RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय More Questions

Question 1. \( {\left(\frac { a }{ x } +bx \right)}^{12} \) के विस्तार में कुल पदों की संख्या है
(a) 11
(b) 13
(c) 10
(d) 14
Answer: (b) 13
In simple words: किसी भी द्विपद \( (A+B)^n \) के प्रसार में पदों की कुल संख्या \( n+1 \) होती है। इस प्रश्न में, \( n=12 \) है, तो पदों की संख्या \( 12+1=13 \) होगी।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि द्विपद प्रमेय में \( (a+b)^n \) के विस्तार में हमेशा \( n+1 \) पद होते हैं, यानी घात से एक अधिक पद।

Question 2. \( {\left(\frac{1}{2}+a \right)}^{8} \) के विस्तार में 7 वाँ पद है
Answer: (c) 7वां पद \( \binom{8}{6} \left(\frac{1}{2}\right)^2 a^6 \)
In simple words: द्विपद प्रमेय में 7वाँ पद ज्ञात करने के लिए, हम \( T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r \) सूत्र का उपयोग करते हैं, जहाँ \( r=6 \) होगा। यहाँ, \( n=8 \), \( a=\frac{1}{2} \), और \( b=a \)।

🎯 Exam Tip: 7वें पद का मतलब है कि \( r \) का मान 6 होगा (क्योंकि पद \( T_{r+1} \) होता है), इसे ध्यान में रखें।

Question 3. \( (a – x)^8 \) के प्रसार में मध्य पद है
(a) \( 56a^3x^5 \)
(b) \( -56a^3x^5 \)
(c) \( 70a^4x^4 \)
(d) \( -70a^4x^4 \)
Answer: (c) \( 70a^4x^4 \)
In simple words: जब घात \( n \) सम होती है, तो मध्य पद \( (\frac{n}{2}+1) \)वाँ पद होता है। यहाँ \( n=8 \) है, तो मध्य पद 5वाँ होगा, जिसे \( \binom{8}{4} a^4 (-x)^4 \) से निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: विषम घात के लिए दो मध्य पद होते हैं, जबकि सम घात के लिए केवल एक मध्य पद होता है।

Question 4. \( {\left(2x+\frac {1}{{3x }^{2}} \right) }^{9} \) के प्रसार में स्वतंत्र पद (x रहित पद) है
(a) पाँचवाँ
(b) चौथा
(c) छठवाँ
(d) सातवाँ
Answer: (b) चौथा
In simple words: स्वतंत्र पद वह होता है जिसमें \( x \) की घात शून्य हो। इसे ज्ञात करने के लिए, हम \( T_{r+1} \) सूत्र का उपयोग करते हैं और \( x \) की सभी घातों को शून्य के बराबर रखते हैं।

🎯 Exam Tip: जब भी स्वतंत्र पद पूछा जाए, तो \( x \) के सभी घातों को एक साथ लाकर उन्हें शून्य के बराबर रखें, इससे \( r \) का मान निकल आएगा।

Question 5. \( (x + a)^n \) के प्रसार में व्यापक पद है
(a) \( \binom{n}{r} x^{n-r} a^r \)
(b) \( \binom{n}{r} x^r a^r \)
(c) \( \binom{n}{n-r} x^{n-r} a^r \)
(d) \( \binom{n}{n-r} x^r a^{n-r} \)
Answer: (a) \( \binom{n}{r} x^{n-r} a^r \)
In simple words: व्यापक पद वह सूत्र है जिससे आप किसी भी द्विपद प्रसार में कोई भी पद ज्ञात कर सकते हैं। यह पद \( T_{r+1} \) को दर्शाता है।

🎯 Exam Tip: द्विपद प्रमेय का व्यापक पद \( T_{r+1} = \binom{n}{r} x^{n-r} y^r \) होता है; इसे हमेशा याद रखें।

Question 6. \( {\left({2x}^{2}-\frac {1}{x} \right) }^{12} \) के विस्तार में x रहित पद का मान है
(a) (विकल्प अनुपलब्ध)
(b) -204
Answer: (b) -204
In simple words: x रहित पद को ज्ञात करने के लिए, हम \( x \) की सभी घातों को शून्य के बराबर करते हैं। यह पद \( T_{r+1} \) होता है, जिसे हल करके उसका संख्यात्मक मान प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: x रहित पद ज्ञात करते समय, घातों को ध्यान से जोड़ें और घटाएँ ताकि \( r \) का मान सही मिले।

Question 7. \( {\left({x}^{4}-\frac {1}{{x}^{3}}\right) }^{15} \) के प्रसार में \( x^{-17} \) का गुणांक है
(a) 1365
(b) -1365
(c) 3003
(d) -3003
Answer: (b) -1365
In simple words: \( x^{-17} \) का गुणांक ज्ञात करने के लिए, पहले व्यापक पद का सूत्र लिखते हैं। फिर \( x \) की सभी घातों को एक साथ लाकर उन्हें \( -17 \) के बराबर करते हैं ताकि \( r \) का मान मिल जाए।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक घातों को संभालने में सावधानी बरतें, खासकर जब \( (-1)^r \) का मान निकालना हो।

Question 8. यदि \( (1 + x)^{18} \) के प्रसार में \( (2r + 4) \) वें तथा \( (r – 2) \) वें पदों के गुणांक बराबर हों, तब \( r \) का मान है
(a) 5
(b) 6
(c) 7
(d) 8
Answer: (b) 6
In simple words: जब दो पदों के गुणांक बराबर होते हैं, तो उनके पद-सूचकांक या तो बराबर होते हैं, या उनका योग कुल घात के बराबर होता है। यहाँ \( r \) का मान 6 निकलता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि \( \binom{n}{k} = \binom{n}{j} \) होने पर या तो \( k=j \) होता है या \( k+j=n \) होता है।

Question 9. यदि \( (a + b)^n \) के प्रसार में दूसरे, तीसरे एवं चौथे पदों के गुणांक समान्तर श्रेणी में हों, तो \( n \) का मान है
(a) 5
(b) 6
(c) 3
(d) 4
Answer: (a) 5
In simple words: जब किसी द्विपद के गुणांक समान्तर श्रेणी में होते हैं, तो वे एक विशेष गणितीय संबंध का पालन करते हैं। इस स्थिति में, \( n \) का मान 5 होता है।

🎯 Exam Tip: गुणांकों के समान्तर श्रेणी में होने का संबंध \( 2 \binom{n}{r+1} = \binom{n}{r} + \binom{n}{r+2} \) होता है; यह संबंध महत्वपूर्ण है।

Question 10. यदि \( (1 + x)^{2n} \) के प्रसार में \( 3r \) वें तथा \( (r + 2) \) वें पदों के गुणांक बराबर हो, तो
(a) \( n = 2r \)
(b) \( n = 2r - 1 \)
(c) \( n = 2r + 1 \)
(d) \( n = r + 1 \)
Answer: (a) \( n = 2r \)
In simple words: जब दो अलग-अलग पदों के गुणांक एक द्विपद प्रसार में समान होते हैं, तो उनके सूचकांकों का योग हमेशा द्विपद की कुल घात के बराबर होता है। यहाँ \( 2n \) कुल घात है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्न में \( \binom{N}{A} = \binom{N}{B} \) होने पर दो संभावनाएं होती हैं: या तो \( A=B \) या \( A+B=N \)। दोनों को जाँचें।

Question 11. \( {\left(2x^2-\frac{1}{x^2}\right)}^{10} \) के प्रसार में x रहित पद ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि \( (r+1) \) वाँ पद x रहित है।
व्यापक पद \( T_{r+1} = \binom{10}{r} (2x^2)^{10-r} \left(-\frac{1}{x^2}\right)^r \)
\( T_{r+1} = \binom{10}{r} 2^{10-r} x^{2(10-r)} (-1)^r x^{-2r} \)
\( T_{r+1} = (-1)^r \binom{10}{r} 2^{10-r} x^{20-2r-2r} \)
\( T_{r+1} = (-1)^r \binom{10}{r} 2^{10-r} x^{20-4r} \)
x रहित पद के लिए, \( x \) की घात 0 होनी चाहिए:
\( 20-4r = 0 \)
\( 4r = 20 \implies r = 5 \)
तो, x रहित पद \( T_{5+1} = T_6 \) होगा।
\( T_6 = (-1)^5 \binom{10}{5} 2^{10-5} \)
\( T_6 = -1 \times \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 2^5 \)
\( T_6 = -1 \times 252 \times 32 \)
\( T_6 = -8064 \). x रहित पद का मान \( -8064 \) है।
In simple words: x रहित पद वह होता है जिसमें x की घात शून्य हो। हम व्यापक पद का सूत्र उपयोग करते हैं और x की घात को शून्य के बराबर रखकर \( r \) का मान निकालते हैं। फिर उस \( r \) के लिए पद का मान ज्ञात करते हैं।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक चिन्हों और x की घातों को सही ढंग से संयोजित करना महत्वपूर्ण है, खासकर जब उन्हें शून्य के बराबर कर रहे हों।

Question 12. सरलीकरण के पश्चात् \( (x + a)^{200} + (x − a)^{200} \) के प्रसार में पदों की संख्या लिखिये ।
Answer: हम जानते हैं कि द्विपद प्रमेय के अनुसार:
\( (x + y)^n = \binom{n}{0} x^n y^0 + \binom{n}{1} x^{n-1} y^1 + \binom{n}{2} x^{n-2} y^2 + \dots + \binom{n}{n} x^0 y^n \)
तथा
\( (x - y)^n = \binom{n}{0} x^n y^0 - \binom{n}{1} x^{n-1} y^1 + \binom{n}{2} x^{n-2} y^2 - \dots + (-1)^n \binom{n}{n} x^0 y^n \)
जब हम \( (x + a)^{200} \) का प्रसार करते हैं, तो इसमें \( 200+1=201 \) पद होते हैं।
अब, \( (x + a)^{200} + (x - a)^{200} \) का योग करते हैं। इस योग में वे पद बच जाते हैं जिनमें \( a \) की घात सम होती है, यानी विषम स्थान वाले पद (जैसे पहला, तीसरा, पाँचवाँ पद, आदि)।
चूँकि \( n=200 \) एक सम संख्या है, तो योग में पदों की संख्या \( \frac{n}{2} + 1 \) होगी।
इसलिए, पदों की संख्या \( \frac{200}{2} + 1 = 100 + 1 = 101 \) होगी। यह द्विपद प्रसार की एक महत्वपूर्ण विशेषता है।
In simple words: जब \( (x+a)^n \) और \( (x-a)^n \) को जोड़ा जाता है, और \( n \) एक सम संख्या होती है, तो परिणामी प्रसार में पदों की संख्या \( \frac{n}{2} + 1 \) होती है।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि जब \( n \) सम होता है, तो \( (x+a)^n + (x-a)^n \) के प्रसार में \( \frac{n}{2}+1 \) पद होते हैं, और जब \( n \) विषम होता है, तो \( \frac{n+1}{2} \) पद होते हैं।

Question 13. यदि \( (1 + x)^n \) के प्रसार में \( C_0, C_1, C_2, \ldots, C_n \) विभिन्न पदों के गुणांक हों, तब \( C_0 + C_2 + C_4 + \ldots \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम जानते हैं कि द्विपद प्रमेय के अनुसार,
\( (1 + x)^n = C_0 + C_1x + C_2x^2 + C_3x^3 + \ldots + C_nx^n \)
इस प्रसार में \( x = 1 \) रखने पर, हमें मिलता है:
\( (1 + 1)^n = C_0 + C_1 + C_2 + C_3 + \ldots + C_n \)
\( \implies 2^n = C_0 + C_1 + C_2 + C_3 + \ldots + C_n \) ... (1)
इसी प्रकार, \( x = -1 \) रखने पर, हमें मिलता है:
\( (1 - 1)^n = C_0 + C_1(-1) + C_2(-1)^2 + C_3(-1)^3 + \ldots + C_n(-1)^n \)
\( \implies 0 = C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \ldots + (-1)^n C_n \) ... (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( 2^n + 0 = (C_0 + C_1 + C_2 + C_3 + \ldots) + (C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \ldots) \)
\( \implies 2^n = 2(C_0 + C_2 + C_4 + \ldots) \)
\( \implies C_0 + C_2 + C_4 + \ldots = \frac{2^n}{2} = 2^{n-1} \)
अतः \( C_0 + C_2 + C_4 + \ldots \) का मान \( 2^{n-1} \) है। सम घातों वाले गुणांकों का योग हमेशा \( 2^{n-1} \) होता है।
In simple words: किसी द्विपद के प्रसार में सम स्थान वाले गुणांकों का योग हमेशा \( 2^{n-1} \) के बराबर होता है। इसे \( (1+x)^n \) के प्रसार में \( x=1 \) और \( x=-1 \) रखकर दो समीकरण बनाकर और उन्हें जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

🎯 Exam Tip: यह एक मानक परिणाम है जिसे सीधे याद किया जा सकता है: \( C_0 + C_2 + C_4 + \ldots = 2^{n-1} \) और \( C_1 + C_3 + C_5 + \ldots = 2^{n-1} \)।

Question 14. \( ^{30}C_1 + ^{30}C_2 + ^{30}C_3 + \ldots + ^{30}C_{30} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग एक मानक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
\( C_0 + C_1 + C_2 + \ldots + C_n = 2^n \)
इस प्रश्न में, \( n = 30 \) है। इसलिए, हम \( n \) के स्थान पर 30 रखते हैं:
\( ^{30}C_0 + ^{30}C_1 + ^{30}C_2 + \ldots + ^{30}C_{30} = 2^{30} \)
हमें \( ^{30}C_1 + ^{30}C_2 + \ldots + ^{30}C_{30} \) का मान ज्ञात करना है। हम जानते हैं कि \( ^{30}C_0 = 1 \) होता है।
अतः, उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( 1 + (^{30}C_1 + ^{30}C_2 + \ldots + ^{30}C_{30}) = 2^{30} \)
\( \implies ^{30}C_1 + ^{30}C_2 + \ldots + ^{30}C_{30} = 2^{30} - 1 \)
इसलिए, दिए गए योग का मान \( 2^{30} - 1 \) है। यह द्विपद गुणांकों की एक महत्वपूर्ण संपत्ति है।
In simple words: सभी द्विपद गुणांकों ( \( C_0 \) से \( C_n \) तक) का योग \( 2^n \) होता है। यदि हमें \( C_0 \) को छोड़कर अन्य गुणांकों का योग चाहिए, तो हम \( 2^n \) में से \( C_0 \) (जो कि 1 है) घटा देते हैं।

🎯 Exam Tip: यह सूत्र, \( \sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n \), बहुत महत्वपूर्ण है और इसे अक्सर विभिन्न प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

Question 15. \( {\left(\frac {a}{x}+\frac {x}{a} \right) }^{10} \) के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए
Answer: द्विपद प्रसार \( (A+B)^n \) में, यदि \( n \) एक सम संख्या है, तो मध्य पद \( \left(\frac{n}{2}+1\right) \) वाँ पद होता है।
यहाँ, \( n=10 \), जो कि एक सम संख्या है।
इसलिए, मध्य पद \( = \left(\frac{10}{2}+1\right) = (5+1) = 6 \) वाँ पद होगा।
मध्य पद \( T_6 \) के लिए, हम \( r=5 \) लेते हैं। व्यापक पद का सूत्र \( T_{r+1} = \binom{n}{r} A^{n-r} B^r \) है।
इस प्रश्न में, \( A = \frac{a}{x} \) और \( B = \frac{x}{a} \) है।
\( T_{5+1} = \binom{10}{5} \left(\frac{a}{x}\right)^{10-5} \left(\frac{x}{a}\right)^5 \)
\( T_6 = \binom{10}{5} \left(\frac{a}{x}\right)^5 \left(\frac{x}{a}\right)^5 \)
\( T_6 = \binom{10}{5} \left(\frac{a}{x} \times \frac{x}{a}\right)^5 \)
\( T_6 = \binom{10}{5} (1)^5 \)
\( T_6 = \binom{10}{5} \)
अब, \( \binom{10}{5} \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( \binom{10}{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
\( \binom{10}{5} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252 \)
तो, मध्य पद का मान \( 252 \) है। इस प्रकार के प्रसारों में मध्य पद अक्सर एक संख्यात्मक मान होता है।
In simple words: जब द्विपद की घात सम होती है, तो बीच वाला पद ज्ञात करने के लिए घात को 2 से भाग देकर 1 जोड़ते हैं। फिर उस पद का मान द्विपद गुणांक सूत्र से निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: ध्यान दें कि जब \( A \) और \( B \) एक-दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं (जैसे \( \frac{a}{x} \) और \( \frac{x}{a} \)), तो मध्य पद अक्सर x रहित होता है।

Question 16. \( (1 + 2x)^6 (1 - x)^7 \) के प्रसार के गुणनफल में \( x^5 \) का गुणांक ज्ञात कीजिए।
Answer: सबसे पहले, हम दोनों द्विपदों का अलग-अलग प्रसार करेंगे और \( x^5 \) तक के पदों को लिखेंगे।
द्विपद \( (1 - x)^7 \) का प्रसार:
\( (1 - x)^7 = \binom{7}{0} (1)^7 (-x)^0 + \binom{7}{1} (1)^6 (-x)^1 + \binom{7}{2} (1)^5 (-x)^2 + \binom{7}{3} (1)^4 (-x)^3 + \binom{7}{4} (1)^3 (-x)^4 + \binom{7}{5} (1)^2 (-x)^5 + \ldots \)
\( = 1 - 7x + 21x^2 - 35x^3 + 35x^4 - 21x^5 + \ldots \)

द्विपद \( (1 + 2x)^6 \) का प्रसार:
\( (1 + 2x)^6 = \binom{6}{0} (1)^6 (2x)^0 + \binom{6}{1} (1)^5 (2x)^1 + \binom{6}{2} (1)^4 (2x)^2 + \binom{6}{3} (1)^3 (2x)^3 + \binom{6}{4} (1)^2 (2x)^4 + \binom{6}{5} (1)^1 (2x)^5 + \ldots \)
\( = 1 + 6(2x) + 15(4x^2) + 20(8x^3) + 15(16x^4) + 6(32x^5) + \ldots \)
\( = 1 + 12x + 60x^2 + 160x^3 + 240x^4 + 192x^5 + \ldots \)
अब, गुणनफल \( (1 + 2x)^6 (1 - x)^7 \) में \( x^5 \) वाले पदों के गुणांकों को ज्ञात करने के लिए, हम दोनों प्रसारों से उन पदों को गुणा करेंगे जिनकी घातों का योग 5 हो:
1. \( (x^0 \text{ in first expansion}) \times (x^5 \text{ in second expansion}) = 1 \times (-21) = -21 \)
2. \( (x^1 \text{ in first expansion}) \times (x^4 \text{ in second expansion}) = (12) \times (35) = 420 \)
3. \( (x^2 \text{ in first expansion}) \times (x^3 \text{ in second expansion}) = (60) \times (-35) = -2100 \)
4. \( (x^3 \text{ in first expansion}) \times (x^2 \text{ in second expansion}) = (160) \times (21) = 3360 \)
5. \( (x^4 \text{ in first expansion}) \times (x^1 \text{ in second expansion}) = (240) \times (-7) = -1680 \)
6. \( (x^5 \text{ in first expansion}) \times (x^0 \text{ in second expansion}) = (192) \times (1) = 192 \)
इन सभी गुणांकों का योग करने पर, हमें \( x^5 \) का कुल गुणांक प्राप्त होता है:
गुणांक \( = -21 + 420 - 2100 + 3360 - 1680 + 192 \)
गुणांक \( = (420 + 3360 + 192) - (21 + 2100 + 1680) \)
गुणांक \( = 3972 - 3801 \)
गुणांक \( = 171 \)
तो, गुणनफल में \( x^5 \) का गुणांक \( 171 \) है। यह विधि गुणांकों को व्यवस्थित रूप से जोड़कर सही परिणाम देती है।
In simple words: दो द्विपदों के गुणनफल में किसी विशिष्ट घात (जैसे \( x^5 \)) का गुणांक निकालने के लिए, हमें दोनों प्रसारों से उन पदों को चुनना होगा जिनकी घातों का योग वांछित घात के बराबर हो। फिर उनके गुणांकों को गुणा करके और सभी परिणामों को जोड़कर अंतिम गुणांक प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी पद छूटा नहीं है, सभी संभव संयोजनों को व्यवस्थित रूप से सूचीबद्ध करें जिनकी घातों का योग वांछित घात के बराबर हो।

Question 17. यदि \( (1 + x)^{2n} \) के प्रसार में दूसरे, तीसरे और चौथे पदों के गुणांक समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तो सिद्ध कीजिये कि \( 2n^2 – 9n + 7 = 0 \)
Answer: \( (1 + x)^{2n} \) के प्रसार में पद के गुणांक निम्न प्रकार हैं:
दूसरे पद का गुणांक \( = \binom{2n}{1} \)
तीसरे पद का गुणांक \( = \binom{2n}{2} \)
चौथे पद का गुणांक \( = \binom{2n}{3} \)
चूँकि ये गुणांक समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression - AP) में हैं, इसलिए मध्य पद का दुगना, पहले और तीसरे पद के योग के बराबर होगा:
\( 2 \times (\text{तीसरे पद का गुणांक}) = (\text{दूसरे पद का गुणांक}) + (\text{चौथे पद का गुणांक}) \)
\( 2 \binom{2n}{2} = \binom{2n}{1} + \binom{2n}{3} \)
अब, इन द्विपद गुणांकों के सूत्र को लागू करते हैं:
\( 2 \times \frac{2n(2n-1)}{2 \times 1} = 2n + \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{3 \times 2 \times 1} \)
\( 2n(2n-1) = 2n + \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6} \)
दोनों पक्षों को \( 2n \) से भाग देने पर (मानते हुए कि \( 2n \ne 0 \)):
\( (2n-1) = 1 + \frac{(2n-1)(2n-2)}{6} \)
दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर:
\( 6(2n-1) = 6 + (2n-1)(2n-2) \)
\( 12n - 6 = 6 + (4n^2 - 4n - 2n + 2) \)
\( 12n - 6 = 6 + 4n^2 - 6n + 2 \)
\( 12n - 6 = 4n^2 - 6n + 8 \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( 4n^2 - 6n - 12n + 8 + 6 = 0 \)
\( 4n^2 - 18n + 14 = 0 \)
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
\( 2n^2 - 9n + 7 = 0 \)
यह सिद्ध हो गया। समान्तर श्रेढ़ी के नियम को लागू करके \( n \) का मान निर्धारित किया जा सकता है।
In simple words: यदि किसी द्विपद प्रसार के तीन लगातार पदों के गुणांक समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तो बीच वाले गुणांक का दुगना अन्य दो गुणांकों के योग के बराबर होता है। इस संबंध का उपयोग करके \( n \) के लिए एक समीकरण प्राप्त होता है जिसे हल करने पर परिणाम सिद्ध होता है।

🎯 Exam Tip: द्विपद गुणांकों को सही ढंग से लिखें और फिर समान्तर श्रेढ़ी की शर्त \( (2b = a+c) \) को लागू करें। बीजगणितीय गणनाओं में सावधानी बरतें।

Question 18. \( {\left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)}^{4} x \neq 0 \) का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
Answer: हम दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( \left(1+\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)\right)^4 \)
माना \( y = \left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right) \)। तब व्यंजक \( (1+y)^4 \) बन जाता है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके \( (1+y)^4 \) का प्रसार:
\( (1+y)^4 = \binom{4}{0} (1)^4 y^0 + \binom{4}{1} (1)^3 y^1 + \binom{4}{2} (1)^2 y^2 + \binom{4}{3} (1)^1 y^3 + \binom{4}{4} (1)^0 y^4 \)
\( = 1 + 4y + 6y^2 + 4y^3 + y^4 \)
अब, \( y = \left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right) \) का मान वापस रखते हैं और प्रत्येक पद का प्रसार करते हैं:
1. \( 4y = 4\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right) = 2x - \frac{8}{x} \)
2. \( 6y^2 = 6\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^2 = 6\left(\frac{x^2}{4} - 2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{2}{x}\right) + \frac{4}{x^2}\right) = 6\left(\frac{x^2}{4} - 2 + \frac{4}{x^2}\right) = \frac{3x^2}{2} - 12 + \frac{24}{x^2} \)
3. \( 4y^3 = 4\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^3 = 4\left[\left(\frac{x}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{x}{2}\right)^2\left(\frac{2}{x}\right) + 3\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{2}{x}\right)^2 - \left(\frac{2}{x}\right)^3\right] \)
\( = 4\left[\frac{x^3}{8} - \frac{3x}{2} + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^3}\right] = \frac{x^3}{2} - 6x + \frac{24}{x} - \frac{32}{x^3} \)
4. \( y^4 = \left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^4 = \left[\left(\frac{x}{2}\right)^2 - 2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2\right]^2 \)
\( = \left[\frac{x^2}{4} - 2 + \frac{4}{x^2}\right]^2 = \frac{x^4}{16} + 4 + \frac{16}{x^4} - x^2 - \frac{16}{x^2} + 2 \)
\( = \frac{x^4}{16} - x^2 - \frac{16}{x^2} + \frac{16}{x^4} + 6 \)
अब, सभी पदों को एक साथ जोड़ते हैं:
\( \left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^4 = 1 + \left(2x - \frac{8}{x}\right) + \left(\frac{3x^2}{2} - 12 + \frac{24}{x^2}\right) + \left(\frac{x^3}{2} - 6x + \frac{24}{x} - \frac{32}{x^3}\right) + \left(\frac{x^4}{16} - x^2 - \frac{16}{x^2} + \frac{16}{x^4} + 6\right) \)
समान घात वाले पदों को एक साथ व्यवस्थित करने पर:
\( = \frac{x^4}{16} + \frac{x^3}{2} + \left(\frac{3x^2}{2} - x^2\right) + (2x - 6x) + (1 - 12 + 6) + \left(-\frac{8}{x} + \frac{24}{x}\right) + \left(\frac{24}{x^2} - \frac{16}{x^2}\right) - \frac{32}{x^3} + \frac{16}{x^4} \)
\( = \frac{x^4}{16} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^2}{2} - 4x - 5 + \frac{16}{x} + \frac{8}{x^2} - \frac{32}{x^3} + \frac{16}{x^4} \)
यह द्विपद प्रमेय द्वारा दिया गया अंतिम प्रसार है। इस प्रक्रिया में जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए सावधानीपूर्वक गणना की आवश्यकता होती है।
In simple words: इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए, हम पहले एक भाग को एक नए चर (जैसे \( y \)) से बदल देते हैं, फिर द्विपद प्रमेय का उपयोग करके प्रसार करते हैं। अंत में, हम मूल चर का मान वापस रखकर सभी पदों को एक साथ जोड़ते हैं और उन्हें x की घात के अनुसार व्यवस्थित करते हैं।

🎯 Exam Tip: जटिल द्विपद प्रसारों को सरल बनाने के लिए, उन्हें छोटे-छोटे भागों में तोड़ें। \( (A+B+C)^n \) को \( (A+(B+C))^n \) के रूप में लिखकर प्रसार करना एक प्रभावी तरीका है।