RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Exercise 5.4

प्रश्न 1. निम्न समीकरणों के हल वैदिक विधि से ज्ञात कीजिए
(i) \(x^2 + 4x + 13 = 0\)
(ii) \(2x^2 + 5x + 4 = 0\)
(iii) \(ix^2 + 4x - \frac {15}{2} = 0\)
Answer:
(i) दिया गया समीकरण है: \(x^2 + 4x + 13 = 0\)
इसकी तुलना \(ax^2 + bx + c = 0\) से करने पर, हमें मिलता है: \(a=1, b=4, c=13\).
विविक्तिकर (Discriminant) \(D = b^2 - 4ac\)
\(D = (4)^2 - 4(1)(13) = 16 - 52 = -36\)
वर्गमूल सूत्र (Quadratic Formula) से, \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2(1)}\)
\(x = \frac{-4 \pm \sqrt{36i^2}}{2}\) (चूंकि \(i^2 = -1\), तो \(-36 = 36i^2\))
\(x = \frac{-4 \pm 6i}{2}\)
\(x = \frac{-4}{2} \pm \frac{6i}{2}\)
\(x = -2 \pm 3i\)
इसलिए, समीकरण के हल \(x = -2 + 3i\) और \(x = -2 - 3i\) हैं। जटिल संख्याओं का उपयोग करके हम ऐसे समीकरणों को हल कर सकते हैं जिनके वास्तविक हल नहीं होते हैं।
(ii) दिए गए प्रश्न में इसका हल उपलब्ध नहीं है।
(iii) दिया गया समीकरण है: \(ix^2 + 4x - \frac{15}{2} = 0\)
इसकी तुलना \(ax^2 + bx + c = 0\) से करने पर, हमें मिलता है: \(a=i, b=4, c=-\frac{15}{2}\).
विविक्तिकर (Discriminant) \(D = b^2 - 4ac\)
\(D = (4)^2 - 4(i)(-\frac{15}{2})\)
\(D = 16 - (-30i)\)
\(D = 16 + 30i\)
हमें \( \sqrt{16+30i} \) का मान ज्ञात करना है।
मान लीजिए \( \sqrt{16+30i} = x + iy \). दोनों तरफ वर्ग करने पर:
\( 16 + 30i = (x+iy)^2 \)
\( 16 + 30i = x^2 - y^2 + 2ixy \)
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
\( x^2 - y^2 = 16 \) ......(1)
\( 2xy = 30 \implies xy = 15 \) ......(2)
हमें यह भी पता है कि \( x^2 + y^2 = |\sqrt{16+30i}| = \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{256 + 900} = \sqrt{1156} = 34 \).
तो, \( x^2 + y^2 = 34 \) ......(3)
समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर:
\( (x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) = 16 + 34 \)
\( 2x^2 = 50 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5 \).
समीकरण (2) से, \( y = \frac{15}{x} \).
यदि \( x = 5 \), तो \( y = \frac{15}{5} = 3 \). इसलिए, \( x + iy = 5 + 3i \).
यदि \( x = -5 \), तो \( y = \frac{15}{-5} = -3 \). इसलिए, \( x + iy = -5 - 3i = -(5+3i) \).
तो, \( \sqrt{16+30i} = \pm (5+3i) \).
अब वर्गमूल सूत्र का उपयोग करते हुए:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
\( x = \frac{-4 \pm (5+3i)}{2i} \)
पहला हल (धनात्मक चिह्न लेने पर):
\( x = \frac{-4 + (5+3i)}{2i} \)
\( x = \frac{1+3i}{2i} \)
अंश और हर को \(i\) से गुणा करने पर:
\( x = \frac{(1+3i)i}{2i \cdot i} = \frac{i+3i^2}{2i^2} = \frac{i-3}{2(-1)} = \frac{i-3}{-2} = \frac{3-i}{2} \)
दूसरा हल (ऋणात्मक चिह्न लेने पर):
\( x = \frac{-4 - (5+3i)}{2i} \)
\( x = \frac{-4-5-3i}{2i} \)
\( x = \frac{-9-3i}{2i} \)
अंश और हर को \(i\) से गुणा करने पर:
\( x = \frac{(-9-3i)i}{2i \cdot i} = \frac{-9i-3i^2}{2i^2} = \frac{-9i+3}{2(-1)} = \frac{3-9i}{-2} = \frac{9i-3}{2} \)
इसलिए, समीकरण के हल \(x = \frac{3-i}{2}\) और \(x = \frac{9i-3}{2}\) हैं। जटिल गुणांकों वाले द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, हमें पहले जटिल संख्याओं का वर्गमूल निकालना होता है।
In simple words: हमें जटिल संख्या वाले समीकरणों को हल करना था. पहले हमने विविक्तिकर निकाला, जो एक और जटिल संख्या निकली. फिर हमने उस जटिल संख्या का वर्गमूल निकाला, जो \(\pm(5+3i)\) आया. अंत में, हमने वर्गमूल सूत्र में ये मान डालकर दो उत्तर निकाले.

🎯 Exam Tip: When dealing with complex coefficients in quadratic equations, remember to correctly calculate the discriminant and find its complex square root before applying the quadratic formula. Pay close attention to signs when multiplying by \(i\).

प्रश्न 2. द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल
(i) 5 तथा -2 हैं।
(ii) 1 + 2i हैं।
Answer:
(i) दिए गए मूल \( \alpha = 5 \) और \( \beta = -2 \) हैं।
मूलों का योगफल \( (\alpha + \beta) = 5 + (-2) = 3 \).
मूलों का गुणनफल \( (\alpha \beta) = 5 \times (-2) = -10 \).
अभीष्ट द्विघात समीकरण का सूत्र है: \( x^2 - (\text{मूलों का योगफल})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0 \).
मान रखने पर: \( x^2 - (3)x + (-10) = 0 \)
\( x^2 - 3x - 10 = 0 \)
यह वह समीकरण है जिसके मूल 5 और -2 हैं। यह सूत्र किसी भी दिए गए मूलों के लिए द्विघात समीकरण बनाने का एक सीधा तरीका है।
(ii) दिया गया मूल \( \alpha = 1 + 2i \) है। चूंकि द्विघात समीकरण के गुणांक वास्तविक होते हैं, तो दूसरा मूल इसका संयुग्मी (conjugate) होगा, यानी \( \beta = 1 - 2i \).
मूलों का योगफल \( (\alpha + \beta) = (1 + 2i) + (1 - 2i) = 1 + 1 + 2i - 2i = 2 \).
मूलों का गुणनफल \( (\alpha \beta) = (1 + 2i)(1 - 2i) \).
\( \implies \alpha \beta = 1^2 - (2i)^2 = 1 - 4i^2 = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 \).
अभीष्ट द्विघात समीकरण का सूत्र है: \( x^2 - (\text{मूलों का योगफल})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0 \).
मान रखने पर: \( x^2 - (2)x + 5 = 0 \)
\( x^2 - 2x + 5 = 0 \)
यह वह समीकरण है जिसके मूल 1 + 2i और 1 - 2i हैं। जब एक जटिल मूल दिया जाता है, तो हमेशा याद रखें कि उसका संयुग्मी भी एक मूल होता है।
In simple words: पहले भाग में, हमें दिए गए मूलों को जोड़कर और गुणा करके सीधे सूत्र में रखना था. दूसरे भाग में, एक जटिल मूल दिया गया था, तो हमने उसका संयुग्मी मूल भी लिया और फिर वैसे ही जोड़ और गुणा करके समीकरण बनाया.

🎯 Exam Tip: Remember the relationship between roots and coefficients: for a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), sum of roots is \(-b/a\) and product is \(c/a\). If one complex root is given, its conjugate is also a root, assuming real coefficients.

प्रश्न 3. यदि समीकरण \(x^2 – px + q = 0\) का एक मूल दूसरे का दुगुना है तो सिद्ध कीजिए कि \(2p^2 = 9q\).
Answer: दिए गए समीकरण को \( x^2 - px + q = 0 \) मान लीजिए।
मान लीजिए इस समीकरण के मूल \( \alpha \) और \( \beta \) हैं।
प्रश्न के अनुसार, एक मूल दूसरे का दुगुना है, तो हम मान सकते हैं \( \beta = 2\alpha \).
अब, मूलों और गुणांकों के बीच संबंध का उपयोग करते हैं:
मूलों का योगफल \( \alpha + \beta = -(\text{x का गुणांक}) / (\text{x² का गुणांक}) \)
\( \alpha + \beta = -(-p)/1 \)
\( \alpha + \beta = p \) ......(1)
मूलों का गुणनफल \( \alpha \beta = (\text{अचर पद}) / (\text{x² का गुणांक}) \)
\( \alpha \beta = q/1 \)
\( \alpha \beta = q \) ......(2)
अब, समीकरण (1) में \( \beta = 2\alpha \) का मान रखने पर:
\( \alpha + 2\alpha = p \)
\( 3\alpha = p \)
\( \implies \alpha = p/3 \) ......(3)
इसी प्रकार, समीकरण (2) में \( \beta = 2\alpha \) का मान रखने पर:
\( \alpha(2\alpha) = q \)
\( 2\alpha^2 = q \) ......(4)
अब, समीकरण (3) से \( \alpha \) का मान समीकरण (4) में रखने पर:
\( 2(p/3)^2 = q \)
\( 2(p^2/9) = q \)
\( \frac{2p^2}{9} = q \)
दोनों तरफ 9 से गुणा करने पर:
\( 2p^2 = 9q \)
यह सिद्ध हो गया (इतिसिद्धम्)। इस प्रकार के प्रश्नों में मूलों और गुणांकों के संबंधों का सही उपयोग करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमें एक ऐसा समीकरण दिया था जिसमें एक मूल दूसरे का दोगुना था. हमने मूलों को \(\alpha\) और \(2\alpha\) मान लिया. फिर, हमने मूलों के जोड़ और गुणा के नियमों का इस्तेमाल किया. इससे हमें \( \alpha \) का मान \(p\) के रूप में मिला. इस मान को गुणनफल वाले सूत्र में रखने पर, हमें \(2p^2 = 9q\) साबित हो गया.

🎯 Exam Tip: When proving relationships between coefficients and roots, clearly define the roots based on the given condition (e.g., \( \alpha \) and \( 2\alpha \)). Then, use the sum and product of roots formulas to establish the required equation step-by-step.