RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Exercise 7.1

निम्न (प्रश्न 1 से 5 तक) में प्रत्येक व्यंजक का प्रसार कीजिए।

Question 1. \( (2-x)^3 \)
Answer: द्विपद प्रमेय के अनुसार, जब हम \( (x-a)^n \) का प्रसार करते हैं, तो वह \( x^n - \ ^nC_1 x^{n-1}a + \ ^nC_2 x^{n-2}a^2 - \ ... + (-1)^n \ ^nC_n a^n \) के बराबर होता है। यह प्रमेय हमें बड़ी घात वाले व्यंजकों को आसानी से खोलने में मदद करती है, जिससे गणना सरल हो जाती है। इस नियम का उपयोग करके, हम \( (2-x)^3 \) का प्रसार निम्न प्रकार करेंगे:
\( (2-x)^3 \)
\( = \ ^3C_0 (2)^3 (-x)^0 + \ ^3C_1 (2)^{3-1} (-x)^1 + \ ^3C_2 (2)^{3-2} (-x)^2 + \ ^3C_3 (2)^{3-3} (-x)^3 \)
\( = 1 \cdot 2^3 \cdot 1 + 3 \cdot 2^2 \cdot (-x) + 3 \cdot 2^1 \cdot x^2 + 1 \cdot 2^0 \cdot (-x^3) \)
\( = 8 - 3 \cdot 4 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 - x^3 \)
\( = 8 - 12x + 6x^2 - x^3 \)
In simple words: हमें \( (2-x)^3 \) को खोलना था। हमने द्विपद प्रमेय का नियम लगाया, जिससे \( (a-b)^3 \) को \( a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ \( a=2 \) और \( b=x \) लेकर, हमने इसे \( 8 - 12x + 6x^2 - x^3 \) पाया।

🎯 Exam Tip: द्विपद प्रमेय का उपयोग करते समय, पदों के चिन्हों पर विशेष ध्यान दें, खासकर जब दूसरा पद ऋणात्मक हो।

Question 2. \( \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^5 \)
Answer: द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, हम \( \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^5 \) का प्रसार करेंगे। यह प्रमेय \( (a+b)^n \) के विस्तार को दर्शाती है। यहाँ \( a = \frac{x}{2} \) और \( b = -\frac{2}{x} \) है। प्रत्येक पद में गुणांक \( ^nC_r \) से प्राप्त होते हैं।
\( \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^5 \)
\( = \ ^5C_0 \left(\frac{x}{2}\right)^5 \left(-\frac{2}{x}\right)^0 + \ ^5C_1 \left(\frac{x}{2}\right)^4 \left(-\frac{2}{x}\right)^1 + \ ^5C_2 \left(\frac{x}{2}\right)^3 \left(-\frac{2}{x}\right)^2 + \ ^5C_3 \left(\frac{x}{2}\right)^2 \left(-\frac{2}{x}\right)^3 + \ ^5C_4 \left(\frac{x}{2}\right)^1 \left(-\frac{2}{x}\right)^4 + \ ^5C_5 \left(\frac{x}{2}\right)^0 \left(-\frac{2}{x}\right)^5 \)
\( = 1 \cdot \frac{x^5}{32} \cdot 1 + 5 \cdot \frac{x^4}{16} \cdot \left(-\frac{2}{x}\right) + 10 \cdot \frac{x^3}{8} \cdot \frac{4}{x^2} + 10 \cdot \frac{x^2}{4} \cdot \left(-\frac{8}{x^3}\right) + 5 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{16}{x^4} + 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{32}{x^5}\right) \)
\( = \frac{x^5}{32} - \frac{10x^3}{16} + \frac{40x}{8} - \frac{80}{4x} + \frac{80}{2x^3} - \frac{32}{x^5} \)
\( = \frac{x^5}{32} - \frac{5x^3}{8} + 5x - \frac{20}{x} + \frac{40}{x^3} - \frac{32}{x^5} \)
In simple words: हमने \( \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^5 \) को द्विपद प्रमेय की मदद से खोला। इसके लिए हमने \( (a+b)^n \) के सूत्र का इस्तेमाल किया, जहाँ \( a=\frac{x}{2} \) और \( b=-\frac{2}{x} \) था। फिर हमने सभी पदों को गुणा और जोड़कर अंतिम सरल रूप प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक पदों के साथ द्विपद विस्तार करते समय, घातों को सरल करने में सावधानी बरतें ताकि कोई गलती न हो।

Question 3. \( \left(\frac{x}{3} + \frac{1}{x}\right)^6 \)
Answer: द्विपद प्रमेय के आधार पर हम जानते हैं कि \( (x + a)^n = \ ^nC_0 x^n a^0 + \ ^nC_1 x^{n-1} a + \ ^nC_2 x^{n-2} a^2 + ... + \ ^nC_r x^{n-r} a^r + ... + \ ^nC_n a^n \). इसी नियम का प्रयोग करके हम \( \left(\frac{x}{3} + \frac{1}{x}\right)^6 \) का विस्तार करेंगे। यहाँ \( x = \frac{x}{3} \) और \( a = \frac{1}{x} \) तथा \( n = 6 \) है।
\( \left(\frac{x}{3} + \frac{1}{x}\right)^6 \)
\( = \ ^6C_0 \left(\frac{x}{3}\right)^6 \left(\frac{1}{x}\right)^0 + \ ^6C_1 \left(\frac{x}{3}\right)^5 \left(\frac{1}{x}\right)^1 + \ ^6C_2 \left(\frac{x}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{x}\right)^2 + \ ^6C_3 \left(\frac{x}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{x}\right)^3 + \ ^6C_4 \left(\frac{x}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{x}\right)^4 + \ ^6C_5 \left(\frac{x}{3}\right)^1 \left(\frac{1}{x}\right)^5 + \ ^6C_6 \left(\frac{x}{3}\right)^0 \left(\frac{1}{x}\right)^6 \)
\( = 1 \cdot \frac{x^6}{729} \cdot 1 + 6 \cdot \frac{x^5}{243} \cdot \frac{1}{x} + 15 \cdot \frac{x^4}{81} \cdot \frac{1}{x^2} + 20 \cdot \frac{x^3}{27} \cdot \frac{1}{x^3} + 15 \cdot \frac{x^2}{9} \cdot \frac{1}{x^4} + 6 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{x^5} + 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{x^6} \)
\( = \frac{x^6}{729} + \frac{6x^4}{243} + \frac{15x^2}{81} + \frac{20}{27} + \frac{15}{9x^2} + \frac{6}{3x^4} + \frac{1}{x^6} \)
\( = \frac{x^6}{729} + \frac{2x^4}{81} + \frac{5x^2}{27} + \frac{20}{27} + \frac{5}{3x^2} + \frac{2}{x^4} + \frac{1}{x^6} \)
In simple words: हमने \( \left(\frac{x}{3} + \frac{1}{x}\right)^6 \) को खोलने के लिए द्विपद प्रमेय का सूत्र लगाया। इसमें \( \left(\frac{x}{3}\right) \) और \( \left(\frac{1}{x}\right) \) को अलग-अलग पद मानकर, हमने \( \ ^6C_r \) के गुणांकों के साथ गुणा करके सभी पदों को जोड़ दिया और सरल किया।

🎯 Exam Tip: \( \ ^nC_r \) के मानों को सही ढंग से गणना करें, क्योंकि ये द्विपद विस्तार में प्रत्येक पद के गुणांक होते हैं।

Question 4. \( (3x + 2y)^4 \)
Answer: द्विपद प्रमेय के आधार पर हम जानते हैं कि \( (x + a)^n = \ ^nC_0 x^n a^0 + \ ^nC_1 x^{n-1} a + \ ^nC_2 x^{n-2} a^2 + ... + \ ^nC_r x^{n-r} a^r + ... + \ ^nC_n a^n \). इसी नियम का प्रयोग करके हम \( (3x+2y)^4 \) का विस्तार करेंगे। यहाँ \( x = 3x \) और \( a = 2y \) तथा \( n = 4 \) है। द्विपद प्रमेय का यह उपयोग हमें सीधे गुणन की तुलना में बड़े घातांकों के लिए विस्तार करने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करता है।
\( (3x + 2y)^4 \)
\( = \ ^4C_0 (3x)^4 (2y)^0 + \ ^4C_1 (3x)^3 (2y)^1 + \ ^4C_2 (3x)^2 (2y)^2 + \ ^4C_3 (3x)^1 (2y)^3 + \ ^4C_4 (3x)^0 (2y)^4 \)
\( = 1 \cdot (81x^4) \cdot 1 + 4 \cdot (27x^3) \cdot (2y) + 6 \cdot (9x^2) \cdot (4y^2) + 4 \cdot (3x) \cdot (8y^3) + 1 \cdot 1 \cdot (16y^4) \)
\( = 81x^4 + 216x^3y + 216x^2y^2 + 96xy^3 + 16y^4 \)
In simple words: हमें \( (3x+2y)^4 \) को खोलना था। हमने द्विपद प्रमेय का सूत्र इस्तेमाल किया, जहाँ \( 3x \) पहला पद और \( 2y \) दूसरा पद था। \( \ ^4C_0, \ ^4C_1 \) जैसे गुणांकों को निकालकर और उन्हें सही घातों के साथ गुणा करके, हमने विस्तार किया और अंतिम परिणाम प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जब पदों में गुणांक (जैसे 3x, 2y) हों, तो घातों को लागू करते समय गुणांकों पर भी ध्यान से घात लगाएं।

Question 5. \( \left(\sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{\frac{a}{x}}\right)^6 \)
Answer: द्विपद प्रमेय के आधार पर हम जानते हैं कि \( (X + Y)^n = \sum_{r=0}^n \ ^nC_r X^{n-r} Y^r \). इस प्रश्न में, \( X = \sqrt{\frac{x}{a}} = \left(\frac{x}{a}\right)^{1/2} \) और \( Y = -\sqrt{\frac{a}{x}} = -\left(\frac{a}{x}\right)^{1/2} \) तथा \( n=6 \) है। यह विस्तार घातांकों को सरल करने में मदद करता है।
\( \left(\sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{\frac{a}{x}}\right)^6 \)
\( = \ ^6C_0 \left(\frac{x}{a}\right)^3 + \ ^6C_1 \left(\frac{x}{a}\right)^{5/2} \left(-\frac{a}{x}\right)^{1/2} + \ ^6C_2 \left(\frac{x}{a}\right)^2 \left(-\frac{a}{x}\right)^1 + \ ^6C_3 \left(\frac{x}{a}\right)^{3/2} \left(-\frac{a}{x}\right)^{3/2} + \ ^6C_4 \left(\frac{x}{a}\right)^1 \left(-\frac{a}{x}\right)^2 + \ ^6C_5 \left(\frac{x}{a}\right)^{1/2} \left(-\frac{a}{x}\right)^{5/2} + \ ^6C_6 \left(-\frac{a}{x}\right)^3 \)
\( = 1 \cdot \frac{x^3}{a^3} - 6 \cdot \frac{x^{5/2}}{a^{5/2}} \cdot \frac{a^{1/2}}{x^{1/2}} + 15 \cdot \frac{x^2}{a^2} \cdot \frac{a}{x} - 20 \cdot \frac{x^{3/2}}{a^{3/2}} \cdot \frac{a^{3/2}}{x^{3/2}} + 15 \cdot \frac{x}{a} \cdot \frac{a^2}{x^2} - 6 \cdot \frac{x^{1/2}}{a^{1/2}} \cdot \frac{a^{5/2}}{x^{5/2}} + 1 \cdot \frac{a^3}{x^3} \)
\( = \frac{x^3}{a^3} - \frac{6x^2}{a^2} + \frac{15x}{a} - 20 + \frac{15a}{x} - \frac{6a^2}{x^2} + \frac{a^3}{x^3} \)
In simple words: हमने \( \left(\sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{\frac{a}{x}}\right)^6 \) को खोलने के लिए द्विपद प्रमेय का इस्तेमाल किया। हमने \( \sqrt{\frac{x}{a}} \) को पहला पद और \( -\sqrt{\frac{a}{x}} \) को दूसरा पद मानकर, सभी पदों को गुणा करके और घातों को सरल करके अंतिम उत्तर निकाला।

🎯 Exam Tip: वर्गमूल वाले पदों में घातों को सरल करते समय, \( \sqrt{A} = A^{1/2} \) का उपयोग करके गणना को आसान बनाएं।

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित (प्रश्न 6-9) का मान ज्ञात कीजिए

Question 6. \( (96)^3 \)
Answer: हम \( 96 \) को \( (100 - 4) \) के रूप में लिख सकते हैं। फिर हम \( (a-b)^3 \) के द्विपद विस्तार सूत्र का उपयोग करेंगे, जो \( a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) होता है। इस तरह, बड़ी संख्या की घात निकालना आसान हो जाता है।
\( (96)^3 = (100 - 4)^3 \)
\( = \ ^3C_0 (100)^3 - \ ^3C_1 (100)^2 (4) + \ ^3C_2 (100)^1 (4)^2 - \ ^3C_3 (4)^3 \)
\( = 1 \cdot (1000000) - 3 \cdot (10000) \cdot 4 + 3 \cdot (100) \cdot 16 - 1 \cdot 64 \)
\( = 1000000 - 120000 + 4800 - 64 \)
\( = 880000 + 4800 - 64 \)
\( = 884800 - 64 \)
\( = 884736 \)
In simple words: हमने \( 96^3 \) का मान निकालने के लिए इसे \( (100-4)^3 \) लिखा। फिर द्विपद प्रमेय का नियम लगाकर \( (a-b)^3 \) के सूत्र से इसे खोला और सभी संख्याओं को जोड़-घटाकर \( 884736 \) उत्तर प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: संख्याओं को \( (100 \pm x) \) या \( (10 \pm x) \) के रूप में बदलने से गणना बहुत सरल हो जाती है।

Question 7. \( (101)^4 \)
Answer: हम \( 101 \) को \( (100 + 1) \) के रूप में लिख सकते हैं। फिर हम \( (a+b)^4 \) के द्विपद विस्तार सूत्र का उपयोग करेंगे। यह सूत्र है \( \ ^4C_0 a^4 + \ ^4C_1 a^3b + \ ^4C_2 a^2b^2 + \ ^4C_3 ab^3 + \ ^4C_4 b^4 \). द्विपद प्रमेय का उपयोग करने से, सीधे \( 101 \) को चार बार गुणा करने से बचा जा सकता है, जिससे गलती की संभावना कम हो जाती है।
\( (101)^4 = (100 + 1)^4 \)
\( = \ ^4C_0 (100)^4 (1)^0 + \ ^4C_1 (100)^3 (1)^1 + \ ^4C_2 (100)^2 (1)^2 + \ ^4C_3 (100)^1 (1)^3 + \ ^4C_4 (1)^4 \)
\( = 1 \cdot (100000000) + 4 \cdot (1000000) \cdot 1 + 6 \cdot (10000) \cdot 1 + 4 \cdot (100) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \)
\( = 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1 \)
\( = 104060401 \)
In simple words: हमने \( (101)^4 \) का मान निकालने के लिए इसे \( (100+1)^4 \) लिखा। फिर द्विपद प्रमेय का नियम \( (a+b)^4 \) के सूत्र से लगाकर सभी पदों को जोड़ा और \( 104060401 \) उत्तर प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: संख्याओं को \( 100 \pm x \) के रूप में लिखने से गुणा करना बहुत आसान हो जाता है, खासकर जब \( x \) एक छोटी संख्या हो।

Question 8. \( (99)^5 \)
Answer: हम \( 99 \) को \( (100 - 1) \) के रूप में लिख सकते हैं। फिर हम \( (a-b)^5 \) के द्विपद विस्तार सूत्र का उपयोग करेंगे। यह सूत्र है \( \ ^5C_0 a^5 - \ ^5C_1 a^4b + \ ^5C_2 a^3b^2 - \ ^5C_3 a^2b^3 + \ ^5C_4 ab^4 - \ ^5C_5 b^5 \). इस विधि का लाभ यह है कि यह जटिल गुणा को सरल योग और घटाव में बदल देती है।
\( (99)^5 = (100 - 1)^5 \)
\( = \ ^5C_0 (100)^5 (1)^0 - \ ^5C_1 (100)^4 (1)^1 + \ ^5C_2 (100)^3 (1)^2 - \ ^5C_3 (100)^2 (1)^3 + \ ^5C_4 (100)^1 (1)^4 - \ ^5C_5 (1)^5 \)
\( = 1 \cdot (10000000000) - 5 \cdot (100000000) \cdot 1 + 10 \cdot (1000000) \cdot 1 - 10 \cdot (10000) \cdot 1 + 5 \cdot (100) \cdot 1 - 1 \cdot 1 \)
\( = 10000000000 - 500000000 + 10000000 - 100000 + 500 - 1 \)
\( = 9500000000 + 10000000 - 100000 + 500 - 1 \)
\( = 9510000000 - 100000 + 500 - 1 \)
\( = 9509900000 + 500 - 1 \)
\( = 9509900500 - 1 \)
\( = 9509900499 \)
In simple words: \( (99)^5 \) का मान निकालने के लिए हमने \( 99 \) को \( (100-1) \) लिखा। फिर द्विपद प्रमेय का \( (a-b)^5 \) सूत्र लगाकर सभी गुणा-भाग किए और अंत में \( 9509900499 \) उत्तर पाया।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक पद वाले विस्तार में, प्रत्येक वैकल्पिक पद का चिन्ह बदलना याद रखें (प्लस, माइनस, प्लस, माइनस...).

Question 9. \( (1.1)^6 \)
Answer: हम \( 1.1 \) को \( (1 + 0.1) \) के रूप में लिख सकते हैं। फिर हम \( (a+b)^6 \) के द्विपद विस्तार सूत्र का उपयोग करेंगे। यह सूत्र है \( \ ^6C_0 a^6 + \ ^6C_1 a^5b + \ ^6C_2 a^4b^2 + \ ^6C_3 a^3b^3 + \ ^6C_4 a^2b^4 + \ ^6C_5 ab^5 + \ ^6C_6 b^6 \). दशमलव संख्याओं के साथ भी द्विपद प्रमेय समान रूप से काम करती है, जिससे गणनाएं अधिक प्रबंधनीय हो जाती हैं।
\( (1.1)^6 = (1 + 0.1)^6 \)
\( = \ ^6C_0 (1)^6 (0.1)^0 + \ ^6C_1 (1)^5 (0.1)^1 + \ ^6C_2 (1)^4 (0.1)^2 + \ ^6C_3 (1)^3 (0.1)^3 + \ ^6C_4 (1)^2 (0.1)^4 + \ ^6C_5 (1)^1 (0.1)^5 + \ ^6C_6 (0.1)^6 \)
\( = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 6 \cdot 1 \cdot 0.1 + 15 \cdot 1 \cdot 0.01 + 20 \cdot 1 \cdot 0.001 + 15 \cdot 1 \cdot 0.0001 + 6 \cdot 1 \cdot 0.00001 + 1 \cdot 0.000001 \)
\( = 1 + 0.6 + 0.15 + 0.020 + 0.0015 + 0.00006 + 0.000001 \)
\( = 1.771561 \)
In simple words: हमने \( (1.1)^6 \) का मान निकालने के लिए इसे \( (1+0.1)^6 \) लिखा। फिर द्विपद प्रमेय का नियम \( (a+b)^6 \) के सूत्र से लगाया, सभी पदों को गुणा किया और जोड़कर \( 1.771561 \) उत्तर प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं की घातों का गुणा करते समय दशमलव बिंदुओं की सही स्थिति का ध्यान रखें।

Question 10. द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौनसी संख्या बड़ी है। \( (1.1)^{10000} \) या \( 1000 \).
Answer: हम \( (1.1)^{10000} \) को \( (1 + 0.1)^{10000} \) के रूप में लिख सकते हैं। द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, हम इस व्यंजक का विस्तार करते हैं और देखते हैं कि इसके पहले कुछ पद क्या मान देते हैं। यह हमें बिना पूरी गणना किए संख्या के आकार का अनुमान लगाने में मदद करता है।
\( (1.1)^{10000} = (1 + 0.1)^{10000} \)
द्विपद प्रमेय के अनुसार:
\( = \ ^{10000}C_0 (1)^{10000} (0.1)^0 + \ ^{10000}C_1 (1)^{9999} (0.1)^1 + \ ^{10000}C_2 (1)^{9998} (0.1)^2 + \text{अन्य धनात्मक पद} \)
\( = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 10000 \cdot 1 \cdot (0.1) + \ ^{10000}C_2 (0.1)^2 + \text{अन्य धनात्मक पद} \)
\( = 1 + 1000 + \text{एक धनात्मक संख्या} + \text{अन्य धनात्मक पद} \)
\( = 1001 + \text{अन्य धनात्मक पद} \)
यह स्पष्ट रूप से \( 1000 \) से बड़ी संख्या है क्योंकि यह \( 1001 \) से शुरू होती है और इसमें आगे भी धनात्मक पद जुड़ते जाते हैं।
अतः \( (1.1)^{10000} > 1000 \)
In simple words: हमने \( (1.1)^{10000} \) को \( (1+0.1)^{10000} \) लिखा और द्विपद प्रमेय से इसे खोला। पहले दो पद \( 1+1000 \) थे, जो \( 1001 \) बनता है। इसके बाद भी इसमें कुछ धनात्मक संख्याएँ जुड़ेंगी। इसलिए, \( (1.1)^{10000} \) संख्या \( 1000 \) से बड़ी है।

🎯 Exam Tip: द्विपद विस्तार में यदि पहला पद 1 हो, तो प्रारंभिक पदों को ही देखकर संख्या के मान का अनुमान लगाना संभव होता है।

Question 11. \( (a + b)^4 – (a – b)^4 \) का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके \( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 – (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4 \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: सबसे पहले, हम \( (a+b)^4 \) और \( (a-b)^4 \) के विस्तार लिखेंगे और फिर उन्हें घटाएंगे। यह विधि बड़े व्यंजकों को व्यवस्थित रूप से संभालने में मदद करती है, जिससे अंतिम परिणाम की गणना सरल हो जाती है।
द्विपद प्रमेय के अनुसार:
\( (a+b)^4 = \ ^4C_0 a^4 + \ ^4C_1 a^3b + \ ^4C_2 a^2b^2 + \ ^4C_3 ab^3 + \ ^4C_4 b^4 \)
\( (a-b)^4 = \ ^4C_0 a^4 - \ ^4C_1 a^3b + \ ^4C_2 a^2b^2 - \ ^4C_3 ab^3 + \ ^4C_4 b^4 \)
अब, \( (a+b)^4 – (a–b)^4 \) घटाने पर:
\( = (a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4) - (a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4) \)
\( = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 - a^4 + 4a^3b - 6a^2b^2 + 4ab^3 - b^4 \)
\( = (a^4 - a^4) + (4a^3b + 4a^3b) + (6a^2b^2 - 6a^2b^2) + (4ab^3 + 4ab^3) + (b^4 - b^4) \)
\( = 8a^3b + 8ab^3 \)
\( = 8ab(a^2 + b^2) \)
अब, इसका प्रयोग करके \( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 – (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4 \) का मान ज्ञात करेंगे।
यहाँ \( a = \sqrt{3} \) और \( b = \sqrt{2} \) रखने पर:
\( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 – (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4 = 8(\sqrt{3})(\sqrt{2})((\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2) \)
\( = 8\sqrt{6}(3 + 2) \)
\( = 8\sqrt{6}(5) \)
\( = 40\sqrt{6} \)
In simple words: पहले हमने \( (a+b)^4 - (a-b)^4 \) को खोला। जब हमने दोनों को घटाया, तो हमें \( 8ab(a^2+b^2) \) मिला। फिर, \( a=\sqrt{3} \) और \( b=\sqrt{2} \) को इस सूत्र में रखकर हमने \( 40\sqrt{6} \) का अंतिम मान निकाला।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, पहले सामान्य \( a \) और \( b \) के पदों में विस्तार करना और फिर दिए गए विशिष्ट मानों को प्रतिस्थापित करना सबसे अच्छा तरीका है।