3 \)
मध्य पद ज्ञात करने के लिए, पदों की कुल संख्या का पता लगाना पहला कदम है।
In simple words: \( ( \frac{x}{2} + 2y )^6 \) के प्रसार में 7 पद हैं. इसका मध्य पद 4वाँ पद है, जो \( 20 x^3 y^3 \) के बराबर है.

🎯 Exam Tip: यदि पदों की कुल संख्या विषम है, तो एक मध्य पद होता है. यदि सम है, तो दो मध्य पद होते हैं. यह अंतर याद रखें.

Question 4. निम्नलिखित के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए
(ii) \( \left(3a-\frac {{a}^{3}}{ 6 } \right)^{9} \)
Answer: इस प्रसार में \( n=9 \) है। पदों की कुल संख्या \( n+1 = 9+1 = 10 \) होगी, जो एक सम संख्या है।
एक सम संख्या में पदों के लिए, दो मध्य पद होते हैं, जिन्हें \( \left(\frac{n+1}{2}\right)^{th} \) और \( \left(\frac{n+1}{2}+1\right)^{th} \) पदों से ज्ञात किया जाता है।
ये पद \( \left(\frac{9+1}{2}\right)^{th} = 5^{th} \) पद और \( \left(5+1\right)^{th} = 6^{th} \) पद हैं।

**5वाँ पद (r=4):**
सामान्य पद का सूत्र \( T_{r+1} = {}^{n}C_r X^{n-r} A^r \) है।
यहाँ \( n=9 \), \( r=4 \), \( X=3a \) और \( A=-\frac{a^3}{6} \) है।
\( T_{4+1} = T_5 = {}^{9}C_4 (3a)^{9-4} \left(-\frac{a^3}{6}\right)^4 \)
\( T_5 = {}^{9}C_4 (3a)^5 \left(\frac{a^{12}}{6^4}\right) \)
\( T_5 = {}^{9}C_4 \frac{3^5 a^5 a^{12}}{6^4} \)
\( T_5 = {}^{9}C_4 \frac{3^5}{6^4} a^{17} \)
\( {}^{9}C_4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126 \)
\( T_5 = 126 \cdot \frac{243}{1296} a^{17} = \frac{189}{8} a^{17} \)

**6वाँ पद (r=5):**
यहाँ \( n=9 \), \( r=5 \), \( X=3a \) और \( A=-\frac{a^3}{6} \) है।
\( T_{5+1} = T_6 = {}^{9}C_5 (3a)^{9-5} \left(-\frac{a^3}{6}\right)^5 \)
\( T_6 = {}^{9}C_5 (3a)^4 \left(-\frac{a^{15}}{6^5}\right) \)
\( T_6 = -{}^{9}C_5 \frac{3^4 a^4 a^{15}}{6^5} \)
\( T_6 = -{}^{9}C_5 \frac{3^4}{6^5} a^{19} \)
\( {}^{9}C_5 = {}^{9}C_4 = 126 \)
\( T_6 = -126 \cdot \frac{81}{7776} a^{19} = -\frac{21}{16} a^{19} \)
द्विपद प्रसार में, यदि 'n' सम है तो एक मध्य पद होता है, और यदि 'n' विषम है तो दो मध्य पद होते हैं।
In simple words: \( (3a - \frac{a^3}{6})^9 \) में 10 पद हैं, इसलिए दो मध्य पद हैं. 5वाँ पद \( \frac{189}{8} a^{17} \) है और 6वाँ पद \( -\frac{21}{16} a^{19} \) है.

🎯 Exam Tip: सम 'n' के लिए मध्य पद \( (n/2+1)^{th} \) होता है, जबकि विषम 'n' के लिए \( ((n+1)/2)^{th} \) और \( ((n+1)/2+1)^{th} \) दो मध्य पद होते हैं.

Question 4. निम्नलिखित के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए
(iii) \( \left(x+\frac { 1 }{ x } \right)^{2n} \)
Answer: इस प्रसार में \( N=2n \) है। पदों की कुल संख्या \( N+1 = 2n+1 \) होगी, जो एक विषम संख्या है।
एक विषम संख्या में पदों के लिए, केवल एक मध्य पद होता है, जिसे \( \left(\frac{N}{2}+1\right)^{th} \) पद या \( \left(\frac{2n}{2}+1\right)^{th} = (n+1)^{th} \) पद से ज्ञात किया जाता है।
हमें \( (n+1) \)वाँ पद ज्ञात करना है, इसलिए \( r=n \) होगा।
सामान्य पद का सूत्र \( T_{r+1} = {}^{N}C_r X^{N-r} A^r \) है।
यहाँ \( N=2n \), \( r=n \), \( X=x \) और \( A=\frac{1}{x} \) है।
\( T_{n+1} = {}^{2n}C_n (x)^{2n-n} \left(\frac{1}{x}\right)^n \)
\( T_{n+1} = {}^{2n}C_n x^n \frac{1}{x^n} \)
\( T_{n+1} = {}^{2n}C_n \)
\( {}^{2n}C_n = \frac{(2n)!}{n!n!} \)
\( {}^{2n}C_n = \frac{2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdots 2 \cdot 1}{(n!)^2} \)
हम जानते हैं कि \( (2n)! = 2^n \cdot n! \cdot [1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)] \)
इसलिए, \( {}^{2n}C_n = \frac{2^n \cdot n! \cdot [1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)]}{(n!)^2} \)
\( {}^{2n}C_n = \frac{2^n \cdot [1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)]}{n!} \)
यह दर्शाता है कि मध्य पद केवल गुणांक होता है, क्योंकि \( x \) की घातें रद्द हो जाती हैं।
In simple words: \( (x+\frac{1}{x})^{2n} \) में \( 2n+1 \) पद हैं. इसका मध्य पद \( (n+1) \)वाँ पद है, जिसका मान \( {}^{2n}C_n \) है. इसे \( \frac{2^n \cdot [1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)]}{n!} \) के रूप में भी लिखा जा सकता है.

🎯 Exam Tip: जब प्रसार \( (x + \frac{1}{x})^N \) के रूप में हो, तो \( x \) की सभी घातें रद्द हो जाती हैं, और मध्य पद केवल एक संख्यात्मक गुणांक होता है.

Question 4. निम्नलिखित के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए
(iv) \( \left(3x-\frac{2}{{x}^{2}} \right)^{15} \)
Answer: इस प्रसार में \( n=15 \) है। पदों की कुल संख्या \( n+1 = 15+1 = 16 \) होगी, जो एक सम संख्या है।
एक सम संख्या में पदों के लिए, दो मध्य पद होते हैं, जिन्हें \( \left(\frac{n+1}{2}\right)^{th} \) और \( \left(\frac{n+1}{2}+1\right)^{th} \) पदों से ज्ञात किया जाता है।
ये पद \( \left(\frac{15+1}{2}\right)^{th} = 8^{th} \) पद और \( \left(8+1\right)^{th} = 9^{th} \) पद हैं।

**8वाँ पद (r=7):**
सामान्य पद का सूत्र \( T_{r+1} = {}^{n}C_r X^{n-r} A^r \) है।
यहाँ \( n=15 \), \( r=7 \), \( X=3x \) और \( A=-\frac{2}{x^2} \) है।
\( T_{7+1} = T_8 = {}^{15}C_7 (3x)^{15-7} \left(-\frac{2}{x^2}\right)^7 \)
\( T_8 = {}^{15}C_7 (3x)^8 \left(-\frac{2^7}{x^{14}}\right) \)
\( T_8 = -{}^{15}C_7 \cdot 3^8 \cdot 2^7 \cdot x^8 \cdot x^{-14} \)
\( T_8 = -{}^{15}C_7 \cdot 3^8 \cdot 2^7 \cdot x^{-6} \)
\( {}^{15}C_7 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6435 \)
\( T_8 = -6435 \cdot 6561 \cdot 128 \cdot x^{-6} = -\frac{53813959680}{x^6} \)

**9वाँ पद (r=8):**
यहाँ \( n=15 \), \( r=8 \), \( X=3x \) और \( A=-\frac{2}{x^2} \) है।
\( T_{8+1} = T_9 = {}^{15}C_8 (3x)^{15-8} \left(-\frac{2}{x^2}\right)^8 \)
\( T_9 = {}^{15}C_8 (3x)^7 \left(\frac{2^8}{x^{16}}\right) \)
\( T_9 = {}^{15}C_8 \cdot 3^7 \cdot 2^8 \cdot x^7 \cdot x^{-16} \)
\( T_9 = {}^{15}C_8 \cdot 3^7 \cdot 2^8 \cdot x^{-9} \)
\( {}^{15}C_8 = {}^{15}C_7 = 6435 \)
\( T_9 = 6435 \cdot 2187 \cdot 256 \cdot x^{-9} = \frac{36173072640}{x^9} \)
घातों को सही ढंग से संयोजित करना और \( (-1)^r \) के प्रभाव पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है।
In simple words: इस प्रसार में दो मध्य पद हैं. 8वाँ पद \( -\frac{53813959680}{x^6} \) है और 9वाँ पद \( \frac{36173072640}{x^9} \) है.

🎯 Exam Tip: जब घातों को सरल कर रहे हों, तो ध्यान दें कि आधार (जैसे x) की घातें कैसे संयोजित होती हैं (गुणा या भाग होने पर जुड़ती या घटती हैं).

Question 4. (v) यदि \( n \) एक सम संख्या हो तो \( (1+x)^n \) के प्रसार में मध्य पद का गुणांक ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि \( n \) एक सम संख्या है, तो हम \( n = 2k \) मान सकते हैं।
प्रसार \( (1+x)^{2k} \) में पदों की कुल संख्या \( 2k+1 \) होगी, जो एक विषम संख्या है।
मध्य पद \( \left(\frac{2k}{2}+1\right)^{th} = (k+1)^{th} \) पद होगा।
मध्य पद का गुणांक \( {}^{2k}C_k \) है।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( {}^{2k}C_k = \frac{(2k)!}{k!k!} \)
हम जानते हैं कि \( (2k)! = 2^k \cdot k! \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)) \)
तो, मध्य पद का गुणांक \( = \frac{2^k \cdot k! \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1))}{k!k!} \)
\( = \frac{2^k \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1))}{k!} \)
चूंकि \( k = \frac{n}{2} \), हम इसे \( n \) के पदों में लिख सकते हैं:
\( = \frac{2^{n/2} \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (n-1))}{(n/2)!} \)
यह सूत्र सम घात वाले द्विपद प्रसार के मध्य पद के गुणांक को सीधे देता है।
In simple words: जब \( n \) सम होता है, तो \( (1+x)^n \) के मध्य पद का गुणांक \( {}^{n}C_{n/2} \) होता है, जिसे \( \frac{2^{n/2} \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (n-1))}{(n/2)!} \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है.

🎯 Exam Tip: यह सूत्र एक महत्वपूर्ण परिणाम है. इसे याद रखने से आप गणनाओं में समय बचा सकते हैं, खासकर यदि आपको \( (1+x)^n \) जैसे विशिष्ट प्रसार के लिए मध्य पद का गुणांक ज्ञात करना हो.

Question 4. (vi) यदि \( n \) एक विषम संख्या हो तो \( (1+x)^n \) के प्रसार में मध्य पदों के गुणांकों की समानता सिद्ध कीजिए।
Answer: यदि \( n \) एक विषम संख्या है, तो हम \( n = 2k+1 \) मान सकते हैं।
प्रसार \( (1+x)^{2k+1} \) में पदों की कुल संख्या \( 2k+2 \) होगी, जो एक सम संख्या है।
इस मामले में दो मध्य पद होंगे:
पहला मध्य पद \( \left(\frac{2k+1+1}{2}\right)^{th} = (k+1)^{th} \) पद है। इसका गुणांक \( {}^{2k+1}C_k \) है।
दूसरा मध्य पद \( \left(\frac{2k+1+1}{2}+1\right)^{th} = (k+2)^{th} \) पद है। इसका गुणांक \( {}^{2k+1}C_{k+1} \) है।
हम जानते हैं कि \( {}^{n}C_r = {}^{n}C_{n-r} \) होता है। इस पहचान का उपयोग करते हुए, हम \( {}^{2k+1}C_{k+1} \) को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( {}^{2k+1}C_{k+1} = {}^{2k+1}C_{(2k+1)-(k+1)} \)
\( = {}^{2k+1}C_{2k+1-k-1} \)
\( = {}^{2k+1}C_k \)
चूंकि \( {}^{2k+1}C_k = {}^{2k+1}C_{k+1} \), इससे सिद्ध होता है कि जब \( n \) विषम होता है, तो \( (1+x)^n \) के प्रसार में दो मध्य पदों के गुणांक बराबर होते हैं। यह द्विपद गुणांकों का एक सुंदर गुण है।
In simple words: जब \( n \) विषम होता है, तो \( (1+x)^n \) के प्रसार में दो मध्य पद होते हैं. द्विपद गुणांकों के गुण के कारण, इन दोनों मध्य पदों के गुणांक हमेशा समान होते हैं.

🎯 Exam Tip: \( {}^{n}C_r = {}^{n}C_{n-r} \) की पहचान द्विपद गुणांकों में समरूपता को समझने के लिए महत्वपूर्ण है. इसका उपयोग कई proofs में किया जाता है.

Question 7. \( (1 + y)^n \) के विस्तार में यदि 5 वें, 6 वें तथा 7 वें पदों के गुणांक स.श्रे. में हों, तो \( n \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: \( (1+y)^n \) के प्रसार में 5वें, 6वें और 7वें पदों के गुणांक इस प्रकार हैं:
5वें पद का गुणांक \( = {}^{n}C_4 \)
6वें पद का गुणांक \( = {}^{n}C_5 \)
7वें पद का गुणांक \( = {}^{n}C_6 \)
दिया गया है कि ये गुणांक समांतर श्रेणी (A.P.) में हैं। समांतर श्रेणी में, मध्य पद का दोगुना अन्य दो पदों के योग के बराबर होता है:
\( 2 \cdot {}^{n}C_5 = {}^{n}C_4 + {}^{n}C_6 \)
दोनों पक्षों को \( {}^{n}C_5 \) से भाग देने पर:
\( 2 = \frac{{}^{n}C_4}{{}^{n}C_5} + \frac{{}^{n}C_6}{{}^{n}C_5} \)
हम जानते हैं कि \( \frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r} \). इससे \( \frac{{}^{n}C_{r-1}}{{}^{n}C_r} = \frac{r}{n-r+1} \) होता है।
तो, \( \frac{{}^{n}C_4}{{}^{n}C_5} = \frac{5}{n-5+1} = \frac{5}{n-4} \)
और, \( \frac{{}^{n}C_6}{{}^{n}C_5} = \frac{n-5+1}{6} = \frac{n-5}{6} \)
अब समीकरण में इन मानों को रखने पर:
\( 2 = \frac{5}{n-4} + \frac{n-5}{6} \)
\( 2 \cdot 6(n-4) = 5 \cdot 6 + (n-5)(n-4) \)
\( 12(n-4) = 30 + n^2 - 4n - 5n + 20 \)
\( 12n - 48 = n^2 - 9n + 50 \)
\( 0 = n^2 - 9n - 12n + 50 + 48 \)
\( 0 = n^2 - 21n + 98 \)
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर:
\( n^2 - 14n - 7n + 98 = 0 \)
\( n(n-14) - 7(n-14) = 0 \)
\( (n-14)(n-7) = 0 \)
इसलिए, \( n=14 \) या \( n=7 \)। दोनों मान संभव हैं।
समांतर श्रेणी का उपयोग करना द्विपद गुणांकों के बीच संबंध स्थापित करने का एक प्रभावी तरीका है।
In simple words: यदि 5वें, 6वें और 7वें पदों के गुणांक समांतर श्रेणी में हैं, तो \( 2 \cdot {}^{n}C_5 = {}^{n}C_4 + {}^{n}C_6 \) का उपयोग करके, \( n \) का मान 7 या 14 मिलता है.

🎯 Exam Tip: समांतर श्रेणी की शर्त \( 2b = a+c \) का उपयोग द्विपद गुणांकों के साथ करते समय, हमेशा \( \frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r} \) के सूत्र का उपयोग करें ताकि समीकरण सरल हो जाए.

Question 8. \( (x + a)^n \) के द्विपद प्रसार के दूसरे, तीसरे और चौथे पद क्रमशः 240, 720 और 1080 हैं। x, a तथा n ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए पदों के अनुसार:
दूसरा पद: \( T_2 = {}^{n}C_1 x^{n-1} a = 240 \) (1)
तीसरा पद: \( T_3 = {}^{n}C_2 x^{n-2} a^2 = 720 \) (2)
चौथा पद: \( T_4 = {}^{n}C_3 x^{n-3} a^3 = 1080 \) (3)

समीकरण (2) को (1) से भाग देने पर:
\( \frac{{}^{n}C_2 x^{n-2} a^2}{{}^{n}C_1 x^{n-1} a} = \frac{720}{240} \)
\( \frac{n(n-1)/2}{n} \cdot \frac{a}{x} = 3 \)
\( \frac{n-1}{2} \cdot \frac{a}{x} = 3 \)
\( \implies \frac{a}{x} = \frac{6}{n-1} \) (4)

समीकरण (3) को (2) से भाग देने पर:
\( \frac{{}^{n}C_3 x^{n-3} a^3}{{}^{n}C_2 x^{n-2} a^2} = \frac{1080}{720} \)
\( \frac{n(n-1)(n-2)/6}{n(n-1)/2} \cdot \frac{a}{x} = \frac{3}{2} \)
\( \frac{n-2}{3} \cdot \frac{a}{x} = \frac{3}{2} \)
\( \implies \frac{a}{x} = \frac{9}{2(n-2)} \) (5)

समीकरण (4) और (5) को बराबर रखने पर:
\( \frac{6}{n-1} = \frac{9}{2(n-2)} \)
\( 12(n-2) = 9(n-1) \)
\( 12n - 24 = 9n - 9 \)
\( 3n = 15 \)
\( \implies n = 5 \)

\( n=5 \) का मान समीकरण (4) में रखने पर:
\( \frac{a}{x} = \frac{6}{5-1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) (6)

\( n=5 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( {}^{5}C_1 x^{5-1} a = 240 \)
\( 5 x^4 a = 240 \)
\( x^4 a = 48 \) (7)

समीकरण (6) से, \( a = \frac{3}{2}x \) को समीकरण (7) में रखने पर:
\( x^4 \left(\frac{3}{2}x\right) = 48 \)
\( \frac{3}{2}x^5 = 48 \)
\( x^5 = 48 \cdot \frac{2}{3} = 32 \)
\( \implies x = 2 \)

\( x=2 \) का मान समीकरण (6) में रखने पर:
\( a = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 \)
अतः, \( x=2, a=3 \) तथा \( n=5 \)।
विभिन्न पदों के अनुपातों का उपयोग करके चरों के मानों को व्यवस्थित रूप से ज्ञात किया जा सकता है।
In simple words: दिए गए पदों के मानों का उपयोग करके समीकरण बनाने पर, हमें \( n=5 \), \( x=2 \) और \( a=3 \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, अज्ञात मानों (x, a, n) को ज्ञात करने के लिए अनुक्रमिक समीकरणों को हल करने का तरीका सबसे अच्छा है. हमेशा अनुपात के गुणों का उपयोग करें.

Question 9. यदि \( (1 + a)^n \) के प्रसार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक 1 : 7 : 42 के अनुपात में हैं तो \( n \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए \( (1+a)^n \) के प्रसार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक \( {}^{n}C_{r-1}, {}^{n}C_r \) और \( {}^{n}C_{r+1} \) हैं।
दिए गए अनुपात के अनुसार:
\( {}^{n}C_{r-1} : {}^{n}C_r : {}^{n}C_{r+1} = 1 : 7 : 42 \)

**पहला अनुपात:**
\( \frac{{}^{n}C_{r-1}}{{}^{n}C_r} = \frac{1}{7} \)
हम जानते हैं कि \( \frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r} \). इसलिए, \( \frac{{}^{n}C_{r-1}}{{}^{n}C_r} = \frac{r}{n-r+1} \)
\( \frac{r}{n-r+1} = \frac{1}{7} \)
\( 7r = n-r+1 \)
\( \implies 8r - n = 1 \) (1)

**दूसरा अनुपात:**
\( \frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r+1}} = \frac{7}{42} = \frac{1}{6} \)
हम जानते हैं कि \( \frac{{}^{n}C_{r+1}}{{}^{n}C_r} = \frac{n-r}{r+1} \). इसलिए, \( \frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r+1}} = \frac{r+1}{n-r} \)
\( \frac{r+1}{n-r} = \frac{1}{6} \)
\( 6(r+1) = n-r \)
\( 6r + 6 = n - r \)
\( \implies 7r - n = -6 \) (2)

अब, समीकरण (1) और (2) को हल करने पर:
समीकरण (1) से समीकरण (2) घटाने पर:
\( (8r - n) - (7r - n) = 1 - (-6) \)
\( r = 7 \)

\( r=7 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( 8(7) - n = 1 \)
\( 56 - n = 1 \)
\( n = 55 \)
अतः, \( n=55 \)।
यह समस्या द्विपद गुणांकों के अनुपात के गुणों का उपयोग करके एक रैखिक समीकरण प्रणाली को हल करने पर आधारित है।
In simple words: हमने क्रमागत पदों के गुणांकों के अनुपात का उपयोग करके दो समीकरण बनाए. इन समीकरणों को हल करने पर, हमें \( r=7 \) और \( n=55 \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: \( \frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r} \) और \( \frac{{}^{n}C_{r+1}}{{}^{n}C_r} = \frac{n-r}{r+1} \) के सूत्रों को याद रखना ऐसे सवालों को हल करने में बहुत मदद करता है.

Question 10. m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए \( (1 + x)^m \) के प्रसार में \( x^2 \) का गुणांक 6 हो।
Answer: \( (1 + x)^m \) के द्विपद प्रसार में सामान्य पद इस प्रकार होता है:
\( (1+x)^m = {}^{m}C_0 + {}^{m}C_1 x + {}^{m}C_2 x^2 + \dots + {}^{m}C_m x^m \)
इस प्रसार में \( x^2 \) का गुणांक \( {}^{m}C_2 \) है।
प्रश्न के अनुसार, \( x^2 \) का गुणांक 6 के बराबर है:
\( {}^{m}C_2 = 6 \)
\( \frac{m(m-1)}{2 \cdot 1} = 6 \)
\( m(m-1) = 12 \)
\( m^2 - m - 12 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, हम इसे गुणनखंडित करेंगे:
\( m^2 - 4m + 3m - 12 = 0 \)
\( m(m-4) + 3(m-4) = 0 \)
\( (m-4)(m+3) = 0 \)
इसलिए, \( m-4 = 0 \) या \( m+3 = 0 \)
\( m = 4 \) या \( m = -3 \)
चूंकि प्रश्न में \( m \) का धनात्मक मान पूछा गया है, इसलिए हम ऋणात्मक मान को छोड़ देंगे।
अतः, \( m = 4 \)।
गुणांकों का उपयोग करके चर का मान ज्ञात करना द्विपद प्रमेय का एक सीधा अनुप्रयोग है।
In simple words: \( (1+x)^m \) में \( x^2 \) का गुणांक \( {}^{m}C_2 \) है. इसे 6 के बराबर रखने पर हमें \( m^2 - m - 12 = 0 \) समीकरण मिलता है, जिसका धनात्मक हल \( m=4 \) है.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि \( {}^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) का उपयोग करके \( {}^{m}C_2 = \frac{m(m-1)}{2} \) जैसे सामान्य गुणांकों को जल्दी से हल किया जा सकता है. हमेशा प्रश्न में दिए गए प्रतिबंधों (जैसे 'धनात्मक मान') पर ध्यान दें.