RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Exercise 5.3

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Ex 5.3

प्रश्न 1. निम्न सम्मिश्र संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कीजिए
(i) - 5 + 12i
(ii) 8 - 6i
(iii) - i
Answer:
(i) माना \( \sqrt{-5+12i} = x + iy \) दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
\( -5+12i = (x+iy)^2 \)
\( -5+12i = x^2 - y^2 + 2xyi \)
वास्तविक एवं काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,
\( x^2 - y^2 = -5 \) ... (1)
\( 2xy = 12 \) ... (2)
हमें पता है कि \( (x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)^2 + 4x^2y^2 \)
\( x^2+y^2 = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2} \)
\( x^2+y^2 = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13 \)
\( x^2+y^2 = 13 \) ... (3)
अब समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर,
\( 2x^2 = -5 + 13 \)
\( 2x^2 = 8 \)
\( x^2 = 4 \)
\( x = \pm 2 \)
समीकरण (3) में से (1) को घटाने पर,
\( 2y^2 = 13 - (-5) \)
\( 2y^2 = 18 \)
\( y^2 = 9 \)
\( y = \pm 3 \)
समीकरण (2) में \( 2xy \) धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि \( x \) और \( y \) के चिह्न समान होने चाहिए। इसलिए, जब \( x = 2 \), \( y = 3 \) होगा और जब \( x = -2 \), \( y = -3 \) होगा। एक जटिल संख्या के वर्गमूल में हमेशा धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान होते हैं।
\( \implies \sqrt{-5+12i} = \pm (2+3i) \)

(ii) माना \( \sqrt{8-6i} = x + iy \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
\( 8-6i = (x+iy)^2 \)
\( 8-6i = x^2 - y^2 + 2xyi \)
वास्तविक एवं काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,
\( x^2 - y^2 = 8 \) ... (1)
\( 2xy = -6 \) ... (2)
हम जानते हैं कि \( (x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)^2 + 4x^2y^2 \)
\( x^2+y^2 = \sqrt{8^2 + (-6)^2} \)
\( x^2+y^2 = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10 \)
\( x^2+y^2 = 10 \) ... (3)
अब समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर,
\( 2x^2 = 8+10 \)
\( 2x^2 = 18 \)
\( x^2 = 9 \)
\( x = \pm 3 \)
समीकरण (3) में से (1) को घटाने पर,
\( 2y^2 = 10-8 \)
\( 2y^2 = 2 \)
\( y^2 = 1 \)
\( y = \pm 1 \)
चूंकि समीकरण (2) में \( 2xy \) ऋणात्मक है, अतः \( x \) और \( y \) के चिह्न विपरीत होने चाहिए। इसका मतलब है कि अगर \( x \) धनात्मक है, तो \( y \) ऋणात्मक होगा, और यदि \( x \) ऋणात्मक है, तो \( y \) धनात्मक होगा।
\( \implies \sqrt{8-6i} = \pm (3-i) \)

(iii) माना \( \sqrt{-i} = x + iy \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
\( -i = (x+iy)^2 \)
\( -i = x^2 - y^2 + 2xyi \)
वास्तविक एवं काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,
\( x^2 - y^2 = 0 \) ... (1)
\( 2xy = -1 \) ... (2)
हम जानते हैं कि \( (x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)^2 + 4x^2y^2 \)
\( x^2+y^2 = \sqrt{0^2 + (-1)^2} \)
\( x^2+y^2 = \sqrt{0+1} = \sqrt{1} = 1 \)
\( x^2+y^2 = 1 \) ... (3)
अब समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर,
\( 2x^2 = 0+1 \)
\( 2x^2 = 1 \)
\( x^2 = \frac{1}{2} \)
\( x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \)
समीकरण (3) में से (1) को घटाने पर,
\( 2y^2 = 1-0 \)
\( 2y^2 = 1 \)
\( y^2 = \frac{1}{2} \)
\( y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \)
चूंकि समीकरण (2) में \( 2xy \) ऋणात्मक है, अतः \( x \) और \( y \) के चिह्न विपरीत होने चाहिए। यह सुनिश्चित करता है कि उनका गुणनफल ऋणात्मक रहे।
\( \implies \sqrt{-i} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1-i) \)
In simple words: किसी सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए, हम उसे \( x+iy \) के बराबर मानकर दोनों तरफ वर्ग करते हैं। फिर वास्तविक और काल्पनिक हिस्सों की तुलना करके \( x \) और \( y \) के मान ज्ञात करते हैं। \( 2xy \) का चिह्न \( x \) और \( y \) के चिह्नों के संबंध को बताता है।

🎯 Exam Tip: जटिल संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करते समय, \( x \) और \( y \) के सही चिह्न निर्धारित करने के लिए \( 2xy \) पद के चिह्न पर ध्यान देना बहुत महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 2. \( \sqrt{4+3\sqrt{-20}} + \sqrt{4-3\sqrt{-20}} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( \sqrt{4+3\sqrt{20}i} + \sqrt{4-3\sqrt{20}i} \)
माना \( \sqrt{4+3\sqrt{20}i} = x+iy \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
\( 4+3\sqrt{20}i = (x+iy)^2 \)
\( 4+3\sqrt{20}i = x^2 - y^2 + 2xyi \)
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,
\( x^2 - y^2 = 4 \) ... (1)
\( 2xy = 3\sqrt{20} \) ... (2)
हम जानते हैं कि \( (x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)^2 + 4x^2y^2 \)
\( x^2+y^2 = \sqrt{4^2 + (3\sqrt{20})^2} \)
\( x^2+y^2 = \sqrt{16 + 9 \times 20} \)
\( x^2+y^2 = \sqrt{16+180} = \sqrt{196} = 14 \)
\( x^2+y^2 = 14 \) ... (3)
समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर,
\( 2x^2 = 4+14 \)
\( 2x^2 = 18 \)
\( x^2 = 9 \)
\( x = \pm 3 \)
समीकरण (3) में से (1) को घटाने पर,
\( 2y^2 = 14-4 \)
\( 2y^2 = 10 \)
\( y^2 = 5 \)
\( y = \pm \sqrt{5} \)
चूंकि समीकरण (2) में \( 2xy \) धनात्मक है, तो \( x \) और \( y \) के चिह्न समान होने चाहिए। जब \( x=3 \), \( y=\sqrt{5} \) और जब \( x=-3 \), \( y=-\sqrt{5} \)
\( \implies \sqrt{4+3\sqrt{20}i} = \pm (3+\sqrt{5}i) \) ... (4)
इसी प्रकार,
\( \sqrt{4-3\sqrt{20}i} = \pm (3-\sqrt{5}i) \) ... (5)
समीकरण (4) और (5) को जोड़ने पर,
\( \sqrt{4+3\sqrt{20}i} + \sqrt{4-3\sqrt{20}i} = \pm (3+\sqrt{5}i) \pm (3-\sqrt{5}i) \)
यदि हम दोनों में धनात्मक मान लेते हैं:
\( (3+\sqrt{5}i) + (3-\sqrt{5}i) = 6 \)
यदि हम दोनों में ऋणात्मक मान लेते हैं:
\( -(3+\sqrt{5}i) - (3-\sqrt{5}i) = -3-\sqrt{5}i-3+\sqrt{5}i = -6 \)
इस प्रकार, उत्तर \( \pm 6 \) है। यह विधि हमें वर्गमूल के मान को चरणबद्ध तरीके से खोजने में मदद करती है।
In simple words: हम दिए गए व्यंजक के वर्गमूल को अलग-अलग हल करते हैं। पहले एक भाग को \( x+iy \) मानकर \( x \) और \( y \) निकालते हैं। फिर दूसरे भाग के लिए भी यही प्रक्रिया दोहराते हैं। अंत में, दोनों परिणामों को जोड़कर अंतिम मान प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: जब \( \sqrt{a+ib} \) और \( \sqrt{a-ib} \) जैसे व्यंजकों को जोड़ना हो, तो दोनों के वर्गमूल अलग-अलग ज्ञात करें और फिर उन्हें सही चिह्नों के साथ जोड़ें।

प्रश्न 3. निम्न के घनमूल ज्ञात कीजिए
(i) -216
(ii) -512
Answer:
(i) माना \( x = (-216)^{1/3} \)
दोनों पक्षों का घन करने पर,
\( x^3 = -216 \)
\( x^3 + 216 = 0 \)
\( x^3 + 6^3 = 0 \)
\( (x+6)(x^2 - 6x + 36) = 0 \)
\( \implies x+6 = 0 \)
\( x = -6 \)
या \( x^2 - 6x + 36 = 0 \)
द्विघात सूत्र \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) का उपयोग करने पर,
\( x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(36)}}{2(1)} \)
\( x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2} \)
\( x = \frac{6 \pm \sqrt{-108}}{2} \)
\( x = \frac{6 \pm \sqrt{36 \times (-3)}}{2} \)
\( x = \frac{6 \pm 6\sqrt{-3}}{2} \)
\( x = \frac{6 \pm 6\sqrt{3}i}{2} \)
\( x = 3 \pm 3\sqrt{3}i \)
ये घनमूल \( -6, 3+3\sqrt{3}i, 3-3\sqrt{3}i \) हैं। ये एक संख्या के तीन घनमूलों की गणना करने का मानक तरीका है।
In simple words: किसी संख्या का घनमूल निकालने के लिए, हम उसे \( x \) के बराबर मानते हैं और फिर समीकरण को हल करते हैं। एक वास्तविक हल होता है और दो काल्पनिक हल होते हैं, जिन्हें अक्सर \( w \) (ओमेगा) और \( w^2 \) के रूप में दर्शाया जाता है।

(ii) माना \( x = (-512)^{1/3} \)
दोनों पक्षों का घन करने पर,
\( x^3 = -512 \)
\( x^3 + 512 = 0 \)
\( x^3 + 8^3 = 0 \)
\( (x+8)(x^2 - 8x + 64) = 0 \)
\( \implies x+8 = 0 \)
\( x = -8 \)
या \( x^2 - 8x + 64 = 0 \)
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,
\( x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(64)}}{2(1)} \)
\( x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2} \)
\( x = \frac{8 \pm \sqrt{-192}}{2} \)
\( x = \frac{8 \pm \sqrt{64 \times (-3)}}{2} \)
\( x = \frac{8 \pm 8\sqrt{-3}}{2} \)
\( x = \frac{8 \pm 8\sqrt{3}i}{2} \)
\( x = 4 \pm 4\sqrt{3}i \)
ये घनमूल \( -8, 4+4\sqrt{3}i, 4-4\sqrt{3}i \) हैं। \( w \) और \( w^2 \) इकाई के घनमूलों का उपयोग करके, इन्हें \( -8, -8w, -8w^2 \) के रूप में भी लिखा जा सकता है।
In simple words: \( -512 \) का घनमूल निकालने के लिए, हम \( x^3 = -512 \) लिखते हैं और इसे हल करते हैं। इसका एक हल \( -8 \) होता है, और अन्य दो जटिल (काल्पनिक) हल होते हैं।

🎯 Exam Tip: किसी भी वास्तविक संख्या \( a \) के तीन घनमूल होते हैं: एक वास्तविक घनमूल और दो जटिल घनमूल, जिन्हें इकाई के घनमूलों \( 1, w, w^2 \) का उपयोग करके \( a^{1/3}, a^{1/3}w, a^{1/3}w^2 \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

प्रश्न 4. सिद्ध कीजिए
(i) \( 1 + w^n + w^{2n} = 0 \), जबकि \( n = 2, 4 \)
(ii) \( 1 + w^n + w^{2n} = 3 \), जबकि \( n, 3 \) की गुणज है।
Answer:
(i) जब \( n = 2 \):
L.H.S. \( = 1 + w^2 + w^{2 \times 2} \)
L.H.S. \( = 1 + w^2 + w^4 \)
हम जानते हैं कि \( w^3 = 1 \)। तो, \( w^4 = w^3 \cdot w = 1 \cdot w = w \)।
L.H.S. \( = 1 + w^2 + w \)
L.H.S. \( = 1 + w + w^2 \)
हम जानते हैं कि इकाई के घनमूलों के गुणधर्म के अनुसार \( 1 + w + w^2 = 0 \)।
L.H.S. \( = 0 = \) R.H.S.
जब \( n = 4 \):
L.H.S. \( = 1 + w^4 + w^{2 \times 4} \)
L.H.S. \( = 1 + w^4 + w^8 \)
हम जानते हैं कि \( w^3 = 1 \)। तो, \( w^4 = w \) और \( w^8 = w^{3 \times 2} \cdot w^2 = (w^3)^2 \cdot w^2 = 1^2 \cdot w^2 = w^2 \)।
L.H.S. \( = 1 + w + w^2 \)
L.H.S. \( = 0 = \) R.H.S.
अतः, \( 1 + w^n + w^{2n} = 0 \) जब \( n = 2, 4 \)। यह इकाई के घनमूलों के मूल गुणों में से एक है।

(ii) जब \( n, 3 \) की गुणज है, तो हम \( n = 3m \) मान सकते हैं, जहाँ \( m \) कोई पूर्णांक है।
L.H.S. \( = 1 + w^n + w^{2n} \)
L.H.S. \( = 1 + w^{3m} + w^{2 \times 3m} \)
L.H.S. \( = 1 + (w^3)^m + (w^3)^{2m} \)
हम जानते हैं कि \( w^3 = 1 \)।
L.H.S. \( = 1 + (1)^m + (1)^{2m} \)
L.H.S. \( = 1 + 1 + 1 \)
L.H.S. \( = 3 = \) R.H.S.
अतः, \( 1 + w^n + w^{2n} = 3 \) जब \( n, 3 \) की गुणज है। यह दर्शाता है कि जब घात 3 का गुणज होती है तो पद सरल हो जाते हैं।
In simple words: यह सिद्ध करने के लिए, हम \( n \) के दिए गए मानों को सूत्र में रखते हैं। हम \( w^3 = 1 \) और \( 1+w+w^2=0 \) के नियमों का उपयोग करते हैं। यदि \( n \) तीन का गुणज है, तो \( w^n \) हमेशा \( 1 \) हो जाएगा।

🎯 Exam Tip: इकाई के घनमूलों से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, \( w^3 = 1 \) और \( 1 + w + w^2 = 0 \) के मूलभूत गुणों को याद रखना महत्वपूर्ण है। ये आपको किसी भी \( w \) की घात को सरल बनाने में मदद करेंगे।

प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए
(i) \( \left(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\right)^{29} + \left(\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\right)^{29} = -1 \)
(ii) \( (1 + 5w^2 + w)(1 + 5w + w^2)(5 + w + w^2) = 64 \)
Answer:
(i) हम जानते हैं कि इकाई के घनमूल \( w = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2} \) और \( w^2 = \frac{-1-\sqrt{-3}}{2} \) होते हैं।
तो, L.H.S. \( = (w)^{29} + (w^2)^{29} \)
L.H.S. \( = w^{29} + w^{58} \)
हमें \( w^{29} \) और \( w^{58} \) को सरल करना होगा। चूंकि \( w^3 = 1 \),
\( w^{29} = w^{3 \times 9 + 2} = (w^3)^9 \cdot w^2 = 1^9 \cdot w^2 = w^2 \)
\( w^{58} = w^{3 \times 19 + 1} = (w^3)^{19} \cdot w^1 = 1^{19} \cdot w = w \)
L.H.S. \( = w^2 + w \)
हम जानते हैं कि \( 1 + w + w^2 = 0 \), तो \( w + w^2 = -1 \)।
L.H.S. \( = -1 = \) R.H.S.
इस प्रकार, समीकरण सिद्ध होता है। यह जटिल घातों को सरल बनाने के लिए इकाई के घनमूलों के गुणों का उपयोग दिखाता है।

(ii) L.H.S. \( = (1 + 5w^2 + w)(1 + 5w + w^2)(5 + w + w^2) \)
हम जानते हैं कि \( 1 + w + w^2 = 0 \implies w + w^2 = -1 \)
पहले ब्रैकेट को सरल करने पर:
\( 1 + 5w^2 + w = (1+w+w^2) + 4w^2 = 0 + 4w^2 = 4w^2 \)
दूसरे ब्रैकेट को सरल करने पर:
\( 1 + 5w + w^2 = (1+w+w^2) + 4w = 0 + 4w = 4w \)
तीसरे ब्रैकेट को सरल करने पर:
\( 5 + w + w^2 = 5 + (w+w^2) = 5 + (-1) = 4 \)
अब इन सरल किए गए पदों को मूल व्यंजक में रखने पर:
L.H.S. \( = (4w^2)(4w)(4) \)
L.H.S. \( = 64w^3 \)
हम जानते हैं कि \( w^3 = 1 \)।
L.H.S. \( = 64 \times 1 = 64 \)
L.H.S. \( = 64 = \) R.H.S.
इस प्रकार, समीकरण सिद्ध होता है। यह दर्शाता है कि जटिल व्यंजकों को इकाई के घनमूलों के गुणों का उपयोग करके आसानी से सरल किया जा सकता है।
In simple words: इस सवाल को हल करने के लिए, हम इकाई के घनमूलों के नियम \( w = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2} \), \( w^2 = \frac{-1-\sqrt{-3}}{2} \), \( w^3 = 1 \), और \( 1+w+w^2=0 \) का उपयोग करते हैं। हम समीकरण के हर हिस्से को सरल करते हैं और फिर उन्हें गुणा करते हैं।

🎯 Exam Tip: जटिल संख्याओं से संबंधित प्रश्नों में, अक्सर \( 1+w+w^2=0 \) और \( w^3=1 \) जैसे बुनियादी गुणों को लागू करके बड़े व्यंजकों को काफी सरल किया जा सकता है।

प्रश्न 6. 1, w, w² इकाई के घनमूल हों तो सिद्ध कीजिए \( (1 + w)(1 + w^2)(1 + w^4)(1 + w^8)... \) 2n गुणनखण्ड \( = 1 \)
Answer:
L.H.S. \( = (1 + w)(1 + w^2)(1 + w^4)(1 + w^8)... \) 2n गुणनखण्ड
हम जानते हैं कि \( w^3 = 1 \), इसलिए \( w^4 = w \) और \( w^8 = w^2 \)।
तो, L.H.S. \( = (1 + w)(1 + w^2)(1 + w)(1 + w^2)... \) 2n गुणनखण्ड
यह श्रृंखला \( (1+w)(1+w^2) \) के जोड़ों में दोहराई जाती है। 2n गुणनखण्ड हैं, इसलिए n ऐसे जोड़े होंगे।
L.H.S. \( = [(1 + w)(1 + w^2)]^n \)
अब, \( (1 + w)(1 + w^2) \) को सरल करें।
हम जानते हैं कि \( 1 + w + w^2 = 0 \), तो \( 1+w = -w^2 \) और \( 1+w^2 = -w \)।
\( (1+w)(1+w^2) = (-w^2)(-w) = w^3 \)
चूंकि \( w^3 = 1 \),
\( (1+w)(1+w^2) = 1 \)
इस मान को वापस L.H.S. में रखने पर,
L.H.S. \( = (1)^n \)
L.H.S. \( = 1 = \) R.H.S.
इस प्रकार, समीकरण सिद्ध होता है। यह दर्शाता है कि आवर्ती पैटर्न और इकाई के घनमूलों के गुणों का उपयोग करके ऐसे लंबे गुणनखण्डों को आसानी से हल किया जा सकता है।
In simple words: हम इस लंबे गुणन को सरल करने के लिए \( w^3=1 \) और \( 1+w+w^2=0 \) नियमों का उपयोग करते हैं। हम देखते हैं कि पद \( (1+w)(1+w^2) \) के जोड़े में बार-बार आते हैं। चूंकि \( (1+w)(1+w^2) \) का मान \( 1 \) होता है, तो पूरा गुणनखण्ड भी \( 1 \) हो जाएगा।

🎯 Exam Tip: इकाई के घनमूलों से संबंधित गुणनखण्ड समस्याओं में, पदों के पैटर्न को पहचानना और \( w^3=1 \) का उपयोग करके उच्च घातों को कम करना महत्वपूर्ण है। फिर \( 1+w+w^2=0 \) के गुणधर्म से \( (1+w)(1+w^2) \) जैसे पदों को सरल करें।