RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 6 क्रमचय तथा संचय Exercise 6.2

Question 1. n का मान ज्ञात कीजिए, जबकि
(i) \( 2nC3: nC3 = 11:1 \)
(ii) \( 20Cn-2 = 20Cn+2 \)
(iii) \( nC10 = nC15 \)
Answer:
(i) दिया गया है \( 2nC3: nC3 = 11:1 \)
\( \implies \frac{2nC3}{nC3} = \frac{11}{1} \)
\( \implies 2nC3 = 11 \cdot nC3 \)
\( \implies \frac{(2n)!}{3!(2n-3)!} = 11 \cdot \frac{n!}{3!(n-3)!} \)
\( \implies \frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)!}{(2n-3)!} = 11 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!} \)
\( \implies 2n(2n-1)(2n-2) = 11n(n-1)(n-2) \)
यहाँ, संयोजन के लिए \( 2n \ge 3 \) और \( n \ge 3 \) होना चाहिए। इसलिए, \( n \ne 0, 1, 2 \).
दोनों पक्षों को \( n \) से भाग देने पर (चूँकि \( n \ne 0 \)):
\( \implies 2(2n-1)(2n-2) = 11(n-1)(n-2) \)
\( \implies 2(2n-1) \cdot 2(n-1) = 11(n-1)(n-2) \)
\( \implies 4(2n-1)(n-1) = 11(n-1)(n-2) \)
दोनों पक्षों को \( (n-1) \) से भाग देने पर (चूँकि \( n \ne 1 \)):
\( \implies 4(2n-1) = 11(n-2) \)
\( \implies 8n - 4 = 11n - 22 \)
\( \implies 18 = 3n \)
\( \implies n = 6 \)
या (जैसा कि स्रोत में दिया गया है, एक वैकल्पिक विधि से)
\( \implies 2(2n-1)(2n-2) = 11(n-1)(n-2) \)
\( \implies 2(4n^2 - 6n + 2) = 11(n^2 - 3n + 2) \)
\( \implies 8n^2 - 12n + 4 = 11n^2 - 33n + 22 \)
\( \implies 0 = 3n^2 - 21n + 18 \)
दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर:
\( \implies n^2 - 7n + 6 = 0 \)
\( \implies (n-6)(n-1) = 0 \)
\( \implies n = 1, 6 \)
लेकिन \( n=1 \) रखने पर \( 2nC3 \) और \( nC3 \) का मान निकालना संभव नहीं होगा (क्योंकि \( r>n \) हो जाता है)। इसलिए \( n = 6 \) सही मान है। 'n' का मान हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए ताकि संयोजन की गणना की जा सके।
In simple words: हमने दिए गए समीकरण को हल करके 'n' का मान निकाला है। संयोजन की परिभाषा के अनुसार 'n' का मान हमेशा एक पूर्ण संख्या और 'r' से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए, इसलिए हमने \( n=1 \) को खारिज कर दिया और \( n=6 \) को स्वीकार किया।
(ii) दिया गया है \( 20Cn-2 = 20Cn+2 \)
हम जानते हैं कि यदि \( nCx = nCy \), तो या तो \( x = y \) या \( x + y = n \).
इस सूत्र का प्रयोग करते हुए:
यहाँ \( n = 20 \), \( x = n-2 \) और \( y = n+2 \).
स्थिति 1: \( x = y \)
\( n-2 = n+2 \)
\( -2 = 2 \), जो कि संभव नहीं है।
स्थिति 2: \( x + y = n \)
\( (n-2) + (n+2) = 20 \)
\( \implies 2n = 20 \)
\( \implies n = 10 \)
यह गुण हमें जटिल संयोजनों को हल करने में मदद करता है।
In simple words: जब दो कॉम्बिनेशन (चयन) में ऊपर वाला नंबर एक जैसा होता है और उनका मान बराबर होता है, तो नीचे वाले नंबर या तो बराबर होते हैं या उनका जोड़ ऊपर वाले नंबर के बराबर होता है। इस नियम से हमें n का मान 10 मिला।
(iii) दिया गया है \( nC10 = nC15 \)
उपरोक्त सूत्र से, यदि \( nCx = nCy \), तो \( x+y=n \).
यहाँ \( x = 10 \) और \( y = 15 \).
\( \implies n = 10 + 15 \)
\( \implies n = 25 \)
इस प्रकार के प्रश्नों में इस नियम का उपयोग करके उत्तर बहुत आसानी से मिल जाता है।
In simple words: इस सवाल में भी हमने वही नियम लगाया कि अगर कॉम्बिनेशन में ऊपर वाला नंबर एक जैसा हो और कॉम्बिनेशन बराबर हों, तो नीचे वाले नंबरों का जोड़ ऊपर वाले नंबर के बराबर होता है। इससे 'n' का मान 25 आया।

🎯 Exam Tip: संयोजन समीकरणों को हल करते समय, सुनिश्चित करें कि 'n' और 'r' की शर्तें (जैसे \( n \ge r \)) हमेशा पूरी होती हैं, खासकर जब \( n \) के संभावित मानों को अस्वीकार करना हो।

Question 2. \( 50C11 + 50C12 + 51C13 - 52C13 \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है \( 50C11 + 50C12 + 51C13 - 52C13 \)
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( = (50C11 + 50C12) + 51C13 - 52C13 \)
हम जानते हैं पास्कल का सूत्र: \( nCr + nCr-1 = n+1Cr \)
इस सूत्र का उपयोग करने पर:
\( = 51C12 + 51C13 - 52C13 \) (क्योंकि \( 50C11 + 50C12 = 51C12 \))
अब फिर से पास्कल के सूत्र का उपयोग करने पर:
\( = (51C12 + 51C13) - 52C13 \) (यहाँ \( n=51, r=13 \), तो \( 51C12+51C13 = 52C13 \))
\( = 52C13 - 52C13 \)
\( = 0 \)
पास्कल का सूत्र इस तरह के संयोजन के योग को बहुत आसान बना देता है।
In simple words: हमने पास्कल के नियम का उपयोग करके इस सवाल को हल किया। इस नियम के अनुसार, जब दो पास-पास के चयन (कॉम्बिनेशन) को जोड़ा जाता है, तो हमें एक नया चयन मिलता है जिसमें ऊपर वाला नंबर एक ज़्यादा और नीचे वाला नंबर बड़े वाले चयन का होता है। इस तरह, पूरा सवाल हल होकर शून्य हो गया।

🎯 Exam Tip: पास्कल के सूत्र \( nCr + nCr-1 = n+1Cr \) को हमेशा याद रखें; यह संयोजन के योग से संबंधित कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है।

Question 3. एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC, CA पर क्रमशः 3, 4 तथा 5 बिन्दु हैं। इन बिन्दुओं से रचित कुल त्रिभुजों की संख्या कितनी होगी?
Answer:
त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC और CA पर क्रमशः 3, 4 और 5 बिन्दु दिए गए हैं।
समतल में कुल बिन्दुओं की संख्या \( = 3 + 4 + 5 = 12 \)
एक त्रिभुज बनाने के लिए हमें 3 बिन्दुओं की आवश्यकता होती है। यदि कोई भी तीन बिन्दु एक सीधी रेखा में न हों, तो 12 बिन्दुओं से बनने वाले कुल त्रिभुजों की संख्या होगी \( 12C3 \).
\( 12C3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220 \)
अब, हमें उन बिन्दुओं को घटाना होगा जो एक ही भुजा पर हैं और एक सीधी रेखा में आते हैं, क्योंकि वे त्रिभुज नहीं बना सकते।
भुजा AB पर 3 बिन्दु हैं, इनसे बनने वाले त्रिभुज \( 3C3 = 1 \).
भुजा BC पर 4 बिन्दु हैं, इनसे बनने वाले त्रिभुज \( 4C3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4 \).
भुजा CA पर 5 बिन्दु हैं, इनसे बनने वाले त्रिभुज \( 5C3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10 \).
इसलिए, त्रिभुजों की अभीष्ट संख्या होगी:
कुल संभावित त्रिभुज - एक सीधी रेखा में आने वाले बिन्दुओं से बने त्रिभुज
\( = 12C3 - (3C3 + 4C3 + 5C3) \)
\( = 220 - (1 + 4 + 10) \)
\( = 220 - 15 \)
\( = 205 \)
त्रिभुज बनाने के लिए, तीन बिंदु एक ही रेखा पर नहीं होने चाहिए, यह एक महत्वपूर्ण शर्त है।
In simple words: पहले हमने सभी उपलब्ध बिंदुओं से बन सकने वाले कुल त्रिभुजों को गिना। फिर, हमने उन त्रिभुजों को घटा दिया जो नहीं बन सकते क्योंकि उनके तीनों बिंदु एक ही लाइन पर हैं। इस तरह हमें कुल 205 त्रिभुज मिले।

🎯 Exam Tip: जब एक ज्यामितीय आकृति से त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कर रहे हों, तो हमेशा कुल संभावित संयोजनों की गणना करें और फिर संरेख बिंदुओं (collinear points) के कारण बनने वाले अमान्य संयोजनों को घटा दें।

Question 4. एक सन्दूक में दो सफेद, तीन काली व चार लाल गेंदें हैं। इस सन्दूक से तीन गेंदें कितनी विधियों से निकाली जा सकती हैं, जिनमें कम से कम एक काली गेंद अवश्य हो ?
Answer:
सन्दूक में कुल गेंदें हैं: 2 सफेद + 3 काली + 4 लाल = 9 गेंदें।
इनमें से, 3 काली गेंदें हैं और \( 2 + 4 = 6 \) अन्य (गैर-काली) गेंदें हैं।
हमें 3 गेंदें निकालनी हैं, जिनमें कम से कम एक काली गेंद अवश्य होनी चाहिए। इसके लिए हम तीन अलग-अलग स्थितियों पर विचार करेंगे:
स्थिति (i): 1 काली गेंद और 2 अन्य गेंदें निकालना।
काली गेंदें चुनने के तरीके \( = 3C1 \)
अन्य गेंदें चुनने के तरीके \( = 6C2 \)
कुल तरीके \( = 3C1 \times 6C2 = 3 \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 3 \times 15 = 45 \)
स्थिति (ii): 2 काली गेंदें और 1 अन्य गेंद निकालना।
काली गेंदें चुनने के तरीके \( = 3C2 \)
अन्य गेंदें चुनने के तरीके \( = 6C1 \)
कुल तरीके \( = 3C2 \times 6C1 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} \times 6 = 3 \times 6 = 18 \)
स्थिति (iii): 3 काली गेंदें और 0 अन्य गेंदें निकालना।
काली गेंदें चुनने के तरीके \( = 3C3 = 1 \)
अन्य गेंदें चुनने के तरीके \( = 6C0 = 1 \)
कुल तरीके \( = 3C3 \times 6C0 = 1 \times 1 = 1 \)
इसलिए, कम से कम एक काली गेंद निकालने के कुल तरीके सभी स्थितियों का योग होगा:
कुल तरीके \( = 45 + 18 + 1 = 64 \)
"कम से कम एक" वाले प्रश्नों को अक्सर ऐसे अलग-अलग मामलों में तोड़कर हल किया जाता है।
In simple words: हमने तीन अलग-अलग तरीके देखे जिनमें कम से कम एक काली गेंद निकल सकती है: या तो एक काली और दो दूसरी, या दो काली और एक दूसरी, या तीनों काली गेंदें। हमने हर तरीके से गेंदें चुनने के तरीकों को जोड़ा, जिससे कुल 64 तरीके मिले।

🎯 Exam Tip: "कम से कम" प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए, सभी संभावित मान्य मामलों (जैसे कम से कम एक, दो, या तीन काली गेंदें) की पहचान करें और उनके संयोजनों को जोड़ें। एक वैकल्पिक तरीका कुल से उन मामलों को घटाना है जिनमें कोई भी काली गेंद नहीं है।

Question 5. छः विभिन्न रंगों की झण्डयों से एक या अधिक लेकर कितने प्रकार से संकेत दिये जा सकते हैं ?
Answer:
हमें छः विभिन्न रंगों की झण्डियाँ दी गई हैं, और हमें एक या एक से अधिक झण्डियों का उपयोग करके संकेत बनाने हैं। यह एक क्रमचय (Permutation) का प्रश्न है क्योंकि संकेत बनाने में झण्डियों का क्रम महत्वपूर्ण होता है।
हम हर स्थिति के लिए संकेतों की संख्या ज्ञात करेंगे और उन्हें जोड़ देंगे:
(i) एक झण्डी लेकर संकेत देने के तरीके \( = 6P1 = 6 \)
(ii) दो झण्डियाँ लेकर संकेत देने के तरीके \( = 6P2 = 6 \times 5 = 30 \)
(iii) तीन झण्डियाँ लेकर संकेत देने के तरीके \( = 6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120 \)
(iv) चार झण्डियाँ लेकर संकेत देने के तरीके \( = 6P4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 \)
(v) पाँच झण्डियाँ लेकर संकेत देने के तरीके \( = 6P5 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720 \)
(vi) छः झण्डियाँ लेकर संकेत देने के तरीके \( = 6P6 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)
अतः कुल संकेत दिए जा सकते हैं:
\( = 6P1 + 6P2 + 6P3 + 6P4 + 6P5 + 6P6 \)
\( = 6 + 30 + 120 + 360 + 720 + 720 \)
\( = 1956 \)
यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि संकेतों में क्रम मायने रखता है, इसलिए क्रमचय का उपयोग किया जाता है।
In simple words: हमने हर संख्या की झंडियों (एक से लेकर छह तक) से बनने वाले सभी अलग-अलग संकेतों को गिना। क्योंकि झंडियों का क्रम मायने रखता है, हमने हर बार क्रमचय (परम्यूटेशन) का इस्तेमाल किया। फिर हमने इन सभी तरीकों को जोड़ दिया, जिससे कुल 1956 संकेत मिले।

🎯 Exam Tip: जब वस्तुओं को चुनना और उन्हें व्यवस्थित करना हो (जैसे संकेत, शब्द बनाना), तो क्रमचय (Permutations) का उपयोग करें। यदि केवल चुनना हो (जैसे टीम बनाना), तो संयोजन (Combinations) का उपयोग करें।

Question 7. 1, 2, 3, 4, 5, 6 अंकों से चार अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, जबकि प्रत्येक संख्या में अंक 4 व 5 का होना आवश्यक है?
Answer:
दिए गए अंक हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6. कुल 6 अंक हैं।
हमें चार अंकों की संख्याएँ बनानी हैं, जिनमें अंक 4 और 5 का होना आवश्यक है।
इसका मतलब है कि 4 और 5 को पहले ही चुन लिया गया है। इन्हें चुनने का 1 तरीका है।
अब हमें बची हुई 2 जगहों के लिए \( 6 - 2 = 4 \) अंकों (1, 2, 3, 6) में से 2 अंक और चुनने होंगे।
इन 2 अंकों को चुनने के तरीके \( = 4C2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \).
अतः, चार अंकों की संख्या बनाने के लिए 4 अंकों को चुनने के कुल तरीके \( = 1 \times 6 = 6 \).
एक बार जब हमने 4 अंक चुन लिए (जिनमें 4 और 5 शामिल हैं), तो इन 4 अंकों को 4 स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके \( = 4P4 \).
\( 4P4 = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \).
इसलिए, अभीष्ट संख्याओं की कुल संख्या \( = 6 \times 24 = 144 \).
यह समस्या चयन और व्यवस्थापन दोनों का एक संयोजन है।
In simple words: हमें 6 अंकों में से 4 अंक लेकर संख्याएँ बनानी थीं, लेकिन शर्त थी कि 4 और 5 अंक हमेशा होने चाहिए। तो, हमने पहले 4 और 5 को ले लिया। फिर, बचे हुए अंकों में से 2 और अंक चुने। अंत में, चुने हुए चारों अंकों को अलग-अलग क्रम में जमाकर कुल संख्याएँ ज्ञात कीं, जो 144 आईं।

🎯 Exam Tip: जब कुछ विशिष्ट अंकों को शामिल करने की शर्त हो, तो पहले उन विशिष्ट अंकों का चयन करें, फिर शेष अंकों में से आवश्यक संख्या में अंक चुनें, और अंत में सभी चयनित अंकों को व्यवस्थित करें।

Question 8. छः '+' तथा चार '-' चिह्नों को एक सरल रेखा में कुल कितने प्रकार से रखा जा सकता है कि कोई भी दो '-' के चिह्न पास पास नहीं आते हों ?
Answer:
हमें 6 '+' चिह्न और 4 '-' चिह्न दिए गए हैं। शर्त यह है कि कोई भी दो '-' चिह्न एक साथ नहीं आने चाहिए।
इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए, हम पहले उन चिह्नों को व्यवस्थित करते हैं जो एक साथ नहीं आने चाहिए।
पहले 6 '+' चिह्नों को एक पंक्ति में रखते हैं:
\( + \quad + \quad + \quad + \quad + \quad + \)
इन '+' चिह्नों के बीच और उनके सिरों पर कुल \( 6+1 = 7 \) स्थान खाली हैं जहाँ हम '-' चिह्नों को रख सकते हैं ताकि वे एक साथ न आएं:
\( \_ \quad + \quad \_ \quad + \quad \_ \quad + \quad \_ \quad + \quad \_ \quad + \quad \_ \quad + \quad \_ \)
हमारे पास 7 खाली स्थान हैं और हमें 4 '-' चिह्नों को उन स्थानों में रखना है। चूंकि सभी '-' चिह्न एक जैसे हैं और सभी खाली स्थान एक जैसे हैं (हमें केवल स्थानों का चयन करना है), हम संयोजन का उपयोग करेंगे।
7 खाली स्थानों में से 4 स्थान चुनने के तरीके \( = 7C4 \)
\( 7C4 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35 \)
इसलिए, कुल 35 प्रकार से इन चिह्नों को व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि कोई भी दो '-' चिह्न पास-पास न आएं। यह 'गैप मेथड' एक सामान्य तकनीक है।
In simple words: हमने पहले '+' के चिह्नों को एक लाइन में रखा। ऐसा करने से '+' चिह्नों के बीच और दोनों किनारों पर कुछ खाली जगह बन गई। फिर, हमने इन खाली जगहों में से 4 जगहों को चुना जहाँ हम '-' के चिह्नों को रख सकें ताकि कोई भी दो '-' चिह्न एक साथ न आएं। ऐसा करने के कुल 35 तरीके हैं।

🎯 Exam Tip: जब आपको कुछ वस्तुओं को इस तरह से व्यवस्थित करना हो कि कोई भी दो विशिष्ट वस्तुएं एक साथ न आएं, तो हमेशा पहले अन्य वस्तुओं को व्यवस्थित करके खाली स्थान (गैप) बनाएं और फिर उन खाली स्थानों में विशिष्ट वस्तुओं को रखें।

Question 9. 8 विद्यार्थियों और 5 प्राध्यापकों में से 5 विद्यार्थियों और 2 प्राध्यापकों की एक कॉलेज परिषद् बनानी है। इस प्रकार की कितनी विभिन्न परिषदें बन सकती हैं ?
Answer:
हमें 8 विद्यार्थियों और 5 प्राध्यापकों में से एक कॉलेज परिषद् बनानी है।
परिषद् में 5 विद्यार्थी और 2 प्राध्यापक होने चाहिए।
8 विद्यार्थियों में से 5 विद्यार्थियों को चुनने के तरीके \( = 8C5 \)
\( 8C5 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56 \)
5 प्राध्यापकों में से 2 प्राध्यापकों को चुनने के तरीके \( = 5C2 \)
\( 5C2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
एक पूरी परिषद् बनाने के लिए, हमें विद्यार्थियों को चुनने के तरीकों और प्राध्यापकों को चुनने के तरीकों को गुणा करना होगा (क्योंकि दोनों चयन एक साथ होते हैं)।
अतः, विभिन्न परिषदों की कुल संख्या \( = 8C5 \times 5C2 \)
\( = 56 \times 10 \)
\( = 560 \)
यह दर्शाता है कि विभिन्न प्रकार के सदस्यों वाले समूह बनाने के लिए प्रत्येक प्रकार के चयन को गुणा किया जाता है।
In simple words: हमें 8 विद्यार्थियों में से 5 विद्यार्थी और 5 प्राध्यापकों में से 2 प्राध्यापक चुनने थे। हमने पहले विद्यार्थियों को चुनने के तरीके निकाले, फिर प्राध्यापकों को चुनने के तरीके निकाले। अंत में, इन दोनों तरीकों को गुणा करके कुल 560 अलग-अलग परिषदें बन सकती हैं।

🎯 Exam Tip: जब एक टीम या परिषद् में अलग-अलग समूहों (जैसे विद्यार्थी और प्राध्यापक) से सदस्य चुनने हों, तो प्रत्येक समूह के चयन के तरीकों को अलग से गणना करें और फिर सभी परिणामों को गुणा करें।

Question 10. 14 खिलाडियों में से क्रिकेट के लिए 11 खिलाडियों की एक टोली बनानी है, जिसमें कम से कम 2 गेंदबाज विद्यमान हों, जबकि केवल 4 खिलाड़ी ही गेंद फेंक सकते हैं। यह टोली कितने प्रकार से बनाई जा सकती है?
Answer:
कुल खिलाड़ियों की संख्या \( = 14 \).
गेंदबाजी कर सकने वाले खिलाड़ियों की संख्या (गेंदबाज) \( = 4 \).
गेंदबाजी न कर सकने वाले खिलाड़ियों की संख्या (गैर-गेंदबाज) \( = 14 - 4 = 10 \).
हमें 11 खिलाड़ियों की एक टोली बनानी है जिसमें कम से कम 2 गेंदबाज होने चाहिए।
इसका मतलब है कि हम 2, 3, या 4 गेंदबाज चुन सकते हैं।
स्थिति (i): टोली में ठीक 2 गेंदबाज हों।
4 गेंदबाजों में से 2 गेंदबाज चुनने के तरीके \( = 4C2 \)
10 गैर-गेंदबाजों में से \( 11-2 = 9 \) गैर-गेंदबाज चुनने के तरीके \( = 10C9 \)
तरीकों की संख्या \( = 4C2 \times 10C9 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 10 = 6 \times 10 = 60 \).
स्थिति (ii): टोली में ठीक 3 गेंदबाज हों।
4 गेंदबाजों में से 3 गेंदबाज चुनने के तरीके \( = 4C3 \)
10 गैर-गेंदबाजों में से \( 11-3 = 8 \) गैर-गेंदबाज चुनने के तरीके \( = 10C8 \)
तरीकों की संख्या \( = 4C3 \times 10C8 = 4 \times \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 4 \times 45 = 180 \).
स्थिति (iii): टोली में ठीक 4 गेंदबाज हों।
4 गेंदबाजों में से 4 गेंदबाज चुनने के तरीके \( = 4C4 \)
10 गैर-गेंदबाजों में से \( 11-4 = 7 \) गैर-गेंदबाज चुनने के तरीके \( = 10C7 \)
तरीकों की संख्या \( = 4C4 \times 10C7 = 1 \times \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 1 \times 120 = 120 \).
कुल तरीकों की संख्या (सभी स्थितियों का योग):
\( = 60 + 180 + 120 \)
\( = 360 \)
"कम से कम" शर्तों को हल करने के लिए सभी मान्य मामलों को जोड़ना एक प्रभावी तरीका है।
In simple words: हमें 14 खिलाड़ियों में से 11 की टीम बनानी थी, जिसमें कम से कम 2 गेंदबाज हों और केवल 4 गेंदबाज उपलब्ध थे। हमने तीन स्थितियाँ देखीं: टीम में 2 गेंदबाज, 3 गेंदबाज या 4 गेंदबाज। हर स्थिति में, हमने गेंदबाजों और बाकी खिलाड़ियों को चुनने के तरीके जोड़े, और फिर सभी तीन स्थितियों के तरीकों को मिलाकर कुल 360 तरीके पाए।

🎯 Exam Tip: "कम से कम" शर्त वाले समस्याओं को हल करते समय, सभी संभावित मान्य मामलों (जैसे 2, 3, या 4 गेंदबाज) को सूचीबद्ध करें, प्रत्येक मामले के लिए संयोजनों की गणना करें, और फिर सभी परिणामों को जोड़ें।